专题01 分式的概念与运算（专项训练）数学新教材苏科版八年级下册

专题01 分式的概念与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的概念与识别（常考重点） 1 题型二、分式有意义的条件（必考重点） 1 题型三、分式值为0的条件（常考重点） 2 题型四、分式的值计算（常考重点） 2 题型五、分式的约分与最简分式（常考） 2 题型六、分式的通分（常考重点） 3 题型七、分式的基本性质（必考重点） 3 题型八、分式的加减乘除运算（必考重点） 3 题型九、分式的化简求值（必考重点） 4 B综合攻坚・能力越升 题型一、分式的概念与识别（常考重点） 1．下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 题型二、分式有意义的条件（必考重点） 4．要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三、分式值为0的条件（常考重点） 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D． 8．分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 9．下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 题型四、分式的值计算（常考重点） 10．已知：，则的值为________． 11．已知，则的值为______． 12．若，则的值为________． 题型五、分式的约分与最简分式（常考） 13．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 14．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 15．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 题型六、分式的通分（常考重点） 16．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 17．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 18．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 题型七、分式的基本性质（必考重点） 19．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 20．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 21．下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 题型八、分式的加减乘除运算（必考重点） 22．计算： (1)； (2)． 23．计算： (1) (2) 24．化简： (1)； (2)． 题型九、分式的化简求值（必考重点） 25．先化简，再求值：，其中． 26．先化简，再求值：，其中满足． 27．先化简，再求值：，其中． 1．在、、、、中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 3．若，则（　　） A．81 B．119 C．11 D．123 4．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 5．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 6．先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 7．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 8．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 9．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 10．先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 分式的概念与运算 目录 A题型建模・专项突破 题型一、分式的概念与识别（常考重点） 1 题型二、分式有意义的条件（必考重点） 2 题型三、分式值为0的条件（常考重点） 3 题型四、分式的值计算（常考重点） 4 题型五、分式的约分与最简分式（常考） 5 题型六、分式的通分（常考重点） 5 题型七、分式的基本性质（必考重点） 8 题型八、分式的加减乘除运算（必考重点） 8 题型九、分式的化简求值（必考重点） 12 B综合攻坚・能力越升 题型一、分式的概念与识别（常考重点） 1．下列各式中：，分式的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据分式的定义，判断每个式子的分母是否含有字母，逐一判断即可得到分式的个数． 【详解】解：∵ 分母是常数，中是常数，是常数，这三个都是整式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； 分母含有字母，是分式； ∴ 分式共有个． 2．在代数式，，，，中，分式的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据分式定义逐一判断每个代数式，注意π是常数，不是字母． 【详解】解：∵的分母a含字母，是分式； 的分母m含字母，是分式； 的分母是常数，不是分式； 中π是常数，分母不含字母，不是分式； 的分母含字母，是分式； ∴ 分式共有3个． 3．下列式子是分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解： 、中分母为，是常数，不含字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是常数，不是字母，是整式，不是分式，不符合题意； 、中分母为，是含有字母的整式，符合分式的定义，是分式，符合题意； 、是整式，不属于分式，不符合题意． 题型二、分式有意义的条件（必考重点） 4．要使分式有意义，则x的取值应满足（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分式有意义的条件求解． 分式有意义时分母不为零，求解即可得到的取值要求． 【详解】解：分式有意义， ． 解得． 5．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴． 6．函数 中，自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据分母不为0列式求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴函数 中，自变量x的取值范围是． 题型三、分式值为0的条件（常考重点） 7．若分式的值为0，则的值为（    ） A．0 B．1 C．4 D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0时，分子为0，同时分母不为0即可求解． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得，满足， ∴的值为4． 8．分式的值为，则的值为 （    ） A． B． C．且 D． 【答案】A 【分析】根据“分式的值为需同时满足分子为、分母不为两个条件”，据此列式求解即可． 【详解】解：∵分式的值为， ∴， 解得：． 9．下列分式中，其值可以为零的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：分式值为0的条件是分子为0，分母不为0， A、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； B、，则，那么分母，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0； C、，则，那么分母，满足分式值为0的条件，故分式值可以为0； D、，故分子不为0，不满足分式值为0的条件，故分式值不可能为0． 题型四、分式的值计算（常考重点） 10．已知：，则的值为________． 【答案】23 【分析】本题利用完全平方公式变形，将已知等式两边平方，即可求出所求代数式的值． 【详解】解：将已知等式两边同时平方，根据完全平方公式得 整理得 移项计算得 ． 11．已知，则的值为______． 【答案】 【分析】根据分式的加减法则将化为求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 12．若，则的值为________． 【答案】 【分析】将原式进行变形，再把代入化简结果即可求出答案． 【详解】解： ； 当时，原式． 题型五、分式的约分与最简分式（常考） 13．下列约分结果正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对分式分子分母因式分解，再找公因式约分验证． 【详解】解：A、的分子分母没有公因式，不能约分，选项约分错误； B、，分母为，可得，，选项约分错误； C、，分母为，可得，，选项约分正确； D、，选项约分错误． 14．下列各分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对各选项分子进行因式分解，判断分子分母是否存在公因式，无公因式的即为最简分式． 【详解】解：选项：分子分母中不含有能约分的式子，是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式； 选项：，不是最简分式． 15．下列约分正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了约分，判断分式变形是否正确等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 依据分式的基本性质，即分子分母同时除以它们的公因式，且分子为多项式时不能随意拆分，逐一分析选项即可． 【详解】解：分子无公因式， 不能直接约去中的， 故A错误； 当时，， 故B错误； 的分子分母公因式为，同时除以得， 故C正确； 的公因式为，约去后得， 故D错误， 故选：C． 题型六、分式的通分（常考重点） 16．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 17．把分式，和通分，下列结论错误的是（   ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的通分，掌握确定最简公分母的方法，通分时分子分母需同乘相应因式，确保变形恒等是解题的关键． 先确定三个分式的最简公分母，再逐一验证每个选项的通分是否正确． 【详解】解：A、最简公分母为， 正确，不符合题意； B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、正确通分应为，但选项D中分子为，错误，符合题意； 故选：D． 18．对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 题型七、分式的基本性质（必考重点） 19．根据分式的基本性质，下列等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的基本性质逐一判断即可． 【详解】解：A、当，时，，，则，故选项不符合题意； B、由分式有意义可得，则，故选项符合题意； C、分式的分子与分母同时减去，分式的值不一定不变，等式不一定成立，故选项不符合题意； D、，故选项不符合题意； 20．下列式子从左到右变形，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分式的分子分母同时乘或除以同一个不为零的整式，分式的值不变，根据性质逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项，∵分子分母不是同时乘或除以同一个整式，∴与不一定相等，本选项不符合题意； B选项，∵，∴本选项不符合题意； C选项，∵变形为时，分子乘分母乘，乘的不是同一个数，∴与不一定相等，本选项不符合题意； D选项，，变形正确，本选项符合题意； 21．下列分式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式的基本性质，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：A．，故变形错误，不符合题意； B．，故变形错误，不符合题意； C．，故变形正确，符合题意； D．，故变形错误，不符合题意． 题型八、分式的加减乘除运算（必考重点） 22．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接根据分式的乘法运算法则进行运算，结果化为最简分式； （2）先计算小括号内的加法，再计算除法，结果化为最简分式． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）原式先通分再合并分子化简后约分； （2）第二题先计算括号内的异分母分式加法，再将除法转化为乘法，约分得到最终结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．化简： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）先根据分式的乘法法则计算，可得：原式，再根据分式的加法法则进行计算； （2）先根据分式的加法法则把括号里面的计算出来，可得：原式，再根据分式的乘法法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型九、分式的化简求值（必考重点） 25．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先根据分式的运算法则，将除法转化为乘法并因式分解，约分后进行减法运算，化简分式，再将代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 26．先化简，再求值：，其中满足． 【答案】， 【分析】先化简，再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 27．先化简，再求值：，其中． 【答案】 ， 【详解】解：原式； 当时，原式． 1．在、、、、中分式的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分母中含有字母的式子称为分式，据此逐一判断即可得到答案． 【详解】解：根据分式的定义可知，在、、、、中，分式有、，共2个． 2．根据下列表格中的部分信息，分式可能是（    ） … 0 1 2 … … 无意义 ★ ★ 0 ★ … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格信息，得到时分式无意义，时分式值为0，结合选项即可判断． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∵分式无意义的条件是分母为0， ∴当时，分式的分母为0，因此分母含有因式，排除选项C和D； 又∵当时，， ∵分式值为0的条件是分子为0且分母不为0， ∴当时，分子为0，分母不为0，因此分子含有因式，符合条件的是． 3．若，则（　　） A．81 B．119 C．11 D．123 【答案】B 【分析】先对已知等式平方求出，再对平方即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴对等式两边平方得 ， 则化简得， ∴， 则 ， ， ∴． 4．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 5．先化简，再求值：，其中． 下面是小宇同学的化简过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：原式第一步 第二步 第三步 第四步 (1)任务一： 以上化简步骤中，第_____步是通过约分得到的，约分的依据是__________； 第_____步开始出现错误，这一步错误的原因是_____； (2)任务二：请直接写出该式子化简后的正确结果，并代入求值． 【答案】(1)三，分式的基本性质；一；添括号时，括号里面的第二项没有变号； (2)，． 【分析】（1）根据分式的运算法则观察化简步骤即可知答案； 观察分式化简的步骤可知答案； （2）将分式进行正确的化简，再将代入化简之后的式子即可． 【详解】（1）解：以上化简步骤中，第三步是通过约分得到的，约分的依据是分式的基本性质， 第一步开始出现错误，这一步错误的原因是添括号时，括号里面的第二项没有变号； （2）解：， ， 当时， ． 6．先化简，再求值：已知，若a、2、4恰好是等腰的三边长，求的值． 【答案】， 【分析】先对括号内通分相加，再将除法化为乘法约分化简，再根据等腰三角形的定义和三角形的三边关系，得出的值，代入计算即可． 【详解】解： ， a、2、4恰好是等腰的三边长， 或， 当时，等腰三角形的三边长为2、2、4，不能构成三角形，不符合题意； 当时，等腰三角形的三边长为2、4、4，能构成三角形，符合题意； ， ． 7．定义：若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式友好分式．如与，因为，所以是的友好分式． (1)分式__________分式的友好分式（填是或不是）； (2)小明在求分式的友好分式时，用了以下方法； 设的友好分式为，则， ． 请你仿照小明的方法求分式的友好分式． (3)①若分式的友好分式的值是正整数，求整数的值． ②若是的友好分式（，为整数），则的值为_____． 【答案】(1)是 (2) (3)①，；②． 【分析】（1）根据友好分式的定义，分别计算两个分式的差与积，比较二者是否相等，完成判断． （2）仿照示例，设分式的友好分式为，根据定义列方程，通过移项、整理求解． （3）①先根据定义求出分式的友好分式，再根据其值为正整数，结合整数的性质求解的取值；②根据友好分式的定义列等式，通分后对比等式两边的系数，建立关于、的方程，求解后计算的值． 【详解】（1）解： ， ， ， 是的友好分式； （2）解：设的友好分式为，根据定义得： ， ， ， ， ， ， ∴分式的友好分式为； （3）解：①设的友好分式为，根据定义得： ， ∴， 是正整数，为整数， 为整数，且， 为的非零因数，且． 当时，，不符合正整数，舍去； 当时，，符合； 当时，，不符合； 当时，，符合． 综上，整数的值为，． ②根据友好分式定义，其中，，得 ， ， ∴ ∴， ∴ 由方程得： ， 或． 当时，代入方程得 ∴， 本方程中，常数项为，首项系数为，因此可能的有理根为，． 代入：， 代入：， 代入：， 代入：， ∴该方程无有理根，故方程无整数解，舍去． 当，即时，代入方程得 ， ∴， ∴ 或（舍去）， 当时，． ， ∴的值为． 8．综合与实践 定义：如果两个分式与的和为常数，则称与互为“和常分式”，常数称为“和常值”．例如：分式，，，则与互为“和常分式”，“和常值”． (1)已知分式，，判断与是否互为“和常分式”？若不是，请说明理由；若是，请求出“和常值”． (2)已知分式，，若与互为“和常分式”，且“和常值”． ①求代数式（用含的式子表示）． ②若分式的值为正整数，求的值． (3)已知分式，（，为整数），若与互为“和常分式”，求“和常值”． 【答案】(1)与互为“和常分式”，“和常值” (2)①；②或 (3) 【分析】（1）计算，观察结果是否为整数即可； （2）①根据，计算出的表达式即可；②对分式D进行化简得，故是的因数，由此得出的可能值； （3）根据分式的加法计算法则表示出，根据与互为“和常分式”，列式后化简整理，然后对比系数列方程求解即可． 【详解】（1）解： 与互为“和常分式”． ∵，， ∴， “和常值”． （2）解：①∵与互为“和常分式”，且“和常值”， ∴． 两边同乘，得， ∴ ． ②． ∵分式的值为正整数， ∴是的因数， ∴或， ∴或． （3）解：∵与互为“和常分式”， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 解得． 9．阅读下列解题过程： 已知，求的值． 解：由知，所以，即， 所以， 故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫做“倒数法”．利用上述方法解答下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）已知等式“取倒数”求出的值即可； （2）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴，即， ∴； （2）解：根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 10．先阅读下列解法，再解答后面的问题． 已知，求、的值． 解法一：将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二：在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． (1)已知，用上面的解法一或解法二求、的值． (2)计算：，并求取何整数时，这个式子的值为正整数． 【答案】(1) (2)当x取时，这个式子的值为正整数． 【分析】（1）仿照示例解答即可； （2）先将括号内的每一项拆分成两项的差的形式，再利用分式的加减法与乘法运算运算法则化简可得，然后根据整数性质求出x符合条件的整数的值即可． 【详解】（1）解：解法一： 将等号右边通分，再去分母，得：， 即：， ，解得：， 解法二： 在已知等式中取，有，整理得； 取，有，整理得． 解，解得． （2）解：， ， ， ， ， ， 要使为正整数，则整数的所有可能取值为，即整数的所有可能取值为， 经检验，当x取时，分式的分母均不为零， 故当x取时，这个式子的值为正整数． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $