精品解析：2025年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模试卷

2025年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共7小题，21分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，99分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共21分） 一．选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 网购逐渐成为人们的一种消费方式，某淘宝商家今年2月的支付交易额突破850000元，数据850000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，是半圆的直径，点 在半圆上，是半圆的切线， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在直角坐标系中，线段是将 绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点 的对应点的坐标是（ ） A. (-2，3) B. (-3，2) C. (-2，4) D. (-3，3) 7. 若抛物线（为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（ ） ①关于的方程（为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第II卷（共99分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 8. 计算：． 9. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在 ，则的值最可能是______个． 10. 把方程 化成的形式，则的值是______． 11. 如图，在矩形中，是边上一点，，分别是 ，的中点，连接， ， ，若 ，，，矩形的面积为________． 12. 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，设A款吉祥物的单价为元，根据题意可列方程为____________． 13. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 14. 如图正方形的边长为，、分别为、 的中点，连接、 ，交点为．将沿 对折，得到，延长与线段 的延长线交于点，如下结论： ① ；② ；③；④；⑤， 其中正确的是____________（填序号）． 三．作图题（本题满分4分） 15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段 ，使得 ，且点 到 与的距离相等． 四．解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简：； （2）解不等式组． 17. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10． c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中的值； （2）甲同学得分的中位数为____________分；丙同学得分的众数为____________分； （3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对____________的评价更一致（填“甲”或“乙”） 18. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． （1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； （2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 19. 某小区活动中心想在房前高的墙 上安装一个遮阳篷，使正午时刻房前能有宽的阴影处以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线 与水平地面的夹角为，遮阳篷与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷 端到墙 的距离是多长？（结果精确到 ）． （参考数据，，；，） 20. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与 轴交于点 ，将直线AB沿 轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与 轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，若 的面积为4，则的值为___________ 21. 已知：如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别交 的延长线、的延长线于点． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 22. 实践探究题： 【提出问题】 如图是由小正方形组成的 网格，设每个小正方形的边长是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在方格纸上，给定一条线段（其端点可能是格点或非格点）．如何借助方格纸和直线，过已知线段的端点作它的垂线呢？ 【探究问题】 （1）特殊情况： 如图①，已知线段，点A与点C位于格点上，过点C作的垂线． 小明的思考是这样：以为斜边构造，为了找到与 互余的角，利用边角边，作 ，从而得到 ，则易证 ． 方法提炼：端点在格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造全等的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线； （2）比较一般的情况： 如图②，已知线段与格线相交于点C，点A与点F位于格点上，点C位于非格点上，过点C作的垂线． 小磊类比小明的思考：点 位于非格点上，以为斜边构造，为了类比小明的方法，需找到 ，由此，小磊利用两边对应成比例且夹角相等，作 ．具体过程如下，请将下面各组数量关系补充完成： 连接 与格线交于点 ， 由 ， ，则 _________ ； 由 ， ，则 _________； 则 _________， _________ ； 能够证明 ，从而得到 ，则易证 ． 方法提炼：端点在非格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造相似的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线． 【解决问题】 图③是由小正方形组成的 网格，设每个小正方形的边长是1，矩形的四个顶点都是格点．仅用方格纸和直线在给定网格中完成画图． 要求：画出线段，使点在线段 上，且；点在线段上，且平分矩形的面积． 23. 某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量 万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量 （万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： （1）求A型笔的销量 万支与售价元的关系式； （2）当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； （3）若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 24. 如图①，在中，，在中， ，，边与 重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②， 从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点 ？ （2）如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； （3）如图④，过点作，交 于点 ，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年山东省青岛市市北区九年级数学中考一模试卷 （考试时间：120分钟；满分：120分） 说明： 本试题分第I卷和第II卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共7小题，21分；第II卷为填空题、作图题、解答题，共17小题，99分． 所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效． 第I卷（共21分） 一．选择题（本题共7小题，每小题3分，共21分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．每小题选对得分；不选、选错或选出的标号超过一个的不得分． 1. 的绝对值是（ ） A. 2025 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值．负数的绝对值等于它的相反数，据此即可求得答案． 【详解】解：的绝对值是2025， 故选：A． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是寻找对称中心，旋转 后与原图重合，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解题关键．根据轴对称图形与中心对称图形的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； B、此图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； C、此图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，此选项符合题意； D、此图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，此选项不符合题意． 故选：C． 3. 网购逐渐成为人们的一种消费方式，某淘宝商家今年2月的支付交易额突破850000元，数据850000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：数据850000用科学记数法表示为． 故选：D． 4. 米斗是我国古代官仓、粮栈、米行等必备的用具，是称量粮食的量器．如图（1）是一种无盖米斗，其示意图（不记厚度）如图（2）所示，则其俯视图为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了几何体三视图，正确识别几何体的三视图是解题的关键. 根据米斗的示意图，即可得到米斗的俯视图. 【详解】解：米斗的示意图如图2所示， 米斗的俯视图为 故选：B. 5. 如图，是半圆的直径，点在半圆上，是半圆的切线， ，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 连接，由等边对等角可得，由三角形外角的性质可得，由切线的性质可得 ，则 ，由直角三角形的两个锐角互余可得，由 可得 ，进而可得，于是可得，由此即可求出的度数． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是半圆的半径，是半圆的切线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 6. 如图，在直角坐标系中，线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分，则点的对应点的坐标是（ ） A. (-2，3) B. (-3，2) C. (-2，4) D. (-3，3) 【答案】A 【解析】 【分析】根据旋转的性质解答即可． 【详解】解：∵线段是将绕着点逆时针旋转一定角度后得到的的一部分， ∴的对应点为，∴，∴旋转角为90°， ∴点C绕点P逆时针旋转90°得到的点的坐标为（-2，3）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，练掌握对应点与旋转中心的连线是旋转角和旋转角相等是解答本题的关键． 7. 若抛物线（ 为常数），与轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）．则下列结论正确的有：（ ） ①关于的方程（ 为常数）有两个不相等的实数根； ②； ③若点、点、点在该函数图象上，则； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线表达式为； ⑤当时， A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、平移的性质等知识点依次对各结论进行分析判断即可解答． 【详解】解：①∵，， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）． ∴抛物线与x轴另一个交点在和 之间（不包含和 ）， ∴关于x的方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在3和4之间（不包含3和4）， ∴，解得：，故②正确； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离最大，点到对称轴的距离最小， ∴，故③正确； ④将该抛物线向左平移2个单位，再向下平移2个单位，抛物线的解析式为：，即，故④错误； ⑤当时，，的值不一定是正值， 故⑤错误． 综上，正确的有3个． 故选：C． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质、二次函数与坐标轴的交点、二次函数函数图象与几何变换、二次函数图象上点的坐标特征等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 第II卷（共99分） 二．填空题（本题共7小题，每小题3分，共21分） 8. 计算：． 【答案】0 【解析】 【分析】根据二次根式的混合运算法则计算即可． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】． 9. 不透明的口袋中装有个红球、个黄球和个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在 ，则的值最可能是______个． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，解题的关键是熟练掌握概率公式．利用频率估计概率，由概率列方程求解即可． 【详解】解：由大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在 ，可得摸到蓝球的概率为 ， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此的值最可能是． 故答案为：． 10. 把方程 化成的形式，则的值是______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程．先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时加上一次项系数一半的平方进行配方求出m、n的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 11. 如图，在矩形中，是边 上一点，，分别是 ，的中点，连接， ， ，若 ，，，矩形的面积为________． 【答案】48 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质，直角三角形斜边上中线等于斜边的一半得出相关线段长，利用勾股定理逆定理判定，再结合即可得出结论． 【详解】解：在矩形中，， 在矩形中，，分别是 ，的中点，， 是的中位线，即， 在中，是BE的中点， ， 是斜边上的中线，即， ， 在中，是EC的中点，， 是斜边上的中线，即， ， 在中，，，，即， 是直角三角形，且， 过作 于 ，如图所示： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查矩形面积，涉及到中位线的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、矩形的性质、勾股定理逆定理、三角形等面积法等知识，熟练掌握相关性质，准确作出辅助线表示是解决问题的关键． 12. 某商店销售A，B两款“巳升升”吉祥物，已知A款吉祥物的单价比B款吉祥物的单价高20元．若顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，设A款吉祥物的单价为元，根据题意可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，根据顾客花800元购买A款吉祥物的数量与花600元购买B款吉祥物的数量相同，即可列出关于x的分式方程，此题得解． 【详解】解：设A款吉祥物的单价为x元，则B款吉祥物的单价为元， 根据题意得：． 故答案为：． 13. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点处，得到扇形．若∠O＝90°，OA＝2，则阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】设 与扇形交于点，连接，解，求得，根据阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】如图，设 与扇形交于点，连接，如图 是OB的中点 , OA＝2， ＝90°，将扇形AOB沿OB方向平移， 阴影部分的面积为 故答案为： 【点睛】本题考查了解直角三角形，求扇形面积，平移的性质，求得是解题的关键． 14. 如图正方形的边长为，、分别为 、的中点，连接、 ，交点为．将沿 对折，得到，延长与线段 的延长线交于点，如下结论： ① ；② ；③；④；⑤， 其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】利用正方形的性质证得 ，通过角的关系求得 ，即可得①正确；利用翻折的性质推得，求出 的长度，通过即可证得②正确；证得，可得，利用勾股定理求得 ，代入，求出、 的值，即可得证③正确；利用正方形的性质结合翻折的性质证得，设，在中，利用勾股定理构建方程，解方程，求出，通过即可证得④错误；通过即可得证⑤错误． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 、分别为 、的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， 沿 对折，得到， ，， 在 和中， , , , ，故②正确； 在中，， ， 由①得： ， ， ，， ， ， ， 由②得：， ， ， 解得：，， ， ，， ，故③正确； 四边形是正方形， ， ， 沿 对折，得到， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，， ， 解得：， ，则， 在中，，故④错误； 由③得：，， ，故⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，熟练掌握相关知识点是解题关键． 三．作图题（本题满分4分） 15. 请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知 求作：线段，使得 ，且点到 与 的距离相等． 【答案】 如图，线段即为所求；       【解析】 【分析】本题主要考查了作图 复杂作图，平行线的判定，角平分线的性质，解答本题的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．首先作，可得的平行线，然后作 的角平分线，与交于点，即为所求． 【详解】略 四．解答题（本题满分74分，共有9道小题） 16. （1）化简：； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合运算、解不等式组等知识点，掌握相关运算法则和方法成为解题的关键． （1）直接运用分式的混合运算法则求解即可； （2）先分别求得各不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2） 由①得 ， 由②得 ， ． 17. 某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分．对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲、乙两位同学得分的折线图： b．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10． c．甲、乙、丙三位同学得分的平均数： 同学 甲 乙 丙 平均数 根据以上信息，回答下列问题： （1）求表中 的值； （2）甲同学得分的中位数为____________分；丙同学得分的众数为____________分； （3）在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：在甲、乙两位同学中，评委对____________的评价更一致（填“甲”或“乙”） 【答案】（1） （2） ，10 （3）甲 【解析】 【分析】本题主要考查折线统计图、平均数、众数、方差等知识点，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的关键． （1）根据平均数的定义即可解答； （2）根据中位数、众数的定义求解即可； （2）计算甲、乙两同学的方差，即可求解． 【小问1详解】 解：． 故答案为：． 【小问2详解】 解：甲同学得分的中位数为 ，丙同学得分中10出现的次数最多，故众数是10． 故答案为： ，10． 【小问3详解】 解：甲同学的方差：； 乙同学的方差： ， ， ∴评委对甲同学演唱的评价更一致． 故答案为：甲． 18. 有五个封装后外观完全相同的纸箱，且每个纸箱内各装有一个西瓜，其中，所装西瓜的重量分别为6kg，6kg，7kg，7kg，8kg．现将这五个纸箱随机摆放． （1）若从这五个纸箱中随机选1个，则所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是______； （2）若从这五个纸箱中随机选2个，请利用列表或画树状图的方法，求所选两个纸箱里西瓜的重量之和为15kg的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式计算； （2）先列表，展示所有20种等可能的结果数，再找出两个数字之和等于15kg所占的结果数，再根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：所选纸箱里西瓜的重量为6kg的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 第二个 第一个 6 6 7 7 8 6 12 13 13 14 6 12 13 13 14 7 13 13 14 15 7 13 13 14 15 8 14 14 15 15 由列表可知，共有20种等可能的结果，其中两个西瓜的重量之和为15kg的结果有4种． ∴． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法求概率，解题的关键是利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，从而求出概率． 19. 某小区活动中心想在房前高的墙上安装一个遮阳篷 ，使正午时刻房前能有宽的阴影处 以供纳凉．假设此地某日正午时刻太阳光线与水平地面的夹角为，遮阳篷 与水平面的夹角为，如图为侧面示意图，请求出此遮阳篷端到墙的距离是多长？（结果精确到 ）． （参考数据，，；，） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，解题关键是通过作辅助线构建直角三角形，利用矩形性质和三角函数关系建立方程求解． 过点作 ，利用三个直角证明四边形是矩形，得 ．在中，设 ，根据求出（即）关于的表达式． 在中，根据得出关于的表达式． 依据， 建立方程，求解后得出的长度． 【详解】解：过点作 ∴ ， ∵ ， ∴ ∴四边形是矩形 设 在中， 在中， ， ， 答：的长是． 20. 如图，已知一次函数的图象与函数的图象交于两点，与 轴交于点，将直线AB沿 轴向下平移个单位长度得到直线，与函数的图象分别交于点D、E，直线与 轴交于点． （1）求与的解析式； （2）观察图象，直接写出时的取值范围； （3）连接，若 的面积为4，则的值为___________ 【答案】（1）； （2） （3）2 【解析】 【分析】本题考查了一次函数于反比例函数的交点问题，待定系数法求一次函数解析式和反比例函数解析式，熟练掌握以上知识点是关键． （1）待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）数形结合，直接写出不等式的解集即可； （3）作，垂足为，根据直线解析式得到为等腰直角三角形，利用三角形面积求出，根据等腰直角三角形三边关系求出向下平移的单位长度即可． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与函数的图象交于两点， ， 解得：， ∴反比例函数解析式为：， ∵点在一次函数图象上， ∴，解得：， ． 【小问2详解】 解：观察图象可得，当时，的取值范围为：； 【小问3详解】 解：原直线向下平移个单位，得到新的直线解析式为， 如图，作，垂足为， ， ， ∵ 的面积为 4 ， ， 解得：， ∵直线解析式为， ∴为等腰直角三角形， ． 21. 已知：如图，在平行四边形中，分别是边上的点，且，直线分别交 的延长线、的延长线于点． （1）求证：； （2）连接 ，若 ，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论． 【答案】（1） 证明：， ∴ ，， ， ， ， ， ， ∵， ； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： ∵ ， ∴， ，， ∴，， ， ∴，， ∴四边形 是平行四边形， ∵ ， ∴四边形 是菱形， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∵，， 四边形为平行四边形， 为菱形； 【解析】 【分析】（1）先证明 ，， ，，结合，即可得到结论； （2）证明，四边形 是平行四边形，结合 ，可得四边形 是菱形，可得 ，证明 ，可得 ，再进一步可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，熟记特殊四边形的判定方法是解本题的关键． 22. 实践探究题： 【提出问题】 如图是由小正方形组成的 网格，设每个小正方形的边长是1，每个小正方形的顶点叫做格点．在方格纸上，给定一条线段（其端点可能是格点或非格点）．如何借助方格纸和直线，过已知线段的端点作它的垂线呢？ 【探究问题】 （1）特殊情况： 如图①，已知线段，点A与点C位于格点上，过点C作的垂线． 小明的思考是这样：以为斜边构造，为了找到与 互余的角，利用边角边，作 ，从而得到 ，则易证 ． 方法提炼：端点在格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造全等的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线； （2）比较一般的情况： 如图②，已知线段与格线相交于点C，点A与点F位于格点上，点C位于非格点上，过点C作的垂线． 小磊类比小明的思考：点位于非格点上，以为斜边构造，为了类比小明的方法，需找到 ，由此，小磊利用两边对应成比例且夹角相等，作 ．具体过程如下，请将下面各组数量关系补充完成： 连接 与格线交于点， 由 ， ，则 _________ ； 由 ， ，则 _________； 则 _________ ， _________； 能够证明 ，从而得到 ，则易证 ． 方法提炼：端点在非格点上的线段，可以以端点为顶点利用构造相似的直角三角形，进而得到过端点的已知线段的垂线． 【解决问题】 图③是由小正方形组成的 网格，设每个小正方形的边长是1，矩形的四个顶点都是格点．仅用方格纸和直线在给定网格中完成画图． 要求：画出线段，使点在线段上，且；点在线段上，且平分矩形的面积． 【答案】，，，； 【解析】 【分析】本题考查了用无刻度直尺作图，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，即可得到题中的填空部分答案；对于图③，连结 ，交于点E，连结 ，交于点F，连结，根据相似三角形的判定与性质，即可证明线段满足题意． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 ， ； 故答案为：，，，； 如图，连结 ，交于点E，连结 ，交于点F，连结，则线段即为所求． 理由： ， ， ， ， 同理 ， 四边形是矩形， ， ，， ， 即平分矩形的面积． 23. 某车间生产两种笔： A型：每支成本5元，定价为元； B型：每支成本6元，定价为 元． 根据车间实际情况，两种笔每季度生产总量仅为100万支，为了将生产的笔全部售出，两种笔的定价会相互影响．根据调查：A型笔的销量 万支与定价元的关系如下： 定价（元） … 7 8 9 10 … 销量 （万支） … 100 90 80 70 … B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． 问题： （1）求A型笔的销量 万支与售价元的关系式； （2）当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价 为___________元；该厂家将生产的两种笔型出售后所获得的利润为___________万元； （3）若A型笔每支利润不超过5元，求该厂家将生产的所有笔都出售后所获得的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）20；410 （3）650万元 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，读懂题意，正确列出函数解析式是关键． （1）A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支，据此列出函数解析式即可； （2）求出两种笔的销量，即可求出答案； （3）列出销售利润的二次函数，根据二次函数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，A型笔的定价为7元时，销量为100万支，A型笔的定价每增加1元，销量降低10万支， ∴， 即A型笔的销量 万支与售价元的关系式为； 【小问2详解】 当A型笔的定价为8元时，，即A型笔销量为 万支， 此时B型笔销量为万支， ∵B型笔的定价为8元时，销量为70万支，售价每提高1元，销量减少5万支． ∴元， 即当A型笔的定价为8元时，B型笔的定价 为元， 万元， 故答案为：20；410 【小问3详解】 设销售利润为万元， 根据题意得：， 解得：， A型笔的销量， B型笔的销量， ∴， ， 开口向下 对称轴直线 当时随增大而增大 当时最大值为650 答：所获得的最大利润为650万元 24. 如图①，在中，，在中， ，，边与 重合．动点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，同时，如图②， 从图①所示位置出发，沿射线方向匀速运动，速度为；设运动时间为．解答下列问题： （1）当为何值时，点 ？ （2）如图③，分别连接，设四边形的面积为．求与的函数关系式； （3）如图④，过点作，交 于点 ，是否存在某一时刻，使平分？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据时进而推出，以此建立关于分式方程求解即可． （2）首先求出和的高 和 ，然后求得，再根据即可求出结论． （3）通过平行线构造等腰，利用等腰直角三角形的性质分别用表示出和，然后建立关于的方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，交 于点 ． 根据题意． 当时，，由于为等腰直角三角形， 又因，则． ， ， 解得：． 【小问2详解】 解：如图，过点作，过点作分别为垂足． 根据题意． 则， ． 【小问3详解】 解：如图，过点作交延长线于点，过点作，垂足为，过点作为垂足．则四边形为矩形． 根据题意，则， ， ， ， 由（2）可知， ， ， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了直角三角形和等腰三角形的性质，解直角三角形，平行线的性质，勾股定理，矩形的性质和判定，利用三角函数求出相关边的长度是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $