必刷小卷5 解答题前3题强化练（5）43分练-2026届高三数学三轮冲刺

高考数学解答题 前3道题 练大题 就是找准度！ 必刷小卷5 解答题强化练[5] 15+16+17 43分练 【循环组合 立体几何vs概率统计vs解析几何】 训练专项01：立体几何+概率统计+解析几何 训练专项02：概率统计+解析几何+立体几何 训练专项03：解析几何+立体几何+概率统计 训练专项04：立体几何+解析几何+概率统计 训练专项05：概率统计+立体几何+解析几何 训练专项06：解析几何+概率统计+立体几何 ■→训练专项01 立体几何+概率统计+解析几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·湖北黄冈模拟,13分，★★]如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值．规范答题 16. [2026·河北部分高中高三一模，15分，★★]甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望.规范答题 17. [2026·湖南株洲模拟,15分，★★★]在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值．规范答题 ■→训练专项02 概率统计+解析几何+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·广东深圳阶段检测，13分，★★] 某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； （2）用函数模型对变量x，y关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 规范答题 16. [2026·海南联考，15分，★★]已知点F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，且． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线C相交于点M，N，与抛物线C相交于点P，Q，请用表示，并求的最小值． 规范答题 17. [2026·安徽芜湖3月模拟，15分，★★]如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值.规范答题 ■→训练专项03 解析几何+立体几何+概率统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．[2026·重庆一模，13分，★★]已知抛物线，与直线交于，两点（O为坐标原点），且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，为抛物线上任意两点，且满足，证明:直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 规范答题 16. [2026·甘肃陇南二诊，15分，★★]在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离； （3）二面角的余弦值．规范答题 17. [2026·贵州贵阳模拟，15分，★★]某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. （1）求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； （2）该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，.规范答题 ■→训练专项04 立体几何+解析几何+概率统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·河北邢台一模，13分，★★] 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值．规范答题 16. [2026·甘肃陇南二诊，15分，★★]已知椭圆的离心率为，，分别是的上、下顶点，且. （1）求的方程． （2）已知，是上异于，两个不同的点． （ⅰ）若，关于轴对称，证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若直线经过点，证明：直线与的交点在定直线上.规范答题 17. [2026·福建福州质量检测，15分，★★]甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？规范答题 ■→训练专项05 概率统计+立体几何+解析几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·广东东莞模拟,13分，★★]一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. （1）求的概率; （2）求Y的分布列与数学期望.规范答题 16. [2026·贵州贵阳模拟,15分，★★]如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 规范答题 17. （2026·辽宁大连一模，15分，★★）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值．规范答题 ■→训练专项06 解析几何+概率统计+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．[2026·吉林长春一模，13分，★★]已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 规范答题 16. [2026·海南联考，15分，★★]黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． （1）求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； （2）若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； （3）经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 规范答题 17. [2026·安徽合肥滨湖校区3月检测，15分，★★]如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值.规范答题 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学解答题 前3道题 练大题 就是找准度！ 必刷小卷5 解答题强化练[5] 15+16+17 43分练 【循环组合 立体几何vs概率统计vs解析几何】 训练专项01：立体几何+概率统计+解析几何 训练专项02：概率统计+解析几何+立体几何 训练专项03：解析几何+立体几何+概率统计 训练专项04：立体几何+解析几何+概率统计 训练专项05：概率统计+立体几何+解析几何 训练专项06：解析几何+概率统计+立体几何 ■→训练专项01 立体几何+概率统计+解析几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·湖北黄冈模拟,13分，★★]如图，在四棱锥中，底面，底面为平行四边形，且，． （1）证明：； （2）求平面与平面夹角的正切值． 【解析】（1）设，则，． 在中，根据余弦定理， 将，，代入可得： ，所以． 则，所以， 因为底面，底面，所以． 又因为，、平面，所以平面． 而平面，所以. （2）因为底面，，四边形为平行四边形， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，由（1）知，，， 则，，，， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，可得， 设平面与平面的夹角为， 则，所以， 故. 16. [2026·河北部分高中高三一模，15分，★★]甲、乙两名同学进行投篮游戏，两人各投一次称为一轮，投中记1分，投不中记0分，甲、乙每次投中的概率分别为 ，且每次投篮结果都相互独立，共进行3轮游戏，总分多者获胜，相等为平局. （1）求甲获胜的概率； （2）游戏结束后，记甲、乙两名同学的得分之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望. 【解析】（1）设甲、乙三轮总得分为、，且、服从二项分布， ，，，； ，，，； =++= 所以甲获胜的概率为. （2）X可能的取值为， ，； ； ； ； ； ； 随机变量的分布列为： =. 17. [2026·湖南株洲模拟,15分，★★★]在直角坐标平面内，设是圆上的动点，轴，垂足为点，点在的延长线上，且，点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设是过点的动直线． ①当直线的斜率为时，曲线上是否存在一点，使得点到直线的距离最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； ②若直线与曲线相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求面积的最大值． 【解析】（1） 设，，则 因为，所以，整理得， 代入 中得，整理得，所以曲线的方程为. （2）①的直线方程为，整理得， 如图，，与椭圆相切于点，当在如图所示的位置时，点到直线的距离最小， 设：， 联立得， ，解得或-5（舍去）， 则，解得，则， 所以存在点到直线的距离最小，坐标为. ②设的方程为，，，则， 联立得， ，解得或， 则，， ， 直线的方程为，令得， 所以，则点到直线的距离， ， 令，则， 当且仅当，即，时等号成立， 所以面积的最大值为. ■→训练专项02 概率统计+解析几何+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·广东深圳阶段检测，13分，★★] 某市近6年的新能源汽车保有量数据如下表 年份代号x 1 2 3 4 5 6 保有量y（万辆） 1 1.8 2.7 4 5.9 9.2 （1）从这6年中任意选取2年，在已知至少有1年的新能源汽车保有量大于3万辆的前提下，求这2年的新能源汽车保有量全都大于3万辆的概率； （2）用函数模型对变量x，y关系进行拟合，根据表中数据求出y关于x的回归方程（参数d的估计值精确到0.01）． 参考数据：，，，； 设，， 参考公式：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：， 【解析】（1）保有量大于3万辆的年份有第4，5，6年，共3年， 保有量不大于3万辆的年份有第1，2，3年，共3年， 设至少有1年保有量大于3万辆为事件，2年保有量全都大于3万辆为事件， 事件的对立事件为2年都不大于3万辆，总选法有， 两年都不大于3万辆的选法为，所以， 两年都大于3万辆的选法为，所以， 则. （2）已知模型，两边取对数得， 令，则，即转化为线性回归方程， 其中，由题意得， 则， ， 因为，所以， 则. 16. [2026·海南联考，15分，★★]已知点F是抛物线的焦点，点在抛物线C上，且． （1）求抛物线C的方程； （2）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线，设与抛物线C相交于点M，N，与抛物线C相交于点P，Q，请用表示，并求的最小值． 【解析】（1）点在抛物线C上，则，从而， ，解得， 所以抛物线的方程为. （2）由题意知，直线的斜率存在且不为0，设为，则的方程为． 由，得 ， 设，则是上述方程的两个实根，于是． 因为，所以的斜率为． 设则同理可得 故 ， 当时等号成立，故的最小值为64. 17. [2026·安徽芜湖3月模拟，15分，★★]如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是边长为 2的正三角形， 平面平面 , 为侧棱的中点,为的中点，为线段上一点. （1）若点为线段 的中点，求证:直线平面 ； （2）若，且点到平面的距离为，求直线与平面 所成角的正弦值. 【解析】（1）如图，取的中点，连接，因点为线段 的中点，故， 因底面为矩形，为的中点，则， 故有，即得，则， 因平面，平面，故有直线平面； （2）如图，因平面平面，平面平面， 为等边三角形，且为的中点，则，故平面， 取中点，连接，则，故可以分别为轴建立空间直角坐标系. 设，则， 因为侧棱的中点，则，于是，， 设平面的法向量为，则，故可取， 又，则点到平面的距离为， 解得. 因，则， 因， 设平面的法向量为，则，故可取， 设直线 与平面 所成角为，则. ■→训练专项03 解析几何+立体几何+概率统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．[2026·重庆一模，13分，★★]已知抛物线，与直线交于，两点（O为坐标原点），且. (1)求抛物线的标准方程； (2)若，为抛物线上任意两点，且满足，证明:直线经过一个定点，并求出该定点坐标. 【解析】（1）抛物线 与直线 交于 和 两点， 联立方程：，得 ，即 ，解得 或 ， 因此 点坐标为 ， 由两点间距离公式：，解得 ， 故抛物线 的标准方程为：. （2）由 (1) 知抛物线方程为 ，点 坐标为 ， 设直线 的方程为 ，代入 得： 设 ， ，则 由 ，得 将 ， 与代入， 整理得， 因式分解得：，解得 或 ， 当 时，直线 方程为 ，即 ， 过定点 （即点 ），此时 或 与 重合，不符合题意； 当 时，直线 方程为 ， 即 ，过定点 . 因此，直线 恒过定点 . 16. [2026·甘肃陇南二诊，15分，★★]在四棱锥中，底面是矩形且，侧面是正三角形且垂直于底面，是的中点，为的中点，求： （1）异面直线与所成角的余弦值； （2）点到平面的距离； （3）二面角的余弦值． 解析】（1）以为原点，如图建立空间直角坐标系，因为， 则. 所以. 所以异面直线与所成角的余弦值为. （2）因为，设平面的法向量为. 则，两式相减得. 令，则，所以. 因为，所以点到平面的距离为 . （3）因为平面，所以是平面的一个法向量， 由于平面的法向量为. 所以二面角的余弦值为. 17. [2026·贵州贵阳模拟，15分，★★]某电商公司为研究直播带货中平台流量推广投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，统计了最近10场直播带货中平台流量推广投入和销售额数据，计算得：，. （1）求销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程； （2）该公司计划下一场直播投入总额10万元，现有两种方案：方案一：全部用于平台流量推广；方案二：部分用于平台流量推广，部分用于主播佣金激励.其中平台流量推广投入x万元（），主播佣金激励投入（）万元.根据以往经验，主播佣金激励投入t万元的销售额为（）万元；平台流量推广的效果仍符合（1）中的回归方程.比较两种方案，如何分配投入才能使销售额最大？并求出最大销售额. 参考公式：线性回归方程中，，. 【解析】（1）由题意知，样本量 ， ，, 根据公式变形得回归系数： , 则 ， 因此，销售额y关于直播带货中平台流量推广投入x的线性回归方程为：； （2）方案一：全部投入平台流量推广，即代入回归方程得销售额：万元； 方案二：投入万元到流量推广，万元到主播佣金，且， 总销售额为流量销售额加佣金销售额：， 对称轴 ，在定义域内，最大值为 万元， 因为 ，所以投入6万元到平台流量推广，4万元到主播佣金时销售额最大，最大销售额为76万元。 综上可得：分配6万元投入平台流量推广、4万元投入主播佣金时销售额最大，最大销售额为万元. ■→训练专项04 立体几何+解析几何+概率统计 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·河北邢台一模，13分，★★] 如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，． （1）证明：平面； （2）求二面角的余弦值． 【解析】（1）已知侧面为正方形，所以， 又因为平面平面，且两平面的交线为，平面， 所以平面，平面，即有， 已知，，所以，满足，所以， 又因为，且平面，所以平面. （2） 如图所示，以为原点，分别以、、的方向为轴正方向，则各点坐标为：，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为，则 令，则，，即， 设平面的法向量为，则 令，则，，即， 设二面角的大小为，易知为锐角， 则有. 16. [2026·甘肃陇南二诊，15分，★★]已知椭圆的离心率为，，分别是的上、下顶点，且. （1）求的方程． （2）已知，是上异于，两个不同的点． （ⅰ）若，关于轴对称，证明：直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）若直线经过点，证明：直线与的交点在定直线上. 【解析】（1），，解得， 离心率，解得，； （2）（ⅰ）证明：设，则，， 即，又， ， 故直线与的斜率之积为定值； （ⅱ）证明：由题可知直线斜率存在， 设直线方程为，， ，， ， ，， 直线的方程为， 则直线的方程为， 由①②两式解得 ， 所以直线与的交点在定直线上． 17. [2026·福建福州质量检测，15分，★★]甲、乙两个不透明的口袋内装有除颜色外大小质地完全相同的若干个小球，已知甲口袋有个红球和4个白球，乙口袋有个红球和2个白球.现在小明从甲口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球，然后再从乙口袋有放回地连续摸球2次，每次摸出一个球. （1）当时. （i）求小明4次摸球中，至少摸出1个白球的概率; （ii）设小明4次摸球中，摸出白球的个数为X，求X的分布列和数学期望； （2）当时，设小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率为P，则当m为何值时，P最大？ 【解析】（1）（i）设事件：小明4次摸球中，至少摸出1个白球， 则. （ii）由题可知，可能的取值为， 甲口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， 乙口袋每次摸到红球的概率为，每次摸到白球的概率为， , , ， ， ， 分布列如下， 0 1 2 3 4 所以. （2）小明4次摸球中，恰有3次摸出红球的概率P， 因为， 所以， 令，则， 所以当时，；当时，； 所以函数在单调递增，单调递减， 所以当，即时，P最大，最大值为. ■→训练专项05 概率统计+立体几何+解析几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. [2026·广东东莞模拟,13分，★★]一个袋子中有个大小相同的球，其中有4个红球、8个绿球，分别采用有放回和不放回的方式从中随机抽取3个球，设采用有放回方式抽取时抽到红球的个数为，采用不放回方式抽取时抽到红球的个数为. （1）求的概率; （2）求Y的分布列与数学期望. 【解析】（1）若有放回抽取时，每次抽球相互独立， 每次抽到红球的概率为 ​，共抽3次， 因此,根据二项分布概率公式： . （2）若不放回抽取时，服从超几何分布，的所有可能取值为， 概率公式为：. ，，，. 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： . 16. [2026·贵州贵阳模拟,15分，★★]如图，在三棱柱中，平面平面，四边形是矩形，，. （1）证明：平面. （2）求平面与平面夹角的余弦值. （3）在线段上是否存在点D，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）因为，，所以，所以. 因为平面平面，且平面平面，平面， 所以平面. 因为平面，所以. 因为四边形是矩形，所以. 因为平面，平面，且，所以平面； （2）由（1）可知，，两两垂直，则以A为坐标原点， ，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为，，所以，，，，. 设平面的法向量为， 则，令，得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为. （3）假设存在满足条件的点D，且（）， 使得直线与平面所成角的正弦值为. 由（2）可知，，， 则. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以. 解得，所以，即，则存在满足条件的点D，此时. 17. （2026·辽宁大连一模，15分，★★）已知椭圆的离心率，且椭圆过点，左，右焦点分别为，，直线与椭圆交M，N两点. （1）求椭圆Γ的标准方程； （2）①当k为何值时，为定值； ②在①的条件下，求面积的最大值． 【解析】（1）∵椭圆的离心率，且椭圆过点， ，∴椭圆的标准方程为； （2）①联立：与椭圆， 即，消去y，整理得到， 设，，则， ， ，在上， ，，，， ， ， 当为定值时，即与无关， 故，解得， ②此时 又点O到直线l的距离， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 此时， 满足直线与椭圆有两个交点，则三角形面积的最大值为1． ■→训练专项06 解析几何+概率统计+立体几何 （建议用时：30分钟 满分43分） 四、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．[2026·吉林长春一模，13分，★★]已知椭圆的离心率为，右焦点. (1)求椭圆的标准方程； (2)过且倾斜角为的直线与椭圆相交于，两点，求. 【解析】（1）由椭圆的离心率为， 可设，，则， 由右焦点，可知，则，， 即椭圆的标准方程为. （2）如图： 过且倾斜角为45°的直线的方程为， 与椭圆联立可得： ，即， 可得，. 所以， 所以. 所以. 16. [2026·海南联考，15分，★★]黎锦织造技艺是海南国家级非物质文化遗产，一幅黎锦作品的完成需经过“纺线设计”和“织锦制作”两大独立环节，只有纺线设计通过后才能进行织锦制作，且只有同时通过两个环节才能成为成品．某黎锦工坊准备制作甲、乙、丙三幅不同的黎锦作品，已知甲、乙、丙通过纺线设计环节的概率依次为通过织锦制作环节的概率依次为． （1）求甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节的概率； （2）若已知甲、乙、丙三幅中恰有一幅作品通过纺线设计环节，求通过的作品为甲的概率； （3）经过纺线设计和织锦制作两个环节后，甲、乙、丙三幅作品成为成品的件数为X，求随机变量X的分布列和数学期望． 【解析】（1）记甲，乙，丙三幅作品通过设计图案环节分别为事件，记甲，乙，丙三幅中恰有一幅作品通过设计图案环节为事件， 则． （2）． （3）记甲，乙，丙三幅作品成为成品的事件分别为， 则， 由可取， 则， ， ， ， 则的分布列为 0 1 2 3 则数学期望． 17. [2026·安徽合肥滨湖校区3月检测，15分，★★]如图，三棱台中，平面，分别是棱的中点. （1）证明：平面平面； （2）已知三棱台的体积大于2，且直线与平面所成的角的正弦值为，求平面与平面所成角的余弦值. 【解析】（1）证明：因为平面平面 所以，又因为，都在平面内， 所以平面，又因为平面 所以平面平面 （2）在三棱台中，分别是棱的中点，所以且相等，且相等， 所以四点共面 由（1）知平面， 平面， ，在平面内，得： 所以为平面与平面所成角， 设，点到平面的距离为 由可得： 所以 所以或 又因为 所以，所以 所以在中， 所以平面与平面所成角的余弦值为. 学科网（北京）股份有限公司 $