精品解析：河南濮阳市第一高级中学2025-2026学年高二下学期第二次质量检测数学试题

濮阳市一高高二年级（2024级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】 由，得，得， 故． 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为双曲线的方程为， 所以，，即，， 所以其渐近线方程为. 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】当时可推得，当时，可推得或，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解. 【详解】当时，直线，直线，此时，即可以推出， 当时，由，得到或， 又时，，，显然有，所以推不出， 所以“”是“”的充分不必要条件， 故选：A. 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，所以A不正确； 对于B，因为，所以B不正确； 对于C，因为，所以C不正确； 对于D，因为，所以D正确． 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 54 【答案】B 【解析】 【分析】设等比数列的公比为，由化简得，再根据等比数列通项公式计算求解. 【详解】设等比数列的公比为， 则， 即，因，， 则可得，又， 所以． 6. 已知m，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由组合数、阶乘的计算公式逐个判断即可. 【详解】，， ，A错误； ，B正确； ， ，C正确， 由，可得，即，又，解得：，D正确； 故选：A 7. 函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出导函数，再根据存在单调递增区间得出，使得，进而应用参数分离即可计算求解. 【详解】因为，所以， 因为函数在上存在单调递增区间， 所以，使得，所以， ，设，故需小于函数在上的上界， 因为，所以， 则，所以． 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用定义法证明为奇函数，根据导数和基本不等式的应用证明在上单调递增，由函数的奇偶性和单调性解不等式并分离参数可得，结合导数求出即可. 【详解】因为，，所以为奇函数. 又， 当且仅当即时等号成立，所以在上单调递增. 由，所以，所以. 对任意，由，得，所以只需即可. 令，则， 令， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ） A. 的面积最大值为8 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出、、，根据椭圆的性质判断A、B、C，根据椭圆的定义及基本不等式判断D. 【详解】由，所以，，，令，， 对于A：点在上、下顶点时，的面积最大，最大值为，故A错误； 对于B：的周长为，故B正确； 对于C：的最小值为，故C错误； 对于D：，即，当且仅当时等号成立，故D正确. 故选：BD. 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 B. 若，则a，b，c成等比数列 C. 等差数列中，若，， D. 若等比数列的前n项和，则 【答案】AC 【解析】 【分析】根据等比、等差数列的概念可对AB进行判断；根据等差数列的通项公式和前项和公式计算可判断C；根据与的关系可以求出数列的通项公式，从而判断D. 【详解】对于A，数列为等差数列，设等差数列的公差为，则， ，且首项， ∴数列是为首项，为公比的等比数列，故A正确； 对于B，当时，满足，但，，不成等比数列，故B错误； 对于C，数列为等差数列，∴设等差数列的公差为， 又，，即， ， ，，， ， ， ， ，故C正确； 对于D，， ∴当时，； 当时，， ∵数列为等比数列， ，即，解得，故D错误. 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心，结合求导得出函数单调性及极值计算判断各个选项即可. 【详解】对于A，由可得，， 因为是该函数的对称中心，依题意得，，解得，故A错误； 对于B，由A易得，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递增，在上单调递减. 故函数在时取得极小值为，故B正确； 对于C，由，可解得或.作出函数的图象如图1， 由图知，当函数在区间上存在最小值时，可得，故C正确； 对于D，设切点为，由B项知，切线斜率为， 则切线方程为，即， 因切线经过点，则， 整理得，依题意，这个关于的方程有3个不等实根. 设，则， 由可得，由可得或， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 故函数在时取得极小值，在时取得极大值. 作出函数的图象如图2，由图知，当且仅当时，直线与函数有3个交点， 即当时过点可以作三条直线与的图象相切，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 4位学生被分配到、、三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去地，则共有_____种不同分配方式（用数字作答）． 【答案】 【解析】 【分析】分地安排一人与安排两人两种情况讨论即可求解. 【详解】若地只有学生甲，则把其余3人分成两个组，安排到、两点有种， 若地有两名学生，则有种安排方法， 故共有种安排方法. 故答案为：. 13. 已知数列满足，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的递推公式可得数列是周期为3的周期数列，根据数列的周期性即可得解． 【详解】 ， 则是周期为3的周期数列， 又， . 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】借助导数计算可得，则可得在上有解，参变分离可得在上有解，构造函数，利用导数求出该函数在上的最小值即可得解. 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 16. 已知等差数列的公差不为零，，且是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使成立的最小整数． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据已知条件建立关于首项和公差的方程即可求出； （2）利用裂项相消法求出，即可求解. 【详解】解：（1）因为，则， 因为是与的等比中项，所以，即， 则可解得，或（舍去），则， 所以； （2）因为，则， 所以， 由得：，即， 所以成立的最小整数是． 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 取的中点，连接， 由中位线可得：， 又，由， 所以， 所以， 即四边形为平行四边形， 所以， 又不在平面内，在平面内， 所以平面； （2）. 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，通过为平行四边形，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，都在平面内， 又， 所以可得：两两垂直，如图建系： 则， ， 设平面的法向量为， 则， 设，可得， 所以， 设直线BC与平面所成角为， ， 即直线BC与平面所成角的正弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）过定点坐标为或. 【解析】 【分析】（1）由抛物线的定义可得； （2）（i）根据已知得出直线的方程，与抛物线联立，求面积； （ii）设，联立方程根据韦达定理得出，的关系，进而表示出的方程，求出的坐标，得出圆的方程，进而可得出定点坐标. 【小问1详解】 由已知可得，抛物线的焦点坐标为， 根据抛物线的定义，得，解得， 所以抛物线的标准方程为. 【小问2详解】 （i）由题意，直线的方程为：， 联立方程组，得， 设，，则，， . （ii）以为直径的圆过定点，定点坐标为或， 依题意可设直线， 联立，消得，恒成立， 则，， 又，， 令，则，即，同理可得， 设圆上任意一点为，因为为直径，所以， 所以，即， 整理可得，， 令，可得或， 所以以为直径的圆过定点，定点坐标为或. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 【答案】（1） （2） 当时，无零点；当时，个零点；当时， 个零点. （3） 令，， 则， 由可知，令，. 因为，在上单调递增，则在上单调递增， 且，， 可知在上存在唯一零点，， 当，则，即；当，则，即， 可知在上单调递减，在上单调递增， 则， 又因为，则，，， 可得，即，所以. 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）将函数零点问题转化为直线与函数的交点问题，通过导数研究的单调性与极值，分类讨论的取值，确定的零点个数； （3）令，则，构造函数，结合零点存在性定理可得在上存在唯一零点，则可得单调性，即可得其最小值，即可得证. 【小问1详解】 ，则， 又，所以在处的切线方程为. 【小问2详解】 讨论函数 的零点个数，即方程的解. 当时，等价于：，令， 问题转化为直线与的交点个数. ，得，当时，，单调递减； 当 时，，单调递增；是极小值点，. 时，时， . 结合的取值讨论零点个数： 当时，与无交点， 当时，与有1个交点， 当 时，与有2个交点， 综上：当时，无零点；当时，个零点；当时， 个零点. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 濮阳市一高高二年级（2024级）下学期第二次质量检测 数学试题 命题人：濮阳市一高数学命题中心 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知等差数列的公差为，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 4. 下列求导正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 记为等比数列的前项和，若，则（ ） A. 8 B. 16 C. 32 D. 54 6. 已知m，且，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 若，则 7. 函数在上存在单调递增区间，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆：的两个焦点分别为，，是椭圆上任意一点，则（ ） A. 的面积最大值为8 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若数列为等差数列，则数列为等比数列 B. 若，则a，b，c成等比数列 C. 等差数列中，若，， D. 若等比数列的前n项和，则 11. 设是的导函数，是函数的导函数．若方程有实数解，且在的左､右附近，异号，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数的对称中心为，则下列说法中正确的是（ ） A. B. 的极小值为-4 C. 若函数在区间上存在最小值，则的取值范围为 D. 若过点可以作三条直线与的图象相切，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 4位学生被分配到、、三地学习，每地至少分配一名学生，每名学生只能去一个地点学习，其中学生甲必须去地，则共有_____种不同分配方式（用数字作答）． 13. 已知数列满足，若，则___________． 14. 已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 16. 已知等差数列的公差不为零，，且是与的等比中项． （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求使成立的最小整数． 17. 如图，在三棱柱中，为线段的中点，侧棱上点满足． （1）证明：平面； （2）若，平面ABC，，，求直线与平面所成角的正弦值． 18. 在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为. （1）求抛物线的标准方程； （2）过焦点的直线与抛物线交于、两点， （i）当直线的倾斜角为时，求的面积； （ii）直线分别与直线，交于点，，以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，请说明理由. 19. 已知函数 （1）求在处的切线方程； （2）讨论在上的零点个数； （3）证明： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $