第17讲 中心天体问题-2026年高考物理母题60讲

高考物理母题60讲 、 第十七讲 母题呈现 [例]随着航天技术的不断 发展，人类宇航员可以登 陆一些未知星球。若一宇 航员驾驶飞船到达某星 球，该星球运动情况与地 球相似。宇航员对该星球 做如下研究，即可得到关于该星球的基本信 息。（已知万有引力常量为G) (1)若宇航员着陆前驾驶飞船在半径为r的 轨道上做匀速圆周运动，飞船绕行一周的时 间为T,求该星球的质量；若宇航员想要继 续测量该星球的密度，他需要怎样调整飞船 的运行轨道才能更易于测出该星球的密度。 (2)若已知该星球的半径为R,不考虑该星 球的自转，宇航员着陆该星球后，请你简述 求该天体质量和密度的设计方法； (3)已知该星球的半径为R,若考虑该星球 的自转情况，该宇航员测得极点处的重力加 速度为g1,赤道处的重力加速度为g2,求该 星球的自转周期T,; (4)若已知该星球半径为R,该星球表面的 重力加速度为g,在距离该星球高为h处有 一空间站，求该空间站位置处的重力加速 度？若在该星球表面沿着半径挖一深度为 d的深井，求井底的重力加速度。 5 P心天体问题 知识链接 一、开普勒定律的理解与应用 1.根据开普勒第二定律，行星在椭圆轨道上运 动时，相等时间内扫过的面积相等，则1r =V2r2o 2.根据开普勒第三定律，只=k,若为橘圆轨 道，则r为半长轴；若为圆轨道，则a为圆周 运动的轨道半径。 3.开普勒第三定律二=中，k值只与中心天 体的质量有关，不同的中心天体飞值不同， 故该定律只能用在绕同一中心天体公转的 两星体之间。 4.运行过程中行星的机械能守恒，即Ek1十E, =Ek2十E2。 二、万有引力定律及其应用 1.万有引力的“两点理解”和“三个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力 和反作用力。 ②万有引力定律的表达式F=G”,适用于 计算质点间的万有引力。当物体不能看成 质点时，可以把物体分成若干部分，求出两 物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和 计算它们的合力。 (2)三个推论 ①推论1：两个质量分布均匀的球体之间的万 有引力等于位于两球心处、质量分别与两球 体相等的质点间的万有引力。 ②推论2：在匀质球壳的空腔内任意位置处， 质点受到球壳的万有引力的合力为零，即 F=0。 ③推论3：在匀质球体内部距离球心r处的质 点()受到的球体其他部分物质的万有引 力，等于球体内半径为r的同心球体(M)对 其的万有引力，即F=GMm 2。 2.万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F可分解为：重力 mg、提供物体随地球自转的向心力F向。 R （1）在赤道上：GMm=mg1十mw'R。 (2)在两极上：G Mm R2 二mg0。 3)在一股位置：万有引力G等于重力m9 与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。 由于物体随地球自转所需的向心力较小， 通常可认为万有引力近似等于重力，即 GMm R2 -mgo 5 高考物理母题60讲 三、天体质量和密度的估算 1.重力加速度法：利用天体表面的重力加速度 g和天体半径R。 (1)由GMm =mg得天体质量M=R 。 (公)天休密度。一出 .3g 3 34πGR9 2.天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运 动的半径r和周期T。 （1)GM=m产得天体的质蓝 2 M=4π23 GT2。 (2)若已知天体的半径R,则天体的密度 M M 3πr3 0= 3πR3 4 GT2R3 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径 ,等于天体半径R,则天体密度P一票，可 见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周 期T,就可估算出中心天体的密度。 3.应注意的问题 (1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心 力估算天体质量时，估算的是中心天体的 质量，并非环绕天体的质量。 (2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有 在天体表面附近运动的卫星才有r≈R;计 算天体密度时，V-号xR中的R只能是中 心天体的半径。 (3)在考虑中心天体自转问题时，只有在两极 处才有GMm=mg. (4)利用开普勒第三定律计算时，只有中心天 体相同时值才相同。 高考物理母题60讲 母题拓展 等效思维 类比思维 极限思维 科学思维 星球表面的物体 动力学观点 两大观点 天体运动模型 三大问题 H地模型 能量观点 解题要点 B双星模型 是否是 高轨到低轨还 稳定运动时 多星模型 卫星 是低轨到高轨 的状态 衍生练习 A 15w2 B. 16πG 4πG 「衍生1]嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为 T,轨道高度与月球半径之比为k,引力常 C n元 量为G,则月球的平均密度为 [衍生4] 在星球P和星球 v/(m's-) A. 3π(1+k3) Q的表面，以相同的初速 GTk B.3π G C.π1+) 度。竖直上抛一小球，小 3GTk D器1+) 球在空中运动时的v一t [衍生2]2024年5月，嫦娥六号探测器发射 图像分别如图所示。假设两星球均为质量 成功，开启了人类首次从月球背面采样返回 均匀分布的球体，星球P的半径是星球Q 之旅。将采得的样品带回地球，飞行器需经 半径的3倍，则星球P和星球Q的密度之 过月面起飞、环月飞行、月地转移等过程。月 比为 球表面自由落体加速度约为地球表面自由落 A.3:1 B.1:1 体加速度的。下列说法正确的是( C.1:3 D.1:9 [衍生5]有一质量为m、半径为R、密度均匀 A.在环月飞行时，样品所受合力为零 的球体，在距离球心O为2R的地方有一质 B.若将样品放置在月球正面，它对月球表 面压力等于零 量为m的质点。现从m中挖去半径为号R C.样品在不同过程中受到的引力不同，所 的球体，如图所示，则剩余部分对m'的万 以质量也不同 有引力大小为 D.样品放置在月球背面时对月球的压力 比放置在地球表面时对地球的压力小 [衍生3]太阳系一颗质量均匀、可看作球体 的小行星自转角速度为ω，在该星球表面 “赤道”处的重力加速度大小为“两极”处的 A.7Gmm B.Gmm 重力加速度大小的号，已知引力常量G,则 36R 18R 该星球密度p为 C.Gmm' 4R2 D. 11Gmm' 36R2 ·58· [衍生6]已知质量分布均匀的球壳对内部 物体产生的万有引力为0。对于某质量分 布均匀的星球，在距离星球表面不同高度 或不同深度处重力加速度大小是不同的， 若用x表示某位置到该星球球心的距离， 用g表示该位置处的重力加速度大小，忽 略星球自转。下列关于g与x的关系图像 可能正确的是 [衍生7]一宇航员到达某 星球表面后，为测定该星 球的平均密度，做了如下 实验：取一细线，细线 端拴一小球，使它在水平 面内做匀速圆周运动，如 图所示，测得细线长度为L,细线与轴线之 间的夹角为0。小球质量为m,圆周运动的 周期为T。已知引力常量为G,星球半径 为R。 (1)根据测得数据推导该星球表面的重力 加速度g。 (2)求出该星球的平均密度p。 [归纳提升] ·59 高考物理母题60讲 [衍生8](1)开普勒行星运动第三定律指 出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 a的三次方与它的公转周期T的二次方成 正比，即气=k,及是一个对所有行星都相 同的常量。将行星绕太阳的运动按圆周运 动处理，请推导出太阳系中该常量k的表 达式。已知引力常量为G,太阳的质量 为M太。 (2)开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一 切具有中心天体的引力系统（如地月系统） 都成立。经测定月地距离为3.84×10°m 月球绕地球运动的周期为2.36×10s,试 计算地球的质量M地。(G=6.67×10山 Nm/kg2,结果保留一位有效数字)、高考物理母题60讲 (2)从A点到C点，由动能定理得mgh1一mg cos8 ×益msR1-os0》=子特=高 3 (3)设运动员离开C点后开始做平抛运动到P点，水 平位移xp=t, 竖直位移p=2gt, 由几何关系得p-2=tan0,P=cos0, S P 联立得运动员落，点距离D的距离sp=125m (4)P点沿斜坡速度vp=ccos0+gtsin0=44m/s, 从落，点P到最终停下由动能定理得mg(L一sp)sin8 -umg(I.-sp)cos 0+mgR2 (1-cos 0)-fd=0- 2m,解得f≈1450N,故≈1.8。 mg [答案](1)5800N(2)160 3 (3)125m(4)1.8 第十七讲中心天体问题 [母题呈现 [例][解析](1)飞船做匀速圆周运动，万有引力提 供向心力：G-m×票，M r2 GT2 MM 3r3 3GT2R3 所以宇航员可以调整飞船到近地轨道，测出此时的周 期T,即可求该星球密度。 ②)M农即巴知星球表面重力加速度g,即可泉 该星球质量M。 求g的方法：利用自由落体运动，竖直上抛运动，平抛 运动，单摆等可测g。 (3)极点和上：GMm R2 =mg1· 赤道处：GMm 4π2R R2 =mg2十mX2,T1Ng1-g2 T? (4)星球表面：GM=gR2, 空间站位置处：万有引力=重力，即G Mm (R+h)2 =mg, GM R2 g’= (R+h)2(R+h)28, 并底位置：球核与该星球质量之比：-RD M R3 G-M'm (R-d)2=mg”, -GM(R-d)_g(R-d) R R [答案] (1)4x3 GT 见解析(2)见解析 4π2R R2 (3入g1 (4) g(R-d) (R+h)28 R [衍生练习] [衍生1][解析]设月球半径为R,质量为M,对嫦娥 六号，根据万有引力提供向心力 Mm 4π2 G+R购m节·k+1R, 4 月球的体积V= M 3R3,月球的平均密度p=岁， 联立可得p票1+ [答案]D ·25 [衍生2][解析]A.在环月飞行时，样品所受合力提 供所需的向心力，不为零，故A错误：BD.若将样品 放置在月球正面，它对月球表面压力大小等于它在 月球表面的重力大小：由于月球表面自由落体加速 度约为地球表面自由落体加速度的行，则样品在地 球表面的重力大于在月球表面的重力，所以样品放 置在月球背面时对月球的压力，比放置在地球表面 时对地球的压力小，故B错误，D正确：C,样品在不 同过程中受到的引力不同，但样品的质量相同，故C 错误。 [答案] D [衍生3】[解析]该星球“两枚”处G=mg, R2 演爱球袁面“赤道”处6微一台g十mR, MM 刚该星球密度p为p立R 解得p=15o2 4πG [答案]C [衍生4][解析]由图像可知星球P和星球Q表面 的重力加速度之比为P=:0=3 gQt03t6工， 在星球表面GMm R2=mg, 可得M=gR 8R2 根据密度公式可得p=V= M G 3g 4πGR1 其中Rp=3RQ 可得星球P和星球Q的密度之比为咒=型.BQ PQ gQ Rp [答案]B [衍生5][解析]挖去小球前，球与质点的万有引力 大小为F1=Gmm'-Gmm (2R)24R2, 设挖去的球体的质量为m1,球体的密度为ρ，则有 m=p·号m=p…号（受），可得m1=受 4 4/R13 被挖部分对质点的引力大小为 m F2= G 8m Gmm (3R 2 18R2, 、2 则剩余部分对质点m的万有引力大小为 F-F-F2 -TGmm' 36R2 [答案]A [衍生6][解析]当x≤R,设地球的密度为P,距地球 球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关 系为G30m 4 =mg,可得g= 3 当x>R,设地球的密度为P,地球半径为R,距地球 球心x处的物体受到的万有引力与该处的重力的关 系为G3pR 4 =mg,可得g=4πG0R 3.x2 「答案]A [衍生7][解析](1)小球在水平面内做匀速圆周运 动，由牛频第二定体可得mgan0=m气1sn0, 可得该星球表面的重力加速度为g=4xL©os0 T2 (2)在星球表面，由万有引力等于重力可得 G0-msM-p·音R, 联立解得该星球的平均密度为p=3πLco、日 GRT [答案](1)4r2Lcos9 (2)3xLcos T2 GRT [衍生8][解析](1)因行星绕太阳做匀速圆周运动， 于是轨道的半长轴α即为轨道半径r。根据万有引 力定#和牛领第二定律有G”三=m(停)， r2 于是有宁-是M:即受M (2)在月地系统中，设月球绕地球运动的轨道半径为 R月期为，商)中可得号-是M, 解得M地=6X1024kg。 [答案](I)k=GM太 (2)6×1024kg 4π2 第十八讲绕行天体问题 [母题呈现] [例][解析](1)v1>3w1>3;T1<T3a1>a3 U>t4:w1>w4:T1<T4:a1>a4a (2)飞船在轨道1上做匀速圆周运动v1=7.9km/s, 等于第一字宙速度在轨道2上：飞船在Q点火加速。 ..7.9 km/s<vq<11.2 km/s, 即Q介于第一字宙速度与第二宇宙速度之间： 飞船在Q到P的过程中，速度减小轨道2变到轨道 3:飞船在P点火加速，后以3做匀速圆周运动，V3< V1=7.9km/s。∴3小于第一宇宙速度。 各轨道上周期关系：T1<T2<T3。 (3)飞船轨道1稳定运动时，动能不变，引力势能不 变，机械能不变。轨道1变到轨道2时（即Q点），动 能增加，机械能增加，轨道2上，由Q点到P点运行过 程中：动能减小，引力势能增加，机械能不变。 轨道2变到轨道3时（即Q,点），动能增加，机械能增 加飞船在轨道了上稳定运行时，动能不变，引力势能 不变，机械能不变。 (4)飞船甲、乙均做匀速圆周运动：甲：G=mX R2 R,乙：GMm=mX呢r,两飞船从第一次相距最近到 2 第二次相距最近时，甲比乙多转过2x孤度的圆心角， 即0甲一0元=2π，(w甲一w元)Xt=2π， 联立以上方程解得：t= 2π GMGM N R3 Nr3 [答案](1)见解析(2)见解析(3)见解析 2x (4) GM GM ·25 高考物理母题60讲 [衍生练习] [衍生1][解析]A.恒星由于自转，除两极万有引力 等于重力以外，其他位置均由万有引力的一个分力 提供自转所需向心力，另一个分力即为重力，可知， 同一恒星表面任意位置的重力大小不相同，纬度越 高，重力越大，即同一恒星表面任意位置的重力加速 度大小不相同，纬度越高，重力加速度越大，故A错 误：B.在表面两极处，结合上迷有G0=mg,解得 R2 《,恒星坍缩后，质量不变，体积缩小，即半径诚 小，可知，恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍 缩前的大，故B正确：C.第一宇宙速度等于绕表面运 行的卫里的钱逸度，则有G=m只解得。= R2 G恒星坍缩后，质量不变，体积缩小，即半径减小， 可知，恒星坍缩前后的第一宇宙速度变大，故C错 误：D.第一宇宙速度又叫作环绕速度，第二宇宙速度 又叫作逃逸速度，第二宇宙速度等于第一宇宙速度 的√2倍，结合上述可知，恒星坍缩前后的第一宇宙速 度变大，即第二宇宙速度也变大，由于中子星的半径 小于白矮星，可知，中子星的逃逸速度大于白矮星的 逃逸速度，故D错误。 「答案]B [衍生2][解析]A.火星和地球均绕太阳运动，由于 火星与地球的轨道半径之比约为3：2，根据开普勒 度-是可异片渠A 第三定律有=T送， 错误；B.火星和地球绕太阳匀速圆周运动，速度大小 均不变，当火星与地球相距最远时，由于两者的速度 方向相反，故此时两者相对速度最大，故B正确：C 在星球表面根据万有引力定律有GMm=mg,由于 r2 不知道火星和地球的质量比，故无法得出火星和地 球表面的自由落体加速度，故C错误：D.火星和地球 绕太阳匀速圆周运动，有火红0地 要发生下一次火星冲日则有（红-2x,得 TT地>T地，可知下一次“火星冲日”将出现 t一T火一T地 在2026年1月16日之后，故D错误。 [答案]B [衍生3][解析]AB.卫星贴近地面做匀速圆周运动 的线速度大小设为1，此速度为第一宇宙速度，即 1=7.9km/s;地球半径约为6400km,则空间站离 地高度在418km421km之间。 GMm =mg, R2 GMm gR2 R)z二￥万，解得0√分， 空间站距离地面的最小高度约为h=418kmR =6400km,则2>2-79km/s=5.58km/5,所 22 以空间站绕地运行速度5.58km/s<2<7.9km/s, 故AB错误：C.在4月份轨道半径出现明显的变大， 则可知，机械能不守恒，故C错误；D.在5月份轨道 半径基本不变，故可视为机械能守恒，故D正确。 [答案]D