8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球 表面积和体积积 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 1 学习目标 目标导航 1.通过圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征，掌握圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积的公式. 2.能灵活运用公式求圆柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积. 3.会求简单组合体的表面积和体积. 请注意： 1.正文标题为：黑体，30号字； 2.正文内容为：华文楷体，尽量不小于24号，特殊辅助性文字不低于18；根据文字量可适当调整。内容文字一行一般不能超过28个字，单页文字一般不能超过8行。 3.拍摄版本呈现内容务必与上传版本呈现的内容完全一致。 英文 1.正文标题为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为32—36号，特别强调可以用40号。 2.正文内容为：以Times New Roman为主,可搭配使用Arial。字号为24—28号，特别强调可用32号。 3.英文每行一般不能超过15个单词；单页文字一般不能超过8行。 2 多面体 棱柱 棱台 棱锥 几何体 表面积 体积   S表=S侧+S底 围成它们的各个面的面积之和=展开图形的面积和     上底面扩大   上底面缩小   温故旧知 知识衔接 立体图形平面化 复习回顾 旋转体圆柱、圆锥、圆台、球如何其的表面积与体积公式? 探究1 多面体的表面积是各个面的平面图形的面积之和，那如何求圆柱的表面积呢？ 圆柱的表面积：由两个一样的圆做底面和一个长方形侧面 (是底面半径，是母线长) 新知学习 圆锥的表面积：由圆做底面和一个扇形侧面构成 (是底面半径，是母线长) 新知学习 圆台的表面积：不同的两个圆做底面和一个扇环侧面 r r' 2πr' 2πr ， 其中 为上、下底面圆半径， 为母线长. 新知学习 r’=r 上底扩大 r’=0 上底缩小 r r’ l 问题3：回顾圆柱、圆锥的体积公式？ 思考：结合圆锥与圆台的关系，试着利用圆锥的体积公式，推导圆台的体积公式？ V圆台 = πh(r12 + r1r2 + r22 ) r r r2 r1 新知学习 2、圆台的体积 新知学习 S ’ A 圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ 探究发现 建构新知 圆柱 r l O O' r O' O r' l 圆台 O S l r 圆锥 r=r' 上底扩大 r' =0 上底缩小 上底面与 下底面全等 上底面缩小 为一个点 新知学习 10 问题5: 结合棱柱、棱锥、棱台的体积公式,你能将它们统一成柱体、椎体、台体的体积公式吗？柱体、椎体、台体的体积公式之间又有怎样的关系？ ？ S′=S S′=0 上底面缩小 为一个点 上底面扩大到 与下底面全等 柱体 l O O' r h • • O' O r' r l • • h 台体 O S l r h • 锥体 (S′、S分别是上、下底面面积，h是高) (S是底面面积，h是高) (S是底面面积，h是高) 新知学习 球的表面积和体积 【提出问题】球既没有底面，也无法象柱、锥、台体一样展成平面图形，怎样求球的表面积和体积呢？ 新知探究 O 三、球的表面积 把一个半径为R的球的上半球横向切成n(无穷大)份， 每份等高并且把每份看成一个类似圆台，球的表面积为所有圆台的侧面积之和. A O 球体由n个这样的形状组成 球的表面积是大圆面积的4倍 S球=4πr2 新知学习 小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何得到圆的面积公式的? 　我们把一个半径为R的圆分成若干等分，然后重新拼接起来，圆近似的看成是边长分别是πR和R的矩形。 割圆术 探究发现 建构新知 新知学习 14 第一步：分割．如图所示将球O的表面分成n个小网格,连接球心O和每个小网格的顶点,整个球体就被分割成n个“小锥体”. 第二步：近似替代．当n越大时,每个小网格就越小,每个“小锥体”的底面就越平,“小锥体”就越近似于棱锥,棱锥的高近似于球的半径R.设O-ABCD是其中一个“小锥体”,则它的体积是 第三步：由近似和求得球的体积．由于球的体积是这n个“小锥体”的体积之和,而这n个“小锥体”的底面积之和就是球的表面积.因此球的体积： 极限 思想 O A B C D R 新知学习 球的表面积 球的体积 O A B C D 新知学习 例2：某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是 0.3 m，圆柱高 0.6 m．如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要 0.5 kg 涂料，那么给 1000 个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？(π 取 3.14 ) 解：一个浮标的表面积为： 2π×0.15×0.6 + 4π×0.152 = 0.8478 (m2)， 所以给 1000 个这样的浮标涂防水漆约需涂料： 0.8478×0.5×1000 = 423.9 (kg). 情境引入： 例题练习 解：设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R， 　　　　高为2R，则： 变式：求球与圆柱的表面积之比. 你有什么发现呢？ 例3 如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比. 应用实践 巩固提升 情境引入： 例题练习 19 圆柱容球定理 在圆柱容球中（此时圆柱的底面直径和高都等于球的直径），球的体积恰好是圆柱体积的2/3 ，球的表面积也是圆柱表面积的2/3 。  应用实践 巩固提升 情境引入： B C D 上图旋转后形成了怎样的几何体？ 形成的几何体为圆台中间去掉了半个球的几何体，球的半径为圆台上底面圆的半径. 例4： 情境引入： 例题练习 所以该旋转体的体积为： B C D 情境引入： 例题练习 例4： 情境引入： 课堂小结 本节课你学习到了什么？ （知识？方法？思想？） 23 圆柱、圆锥、圆台的表面积： S圆柱＝ S圆锥＝ S圆台 r'=r r'=0 情境引入： 课堂小结 圆柱、圆锥、圆台和球的体积： 几何体 棱柱 棱台 棱锥 直 观 图 体 积 S′=S S′=0 上底面扩大到与下底面全等 上底面缩小为一个点 情境引入： 课堂小结 情境引入： 例题练习 情境引入： 作业布置 教材P119 练习1、2、3题 基础巩固 拓展提升 1.请思考正方体与球有哪些位置关系？ 选做题：教材第120页习题8.3第4、5、8、9题； 感谢大家的聆听 授课人：张发松 学 校：昆明市呈贡区第一中学 28 【思考】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系？你能用圆柱、圆锥、圆台的结构特征来解释这种关系吗？ Lavf57.62.100 Lavf58.20.100 Lavf58.20.100 【练习4】(1)已知x2－y2＋2xyi＝2i，求实数x，y的值. (2)关于x的方程3x2－eq \f(a,2)x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值. $