专题02 分式方程的概念、解法、应用（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题02 分式方程的概念、解法、应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式方程的概念与识别（常考重点） 1 题型二、分式方程的解法（必考重点） 1 题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点） 2 题型四、分式方程的无解（增根）问题（常考重点） 4 题型五、根据分式方程解的情况求值（常考） 4 题型六、分式方程的实际应用——古代数学文化问题（常考重点） 5 题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点） 6 题型八、分式方程的实际应用——工程问题（常考重点） 7 题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点） 8 题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题（常考重点） 9 B综合攻坚・能力越升 题型一、分式方程的概念与识别（常考重点） 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 题型二、分式方程的解法（必考重点） 4．解分式方程，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 5．解方程： (1)； (2)． 6．解方程： (1)； (2)． 题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点） 7．同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第___________步开始出错； (2)请完整地解答此分式方程 8．对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 9．（1）解方程：． （2）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得第三步 合并同类项，得，第四步 …… 任务： ①填空：上述解题过程中，第一步是依据___________进行变形的，第________步出现错误，错误的原因是：____________； ②请直接写出该分式方程的正确解； ③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 题型四、分式方程的无解（增根）问题（常考重点） 10．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 11．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 12．分式方程无解，则a的值为________． 题型五、根据分式方程解的情况求值（常考） 13．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 14．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 15．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 题型六、分式方程的实际应用——古代数学文化问题（常考重点） 16．我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 17．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 18．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点） 19．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 20．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 21．随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 题型八、分式方程的实际应用——工程问题（常考重点） 22．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 23．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 24．我国自主研发的型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的，这个工作队人工更换钢轨所用时间比型快速换轨车更换钢轨所用时间多．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点） 25．乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． (1)求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； (2)第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 26．科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． (1)求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ (2)该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 27．春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题（常考重点） 28．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 29．随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 30．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 1．下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 2．已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 3．在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 4．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 5．若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 6．解分式方程： (1)； (2)． 7．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 8．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 9．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 10．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 分式方程的概念、解法、应用 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式方程的概念与识别（常考重点） 1 题型二、分式方程的解法（必考重点） 2 题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点） 4 题型四、分式方程的无解（增根）问题（常考重点） 8 题型五、根据分式方程解的情况求值（常考） 9 题型六、分式方程的实际应用——古代数学文化问题（常考重点） 12 题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点） 14 题型八、分式方程的实际应用——工程问题（常考重点） 15 题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点） 17 题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题（常考重点） 20 B综合攻坚・能力越升 题型一、分式方程的概念与识别（常考重点） 1．下列方程中是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式方程的定义为：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．分母不含未知数的方程是整式方程． 【详解】解：A选项，分母为5和4，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； B选项，方程是二元一次整式方程，分母不含未知数，不符合要求； C选项，分母为2和3，都是常数，不含未知数，是整式方程，不符合要求； D选项，分母为，含有未知数，符合分式方程的定义， 2．下列方程中不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】依据“分母中含有未知数的方程叫做分式方程”逐一判断选项． 【详解】解：A选项：分母含未知数t，是分式方程； B选项：分母含未知数x，是分式方程； C选项：分母含未知数x，是分式方程； D选项：所有分母中均不含未知数，不是分式方程； 3．给出下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．②③ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】分式方程是分母中含有未知数的方程，判断每个方程是否含有分母且分母中含有未知数． 本题考查了分式方程的概念，熟练掌握相关内容是解题的关键． 【详解】解：∵ 方程① 中，右边分式分母含有未知数 ， ∴ ①是分式方程． ∵ 方程② 中，左边分式分母 含有未知数 ， ∴ ②是分式方程． ∵ 方程③ 中没有分式，是整式方程， ∴ ③不是分式方程． ∵ 方程④ 中， 是常数系数，没有分母含有未知数， ∴ ④不是分式方程． ∴ 是分式方程的是①②． 故选：B． 题型二、分式方程的解法（必考重点） 4．解分式方程，去分母变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程两边同时乘最简公分母去掉分母，整理后得到正确变形，即可选出对应选项． 【详解】解： 方程两边同乘得 整理得 化简得． 5．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可； （）方程两边同乘最简公分母，转化为一元一次方程，然后解方程并检验即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解为：； （2）解：， ， ， ， ， ， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 6．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）对于分式方程，解题思路是先将分式方程变形，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后进行验根，确定原方程的解． （2）对于分式方程，解题思路是先对分母因式分解，确定最简公分母为，两边同乘最简公分母化为整式方程，求解整式方程后验根，判断原方程解的情况． 【详解】（1）解：， ， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 故原分式方程的解为 （2）解：， 方程两边同乘，得 ， ， ， ， ， 检验：当时，， 因此不是原分式方程的解． 故原分式方程无解． 题型三、分式方程的解法找错问题（常考重点） 7．同学们，在学习路上，我们犯各种各样的错误是在所难免的．其实，这些错误并不是我们学习路上的绊脚石．相反，如果我们能够聚焦错误、分析错误、发散错误以及归类错误，那么我们就能够以错误为梯，补齐短板，进而大幅提升学习效益．小王在复习时发现一道这样的错题： 解方程： 解：① ② ③ ④ ⑤ ⑥ (1)请你帮他找出这道题从第___________步开始出错； (2)请完整地解答此分式方程 【答案】(1)② (2)见解析 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）根据去分母，两边同时乘，即可确定； （2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验． 【详解】（1）解：， ， 去分母得：， ∴这道题从第②步开始出错， 故答案为：②． （2）解：， ， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验：当时，， ∴是原方程的增根，故无解． 8．对于分式方程，小叶同学的求解过程如下． 解：第一步：方程两边乘，得． 第二步：． 第三步：． 第四步：检验：当时，． 所以，是分式方程的解． 小芳同学发现小叶的解法有错误，请你回答： (1)小叶的解法从第_____________步开始出现错误，错误的原因是_________________________； (2)请写出正确的解答过程． 【答案】(1) 一；去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母 (2) 无解，过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程需要把方程两边同时乘以公分母化为整式方程，求出的整式方程的解要代入公分母检验是否增根． （1）根据解分式方程的步骤可知小叶在第一步去分母时发生了错误，小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）根据解分式方程的步骤求出方程的解，再把求出的解代入公分母检验是否增根． 【详解】（1）解：小叶在第一步去分母时发生了错误， 去分母应把等式的两边同时乘以公分母， 小叶去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； 故答案为：一，去分母时方程右边的常数项没有乘以公分母； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 检验：当时，， 是原分式方程的增根， 原分式方程无解． 9．（1）解方程：． （2）下面是小颖同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务： 解：去分母，得，第一步 去括号，得，第二步 移项，得第三步 合并同类项，得，第四步 …… 任务： ①填空：上述解题过程中，第一步是依据___________进行变形的，第________步出现错误，错误的原因是：____________； ②请直接写出该分式方程的正确解； ③除了任务中出现的错误外，请根据平时的学习经验，就解分式方程时还需要注意的事项提出一条建议． 【答案】（1）　（2）①等式的基本性质2；一；第二项1没有乘 　②　③解分式方程必须检验（答案不唯一） 【分析】本题考查了解分式方程，解题关键是掌握解分式方程的一般步骤是解题关键． （1）根据去分母，去括号，移项，合并同类项，检验的解方程步骤求解即可； （2）观察解方程的过程，找出每一步变形的依据，出现错误的步骤，写出正确的解答过程，检验即可． 【详解】解：（1）方程两边同乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验，当时，，, 所以，是原分式方程的解； （2）①根据等式的基本性质2：等式两边同时乘（或除）相等的数或式子，两边依然相等， 可得的等号两边同时乘，得， 故小颖同学解分式方程的第一步出现错误，错误的原因是第二项1没有乘， 故答案为：根据等式的基本性质2；一；第二项1没有乘； ②方程两边同时乘，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 检验，当时，，， 故该分式方程的解是； ③解分式方程时还需要注意的事项是必须确保分母是有意义的， 即解分式方程必须检验． 题型四、分式方程的无解（增根）问题（常考重点） 10．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A．－3 B．－3或－5 C．1或－3 D．1或－5 【答案】B 【分析】本题考查分式方程无解的问题，先将分式方程化为整式方程，分式方程无解分为两种情况，一是所得整式方程无解，二是整式方程的解为原分式方程的增根，分情况讨论求解即可. 【详解】解：给分式方程两边同乘最简公分母 去分母得： 去括号得： 移项合并同类项得： ∵原分式方程无解 ∴分两种情况讨论： ①当时，即，此时整式方程变为，整式方程无解，因此原分式方程无解，符合要求； ②当时，即，整式方程的解为 ∵原分式方程无解， ∴为增根，原分式方程的增根为或 当时，，解得，符合要求； 当时，，整理得，等式不成立，无解. 综上，的值为或. 11．若关于x的分式方程有增根，则它的增根是______． 【答案】 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的定义即可求解． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， 分式方程的增根使最简公分母为， 则， 解得． 12．分式方程无解，则a的值为________． 【答案】7 【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解说明该解为原分式方程的增根，求出增根后代入整式方程即可求得参数a的值． 【详解】解：原分式方程可变形为， 方程两边同乘最简公分母，得， ∵原分式方程无解， ∴，即是原分式方程的增根， 将代入整式方程，得 ， 解得：． 题型五、根据分式方程解的情况求值（常考） 13．已知． (1)化简分式； (2)若关于的分式方程：的解是非负数，求的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】本题考查了分式的化简，解分式方程． （1）根据分式的除法进行计算即可求解； （2）先解分式方程，根据分式方程的解是非负数，得出，根据分式有意义的条件得出，进而解不等式即可得出的范围． 【详解】（1）解： （2）， ， ， ， ， 分式方程的解是非负数， ，且， 且 解得且， 的取值范围且． 14．已知关于x的方程． (1)若，解这个分式方程； (2)若原分式方程有增根，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为2， 【分析】本题考查了分式方程的求解及增根的概念和应用． （1）将代入原方程，通过去分母化为整式方程求解，最后检验解的合理性； （2）先解分式方程得到用m表示的x，根据原分式方程有增根得到，且用m表示的x的式子的分母，分情况讨论确定出m的值即可． 【详解】（1）解：将代入方程， 得， 解得， 经检验：当时，， ∴是原方程的根． （2）解：， 解得， ∴， ∵原分式方程有增根， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴m的值为2，． 15．已知关于的分式方程． (1)若方程的增根为，求的值； (2)若方程有增根，求的值； (3)若方程无解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查的是分式方程的无解问题． （1）原方程化为整式方程，然后代入增根求解即可； （2）由增根求出x的值，然后代入化简后的整式方程即可； （3）方程无解，可分为有增根和化简后的整式方程无解两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 去括号得：， 方程整理，得． ∵是原分式方程的增根， ∴， 解得． （2）解：， 方程整理，得． 因为原分式方程有增根，所以或， 解得或． ∵不可能是整式方程的根， ∴原分式方程的增根为，所以， 解得． （3）解：， 方程整理，得． ①当时，整式方程无解， 此时； ②当时，要使原方程无解，则或． 由（2），得． 综上所述，或． 题型六、分式方程的实际应用——古代数学文化问题（常考重点） 16．我国明代《永乐大典》中记载了“绫罗尺价”问题：“今有绫、罗共三丈，各值钱八百九十六文，只云绫、罗各一尺共值钱一百二十文．问绫、罗尺价各几何？”其大意为：“现在有绫布和罗布长共3丈（），已知绫布和罗布分别出售均能收入896文，一尺绫布和一尺罗布一共需要120文．问两种布每尺各多少钱？”设绫布有尺，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“绫罗各一尺总价120文”的等量关系列方程． 【详解】解：1丈=10尺， 绫罗总长度为 尺， 设绫布有尺， 罗布长度为尺， 绫布总售价为896文， 绫布每尺价格为文， 同理可得，罗布每尺价格为文， 绫、罗各一尺共值钱120文， ， 移项整理得． 17．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，全书共收集了246个数学问题，分为九章，内容涵盖了算术、代数、几何等多个领域．其中记录的一道题译为现代文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求两匹马的速度．设慢马的速度为x里/天，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天，根据规定时间相等可得方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 【详解】设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 根据题意，得：， 故选：A． 18．《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译文为把一份文件用慢马送到900里外的城市需要的时间比规定时间多2天；如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马速度是慢马速度的2倍，求规定时间是多少天？ 【答案】规定时间为8天 【分析】此题考查了分式方程的应用，设规定时间为x天，快马速度是慢马速度的2倍，据此列分式方程，解方程并检验即可． 【详解】解：设规定时间为x天， 由题意得：， 解得，经检验是所列方程的根，且符合题意 答：规定时间为8天． 题型七、分式方程的实际应用——行程问题（常考重点） 19．在百米赛跑上，甲乙同向运动，甲以的速度匀速运动，乙在甲跑了2秒后也开始以一定速度匀速运动，若要使得两者同时到达，设乙的速度为，可列出关于x的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据甲乙的出发时间和同时到达的条件，找时间等量关系列方程即可，总路程为100米，利用时间=路程÷速度表示两人走完全程的时间，再根据时间关系列方程． 【详解】解：∵百米赛跑总路程为，甲的速度为， ∴甲走完全程的总时间为 ∵乙比甲晚出发，且两人同时到达终点，乙的速度为， ∴乙走完全程的时间为，乙的运动时间加上晚出发的等于甲的总运动时间， 因此列方程得． 20．“歼”战机是中国自行研制的、具有自主知识产权的高性能、多用途第三代战斗机．宋文骢生于云南省昆明市，是“歼”战机的总设计师，被誉为中国“歼之父”，“阵风”战机，作为法国达索公司的杰作，与“台风”和“萨博”并驾齐驱，被誉为战机界的“欧洲三雄”，对比两种战机，“歼”战机以其超过音速的速度优势，是“阵风”战机的倍，已知地与地的直线距离300公里，若“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地，求“歼”战机的速度是每小时多少公里？ 【答案】“歼”战机的速度是每小时3600公里 【分析】设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为，根据题意“阵风”战机在B地先1分钟起飞飞往A地，“歼”战机才开始从A地起飞飞往B地，则它们同时到达各自的目的地建立方程求解即可． 【详解】解：设“阵风”战机的速度是，则“歼”战机的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：“歼”战机的速度是每小时3600公里． 21．随着L3级自动驾驶技术的日趋成熟，首批获批的两种车型北汽极狐阿尔法S和长安深蓝分别在北京、重庆指定区域上路试点运行．经测试，长安深蓝的最高车速是北汽极狐阿尔法S的，两车均以最高车速行驶时，长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟，求长安深蓝SL03的最高车速是多少公里/时？ 【答案】长安深蓝的最高车速为公里/时． 【分析】设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时，根据“长安深蓝行驶100公里所用的时间比驾驶北汽极狐阿尔法S行驶120公里所用的时间多30分钟”列出分式方程，据此求解即可． 【详解】解：设北汽极狐阿尔法S的最高车速为x公里/时，则长安深蓝的最高车速为公里/时， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：长安深蓝的最高车速为公里/时． 题型八、分式方程的实际应用——工程问题（常考重点） 22．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送3件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设原来每小时送件外卖，先表示出现在每小时送的外卖数量，再根据“时间总件数每小时送件数”分别表示出原来和现在送件外卖所用的时间，最后根据时间关系列方程即可． 【详解】解：∵原来平均每小时送件外卖，现在每小时比原来多送件， ∴现在平均每小时送件， ∴原来送件外卖所用时间为小时，现在送件外卖所用时间为小时， ∵现在送件的时间比原来少用小时， ∴原来所用时间现在所用时间， 即列方程得． 23．为了改善部分经济困难家庭的居住条件，某市计划在一定时间内完成万平方米的保障房建设任务．后来市政府调整了计划，不仅保障房建设任务比原计划增加了，而且还要提前年完成建设任务．经测算，要完成新的计划，平均每年需要比原计划多建设万平方米的保障房，那么按新的计划，平均每年应建设多少万平方米的保障房？ 【答案】 按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房 【分析】设出原计划平均每年建设的保障房面积，然后可表示出新计划平均每年建设的保障房面积，根据原计划完成时间比新计划完成时间多年的等量关系列出分式方程，求解后得到新计划平均每年建设的保障房面积． 【详解】解：设原计划平均每年建设万平方米保障房，则新计划平均每年建设万平方米保障房， 根据题意得，， 方程两边同乘，得， 展开并整理得， 因式分解得， 解得，（不符合实际题意，舍去）， 经检验，当时，， 是原分式方程的解， 则新计划平均每年建设面积为（万平方米）． 答：按新的计划，平均每年应建设万平方米的保障房． 24．我国自主研发的型快速换轨车采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务．一个工作队人工更换钢轨，每小时更换钢轨的长度是一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的长度的，这个工作队人工更换钢轨所用时间比型快速换轨车更换钢轨所用时间多．