第18讲 绕行天体问题-2026年高考物理母题60讲

当x>R,设地球的密度为P,地球半径为R,距地球 球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关 系为G3pR 4 =mg,可得g=4πG0R 3.x2 「答案]A [衍生7][解析](1)小球在水平面内做匀速圆周运 动，由牛频第二定体可得mgan0=m气1sn0, 可得该星球表面的重力加速度为g=4xL©os0 T2 (2)在星球表面，由万有引力等于重力可得 G0-msM-p·音R, 联立解得该星球的平均密度为p=3πLco、日 GRT [答案](1)4r2Lcos9 (2)3xLcos T2 GRT [衍生8][解析](1)因行星绕太阳做匀速圆周运动， 于是轨道的半长轴α即为轨道半径r。根据万有引 力定#和牛领第二定律有G”三=m(停)， r2 于是有宁-是M:即受M (2)在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为 R月期为，商)中可得号-是M, 解得M地=6X1024kg。 [答案](I)k=GM太 (2)6×1024kg 4π2 第十八讲绕行天体问题 [母题呈现] [例][解析](1)v1>3w1>3;T1<T3a1>a3 U>t4:w1>w4:T1<T4:a1>a4a (2)飞船在轨道1上做匀速圆周运动v1=7.9km/s, 等于第一字宙速度在轨道2上：飞船在Q点火加速。 ..7.9 km/s<vq<11.2 km/s, 即Q介于第一字宙速度与第二宇宙速度之间： 飞船在Q到P的过程中，速度减小轨道2变到轨道 3:飞船在P点火加速，后以3做匀速圆周运动，V3< V1=7.9km/s。∴3小于第一宇宙速度。 各轨道上周期关系：T1<T2<T3。 (3)飞船轨道1稳定运动时，动能不变，引力势能不 变，机械能不变。轨道1变到轨道2时（即Q点），动 能增加，机械能增加，轨道2上，由Q点到P点运行过 程中：动能减小，引力势能增加，机械能不变。 轨道2变到轨道3时（即Q,点），动能增加，机械能增 加飞船在轨道了上稳定运行时，动能不变，引力势能 不变，机械能不变。 (4)飞船甲、乙均做匀速圆周运动：甲：G=mX R2 R,乙：GMm=mX呢r,两飞船从第一次相距最近到 2 第二次相距最近时，甲比乙多转过2x孤度的圆心角， 即0甲一0元=2π，(w甲一w元)Xt=2π， 联立以上方程解得：t= 2π GMGM N R3 Nr3 [答案](1)见解析(2)见解析(3)见解析 2x (4) GM GM ·25 高考物理母题60讲 [衍生练习] [衍生1][解析]A.恒星由于自转，除两极万有引力 等于重力以外，其他位置均由万有引力的一个分力 提供自转所需向心力，另一个分力即为重力，可知， 同一恒星表面任意位置的重力大小不相同，纬度越 高，重力越大，即同一恒星表面任意位置的重力加速 度大小不相同，纬度越高，重力加速度越大，故A错 误：B.在表面两极处，结合上迷有G0=mg,解得 R2 《,恒星坍缩后，质量不变，体积缩小，即半径诚 小，可知，恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍 缩前的大，故B正确：C.第一宇宙速度等于绕表面运 行的卫里的钱逸度，则有G=m只解得。= R2 G恒星坍缩后，质量不变，体积缩小，即半径减小， 可知，恒星坍缩前后的第一宇宙速度变大，故C错 误：D.第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度 又叫作逃逸速度，第二宇宙速度等于第一宇宙速度 的√2倍，结合上述可知，恒星坍缩前后的第一宇宙速 度变大，即第二宇宙速度也变大，由于中子星的半径 小于白矮星，可知，中子星的逃逸速度大于白矮星的 逃逸速度，故D错误。 「答案]B [衍生2][解析]A.火星和地球均绕太阳运动，由于 火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒 度-是可异片渠A 第三定律有=T送， 错误；B.火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小 均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度 方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确：C 在星球表面根据万有引力定律有GMm=mg,由于 r2 不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地 球表面的自由落体加速度，故C错误：D.火星和地球 绕太阳匀速圆周运动，有火红0地 要发生下一次火星冲日则有（红-2x,得 TT地>T地，可知下一次“火星冲日”将出现 t一T火一T地 在2026年1月16日之后，故D错误。 [答案]B [衍生3][解析]AB.卫星贴近地面做匀速圆周运动 的线速度大小设为1，此速度为第一宇宙速度，即 1=7.9km/s;地球半径约为6400km,则空间站离 地高度在418km421km之间。 GMm =mg, R2 GMm gR2 R)z二￥万，解得0√分， 空间站距离地面的最小高度约为h=418kmR =6400km,则2>2-79km/s=5.58km/5,所 22 以空间站绕地运行速度5.58km/s<2<7.9km/s, 故AB错误：C.在4月份轨道半径出现明显的变大， 则可知，机械能不守恒，故C错误；D.在5月份轨道 半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。 [答案]D 、高考物理母题60讲 [衍生4][解析]A.在P点变轨前后空间站所受到 的万有引力不变，根据牛顿第二定律可知空间站变 轨前、后在P,点的加速度相同，故A正确：B.因为变 轨后其半长轴大于原轨道半径，根据开普勒第三定 律可知空间站变轨后的运动周期比变轨前的大，故B 错误；C.变轨后在P点因反冲运动相当于瞬间获得 竖直向下的速度，原水平向左的圆周运动速度不变， 因此合速度变大，故C错误：D.由于空间站变轨后在 P点的速度比变轨前大，而比在近地点的速度小，则 空间站变轨前的速度比变轨后在近地点的小，故D 错误。 [答案]A 「衍生5]「解析门A.b、c围绕地球做匀速圆周运动， 由万有引力提供向心力，a为地球赤道上的物体，由 万有引力和地面给的支持力的合力提供向心力，故 A错误；B.c为地球同步卫星，a为地球赤道上的物 体，两者的周期与地球自转周期相等，根据GMm 4π2 4x2r3 m是r,解得T√M 由图可知rb<rc,可得Ta=T>Tb,故B正确：C.c 为地球同步卫星，根据v=wr,a、c角速度相等，a的 轨道半径小一些，则有ya<vc, GM 根据GMm=m,解得vr r2 C的轨道半径大于b的轨道半径，则c的线速度小于 b的线速度，则有ya<u<h,故C错误；D.C为地球 同步卫星，根据a=wr,a、c角速度相等，a的运动半 径小一些，则有ac>aa, 根据GMm=ma,解得a=GM, r2 r2 由于c的轨道半径大于b的轨道半径，则c的加速度 小于b的加速度，则有ab>ae>aa,故D错误。 [答案]B [衍生6][解析](1)由万有引力定律，A星体所受 B,C星体引力大小为FBA=FcA=G2=G2,则 2 合力大小为FA=25Gm2 a2。 (2)同上，B星体所受A、C星体引力大小分别为 FAB-GMAME-G2m2 r2 Fcn-Gicmn-G2 2 则合力大小为Fw=FAn cos60°+FcB=2G a, Fny-FAnsin 603G 可得F=√F+F=√G a29 (3)通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中，点， √+（）- (4)三星体运动周期相同，对C星体，由FC=FB= m(停)R,可得T= /2π a [答案](1)23Gm2 (2)om2 a2 a2 /a3 (A)Gm ·25 第十九讲机车启动问题 [母题呈现] [例][解析](1)当超级电容车速度达到最大时，超 级电容车的引力与阻力平衡，即F=F,F:=kmg =2000N,P=Fn,解得：Um=币 P =30m/s。 (2)超级电容车做匀加速运动，由牛顿第二定律得： F1-F=ma,解得：F1=3000N 设超级电容车刚达到额定功率时的速度为， P=20 m/s P=F11=F1 设超级电容车匀加速运动的时间为t,则：v1=at,解 得：t=1=40s a (3)超级电容车的速度达到1=20m/s时，超级电容 车的功率达到额定功率P一60kW,以后超级电容车 的功率不再增加，随着速度的增大，牵引力减小，超级 电容车的加速度逐渐减小，直到速度达到，=30m/s, 因这一过程中超级电容车做变加速直线运动，其位移 △x不可用△x=十△计算，可以用p△1-FAx 2 =mu品-m听计算。 (4)超级电容车以额定功率做加速运动，v=10m/s 时，牵引力为：F=P=6000N, 超级电容车的加追度：a=FB=2m/S。 (5)从静止到达到最大速度整个过程牵引力与阻力做 功，由动能定理得：Pt2-Fx=2m哈， 1 解得：x=1050ma [答案](1)30m/s(2)40s(3)见解析 (4)2m/s2(5)1050m [衍生练习] [衍生1门[解析]启动时，乘客的加速度向前，车厢对 人的作用力方向向前，与车运动的方向相同，选项A 错误：以后面的车厢为研究对象，F56一3f=3ma, F67一2f=2ma,则5、6节与6、7节车厢间的作用力 之比为3：2，选项B正确：根据2=2ax,车厢停下 来滑行的距离x与速度的二次方成正比，选项C错 误：若改为4节动车，则功率变为原来2倍，由P Fv知，最大速度变为原来2倍，选项D正确。 [答案]BD [衍生2][解析]由瞬时功率P=Fv可知，汽车功率 恒定，汽车开始所交率引力F-二，若牵引力与汽车 所受阻力相等，则汽车做匀速运动，B项中一t图像 是可能的；若牵引力大于阻力，则汽车做加速运动， 则随速度增大，牵引力减小，而汽车所受阻力不变， 由牛顿第二定律可知，汽车的加速度减小，直至减小高考物理母题60讲 第十八讲 母题呈现 [例]载人飞船将乘组三名 航天员送入空间站组合 体，已知万有引力常量为 G,地球质量为M,半径为 R,图中轨道1为近地轨 道，轨道2为载人飞船变轨过程中的一条椭 圆轨道，轨道3为空间站运行的半径为x的 高空圆轨道。P为椭圆轨道的远地点，Q为 近地点，忽略一切阻力。 (1)当载人飞船在轨道1和3上运行时，比 较他们线速度、角速度、周期和向心加速度 的大小关系？若轨道4为赤道上物体随地 球自转的轨道，请比较物体轨道1和4上线 速度、角速度、周期和向心加速度的大小 关系？ (2)试简述飞船从1轨道运行到3轨道的过 程中飞船的速度变化情况，以及该速度与三 种宇宙速度的大小关系？比较三种轨道上 飞船的周期大小？ (3)试简述飞船从1轨道运行到3轨道的过 程中飞船动能、引力势能以及机械能的变化 情况？ (4)若有两艘飞船甲和乙分别在轨道1和轨 道3做匀速圆周运动，求两飞船两次相距最 近时的时间间隔？ ·6 饶行天体问题 母题拓展 一、卫星运行参量的分析 1.分析人造卫星的运动规律的两条思路 （1)万有引力提供向心力，即GMm=ma.。 2 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于 重力，即食=g或gR=GMRg分 别是天体的半径、表面重力加速度)，公式 gR=GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 2.地球卫星的运行参数（将卫星轨道视为圆） 物理量 推导依据 表达式 最大值或最小值 GMmn 2 当r=R时有最 线速度 GM 大值，v=7.9 km/s G =mo'r GM 当r=R时有最 角速度 r2 w三 大值 GMm r2 3 当r=R时有最 周期 T=2GM 小值，约85min 当r=R时有最 向心加 GMu 2 -man a =GM 速度 大值，最大值 为g 圆周运动的 轨道 圆心与中心 平面 天体中心 重合 二、三种宇宙速度的理解 宇宙速度 数值(km/s》 意义 这是在地面附近发射飞行 器，使飞行器成为绕地球运 第一宇宙 动的人造地球卫星的最小 7.9 速度 发射速度，若7.9km/s<o <11.2km/s,飞行器绕地 球运行 宇宙速度数值(km/s)》 意义 这是在地面附近发射飞行 器，使飞行器挣脱地球引力 束缚，永远离开地球的最小 第二宇 11.2 发射速度，若11.2km/s< 宙速度 v<16.7km/s,飞行器将 永远离开地球，但还无法脱 离太阳对它的引力 这是在地面附近发射飞行 器，使飞行器挣脱太阳引力 第三宇 16.7 束缚的最小发射速度，若 宙速度 >16.7km/s,飞行器将飞 到太阳系外 三、天体的“追及相遇”问题 1.天体“追及相遇”问题的理解 天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中 心天体公转时，周期性地追赶至相距最近， 如图甲所示。根据GMm=mm,可知，地球 r2 公转的角速度ω较大，行星公转的角速度 ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地 球比行星多转一圈。 地球 行星 ● 太阳 甲 2.解决天体“追及相遇”问题的两种方法 (1)根据角度关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t, 则w1t一w2t=n·2π(n=1,2,3…) 可解得1=2π(n=1,2,3…)。 01—02 (2)根据圈数关系列式 设从图甲位置至相距最近所用时间为t,则 元-nm-1.23) 2nTT2(n=1,2,3)。 可解得=T,一T 高考物理母题60讲 行星 太阳 地球 之 3.设从图甲相距最近位置到相距最远位置（图 乙)所用时间为t',同理有关系式：wt一w2t 专(2n-1)π(n=1,2,3…)或-不7 2n-1(n=1,2,3…)。 2 四、卫星变轨问题 起因 卫星速度突然增大 卫星速度突然减小 卫星所需的向心力 卫星所需的向心力减 增大，万有引力不 动力学 小，万有引力大于卫 足以提供卫星所需 星所需的向心力，即 分析 的向心力，即 GMu <m r2 r2 护 卫星将做离心运 卫星将做近心运动， 动，向高轨道变轨。 向低轨道变轨。卫星 卫星在高轨道上做 结果 在低轨道上做圆周运 圆周运动的运行速 动的运行速度比在高 度比在低轨道上时 轨道上时的大 的小 由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时 间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发 生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发 射地球同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道I,使其绕地球 做匀速圆周运动，速率为1。 (2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率 由增加到，这时G<加号，卫星脱 2 离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移 轨道Ⅱ。 高考物理母题60讲 (3)卫星运行到远地点Q 时的速率为v3,此时进 行第二次点火加速，在 短时间内将速率由v 增加到v4,使卫星进入 同步轨道Ⅲ，绕地球做 匀速圆周运动。 (4)飞船和空间站的对接过程与此类似；卫星 的回收过程和飞船的返回则是相反的 过程。 五、双星、多星模型 模型 图解 过程与方法 (1)关联式：T1=T2, ←T—T2 w1=w2,1十r2=L。 双星 (2)向心力： 模型 F F2 Gmim2 =m1r1' m, 0 m, L2 Gmim2-m2wr2 12 R (1)参量特点：转动方 向、半径、周期、线速 度大小均相等。 情形一：三颗星在同 (2)情形一的向心力： 三星 一直线上 Gm2 Gm2 模型 Om R2(2R)3 =ma。 R (3)情形二的向心力： 0 m---------m 2x Gm2 os30°=ma, 情形二：三颗星在等 且L=2Rcos30° 边三角形的三个顶 点上 衍生练习 [衍生1] 根据宇宙大爆炸理论，密度较大区 域的物质在万有引力作用下，不断聚集可 能形成恒星。恒星最终的归宿与其质量有 关，如果质量为太阳质量的1~8倍将坍缩 成白矮星，质量为太阳质量的10一20倍将 坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成 黑洞。设恒星坍缩前后可看成质量均匀分 布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快。 ·6 不考虑恒星与其他物体的相互作用。已知 逃逸速度为第一宇宙速度的√2倍，中子星 密度大于白矮星。根据万有引力理论，下 列说法正确的是 A.同一恒星表面任意位置的重力加速度 相同 B.恒星坍缩后表面两极处的重力加速度 比坍缩前的大 C.恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变 D.中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸 速度 [衍生2]2025年1月 11日，地球恰好运行 到火星和太阳之间， 地球 ◆火星 太阳 且三者几乎排成一 条直线，此现象被称 为“火星冲日”。火星和地球几乎在同一平 面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星 与地球的公转轨道半径之比约为3：2，如 图所示。根据以上信息可以得出() A.火星与地球绕太阳运动的周期之比约 为27：8 B.当火星与地球相距最远时，两者的相对 速度最大 C.火星与地球表面的自由落体加速度大 小之比约为9：4 D.下一次“火星冲日”将出现在2026年 1月16日之前 [衍生3]空间站在地球外层的稀薄大气中 绕行，因气体阻力的影响，轨道高度会发生 变化。空间站安装有发动机，可对轨道进 行修正。图中给出了国际空间站在2020 年2月一2020年8月期间离地高度随时 间变化的曲线，则空间站 () h/km 421 420 419- 4182345678月 A.绕地运行速度约为2.0km/s B.绕地运行速度约为8.0km/s C.在4月份绕行的任意两小时内机械能可 视为守恒 D.在5月份绕行的任意两小时内机械能 可视为守恒 [衍生4幻太空碎片会对航天器 带来危害。设空间站在地球 地球 附近沿逆时针方向做匀速圆 周运动，如图中实线所示。 为了避开碎片，空间站在P点向图中箭头 所指径向方向极短时间喷射气体，使空间 站获得一定的反冲速度，从而实现变轨。 变轨后的轨道如图中虚线所示，其半长轴 大于原轨道半径。则 ) A.空间站变轨前、后在P点的加速度相同 B.空间站变轨后的运动周期比变轨前的小 C.空间站变轨后在P点的速度比变轨前 的小 D.空间站变轨前的速度比变轨后在近地 点的大 [衍生5]如图所示，a 为地球赤道上的物 体，b为沿地球表面 附近做匀速圆周运动的人造卫星，c为地 球同步卫星。关于a、b、c做匀速圆周运动 的说法中正确的是 ( ) A.a、b、c三物体，都仅由万有引力提供向 心力 B.周期关系为T.=T>Tb C.线速度的大小关系为v。<b<v D.向心加速度的大小关系为ah>a>a [归纳提升] ·63 高考物理母题60讲 [衍生6]由三颗星体构成的系统，忽略其他 星体对它们的作用，存在着一种运动形式： 三颗星体在相互之间的万有引力作用下， 分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某 一共同的圆心O在三角形所在的平面内 做相同角速度的圆周运动（图示为A、B、C 三颗星体质量不相同时的一般情况)。若 A星体质量为2m,B、C两星体的质量均为 m,三角形的边长为a。求： (1)A星体所受合力大小FA; (2)B星体所受合力大小FB: (3)C星体的轨道半径Rc; (4)三星体做圆周运动的周期T。