河南省濮阳外国语学校2024-2025学年高二下学期第一次质量检测数学试题

· 濮阳外国语学校2023级高二下学期第一次质量检测 · 数学试题答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B C B D C D A C BCD AB ABC 1．B【详解】由的圆心为， A错；由的圆心为，显然点在圆上，B对；由的圆心为，C错；由的圆心为，D错；故选：B 2．C【详解】由，可得：，所以， 又，故选：C 3．B【详解】因为，则， 所以，故选：B. 4．D【详解】在等比数列中，， 所以，所以，又，设公比为q，则，所以．故选：D 5．C【详解】是上靠近的三等分点，是的中点，故 .故选：C 6．D【详解】由题得，因为函数在处取得极小值， 所以或，当时，，， 所以当时，，当时，，所以函数在处取得极小值，符合题意，所以函数在处取得极大值为； 当时，，，所以当时，，当时，，所以函数在处取得极大值，不符合题意； 综上，的极大值为4.故选：D 7．A【详解】令，得令，得，所以，故A正确；令，得，故B不正确； 令，得，故C不正确；令，得，所以， 所以D不正确.故选：A 8．C【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增，因为函数是定义域为的奇函数，所以，所以， 所以是定义域为的偶函数，所以在上单调递减，又因为，所以，所以，所以当时，，则；当时，，则；当时，，则；当时，，则. 则不等式的解集为.故选：C. 9．BCD【详解】A，如果甲乙不相邻，则不同排法共有种，故A错误； B，如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有种，故B正确； C，如果甲乙丙按从左到右的顺序可以不相邻，则不同排法共有种，故C正确； D，如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有种，故D正确．故选：BCD 10．AB【详解】对于A，小王、小李共有种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案，共有种不同的选择方案，故A正确； 对于B，每名学生都有3种选择方案，根据分步乘法计数原理，知共有种不同的选择方案，小王、小李都有2种选择方案，剩下的3名学生均有3种选择方案，故B正确； 对于C，只有1名学生去甲公司实习，有种选择方案，乙、丙两公司均有2名学生实习，有种选择方案，故共有种不同的选择方案，故 C错误；对于D，根据分步乘法计数原理，知共有种不同的选择方案，故D错误.故选：AB 11．ABC【详解】对于A，由抛物线的性质，可得四叶草关于原点对称，关于，轴，轴对称，可知与的交点到原点的距离是四叶图上的点到点的距离最大的点，解方程组可求得，所以，所以四叶图上的点到点的距离的最大值为， 故A正确；对于B，若，则抛物线，若抛物线绕其顶点逆时针旋转，可得抛物线方程为，即，开口向上，故B正确； 对于C，抛物线，求导得，则抛物线在点处的切线斜率为， 抛物线在点处的切线方程为，即， 该切线交轴于点，因此在第一象限的半个草叶的面积必小于， 所以四叶图的面积小于，故C正确. 对于D，设直线与抛物线相切于点， 由，消去得，由，得，切点，设直线与抛物线相切于点，由，消去得，由，得，切点， 直线的斜率为，即直线与直线平行或重合，所以直线被第一象限封闭图形截的弦长最大值为，故D错误.故选：ABC 12．【详解】因为，所以切点坐标为，又，则切线的斜率，由直线的点斜式方程可得，即， 所以切线方程为.故答案为： 13．【详解】因，故其展开式中的系数为，解得.故答案为：. 14．48【详解】按照分步计数原理，第一步：涂区域1，有4种方法；第二步：涂区域2，有3种方法；第三步：涂区域3，分两类：（1）区域3与1同色，则区域4有2种方法；（2）区域3与1不同色，则区域3有2种方法，区域4有1种方法；所以不同的涂色种数有种．故答案为：48 15． 【详解】（1）因为直线与圆相切，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 所以圆心到直线的距离等于半径，即，┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 解得：， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 所以直线的方程： ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 （2）设圆心到直线的距离为， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 则， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 所以， 所以，解得：， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 所以直线的方程： ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 16．【详解】（1）设等差数列是公差为，且，且，┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 ∴，， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 又成等比数列，则┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 ∴，即， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 即，解得或（舍）， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 ∴. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）由（1）得，则，又，则， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄8分 又， 所以①， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 ②， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 ②得：， ┄┄┄┄14分 所以. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄15分 17．【详解】（1）取的中点为，连接. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 因为，，则， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 而，故. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 在正方形中，因为，故，故， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 因为，故，故为直角三角形且， ┄┄┄┄┄5分 因为，故平面， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄6分 因为平面，故平面平面. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 （2）在平面内，过作，交于，则， 结合（1）中的平面，故可建如图所示的空间坐标系. ┄┄┄┄┄┄┄┄8分 则，故. ┄┄┄┄┄┄┄┄9分 设平面的法向量， 则即，取，则， 故. ┄┄┄┄12分 而平面的法向量为，故. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄14分 由图可知，二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. ┄┄┄┄┄┄┄┄15分 18．【详解】（1）设椭圆的半焦距为c，因为长半轴、短半轴、半焦距成等差数列，所以， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1分 又，所以，则， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄2分 两边同时除以，得，解得（舍去）. 所以“等差椭圆”的离心率为. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 （2）（ⅰ）解：若是“等差椭圆”，且， 则由，得，则，，解得 故，. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄5分 易知与和都相切的直线斜率存在且不为0，设方程为：. 联立消去y得， 则，得；①┄┄┄┄┄┄┄7分 联立消去得， 则，得，② ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 联立①②，解得或 故和都相切的直线方程为或.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄11分 （ⅱ）证明：设l与相交于，， 线段CD的中点，则，， 两式相减，得， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 所以，即， 由已知，，所以， 即，则 ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄13分 联立得，又，则， 故，┄┄┄15分 所以中点的坐标为，可得， 所以，为N定值. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄17分 19．【详解】（1）当时，，求导得， ┄┄┄┄1分 当时，；当时，， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄3分 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄4分 （2）函数的定义域为，求导得 ┄┄┄┄┄┄┄6分 当时，，函数在上单调递增； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄7分 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增； ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄9分 所以当时，函数的单调递增区间是；当时，函数的单调递减区间是，单调递增区间是.┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄10分 （3）不等式， ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄12分 依题意，，恒成立，令， ┄┄┄┄┄┄┄13分 求导得，当时，；当时，， ┄┄┄┄┄┄15分 函数在上单调递增，在上单调递减，，则， ┄┄┄16分 所以实数的最小整数值是. ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄17分 答案第8页，共9页 答案第9页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023级高二下学期第一次质量检测试双向细目表 整体难度：一般 考试范围： 空间向量与立体几何、直线和圆的方程、圆锥曲线的方程、数列、导数、计数原理。 细目表分析 题号 难度 详细知识点 分值 出处 1 易 圆的方程 5 学科网 2 易 等差数列 5 学科网 3 易 导数的概念 5 学科网 4 易 等比数列 5 学科网 5 易 空间向量基本定理 5 学科网 6 一般 函数的极值 5 学科网 7 一般 二项式系数 5 学科网 8 困难 构造函数导数的单调性 5 学科网 9 一般 排列、组合 6 学科网 10 一般 计数原理 6 学科网 11 困难 圆锥曲线有关概念问题 6 学科网 12 易 导数的几何意义 5 学科网 13 易 二项式定理 5 学科网 14 一般 染色问题 5 学科网 15 易 直线与圆的位置关系 13 学科网 16 易 数列的通项公式、求和 15 学科网 17 一般 空间向量的综合应用 15 学科网 18 一般 圆锥曲线综合应用 17 学科网 19 困难 导数的综合应用 17 学科网 学科网（北京）股份有限公司 $$濮阳外国语学校2023级高二下学期第一次质量检测 数学试题 命题人：濮阳外国语学校数学命题中心 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的。 1.圆心为(4,0)且过点(0，-3)的圆的标准方程为() A.x2+(y+4)2=25 B.(x-4)2+y2=25 C.(x+42+y2=25 D.x2+(y-42=25 2. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a。+a,=6-4,则S,=() “ A.20 B.12 C.22 D.16 断鱼子 3.若li f2+2△)-f2=6,则f2)=() △x 时 A.6 B.3 C.-3115-D.12A=,( 4. 在等比数列{a,}中，a4=-l,44+20,%+a4=12,则a+a,5（、） A.25 B.2W5 C.-12 D.-2W5 5.如图，在三棱锥O-ABC中，已知E是BC上靠近C的三等分点，F是 AE的中点，则OF=() A. oi+号0丽+oc .oi-o丽+oc 拟 C. oa+go丽+5oc D. oa-go丽+oc 6. 已知函数f(x)=3(2-m)x-mx在x=1处取得极小值，则f(x)的极大值为（) A.2 B.-2 C.-4 D.4 ,过数时任 7. 己知(2x-1)205=a+ax+a2x2+…+a2o3x205，则（) A.a1+a3+a5+…+a2025= 1+32025 B.a=1 2 数学试卷第1页，共4页 C③扫描全能王 3亿人整在用的扫mAp的 c.+++2++器= 代D.4+a,++am=1本2 8.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，∫(x)是f(x)的导函数，∫()=0，当x<0时， '(x)+3f(x)>0,则不等式(x)<0的解集为() A.（-l,0U(0,1)B.（-o,-)L,+o)C.(-l,0)U(1,+o D.(-,-1)u(0,) 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 留 9.甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是() (,小2 A.如果甲乙不相邻，则不同排法共有36种 ,49码) B.如果甲，乙必须相邻，则不同的排法有48种 C.如果甲乙丙按从左到右的顺序（可以不相邻），则不同排法共有20种 1经5 D.如果甲，乙都不排两端，则不同的排法共有36种 10.现有包括小王、小李在内的5名大四学生准备实习，每名学生从甲、乙、丙3家公司中任选 一家公司，则下列结论正确的是() A.若小王、小李去不同的公司实习，则共有162种不同的选择方案 B.共有243种不同的选择方案 C.若只有1名学生去甲公司实习，乙、丙两公司均有2名学生实习，则共有36种不同的 选择方案 D.若小王、小李都不去甲公司实习，则共有110种不同的选择方案 11.如图，阴影部分（含边界）所示的四叶图是由抛物线 C:y2=2x(p>0)绕其顶点分别逆时针旋转90,180°，270°后所得 的三条曲线及C围成的，若p=2,则() A.四叶图上的点到点O的距离的最大值为4√2 X B.开口向上的抛物线的方程为y=女 C.四叶图的面积小于32 D.动直线x+y=1被第一象限的叶子所截得的弦长的最大值为2 数学试卷第2页，共4页 C③扫描全能王 3亿人都在用的行量Ap的 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.函数f(x)=x-2nx在点（自，∫(）)处的切线方程为一， 13.若(2x-m)(x-)的展开式中x的系数为40，则实数m= A 14.如图，用4种不同的颜色对图中4个区域涂色，要求每个区域涂1种 B D 颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则不同的涂色方法有一种。 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步豫。 15.(本小题满分13分)己知圆C:x2+y2=4,直线：y=a-4. (1)当直线1与圆C相切时，求直线1的方程： (2)直线1与圆C交于A、B两点，弦长|4=2W5求直线1的方程 16.(本小题满分15分)已知数列{a,}是公差不为零的等差数列，4=1，且4,4,4，成等 比数列 (1)求{an}的通项公式： (2)设b,=na,求数列{b}的前n项和Sn. 17.(本小题满分15分)在四棱锥Q-ABCD中，底面ABCD是正方 形，若AD=2,QD=0A=V5,0C=3. (I)证明：平面OAD⊥平面ABCD: (2)求二面角B-QD-A的余弦值. 数学试卷第3页，共4页 C③扫描全能王 3亿人都在用的行量A的 18。如图所示，由椭圆G荐+片=1(a>b>0)和抛物线C:y=2px(p>0)组合成曲线 厂，若C与C,存在共同焦点，由图形特点，它们的形状像收回四条腿的七星瓢虫，这里称曲 线「为“七星瓢虫曲线”特别地，若椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距成等差数列，则称其 为“等差椭圆” (1)求“等差椭圆”的离心率； (2)在“七星瓢虫曲线”T中，若C是“等差椭圆”，且a=5. ()求与C和C,都相切的直线的方程： (i)直线：y=:+m(am=2),且1与C相交所得弦的中点为M,与C,相交所得弦的中点 为N,证明：直线OM,ON(O为原点)的斜率之积KoN kaN为定值. 19.(本小题满分17分)己知函数f)=hx+日（a为常数). (1)求证：当a=1时，f(x)≥1： (2)讨论函数f(x)的单调性： (3)不等式f>1在xe[5,3]上恒成立，求实数a的最小整数值。 数学试卷第4页，共4页 C③扫描全能王 3亿人爸在用的扫量Ap的