精品解析：2026年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模考试卷

九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】需根据倒数的概念计算出的倒数即可得到答案． 【详解】解：∵乘积为的两个数互为倒数， 又 ， 的倒数是． 2. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； C.是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项不符合题意； D.不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，将数据22150000用科学记数法表示为， 故选：B． 4. 如图所示，反映的是九（1）班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图和扇形统计图的一部分，若该校九年级外出的学生共有500人，那么估计九年级外出骑车的人约有（ ） A. 100人 B. 120人 C. 130人 D. 150人 【答案】D 【解析】 【分析】用乘以骑车的人所占的比例即可得出结果． 【详解】解：（人）， 故九年级外出骑车的人约有人． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据整式的加减乘除运算法则逐个判断即可． 【详解】解：选项A：，故选项A错误； 选项B：，故选项B错误； 选项C：，故选项C正确； 选项D：，故选项D错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的加减乘除运算法则，属于基础题，熟练掌握运算法则即可求解． 6. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：，如图： 则点的坐标是． 7. 如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据题意，得，，根据圆的性质，得． 【详解】解：连接， 由线段与相切于点， 得， 故， ， ， ， ， ． 8. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、交，于、，已知为的中点，下列结论正确的有（ ） ①；②连接为的中点，则；③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】①用正方形的性质及全等三角形的判定定理证明即可得证．②证明，，证明分别为的中位线，利用三角形中位线定理及等腰直角三角形的判定定理即可解答．③设正方形边长为2，延长交的延长线于点，先证明，得到，设，则，利用求出，即可解答． 【详解】解：①在正方形中，， 在和中， ， ， ，故①正确． ②∵， ∴， ， ， ， 由①知， ∴， 在和中， ， ， ， 又 ∵为的中点，， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴分别为的中位线， ， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③设正方形边长为2， 延长交的延长线于点，如图， ∵为的中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， 设，则， ， 解得：， ∵， ∴， ， ， ， ∵， ∴， 即，故③错误； 综上，正确结论共个． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式加减法．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】设原计划人数为人，根据总零件数分别表示出原计划和实际的平均每人生产零件个数，再结合实际平均每人生产零件个数比原计划少个的等量关系列出方程即可． 【详解】解：设原计划人数为人，则实际参与生产的人数为人， 原计划平均每人生产零件个数为， 实际平均每人生产零件个数为， 根据题意得． 11. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 【答案】 ##24度 【解析】 【分析】本题考查了正多边形的性质，多边形的内角和公式及等腰三角形的判定与性质，先根据多边形的内角和公式算出每个正五边形和正六边形的内角，再得出的度数，再求证是等腰三角形，最后根据三角形的内角和求出的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角：， 且，， 正六边形每个内角：，且，， 由此可得，是等腰三角形． ∴ ， ∴ ． 故答案为： ． 12. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了扇形面积的计算以及直角三角形的性质，解题的关键是明确阴影部分面积为两个扇形面积之和减去三角形面积．先在中由求出，再分别求出以为圆心为半径的扇形面积和以为圆心、为半径的扇形面积：最后用两个扇形面积之和减去的面积得到阴影部分面积． 【详解】解：， ， ， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， 以为圆心，为半径作弧交于， ， ． 故答案为：． 13. 如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图的投影规律，由主视图确定棱柱的高，由俯视图和左视图确定底面四边形的形状及各边长度．左视图的宽对应俯视图的高，结合角度关系求出底面各边长，进而求得底面周长，最后利用侧面积公式计算即可． 【详解】由主视图可知，该四棱柱的高． 由俯视图可知，底面为四边形，且，． 由左视图可知，底面四边形在垂直于方向上的投影长度为，且存在分界点． 过点作于点，过点作于点，过点作于点，则四边形是矩形， 根据左视图数据及图形位置关系，可知，， 在中，，则， 在中，，则， ∴， ∵，， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴底面周长 ∴这个四棱柱的侧面面积为 14. 如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 【答案】①⑤ 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质，函数的平移，一次函数的图象与性质，轴对称的性质，逐一判断，即可求解． 【详解】解：点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上， 点、关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线， 二次函数的图象与轴交于，点， ，故①正确； 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 将，代入得， ， 二次函数为，， 、关于对称轴直线对称， ， 当、、共线时，最短， 设直线的解析式为，将、代入得 ， 解得， 直线的解析式为， 点是抛物线对称轴上的一点， 点的横坐标是， 当时，， ，故②错误； 当时，， 若，则，此时， 若，则，此时，故③错误； 直线沿轴向上平移个单位后得到， 联立， 整理得到， 抛物线与直线只有一个公共点， ， 解得，故④错误； 点为抛物线上的一点（不与重合），， 点在轴的下方，且点关于轴的对称点在直线上， 设直线的解析式为，则， 解得， 直线的解析式为， 联立， 则 解得（舍去）或， 点的横坐标为，故⑤正确； 故答案为：①⑤． 三、作图题 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 【答案】见解析 【解析】 【分析】延长交于点Q，作的平分线，过点C作的垂线交于点P，即可． 【详解】解：点P即为所求． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 解决下列问题： （1）化简； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 17. “红瓦绿树，碧海蓝天”是青岛的城市名片．某班开展以“向您推荐青岛”为主题的综合实践活动，班委会选取“栈桥”、“极地海洋世界”、“五四广场”、“崂山”（分别标记为A，B，C，D）四处景点作为研究对象，并采用小组合作的方式开展研究．同学们制作了四张质地、大小完全相同的不透明卡片，正面分别绘制上述四处景点的图案． （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为______； （2）各小组随机抽取一张卡片，卡片上的景点即为该小组的研究内容．现将四张卡片背面朝上洗匀，第一小组随机抽取一张并记录结果，将卡片放回并重新洗匀后，第二小组再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两个小组研究的景点不相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式计算即可得出结果； （2）画树状图得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为； 【小问2详解】 解：画树状图如下： ， 共有种等可能的结果，其中这两个小组研究的景点不同的结果有种， 故两个小组研究的景点不相同的概率为． 18. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，将测试的结果（续航里程用公里）分成4组：A．；B．；C．；D．；并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆款纯电动汽车的实际续航里程： 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 395 395 397 425 d．10辆款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的______，______； （2）根据上述数据，你认为款和款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可） （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的三项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 88 85 90 乙车 80 90 100 续航里程、百公里能耗、智能化水平三项性能在小王心中所占比例是，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 【答案】（1） （2）款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可），理由见解析 （3）选择甲款车更合适，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义即可得到与的值； （2）根据表格中的平均数判断即可； （2）利用加权平均数求解可得． 【小问1详解】 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410中，410出现的次数最多， ∴众数； 在款抽取的纯电动车的实际续航里程中的数据从小到大排列，排在中间的两个数分别为402，410， ∴中位数 ； 【小问2详解】 解：款的实际续航里程更长，理由如下： ∵款的平均数较大， ∴款的实际续航里程更长（答案不唯一，合理即可）； 【小问3详解】 解：选择甲款车更合适，理由如下： 甲款车综合得分为： （分）， 乙款车综合得分为： （分）， ， ∴选择甲款车更合适． 19. 如图，数学兴趣小组在水平地面上开展测量活动：已知，距离是40米，距离是50米，点处有一垂直于地面的高20米的立柱．从点观测点的仰角为；从点D观测点C的俯角为，连接．求到水平地面的垂直高度是多少米？（参考数据：，，，，，） 【答案】到水平地面的垂直高度约是米 【解析】 【分析】过点作于点，延长，交于点，先证明四边形是矩形，则可得，再设米，则米，解直角三角形可得的长，从而可得的长，最后在中，解直角三角形即可． 【详解】解：如图，过点作于点，延长，交于点， ∴， 由题意得：米，米，米，，，， ∴， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 设米，则米， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，，即， 解得， 即米， 答：到水平地面的垂直高度约是米． 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 【答案】（1）见解析 （2）选择①：四边形为菱形，证明见解析；选择②：四边形为矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得，再由，可得，即可求证； （2）选择①：根据矩形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答；选择②：根据菱形的性质可得，再由三角形中位线定理可得，从而得到，可得到四边形为平行四边形，即可解答． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：选择①：四边形为菱形，证明如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； 选择②：四边形为矩形，证明如下： ∵四边形是菱形， ∴， ∵，点是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 21. 