求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米． 【答案】一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨 【分析】根据题意，以换轨时间建立等量关系列分式方程求解即可． 【详解】解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨，则工作队人工每小时更换钢轨， 根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨． 题型九、分式方程的实际应用——销售问题（常考重点） 25．乳制品产业通过特产店渠道提升品牌和附加值，一家特产店计划从本地奶制品厂采购两款热销产品：奶片和酸奶．已知奶片每件的进价比酸奶每件的进价少4元．该店用120元购买奶片的件数，恰好等于用160元购买酸奶的件数． (1)求奶片和酸奶每件的进价各是多少元； (2)第一批采购的奶片和酸奶很快售完，现该店准备再次购进这两种商品共70件、恰逢厂家调价：奶片在第一批进价的基础上打9折，酸奶在第一批进价的基础上提价5%，按照此价格采购，总费用不能超过960元，此次采购中最多可以购进酸奶多少件． 【答案】(1)奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元 (2)最多可以购进酸奶34件 【分析】（1）设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元，根据题意得出方程，求解方程即可； （2）设酸奶购进件，则奶片购进件，根据题意得出不等式，求解该不等式即可． 【详解】（1）解：设奶片每件进价为元，酸奶每件进价为元， 根据题意可得方程， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故奶片每件进价为12元，酸奶每件进价为16元． （2）解：设酸奶购进件，则奶片购进件， 根据题意可得， 解得， 故最多可以购进酸奶34件． 26．科技改变生活，随着自动驾驶技术的不断升级，对高精度传感器的需求日益增加．某自动驾驶技术公司需要采购A，B两种型号的激光雷达传感器．已知用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等，且B型激光雷达传感器的单价比A型激光雷达传感器的单价多400元． (1)求A，B两种型号激光雷达传感器的单价各是多少元？ (2)该公司需要购买A，B两种型号的激光雷达传感器共20个，且购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍．求购买A，B两种型号的激光雷达传感器各多少个时，总费用最少？总费用最少是多少元？ 【答案】(1)型激光雷达传感器的单价是600元，型激光雷达传感器的单价是1000元 (2)购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个，总费用最少，总费用最少是18000元． 【分析】（1）设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元，根据“用1800元购买A型激光雷达传感器的数量与用3000元购买B型激光雷达传感器的数量相等”，列分式方程求解即可； （2）设购进型激光雷达传感器个，根据“购买B型激光雷达传感器的数量不少于A型激光雷达传感器数量的3倍”列不等式求出m的取值范围，设总费用为元，求出w关于m的一次函数解析式，然后根据一次函数的性质求解即可。 【详解】（1）解：设型激光雷达传感器的单价是元，则型激光雷达传感器的单价是元． 由题意得 解得 经检验，是原方程的解 （元） ∴型激光雷达传感器的单价是元，型激光雷达传感器的单价是元． （2）解：设购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个． 由题意得    解得   设总费用为元 ∵ ∴随的增大而减小 ∵ ∴当时，取得最小值，最小值为元 （个） ∴购进型激光雷达传感器个，则购进型激光雷达传感器个时，总费用最少． 总费用最少是元． 27．春季是新鲜草莓上市的主要季节，甲、乙两人去某水果超市购买相同单价的奶油草莓，甲用元购买的草莓比乙用元购买的草莓少，求这种草莓的单价．以下是小华和小丽所列的两个方程，请回答下列问题． 小华：；小丽：． (1)小华所列方程中的表示_____，小丽所列方程中的表示_____；（填序号） ①草莓的单价    ②甲用元购买草莓的质量    ③乙用元购买草莓的质量 (2)请从以上两个方程中，任选一个解方程，并求出这种草莓的单价． (3)丙也到该水果超市购买相同单价的奶油草莓，他发现还有一种单价为元的白草莓也不错，于是决定搭配购买两种草莓共，且奶油草莓的数量不超过白草莓数量的倍，求买两种草莓各多少才能花费最少，最少费用是多少元？ 【答案】(1)①，② (2)这种草莓的单价为元 (3)奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时花费最少，最少费用是元 【分析】（1）根据分式方程并结合题意分析，即可求解； （2）根据分式方程的解法求解即可； （3）设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为，先列出不等式求出的取值范围，再列出与的函数关系式，最后根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：小华所列方程中的表示草莓的单价，小丽所列方程中的表示甲用元购买草莓的质量， 故答案为：①，②； （2）解： ， 经检验，是原方程的解， 这种草莓的单价为元； （3）解：设两种草莓的总费用为，奶油草莓的数量为，则白草莓的数量为， 由题意得， 解得， ， ， 随的增大而减小， 当，时，最少，最少费用为（元）， 答：奶油草莓的数量为，白草莓的数量为时总花费最少，最少费用是元． 题型十、分式方程的实际应用——和差倍分问题（常考重点） 28．某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 29．随着新能源汽车使用的日益普及，某小区计划购置单枪、双枪两款新能源充电桩，本次购买单枪充电桩花费万元，双枪充电桩花费万元，已知双枪充电桩单价是单枪充电桩单价的倍，若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价． 【答案】单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元 【分析】根据题意，假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元，列出分式方程求解即可． 【详解】解：假设单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元， 根据题意，得方程， 化简得， 解得， 经检验，是分式方程的解， 则， 答：单枪充电桩单价为元，则双枪充电桩单价为元． 30．某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1620元，购买乙种用了3600元，购买的乙种滑动变阻器的数量是甲种的2倍，乙种滑动变阻器单价比甲种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价； (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过4800元，那么该校最少购买多少个甲种滑动变阻器？ 【答案】(1)甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个 (2)最少可以购买40个甲种滑动变阻器 【分析】（1）列分式方程解决问题； （2）列一元一次不等式解决实际问题． 【详解】（1）解：设甲种滑动变阻器的单价为x元/个， 由题意得， 解得， 经检验：是原方程的根，并符合题意， 元/个， 答：甲种滑动变阻器的单价为45元/个，乙种滑动变阻器的单价为50元/个； （2）解：设购买甲种滑动变阻器m个， 由题意得， 解得， 答：最少可以购买40个甲种滑动变阻器． 1．下列方程中，不是分式方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查分式方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 分式方程需满足分母中含有未知数，逐一检查各选项分母即可判断． 【详解】解：A、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； B、分母为和，均为常数，不含未知数，故不是分式方程，符合题意； C、分母为和，含未知数，是分式方程，不符合题意； D、分母为，含未知数，是分式方程，不符合题意； 故选：B． 2．已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（   ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据表格数据，结合分式无意义的条件和分式值为0的条件，代值求解判断即可． 【详解】解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意； 由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意； 由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意； 由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意． 3．在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 4．若方程有增根，则a的值为（   ） A． B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先将分式方程化为整式方程，再根据增根定义确定增根的值，代入增根计算得到a的值． 【详解】解：， 方程两边同乘去分母，得， 去括号得， 则， ∵原分式方程分母为，方程有增根， ∴增根满足，即， 将代入整式方程，得， 解得：． 5．若关于的分式方程 有增根，则的值为 （    ） A．0 B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】将分式方程化简为整式方程，根据方程有增根，得或，求出对应的的值，再进行检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以， 得， 化简得， 若方程有增根，则， 故或， 当时，代入上式得， 检验，当时，方程有增根； 当时，代入上式得， 检验当时，方程无解； 综上，的值为． 6．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)无解 【分析】分式方程去分母化为整式方程，解整式方程并检验即可． 【详解】（1）解： 去分母得到， 解得 经检验，是分式方程的根． （2）解： 去分母得到， 解得， 经检验是增根， ∴原分式方程无解． 7．已知关于的分式方程． (1)当时，求分式方程的解． (2)若该分式方程有增根，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入分式方程，再解方程求出的值，最后检验即可； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，用表示出整式方程的解，由分式方程有增根得出，再解关于的一元一次方程，求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，原分式方程为， 去分母，得， 解得：． 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． （2）解：， 去分母，得， 解得：． ∵该分式方程有增根， ∴，即， ∴， 解得， ∴当时，该分式方程有增根． 8．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到48千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 9．我们把形如（、不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，． 再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)若为“十字分式方程”，则________，________； (2)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (3)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解答的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）先将方程转化为，再仿照题中求解方法解方程即可； （3）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ，； 故答案为：，； （2）解：为“十字分式方程”， ∴方程可化为， ， 或， ，； （3）解：“十字分式方程”即的两个解分别为，， ，， ． 10．猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是 元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的 （填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $