精品解析：江苏无锡市东林集团2025-2026学年七年级下学期4月期中学业质量测试数学试卷

2026年春学期期中学业质量测试七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的计算结果是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 1 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A. B. C. D. 5. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 6. 一个长方体的长、宽、高分别是3x-4,2x和x,它的体积等于( ) A. 3x3-4x2 B. x2 C. 6x3-8x2 D. 6x2-8x 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 8. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 计算：______． 12. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______． 13. 若，，则的值为______． 14. 若是完全平方式，则______． 15. 已知方程2x3y5，用含x的代数式表示y，则y=_______． 16. 计算：______． 17. 若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______． 18. 若满足，，，，则的值为______． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 解下列方程组： （1） （2） 22. 计算： （1）已知，求． （2）已知，求． 23. 对于任意数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如． （1）求的值； （2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求的值． 24. 已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 25. 我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）补充完整的展开式：______； （2）的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； （3）利用上面的规律计算：． （4）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 26. 把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． （1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式，这个等式是______． （2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，已知，求阴影部分的面积； （3）如图4，将图3的左上角两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动个单位，补全后得到一个长方形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期期中学业质量测试七年级数学 考试时间：100分钟 满分分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是正确的） 1. 的计算结果是（ ） A. B. 0 C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据非零数的零次幂等于求解． 【详解】解：． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查合并同类项法则和幂的运算性质，依次根据对应法则计算每个选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：合并同类项时，系数相加，字母及指数不变，，故A选项错误； B选项：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，故B选项正确； C选项：同底数幂相除，底数不变，指数相减，，故C选项错误； D选项：幂的乘方，底数不变，指数相乘，，故D选项错误. 3. 方程的解是，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将代入，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 4. 下列各式中，能用完全平方公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据完全平方公式的结构特征，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】A．，用平方差公式计算，不符合题意； B．，用平方差公式计算，不符合题意； C．，可以用完全平方公式计算，符合题意； D．，用平方差公式计算，不符合题意； 5. 对于二元一次方程组，将①式代入②式，消去可以得到（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将①中的表达式代入②式，去括号整理即可得到结果． 【详解】解：，将其代入②式， 得， 去括号得． 6. 一个长方体的长、宽、高分别是3x-4,2x和x,它的体积等于( ) A. 3x3-4x2 B. x2 C. 6x3-8x2 D. 6x2-8x 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：先根据长方体的体积公式列式，再根据单项式乘多项式法则化简即可． 由题意得，它的体积等于， 故选C. 考点：本题考查的是单项式乘多项式 点评：解答本题的关键是熟练掌握单项式乘多项式法则：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 7. 若，则的值为（ ） A. B. C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 8. 《九章算术》中记载了一个问题，大意为：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元．若设共有x人，该物品售价为y元，则根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等量关系：人数物品价值；人数物品价值，列出方程组即可找出两个等量关系，再据此列出方程． 【详解】∵设共有人，该物品售价为元，每人出8元时，总出的钱比物品售价多3元，即总出的钱减去多出来的3元等于物品售价， ∴， 又∵每人出7元时，总出的钱比物品售价少4元，即总出的钱加上少的4元等于物品售价， ∴， 因此可得方程组． 9. 如图，阴影部分是边长为a的大正方形中剪去一个边长为b的小正方形后所得到的图形，将阴影部分通过割、拼形成新的图形，给出下列3种割拼方法，其中能够验证平方差公式的是（　　） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．本题主要利用面积公式证明平方差公式；分别在两个图形中表示出阴影部分的面积，继而可得出验证公式． 【详解】解：在图①中，左边的图形阴影部分的面积 ，右边图形中阴影部分的面积，故可得，可以验证平方差公式； 在图②中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式； 在图③中，阴影部分的面积相等，左边阴影部分的面积，右边阴影部分面积，可得，可以验证平方差公式． 故选D． 10. 已知关于x，y的方程组有下列几种说法：①一定有唯一解；②可能有无数多解；③当时方程组无解；④若方程组的一个解中y的值为0，则．其中正确的说法有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组．方程组整理得，针对四种说法逐一分析即可判断． 【详解】解：， 由②得， 把代入①得， 整理得， 当时，方程组无解； 当时，方程组有唯一解； 如果，则，解得， 观察四种说法，①②错误，③④正确， 故选：C． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，不需写出解答过程，只需把答案直接填写在答题卷上相应的位置） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方运算法则运算即可求解． 【详解】解：． 12. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×10-9． 故答案为：． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 13. 若，，则的值为______． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查同底数幂除法逆应用，根据求解即可得到答案； 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 14. 若是完全平方式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴＝（x±3）2， ∴ ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式．解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征：两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号． 15. 已知方程2x3y5，用含x的代数式表示y，则y=_______． 【答案】 【解析】 【分析】先把2x移到等式的右边，再把y的系数化为1即可． 【详解】解：移项得，-3y=5-2x， 系数化为1得． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是解二元一次方程，把2x从等式的左边移到右边时要注意符号的改变． 16. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】首先逆用同底数幂的乘法法则把转化成，再逆用积的乘方法则把转化成，再根据乘方的法则进行计算． 【详解】解： . 17. 若方程组的解为，则被遮盖的表示的数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，先将方程组的解代入第二个方程求出y，从而可得方程组的解，再将方程组的解代入第一个方程计算即可得． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， 故答案为：0． 18. 若满足，，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是整体代换的思想． 由得到，，代入中得，同理由得到，，代入中得，再联立方程组求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．① ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴．② 得． 三、解答题（本大题共8小题，共66分，请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）进行负整数指数幂和乘方运算，再进行加减运算即可； （2）进行同底数幂的乘法，幂的乘方和同底数幂的除法运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；16 【解析】 【分析】本题主要考查了整式化简求值，先根据完全平方公式和平方差公式进行化简，然后再代入数据进行计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得： 原式． 21. 解下列方程组： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【小问1详解】 解： ①②得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 【小问2详解】 解： ②①得， 解得： 将代入①得， 解得： ∴方程组的解为： 22. 计算： （1）已知，求． （2）已知，求． 【答案】（1）27 （2） 【解析】 【分析】（1）根据幂的乘方的运算法则即可求解； （2）由，可得，再将转化为即可求解． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴． 23. 对于任意数a、b，定义关于“”的一种运算：，例如． （1）求的值； （2）若x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，求的值． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】（1）依据关于“⊗”的一种运算：a⊗b=2a+b，即可得到的值； （2）依据x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1，可得方程组，由方程组即可得到x+y的值． 【小问1详解】 解：∵a⊗b=2a+b， ∴； 【小问2详解】 解：∵x⊗（-y）=2，且2y⊗x=-1， ∴， 两式相加，可得3x+3y=1， ∴x+y=． 【点睛】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用，根据题意列出方程组是解题的关键． 24. 已知用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨；用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨，某物流公司现有吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题： （1）一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ （2）请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． 【答案】（1）辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨 （2）方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和二元一次方程的实际应用，熟练掌握二元一次方程组的实际应用是解题的关键． （1）根据“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”“用辆型车和辆型车装满货物一次可运货吨”，分别得出等式方程，组成方程组求出即可； （2）由题意理解出：，解此二元一次方程，求出其整数解，得到三种租车方案． 【小问1详解】 解：设每辆型车、型车都装满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意列方程组得： ， 解得：． 答：辆型车装满货物一次可运吨，辆型车装满货物一次可运吨． 【小问2详解】 解：结合题意和（1）得：， ∴， ∵、都是正整数， ∴或或． 答：有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆． 25. 我国古代数学的许多创新与发展都居世界前列，其中杨辉三角就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算法》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．我们称这个三角形为“杨辉三角”，此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律． （1）补充完整的展开式：______； （2）的展开式中共有______项，所有项系数的和为______； （3）利用上面的规律计算：． （4）此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期三，再过天还是星期三，那么再过天是星期______． 【答案】（1），验证见解析 （2）， （3） （4）四 【解析】 【分析】（1）根据题目所给式子可写出的展开式，然后改写成，计算即可验证； （2）由“杨辉三角”归纳的项数与所有项的系数和的规律即可； （3）根据“杨辉三角”的规律解答即可； （4）根据规律得出，可得除以的余数为，即可得答案． 【小问1详解】 解：由题意得，，验证如下： ． 【小问2详解】 解：的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， 的展开式有项，所有系数的和为， …… ∴的展开式有项，所有系数的和为， ∴的展开式有项，所有系数的和为． 【小问3详解】 解：由“杨辉三角”的规律得，． 【小问4详解】 解：由“杨辉三角”的规律得（、…是常数）， ∵能被整除， ∴除以的余数为， ∴再过天是星期四． 26. 把图1的长方形看成一个基本图形，用若干相同的基本图形进行拼图（重合处无缝隙）． （1）如图2，将四个基本图形进行拼图，得到正方形和正方形，用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积（用含a，b的代数式表示），并写出一个等式，这个等式是______． （2）如图3，将四个基本图形进行拼图，得到四边形，已知，求阴影部分的面积； （3）如图4，将图3的左上角两个基本图形作为整体图形向左运动x个单位，再向上运动个单位，补全后得到一个长方形，若，把图中阴影部分分割成两部分，这两部分的面积分别记为，，若，求证：m与x无关． 【答案】（1） （2）4 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）用两种不同表示方法表示阴影部分面积即可； （2）根据，求出结论即可； （3）对阴影部分进行切割，则，进而求出面积即可． 【小问1详解】 解：∵阴影部分的面积或， ； 【小问2详解】 解：， ； 【小问3详解】 证明：如下图，对阴影部分进行分割：延长交长方形的边于点F，作于点E，延长交长方形的边于点H，延长交于点N， 则， ， 所以m与x无关． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $