8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 1 课时学习素养目标：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式， 培养数学运算的核心素养.2.会求简单组合体的表面积和体积，培养数 学运算的核心素养. 高 中 同 步 课 堂 学 案 2 任务学习一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 任务学习二 圆柱、圆锥、圆台的体积 任务学习三 球的表面积和体积 任务学习四 简单组合体的表面积和体积 拓展培优 与球有关的内切、外接问题 素养评价·课堂达标 3 任务学习一 圆柱、圆锥、圆台的表面积 4 新知梳理 圆柱、圆锥、圆台的表面积 圆柱、圆锥、圆台的表面积是围成它的各个面的面积和.利用圆柱、 圆锥、圆台的展开图，可以得到它们的表面积公式： 类别 图形 表面积公式 圆柱 _________________________________________ 底面积： ； 侧面积： ______； 表面积： ___________； 高 中 同 步 课 堂 学 案 5 类别 图形 表面积公式 圆锥 ______________________________________ 底面积： ； 侧面积： _____； 表面积： __________ 圆台 _________________________________________ 上底面面积： ； 下底面面积： ； 侧面积： __________； 表面积： ____________________ 续表 高 中 同 步 课 堂 学 案 6 能力提升 例1（1）若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) B A. B. C. D. [解析] 圆锥的母线长 ，所以圆锥的表面积为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 7 （2）如图，四边形是圆柱的轴截面， 是 圆柱的一条母线，已知，， ， 则该圆柱的侧面积为_______，表面积为___________ ____. [解析] 因为，，且四边形 是圆柱的轴截面， 所以 ， 即底面半径 ， 又因为，所以圆柱的侧面积是 ， 故圆柱的表面积是 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 8 迁移应用1 已知圆台的上、下底面半径分别为， ，它的侧 面展开图是扇环，其圆心角为 ，求该圆台的表面积. [解析] 如图所示， 因为扇环的圆心角是 ，所以圆台的上底面周长为 ，所以 . 同理可得，所以 ，所以 圆台的表面积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 9 任务学习二 圆柱、圆锥、圆台的体积 10 新知梳理 1.圆柱的体积公式 是底面半径，是高 . 2.圆锥的体积公式 是底面半径，是高 . 3.圆台的体积公式 ，分别是上、下底面半径，是高 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 11 4.归纳 ____为底面积，为柱体高 ， _____为底面积，为锥体高 ， _________________，分别为上、下底面面积，为台体高 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 12 能力提升 例2（1）如果用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，那么这个 圆锥的体积是_ ______. [解析] 用半径为 的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则圆锥的底面 半径满足，即 ， 所以该圆锥的轴截面是边长为 的等边三角形，则其高 ， 所以该圆锥的体积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 13 （2）（2024全国甲卷（理），14，5分）已知圆台甲、乙的上底面半 径均为，下底面半径均为 ，圆台甲、乙的母线长分别为 ， ，则圆台甲与乙的体积之比为______. [解析] 分别取甲、乙两圆台的轴截面的一半，如图， 高 中 同 步 课 堂 学 案 14 显然， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 15 迁移应用2 用一张长为12，宽为8的矩形铁皮围成圆柱的侧面，则这个 圆柱的体积为_ ________. 或 [解析] 若圆柱的底面周长为12，高为8，则底面半径为 ， 此时圆柱的体积为 ； 若圆柱的底面周长为8，高为12，则底面半径为 ， 此时圆柱的体积为 . 所以圆柱的体积为或 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 16 任务学习三 球的表面积和体积 17 新知梳理 1.球的表面积公式 ______， 为球的半径. 2.球的体积公式 ______， 为球的半径. 高 中 同 步 课 堂 学 案 18 能力提升 角度1 球的表面积和体积公式 例3 若将两个半径为1的铁球熔化后铸成一个球，则该球的表面积为 _______. [解析] 设熔化后铸成的球的半径为，则 ，可得 ， 所以球的表面积为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 19 迁移应用3 （2025河南安阳一中等校联考）在底面半径为 ，高为 的圆柱形木桶（木桶的厚度忽略不计）中装满水，现将一个半径 为 的实心铁球放入木桶中使球完全浸没，然后拿出铁球 （沾在铁球与手上的水忽略不计），则此时水面的高度为____ . 56 [解析] 设水面下降的高度为 ， 利用体积相等可得，解得 ， 故此时水面的高度为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 20 角度2 球的截面问题 例4 （2025河北石家庄联考）若平面 截球 所得截面圆的半径为1， 且球心到截面的距离为，则球 的表面积为_____. [解析] 球的半径，故球的表面积为. 高 中 同 步 课 堂 学 案 21 变式 在例4中，若球心到截面的距离是球半径的三分之一，则该球的 体积为_ _____. [解析] 设球的半径为，由球的截面性质可知 ，解得 ， 所以该球的体积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 22 解题感悟 球的截面是一个圆面，圆心与球心的连线与截面圆垂直，且满足 为球心到截面圆的距离，为球的半径， 为截面圆的 半径 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 23 迁移应用4 已知球的体积为，点到球心的距离为3，则球 被 过点的平面 截得的截面面积的最小值是( ) C A. B. C. D. [解析] 设球的半径为，则，解得 . 因为点到球心 的距离为3， 所以球被过点的平面 截得的截面圆的半径最小为 ， 则所求截面面积的最小值为 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 24 任务学习四 简单组合体的表面积和体积 25 例5 （链接教材P118例3）如图所示的是某工厂生产的一批 不倒翁型灯具的外形，它由一个圆锥和一个半球组合而成， 圆锥的高是，底面直径和球的直径都是 ，现对该 批灯具进行表面涂胶，若该种灯具每平方米需要涂胶 ， 则一个灯具需涂胶约_____，结果保留整数 . 207 [解析] 由已知得，圆锥的母线长 ， 所以一个灯具的表面积 ， 所以一个灯具需要涂胶 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 26 迁移应用5 如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分 可以近似看作两个圆台的组合体，已知， ，求该 青铜器的表面积（假设上、下底面是封闭的）. 高 中 同 步 课 堂 学 案 27 [解析] ， ， 所以该青铜器的表面积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 28 迁移应用6 （2025湖南常德联考）如图所示，四边形 是直角梯形， 其中，，若将图中阴影部分绕 所在直线旋转一周. 高 中 同 步 课 堂 学 案 29 （1）求阴影部分形成的几何体的表面积； [解析] 由题意知所求旋转体为一个圆台挖去一个半球，旋转体的表面 由三部分组成：圆台的下底面、圆台的侧面和半球面， ， ， . 故所求几何体的表面积为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 30 （2）求阴影部分形成的几何体的体积. [解析] ， ， 故所求几何体的体积为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 31 拓展培优 与球有关的内切、外接问题 32 例6（1）将直径为 的球削成一个体积最大的正方体，则这个正方体 的表面积为( ) B A. 3 B. 6 C. D. [解析] 当正方体为球的内接正方体时，该正方体的体积最大，记此时 正方体的棱长为，则，解得 ，所以正方体的表面积为 .故选B. 高 中 同 步 课 堂 学 案 33 （2）已知底面半径为的圆锥的侧面积为 ，则该圆锥的外接球的 体积为( ) A A. B. C. D. [解析] 设该圆锥的底面半径为，母线长为，高为 ，该 圆锥的外接球的半径为 ， 则 ，解得 ， ， 又 ， 即， . 该圆锥的外接球的体积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 34 （3）如图所示，一个圆柱存在内切球，则该圆柱与其内切球 的体积之比为_____，表面积之比为_____. [解析] 由题意知，圆柱的底面半径等于球的半径 ，圆柱的 高，， ， . ， ， . 高 中 同 步 课 堂 学 案 35 解题感悟 1.多面体的外接球 一个多面体的顶点都在球面上即为球的外接问题，解决这类问题 的关键是抓住外接球的特点，即球心到多面体的顶点的距离相等且等 于球的半径. 2.多面体的内切球 求解多面体的内切球问题，一般是将多面体分割为以内切球球心为 顶点，多面体的各侧面为底面的棱锥，利用多面体的体积等于各分割棱 锥的体积之和求内切球的半径（球心到切点的距离相等且等于半径）. 高 中 同 步 课 堂 学 案 36 3.几个与球有关的切、接常用结论 （1）已知正方体的棱长为，球的半径为 ， ①若球为正方体的外接球，则 . ②若球为正方体的内切球，则 . ③若球与正方体的各棱相切，则 . （2）若长方体过同一顶点的三条棱长分别为，， ，其外接球的半 径为，则 . （3）正四面体的外接球与内切球的半径之比为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 37 迁移应用7（1）已知某棱长为 的正四面体的各条棱都与同一球面相 切，则该球的表面积为( ) A A. B. C. D. [解析] 如图所示，在棱长为2的正方体中构造棱长为 的正四面体 ， 显然正四面体的棱切球即为正方体的内切球，故球的半 径，则该球的表面积为 .故选A. 高 中 同 步 课 堂 学 案 38 （2）在直三棱柱中，，， ， ，则该直三棱柱的外接球的表面积为_____. [解析] 在中，，则 ， 将直三棱柱补成长方体 ，如 图所示. 则直三棱柱 的外接球的直径为 ， 因此，该直三棱柱的外接球的表面积为 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 39 （3）一个圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为 ， 则该圆锥的侧面积为_____. [解析] 如图，过圆锥的旋转轴作轴截面，得及其内切圆 和外 接圆，且两圆同圆心，即的内心与外心重合，所以 为 正三角形，由题意得的半径，所以 的边长为6，所以 圆锥的底面半径为3，所以圆锥的侧面积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 40 素养评价·课堂达标 41 1.（2025湖南永州期中）若一个圆锥的轴截面是面积为 的等边三角 形，则该圆锥的表面积为( ) C A. B. C. D. [解析] 设圆锥轴截面正三角形的边长是 ， 则，解得 ， 所以圆锥的底面半径，圆锥的母线 ， 故圆锥的表面积 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 42 2.三星堆遗址祭祀坑区4号坑发现了玉琮——一种内圆外方的筒型玉器， 是古人用于祭祀的礼器，如图1.假定某玉琮中间内空，形状对称，如图 2所示，圆筒内径长，外径长，筒高，中部为棱长是 的正方体的一部分，圆筒的外侧面内切于正方体的侧面，则该玉琮的 体积为( ) 图1 图2 高 中 同 步 课 堂 学 案 43 A. B. C. D. [解析] 由题图可知，组合体的体积 ，故 选A. √ 高 中 同 步 课 堂 学 案 44 3.（2025湖南衡阳期中）若球 被一个平面所截，得到的截面的面积为 ，且球心到该截面的距离为2，则球 的表面积是( ) C A. B. C. D. [解析] 由截面的面积为 ，得截面圆的半径为 ， 又球心到该截面的距离为2，所以球的半径 ， 所以球的表面积为 .故选C. 高 中 同 步 课 堂 学 案 45 4.（2025广东深圳期末）已知圆台的上、下底面半径分别为2，3，侧面 积为 ，则该圆台的体积为_____. [解析] 圆台的上底面半径，下底面半径 ，设圆台的母线长 为，高为 ， 则圆台的侧面积 ，解得 ， 由勾股定理得 ， 则圆台的体积 . 高 中 同 步 课 堂 学 案 46 $