小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）连接，请判断点是否在直线上． 【答案】（1） （2）点不在直线上，见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作于点E，根据题意，得，得到，代入反比例函数表达式求解即可； （2）先确定，，确定直线的表达式，再计算求解即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点E， ， ， ， 由反比例函数的图象经过点， ， 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：， ， ， 根据旋转的性质，得， 设， 根据题意，得， ， 设的表达式为， 根据题意，得， 解得， ， 当时，， 故不在直线：上． 22. 综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 操作思考： 如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则． 小明是这样思考的： 设为、为，则，， 由于， 易证： ， ，，则，， ， ． ，两边同除以得 问题探究： （1）如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程． 拓展延伸： （2）如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠的性质可得 ，证明，根据锐角三角函数可推出，，则可得到，，进而可得，据此求解即可； （2）同（1）求解即可． 【小问1详解】 解：设为、为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ，， ∵，， ． ， ∴； 【小问2详解】 解：设为、为，则，， ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质可得 ∴， ∴， ∴， ∴，， ，， ，， ∵，， ． ， ∴， ∴ ∴． 23. 某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． （1）求游客人数与门票单价的函数表达式； （2）设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ （3）随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】（1） （2）​；单价为元时利润最大，最大利润为元 （3）；的值为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求游客人数与门票单价的一次函数表达式即可； （2）先用待定系数法求环保费的二次函数表达式，再根据利润公式列总利润表达式，利用二次函数性质求最大值即可； （3）列出成本降低后的新利润表达式，求出对称轴，结合的取值范围确定能取到最大值的值，代入计算即可得出在此条件下利润的最大值，再将最大利润代入，解方程即可求出此时的值． 【小问1详解】 解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； 【小问2详解】 解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 24. 如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当是直角三角形时，求的值； （2）连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）解直角三角形得到，由平行四边形的性质得到，则，根据题意可得，则，再分两种情况：和，讨论求解即可； （2）过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G，求出，由等面积法求出；解直角三角形得到；证明，根据，列式求解即可； （3）过点P作于点T，可求出；解直角三角形可得，，则，再解直角三角形得到，据此建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 由题意得，，则， 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 当时，则， ∴， 解得（已检验）； 综上所述，t的值为或； 【小问2详解】 解：如图所示，过点A作于点F，交的延长线于点H，过点Q作于点G， 由（1）得，则，， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴ ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵ ， ∴； ∵， ∴ ； 【小问3详解】 解：如图所示，过点P作于点T， 当时， ， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴； 由（1）得， ，， 由（2）得， 在中，， ， ∴， 在中， ， ∴， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学质量调研 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题、作图题、解答题，共16小题，96分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的倒数是（ ） A. B. C. 6 D. 2. 花窗是中国古典园林建筑中窗的一种装饰和美化的形式．花窗的图案多种多样，以下花窗的图样中，是轴对称但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 由开发的人工智能助手在全球范围内掀起了一股热潮，据国内产品榜统计数据，这款推理型AI聊天机器人在上线仅20天后，其日活跃用户数达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，反映的是九（1）班学生外出乘车、步行、骑车的人数直方图和扇形统计图的一部分，若该校九年级外出的学生共有500人，那么估计九年级外出骑车的人约有（ ） A. 100人 B. 120人 C. 130人 D. 150人 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，放在边长为1个单位的小正方形网格中，点、、均在格点上，先将绕点逆时针旋转得到，再将向下平移3个单位得到，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，线段与相切于点，连接并延长分别交于点，点是半圆上一点，连接、，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、交，于、，已知为的中点，下列结论正确的有（ ） ①；②连接为的中点，则；③． A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 某工厂生产零件个，实际参与生产的人数是原计划人数的倍，实际平均每人生产零件个数比原计划少了个，若设原计划人数为人，则列出的方程是______． 11. 在正五边形的外部，以为边作正六边形．，连接，则的度数为________． 12. 如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为______． 13. 如图，一个四棱柱的三视图如图所示，主视图中；俯视图中，；左视图中、．则这个四棱柱的侧面面积为______． 14. 如图，二次函数的图象经过坐标轴上、两点，且与轴交于，点向右平移个单位得到点，点也在抛物线上，下列结论正确的是______． ①点的坐标是； ②若点是抛物线对称轴上的一点，当最短时的坐标为； ③若点，在抛物线上，满足，则一定有； ④连接，将直线沿轴向上平移个单位，当抛物线与直线只有一个公共点时，； ⑤若点为抛物线上的一点（不与重合），连接，当时，点的横坐标为． 三、作图题 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图：四边形 求作：点，使点到、两边的距离相等且最短． 四、解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. 解决下列问题： （1）化简； （2）解不等式组： 17. “红瓦绿树，碧海蓝天”是青岛的城市名片．某班开展以“向您推荐青岛”为主题的综合实践活动，班委会选取“栈桥”、“极地海洋世界”、“五四广场”、“崂山”（分别标记为A，B，C，D）四处景点作为研究对象，并采用小组合作的方式开展研究．同学们制作了四张质地、大小完全相同的不透明卡片，正面分别绘制上述四处景点的图案． （1）将这四张卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，抽到的卡片内容是“崂山”的概率为______； （2）各小组随机抽取一张卡片，卡片上的景点即为该小组的研究内容．现将四张卡片背面朝上洗匀，第一小组随机抽取一张并记录结果，将卡片放回并重新洗匀后，第二小组再随机抽取一张．请用列表法或画树状图的方法，求两个小组研究的景点不相同的概率． 18. 国家大力提倡节能减排和环保，近年来纯电动汽车普及率越来越高，纯电动汽车的续航里程是人们购买时参考的重要指标．某汽车杂志为了解两款纯电动汽车的实际续航里程，各随机抽取了10辆进行了续航里程实测，将测试的结果（续航里程用公里）分成4组：A．；B．；C．；D．；并进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．10辆款纯电动汽车的实际续航里程： 330，375，435，410，410，470，380，365，365，410 b．10辆款纯电动汽车的实际续航里程条形统计图（不完整）： c．两款纯电动汽车的实际续航里程统计表： 平均数 中位数 众数 395 395 397 425 d．10辆款纯电动汽车的实际续航里程在C组中的数据是：． 根据以上信息，解答下列问题 （1）表格中的______，______； （2）根据上述数据，你认为款和款纯电动汽车中，哪款的实际续航里程更长？请说明理由（写出一条即可） （3）小王看中了售价一样的甲、乙两款纯电动汽车，根据汽车杂志发布的数据对这两款车的三项性能进行了打分（百分制），如下表： 续航里程得分 百公里能耗得分 智能化水平得分 甲车 88 85 90 乙车 80 90 100 续航里程、百公里能耗、智能化水平三项性能在小王心中所占比例是，你认为小王选择哪款车更合适？请说明理由． 19. 如图，数学兴趣小组在水平地面上开展测量活动：已知，距离是40米，距离是50米，点处有一垂直于地面的高20米的立柱．从点观测点的仰角为；从点D观测点C的俯角为，连接．求到水平地面的垂直高度是多少米？（参考数据：，，，，，） 20. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点，延长到点，使得，连接，点是的中点，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）条件：①四边形是矩形； ②四边形是菱形． 请从①和②中任选其一作为条件，判断并证明四边形的形状（两个都写以第一个为准）． 21. 小明将含角的三角板按如图方式摆放在平面直角坐标中，斜边在轴上，且，反比例函数的图象经过点．现将绕点顺时针旋转得，反比例函数恰好经过点． （1）求反比例函数表达式； （2）连接，请判断点是否在直线上． 22. 综合与实践 问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动． 操作思考： 如图1，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．小明发现，若设为、为，则． 小明是这样思考的： 设为、为，则，， 由于， 易证： ， ，，则，， ， ． ，两边同除以得 问题探究： （1）如图2，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．若设为、为y，则______，请写出你的具体解决过程． 拓展延伸： （2）如图3，在矩形中，当，，为边上一点，为边上一点，连接，将和分别沿翻折，若的对应点均落在矩形对角线上．设为、为，则______（用含、的代数式表示）． 23. 某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． （1）求游客人数与门票单价的函数表达式； （2）设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ （3）随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 24. 如图，已知平行四边形，，，，延长到，使，连接．点从出发，沿方向匀速运动，速度为2单位长度，同时点从出发，沿方向匀速运动，速度为3单位．连接、，设运动时间为． 解答下列问题： （1）当是直角三角形时，求的值； （2）连接、，设的面积为，求与之间的函数关系式； （3）线段与相交于，在运动的过程中是否存在某一时刻，使得．若存在，求出；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $