精品解析：黑龙江绥化市青冈县哈尔滨师范大学青冈实验中学校2025-2026学年高二下学期4月考试数学试题

哈师大青冈实验中学2025--2026学年度4月份考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ） A. B. C. D. 4. 有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（ ） A. 90 B. 120 C. 270 D. 720 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为1 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，存在零点， C. 时，是的极值点 D. 若有3个零点，则a的范围为 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 13. 在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18．19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 16. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时， ， 求实数 的最大值． （3）当时， 设的极大值为， 求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2025--2026学年度4月份考试 高二数学试题 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 的展开式中的第6项的二项式系数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式的定义，即可得答案. 【详解】由题意可知第6项的二项式系数为． 故选：C 3. 已知函数，则在下列区间上，单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导函数，再解关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间，从而得解. 【详解】因为，所以， 令，即，解得， 所以函数的单调递减区间为，结合选项可知只有D符合题意. 故选：D 4. 有6位身高不同的同学站成前后两排拍照，每排3人，若后排每位同学比他正前面的同学身高高，则不同的站法种数为（ ） A. 90 B. 120 C. 270 D. 720 【答案】A 【解析】 【分析】利用分步计数乘法原理来求解即可. 【详解】先给第1列选2人，从6人中选2人后，仅需把矮的放前排、高的放后排，只有1种符合要求的排法，共种选法， 再给第2列从剩余4人中选2人，同理也只有1种排法，共种选法， 最后剩余2人自动为第3列，仅1种排法，即， 即总站法数为： . 5. 在一个不透明的盒中装有6个大小质地完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，现从盒中一次取出2个小球，设事件为“取出2个小球的数字之和大于6”，事件为“取出的2个小球中最小数字为3”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分别求得事件和事件的概率，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】从装有6个大小质地完全相同的小球的盒中一次取出2个小球，共有种取法， 其中事件， 有9种取法，概率为， 事件，有3种取法，概率为， 所以. 故选：C. 6. 已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用命题的否定，变成恒成立问题，分离参数构造新函数，求解最值即可，最后再求其补集. 【详解】考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间， 则对于，恒成立， 分离参数得在上恒成立，则. 令，求导得， 当，，单调递增， 所以，所以 所以原命题成立的条件为 7. 当前，AI已从一个研究领域变成一类赋能技术．在医药健康领域，AI已应用于靶点发现、药物设计及临床试验等方面，显著提升了科研效率．假设某实验用AI辅助新药分子筛选，事件A是“AI模型筛选出候选分子M”，事件B是“AI模型筛选出候选分子N”．已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，所以. 所以. 由，得. 所以. 8. 定理：如果函数及满足：①图像在闭区间上连续不断；②在开区间内可导；③对，，那么在内至少存在一点，满足成立，该定理称为柯西中值定理．请利用该定理解决下面问题： 已知，若存在正数，（），满足，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足，令，对求导，求出的值域，即可得出答案. 【详解】由可得：， 令，所以 由柯西中值定理可知：那么在内至少有一点，满足成立， 因为，，所以，， 所以令， ，， 令可得：或， 令可得：， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，， 当趋于正无穷时，趋近， 所以，所以实数的取值范围为. 故选：A. 二、选择题（本题共小3题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 二项式系数和为64 B. 所有项的系数之和为1 C. 第三项的二项式系数最大 D. 系数最大值为240 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理的性质逐一判断即可. 【详解】对A，二项式系数和为，正确； 对B，令，，所以所有项的系数之和为1，正确； 对C，二项式系数最大的是第四项，错误； 对D，通项公式为， 所以，，，， ，，,， 所以系数最大值为240，正确. 故选：ABD 10. 为弘扬我国古代的“六艺文化”，某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天，则（ ） A. 课程“御”、“书”、“数”互不相邻的不同排法共有24种 B. 课程“射”必须排在“御”前面的不同排法共有360种 C. 课程“数”不排在第一天，“礼”不排在最后一天的不同排法共有504种 D. 课程“御”和“书”不相邻且课程“数”和“书”不相邻的不同排法共有288种 【答案】BCD 【解析】 【详解】已知某国学班计划开设“礼”、“乐”、“射”、“御”、“书”、“数”六门课程，每天开设一门，连续开设6天， A：课程“御”、“书”、“数”互不相邻， 则可先排“礼、乐、射”，有3！种排法，产生4个空位； 将“御、书、数”插入空位且互不相邻，需从4个空位选3个排列，即． 排法数为，A错误. B：“射”与“御”的相对位置有2种（“射”前或“御”前），且两种情况排法数相等． 总排法数为，B正确． C：用间接法：总排法，减去“数”在第一天的， “礼”在最后一天的，加回重复减去的“数在第一天且礼在最后一天”的． 排法数为，C正确． D：课程“书”在第1天或最后一天，有2种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 课程“书”不在第1天或最后天，有4种排法， 再排“御、数”两门课程，即， 最后排“礼、乐、射”，即， 排法数为：，D正确. 11. 已知函数（a为常数），则下列结论正确的有（ ） A. 时，恒成立 B. 时，存在零点， C. 时，是的极值点 D. 若有3个零点，则a的范围为 【答案】BD 【解析】 【分析】代入特殊值，即可判断A，判断函数的单调性，结合零点存在性定理，即可判断B，利用导数判断导函数的单调性，以及最小值，即可判断C，参变分离得，构造函数，利用导数判断函数的单调性和值的趋向，转化为与的交点个数问题. 【详解】A.，，故A错误； B.，，所以单调递增， ，，所以存在零点，，故B正确； C.，，设，则，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， 所以当时，取得最小值，，即， 所以不是函数的极值点，故C错误； D.令，当时，，当时，得， 设，， 当或时，，单调递增，当时，，单调递减，当时，， 当，，，，且恒成立， 时的最小值为， 所以与有3个交点，则，故D正确. 故选：BD 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 若的展开式中的常数项为1，则_____. 【答案】2 【解析】 【详解】由， 其展开式的通项为，， 而展开式的通项为，， 令，得或或， 因为的展开式中的常数项为1， 所以，则， 又，则. 13. 在如图所示的九宫格中，每个格子用1，2，3，4，5，6中的一个数字填入，要求1用两次，2用三次，其余数字各用一次，且当两个1在同一行或同一列时均不相邻，则不同的填法共有______种. 【答案】20160 【解析】 【详解】从9个格子中选2个放入数字1的填法：， 两个1在同一行或同一列且相邻的填法：， 则从9个格子中选2个放入数字1且两个1在同一行或同一列时均不相邻的填法：， 从剩下7个格子中选3个放入数字2的填法：， 剩下4个格子3，4，5，6，共有种填法， 故满足题意的填法有种. 14. 设实数，对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】将化简为，再构造函数，求导分析单调性可得在区间上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可. 【详解】因为恒成立即， 可得，令，则恒成立. 又，故当时，，故在区间上为增函数. 又恒成立，则在区间上恒成立，即，. 构造，则，令有， 故当时，，为增函数；当时，，为减函数. 故，故，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立： ；； （2）能成立：；. 四，解答题（本题共5个小题，其中15小题13分，16.17小题每题15分，18．19小题每题17分，共77分，解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最大值与最小值． 【答案】（1）单调递增区间为和，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，求出极值点，然后通过导函数的符号，判断函数的单调性求出单调区间． （2）借助（1）求解函数的极值、端点值比较即可． 【小问1详解】 因为． 令，得或， 当变化时，的变化情况如表所示． 2 0 0 单调递增 28 单调递减 单调递增 所以的单调递增区间为和，单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1）知当时，取得极小值． 因为 . 所以． 16. 已知展开式的二项式系数和为512，且 （1）求的值； （2）求的值； （3）求除以6的余数. 【答案】（1）144 （2）19682 （3）1 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到，得到，结合，进而求得的值； （2）令，求得，再令，求得，进而求得的值； （3）化简，进而求得除以的余数. 【小问1详解】 解：由展开式的二项式系数和为512，可得，解得， 又由，可得. 【小问2详解】 解：令，即，可得， 令，即，可得， 所以. 【小问3详解】 解：由，可得， 因为能被整除， 所以除以的余数为. 17. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且． （1）求证：平面； （2）已知为线段中点，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）在三棱柱中，，， ，则. 又四边形是正方形，则，，所以 . 又，平面，因此 平面. 又平面，所以. 在等边中，为中点，则， 又，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理、线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）建立空间直角坐标系，求出平面 的法向量，结合向量法求线面角求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取中点为，中点为，则 ， . 由（1）知， 平面， 平面，则.又，故. 又 ， 平面，则平面. 即两两垂直. 以为坐标原点，，，的方向为轴､轴､ 轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 因为为线段中点，所以. ，，. 设平面 的法向量为， 则，即，故可取. 设直线 与平面 所成角为 ， 则 所以直线 与平面 所成角的正弦值为. 18. 有三个外观相同的箱子，编号分别为1，2，3，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，3号箱装有3个红球，这些球除颜色外完全相同． （1）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，求取到红球的概率； （2）某人先从三个箱子中任取一箱，再从中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大． 【答案】（1） （2）该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大 【解析】 【分析】（1）设相应事件，结合全概率公式运算求解即可； （2）根据（1）中数据，结合条件概率公式以及贝叶斯公式运算求解即可. 【小问1详解】 设事件表示“球取自号箱”（），事件表示“取到红球”， 则，， 可得， 所以取到红球的概率为. 【小问2详解】 由条件概率知：， ， ， 因为，故该球是取自1号箱的概率为，该球取自3号箱的可能性最大． 19. 已知函数 （1）讨论的单调性； （2）当时， ， 求实数 的最大值． （3）当时， 设的极大值为， 求证： 【答案】（1） 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在单调递减. （2）3 （3）证明如下： 由（1）知，当时，的极大值等于； 当时，，单调递增，无极大值； 当时，当时，，当时，， 函数的极大值等于， 令，求导得， 在上，在上，， 因此在上单调递减，在上单调递增，故， 综上可得：. 【解析】 【分析】（1）求出函数及其导数，再分类讨论求出的单调区间. （2）等价变形给定不等式分离参数，构造函数，利用导数探讨其最小值即可. （3）由（1）求出，再分类并结合导数证明不等式. 【小问1详解】 函数定义域为R，， ①当时，令，； ， 函数在上单调递增，在上单调递减； ②当时，令，或；，， 函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，，函数在上单调递增； ④当时，令，或；，； 函数在和上单调递增，在单调递减， 所以当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在单调递减. 【小问2详解】 ，不等式恒成立， 令，求导得， 令，求导得，在上递增， 而，，则使得，即， 当时，，此时；当时，，此时， 在上递减，在上递增， ，， 所以的最大整数值为3． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $