精品解析：黑龙江省绥化市青冈实验中学2024－2025学年高二下学期4月月考数学试题

哈师大青冈实验中学2024-2025学年度4月份月考 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 则， 故选：C. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出，然后可得答案. 【详解】因为，所以， 所以由可得， 所以函数的单调递增区间为， 故选：A 3. 哈尔滨冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长，比2019年增长.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】分析甲、乙、丙各自的选择种数，再根据分布乘法计算原理计算可得. 【详解】依题意甲有种选法，乙有种选法，丙也有种选法， 按照分步乘法计数原理可得一共有种选法. 故选：C 4. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ） A. 54 B. 63 C. 66 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质及前项和公式求解． 【详解】∵，且，∴，， ∴该数列的前9项和为． 故选：A． 5. 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】由图可知，f（3）＝1，曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于，从而可得，然后对函数g(x)求导，进而可求得g′（3）的值 【详解】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于， ∴， ∵， ∴， ∴， 又由题图可知f（3）＝1，所以. 故选：B 【点睛】此题考查导数几何意义的应用，考查导数的运算法则，属于基础题 6. 函数有2个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的定义域及导数，函数有2个极值点，则方程在上有2个不同的实数根，列不等式组即可得答案. 【详解】的定义域为，， 因为有2个极值点，所以方程在上有2个不等的实数根， 所以， 解得. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】令，则问题转化为，又，写出展开式的通项，即可求出的系数. 【详解】令，则， 对于， 即， 又， 其中展开式的通项为（且）， 所以展开式中的项为， 所以. 故选：C 8. 已知函数，，若，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意构造函数，得到，化为，借助导数求函数的单调性，从而确定函数的最小值即可. 【详解】因为，，使得，所以， 即，令，， 则，所以函数在上单调递增，所以，即， 所以，令，，则，令，可得， 所以时，，单调递减，时，，单调递增， 所以函数在处取得极小值即最小值，，所以的最小值为. 故选：C 【点睛】结论点睛：指对同构的常见形式： 积型：，①，构建； ②，构建； 商型：，①，构建； ②，构建； 和型：，①，构建； ②，构建. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在的展开式中，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 所有项的二项式系数和为64 【答案】AC 【解析】 【分析】根据二项式系数的性质即可判断AD；根据项的系数之和为即可判断B；根据二项式展开式的通项公式即可判断C. 【详解】A：所有项的二项式系数为，最大的为和， 对应的是第3项和第4项，故A正确； B：设，所有项的系数为， 所以，故B错误； C：二项式展开式的通项公式为， 令，解得，所以常数项为，故C正确； D：所有项的系数之和为，所以D错误. 故选：AC 10. 现有个编号为，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（    ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有种放法 C. 每个盒子只放一个球，恰有个盒子编号与球的编号相同，不同放法有种 D. 将个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有种 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，按照分步乘法原理可计算；对B，从5个盒子中选出4个盒子的排列；对C，先选定两个盒子的编号与球的编号相同的球，再考虑剩下的两个球不放进自己编号的盒子放法；对D，即考虑哪个盒子为空的放法. 【详解】对于A，每个球都有5种放法，共有种放法，故A错误； 对于B，把球全部放入盒子内，恰有一个盒子不放球，则有4个盒子每个盒子放1个球，有种放法，故B正确； 对于C，每个盒子内只放一个球，恰有2个盒子的编号与球的编号相同，不同的放法有种放法，故C正确； 对于D，将4个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒，即有4个盒子每个盒子放1个球的放法有5种，故D正确. 故选：BCD. 11. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意令，利用导数及题干所给条件求得的单调性，利用函数的对称性，可得，对其进行比较即可判断各选项. 【详解】令，则 ， 因为函数满足， 当时 在上单调递增， 当时在上单调递减， 又由， 所以关于对称，从而， 即，，，故A正确； 由，，，故B错误； 由，即，，故C正确； 由，即，，故D错误； 故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则_________. 【答案】##0.325 【解析】 【分析】根据组合知识可得事件，包含的基本事件数，再利用条件概率公式即得. 【详解】由题可知事件包含的基本事件数为， 事件包含基本事件数为， 所以． 故答案为：. 13. 某县政府为在线助农，组织了该县的5位网红主播直播带货，大力推广该县的农副产品，并安排了3个时间段进行直播，若每个时间段至少有1位网红主播直播带货，且每位网红主播均参加且只参加一个时间段的直播带货，则不同的安排方法有______________种.（用数字作答） 【答案】150 【解析】 【分析】根据已知对五位网红主播分3组，有两种情况，然后分类讨论各自情况种数，采用加法原理即可求解. 【详解】根据题意，五位网红主播在三个时间段进行直播，涉及到部分均匀分堆问题，需先将五位主播分为三组，有两类情况， ①三组人数为1、1、3，此时有种； ②三组人数为2、2、1，此时有种. 所以共有60+90=150种. 故答案为：150 14. 已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是________. 【答案】1 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数求解函数的单调性，进而求解函数的最值，即可求解. 【详解】令，即， 令，， 而， 令，， 则，即函数在上单调递增， 因为，，即， 所以存在唯一的，使得，即，即，， 所以当时，，，函数单调递减； 当时，，，函数单调递增， 所以， 又时，， 所以要使在存在零点，则，所以实数a的最小值为1. 故答案为：1 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目. 问题：已知，且__________（只需填序号）. （1）求的值； （2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）； （2）30. 【解析】 【分析】（1）根据条件列出方程，即得； （2）利用赋值法即得；或根据通项依次求奇次幂项系数即得. 【小问1详解】 选择条件①： 由题得中项为， 中项为， 所以， 即，整理得， 由，解得. 选择条件②： 由， 得， 解得. 选择条件③： 令得， 即， 解得. 【小问2详解】 方法一：由（1）得， 令得， 令得， 两式相减得， 所以， 所以展开式中的奇数次幂项的系数和为. 方法二：由（1）得， 由题得中项为， 中项为，项为，项为， 所以， 所以展开式中的奇数次幂项的系数和为. 16. 已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值． 【答案】（1） （2）在单调递减，在单调递增，极小值为，无极大值 【解析】 【分析】(1)根据在处切线方程求解； （2）由（1）求解判断与的大小，得到单调区间，得到极值. 【小问1详解】 ， 又在处切线方程，所以， 可得， 解得． 【小问2详解】 由（1）可得， ∴， 令，解得；令，解得， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，极小值为，无极大值． 17. 某中学高二年级参加市数学联考，其中甲､乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲､乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲､乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球､个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班. （1）分别求出选取甲班､乙班的概率； （2）求选出的这名同学数学成绩优秀的概率. 【答案】（1）甲、乙两个班的概率分别为和. （2）. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型的概率公式计算可得； （2）根据全概率公式计算可得 【小问1详解】 记事件“选取甲班”，事件“选取乙班” 则， 故选取甲、乙两个班的概率分别为和. 【小问2详解】 由（1）可知“这名同学来自甲班”，“这名同学来自乙班”， “这名同学数学成绩优秀”， 则，且与互斥，根据题意得，，， ，， 由全概率公式得 因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为. 18. 已知数列中，. （1）证明：数列为等比数列； （2）若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用构造法结合等比数列的概念即可证明； （2）利用错位相减法求出，原式等价于，利用作差法比较大小，进而确定的最大值即可求解. 【小问1详解】 由题可得， 又，所以， 所以是以1为首项，2为公比的等比数列； 【小问2详解】 ①由(1)知，则 ， 则， ， 两式相减得，， 所以， ②等价于， ， 因为， 当时，，当时，， 当时，，即， 所以，所以. 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 【答案】（1）0 （2） ①由（1）知：， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 所以， 所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点； ②由①知，有且仅有一个极值点，且， 当时，，， 由①知，， 要证明， 只需证明， 而，那么，， 所以， 令，则， 令，则， 当时， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，所以， 当时，， ， 综上所述，当时，. 【解析】 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性以及零点，即可判断函数的单调性，即可求函数的最小值； （2）①利用导数判断导函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可证明； ②根据①的结果，得，再将不等式转化为，再利用导数，逐层判断函数的单调性，分和，利用最值证明不等式. 【小问1详解】 由，得， 设， 当时，，， 令，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值是； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是利用导数判断函数的单调性，并且需要求多次函数的导数，从而逐层判断函数的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈师大青冈实验中学2024-2025学年度4月份月考 高二数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．） 1. 已知函数，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的单调递增区间为（ ） A. B. C. D. 3. 哈尔滨的冰雪旅游在冬季吸引了大量游客，在2023年度，哈尔滨市共接待总游客量达到1.35亿人次，同比增长，比2019年增长.甲、乙、丙三人从冰雪大世界、太阳岛和中央大街三个旅游景点中任选一个前去游玩，其中甲去过冰雪大世界，所以甲不选冰雪大世界，则不同的选法有（ ） A. 12 B. 16 C. 18 D. 24 4. 等差数列中，已知，则该数列的前9项和为（ ） A. 54 B. 63 C. 66 D. 72 5. 已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′（3）＝（ ） A. －1 B. 0 C. 2 D. 4 6. 函数有2个极值点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则（ ） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8. 已知函数，，若，，使得，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 在的展开式中，则（ ） A. 二项式系数最大的项为第3项和第4项 B. 所有项的系数和为0 C. 常数项为 D. 所有项的二项式系数和为64 10. 现有个编号为，，，的不同的球和个编号为，，，，的不同的盒子，把球全部放入盒子内，则下列说法正确的是（    ） A. 共有种不同的放法 B. 恰有一个盒子不放球，共有种放法 C. 每个盒子只放一个球，恰有个盒子编号与球的编号相同，不同放法有种 D. 将个不同的球换成相同的球，恰有一个空盒的放法有种 11. 已知函数在上可导，其导函数为，若满足：，，则下列判断不正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2个数，事件为“第一次取到的是奇数”，事件B为“第二次取到的是3的整数倍”，则_________. 13. 某县政府为在线助农，组织了该县的5位网红主播直播带货，大力推广该县的农副产品，并安排了3个时间段进行直播，若每个时间段至少有1位网红主播直播带货，且每位网红主播均参加且只参加一个时间段的直播带货，则不同的安排方法有______________种.（用数字作答） 14. 已知函数，若在存在零点，则实数的最小值是________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答补充完整的题目. 问题：已知，且__________（只需填序号）. （1）求的值； （2）求展开式中的奇数次幂项的系数之和. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 16. 已知函数在处的切线方程． （1）求，的值； （2）求的单调区间与极值． 17. 某中学高二年级参加市数学联考，其中甲､乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲､乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学.选取甲､乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球､个黑球，从中摸出1个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班. （1）分别求出选取甲班､乙班的概率； （2）求选出的这名同学数学成绩优秀的概率. 18. 已知数列中，. （1）证明：数列为等比数列； （2）若，设的前项和为. ①求； ②若都有不等式成立，求的取值范围. 19. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $