第14讲 竖直面的圆周运动问题-2026年高考物理母题60讲

、 高考物理母题60讲 第十四讲 竖直 母题呈现 [例]如图所示，一根长为1的 轻质细线（不可伸长）一端固 定在O点，另一端系一个质量 为m的小球（可看成质点），现 给小球一水平向右的初速度 vo,重力加速度为g。 (1)要使小球在竖直平面内能做完整的圆周 运动，小球的速度在最高点应满足什么 条件？ (2),是多少时，小球在竖直平面内恰好做 完整的圆周运动？ (3)若让小球在竖直平面内运动而让轻绳一 直不松弛，。应满足什么条件？ (4)若，=√4.5gl,轻绳是否松弛？若轻绳 松弛，是在何位置松弛？ (5)若将轻绳去掉，改为竖直光滑圆弧轨道， 让小球在其内侧运动而不脱离轨道，则小球 在最低点的速度，应满足什么条件？ (6)若将轻绳改为轻杆，其他条件不变，让小 球在竖直面内做完整的圆周运动，，应满 足什么条件？ 面的圆周运动问题 知识链接 竖直面内的圆周运动 “绳”模型和“杆” 模型： 1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到 轨道最高点时的受力情况可分为两类： 一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动 的物体等)，称为“绳（环）约束模型”。 二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运 动等)，称为“杆（管）约束模型”。 2.绳、杆模型涉及的临界问题 绳模型 杆模型 绳 常见 圆轨道 杆 光滑 管 类型 均是没有支撑的 小球 均是有支撑的小球 除重力外，物体受 除重力外，物体受到的 受力 到的弹力向下或 弹力向下、等于零或 特征 等于零 向上 受力 示意图 mg 0 过最高 由mg=m 由小球恰能做圆周运动 点的临 r 界条件 得临=√gr 得v临=0 (1)当v=0时，FN= mg,F、为支持力，沿半 (1)过最高点时， 径背离圆心 v≥√gr, (2)当0<v<√gr时 v2 FN十mg=mF, a若A背 绳、圆轨道对球产 离圆心，随)的增大而 讨论 生弹力FN 减小 分析 (2)不能过最高点 (3)当v=√gr时， 时，v<√gr,在到 FN=0 达最高点前小球 (4)当o>√gr时，FN十 已经脱离了圆 轨道 mg =mi2 ,F指向圆 心，并随的增大而 增大 46 衍生练习 [衍生1]如图，当汽车通过拱桥顶点的速度 为10m/s时，车对桥顶的压力为车重的 子：如果要使兴车在桥面行装至桥顶时，恰 好不受桥面支持力作用，则汽车通过桥顶 的速度应为(g取10m/s2) mg A.15 m/s B.20 m/s C.25 m/s D.30 m/s [衍生2]（多选)如图甲所示，小球用不可伸 长的轻绳连接后绕固定点O在竖直面内 做圆周运动，小球经过最高点时的速度大 小为，此时绳子的拉力大小为FT,拉力 F、与速度的平方的关系如图乙所示。 已知重力加速度为g,以下说法正确的是 FT 0 a 2a 分 A.圆周运动半径R= g B.小球的质量m=b 高考物理母题60讲 C.图乙图线的斜率只与小球的质量有关， 与圆周运动半径无关 D.若小球恰好能做完整圆周运动，则经过 最高点的速度v=√2a 「衍生3]如图所示，竖直面内的圆形管道半 径R远大于横截面的半径，有一小球直径 比管横截面直径略小，在管道内做圆周运 动。小球过最高点时，小球对管壁的弹 大小用F表示、速度大小用表示，当小球 以不同速度经过管道最高点时，其F一 图像如图所示。则 O a b A.小球的质量为aR B.当地的重力加速度大小为尽 a C.=b时，小球对管壁的弹力方向竖直 向下 D.=3b时，小球受到的弹力大小是重力 大小的5倍 [衍生4幻如图所示，质量为1.6kg,半径为 0.5m的光滑细圆管用轻杆固定在竖直平 面内，小球A和B的直径略小于细圆管的 内径。它们的质量分别为mA=1kg、mB= ,高考物理母题60讲 2kg。某时刻，小球A、B分别位于圆管最低 点和最高点，且A的速度大小为vA=3m/s, 此时杆对圆管的弹力为零。则B球的速度 大小v为(g取10m/s2) UB A A.2 m/s B.4 m/s C.6 m/s D.8 m/s [衍生5]如图所示，轻杆长3L,在杆两端分 别固定质量均为m的球A和B,光滑水平 转轴穿过杆上距球A为L处的O点，外界 给系统一定能量后，杆和球在竖直平面内 转动，球B运动到最高点时，杆对球B恰 好无作用力。忽略空气阻力，重力加速度 为g。则球B在最高点时 A.球B的速度为零 B.球A的速度大小为√/2gL C.杆对O点的作用力为1.5mg D.杆对A球的作用力为1.25mg [归纳提升] [衍生6]如图所示，竖直平面内有一半径为 R=0.35m的内壁光滑的圆形轨道，轨道 底端与光滑水平面相切，一小球（可视为质 点)以v。=3.5m/s的初速度进入轨道， g=10m/s2。(答案可保留根号) 点N (1)求小球脱离轨道时的速度； (2)求小球脱离轨道后到达最高点的时间。离圆心，物体A受到的摩擦力方向指向圆心，则对物 体A有T十mAg=mAwirA,对物体B有T-mBg =mpwirB,解得w1=5√2rad/s,选项C错误，D 正确。 [答案]D [衍生6][解析]摩托车做匀速圆周运 动，捉供圆周运动向心力的是重力mg 和支持力F的合力，如图所示，侧壁对摩 托车的支持力为F=则摩托奉对 侧壁的压力为F=mg mg cos 6' 根据牛顿第二定律可得 4π2 2 mgtan 0-ma-mTr-m 4π2r 解得a=gtan,T√gm0u=√grtan, 可知h越高，日不变，r越大，则摩托车对侧壁的压力 不变，摩托车做圆周运动的加速度不变，摩托车做圆 周运动的周期越大，摩托车做圆周运动的线速度越 大，故选C。 [答案]C [衍生7][解析]AB.对题图甲，A、B两小球分析，设 绳与竖直方向的夹角为日，绳长为1，小球的质量为 m,小球A、B到悬点的竖直高度为h,如图所示，则有 mg mg tan 0=moIsin 0, g g 解得uc00√六 可知小球A、B的角速度相同，由v=心可知，小球 A、B的线速度大小不同，A正确，B错误；C.对题图 乙，C、D两小球分析，设绳与竖直方向的夹角为《，小 球的质量为m,绳长为L,ng tan a=mw2 Lsin a, g w√L.cos a 又r=Lsin a, 由u=wr可知v√.cos a g ·Lsin a=√glsin atan a 小球C、D的绳与竖直方向之间的夹角相同，绳长不 同，因此小球C、D线速度大小不同，C错误；D.设绳 上的拉力为T,水平方向则有ngtan a=ma, 竖直方向则有T cos a=mg, 联立解得a=gtan a,则有T=mg cos a 可知小球D受到绳的拉力与小球C受到绳的拉力大 小相等，D正确。 [答案]AD [衍生8][解析](1)小球B始终静止，则T=mg,物 体A做匀速圆周运动的向心力大小F1=Mwr= 4N,对物体A受力分析可知T=f1=F1, 解得f1=2N,摩擦力方向沿绳指向圆心O。 ·24 高考物理母题60讲 (2)角速度取最大值时，物体A需要的向心力由绳的 拉力和最大静摩擦力的合力提供，则T十fm =Mwir, 又fm=Mg=4N,解得w2=√6rad/s, 转盘静止时T<fm, 故转盘静止时，小球B保持静止。故为使小球B保 持静止转盘绕中心O旋转的角速度的取值范围为0 ≤w≤√6rad/s。 [答案](1)2N(2)0≤w≤√6rad/s 「衍生9]「解析门(1)由题意可知，当绳子刚好出现拉 力时，静摩擦力提供向心力，物块所受的最大静摩擦 力大小为fm=mg=10N, 根据牛顿第二定律Fm=mwr=mnoLsin0, 解得1=5v6, 3 rad/s (2)物块刚要离开转台时，转台对物块的支持力恰好 为零，水平方向，根据牛顿第二定律Tsin37°= mw2Lsin37°， 竖直方向，根据平衡条件Tcos37°=mg, 联立解得w2=5rad/s。 8)由于2 rad/s<v20 rad/s<5 rad/s, 物块受力分析如图所示 水平方向Tsin0+f=moLsin0,竖直方向Tcos0+ N=mg,其中f=uN,联立解得T=10N。 [答秦]155rad/s(25ads（310N [衍生10][解析]铁环受力如图所示，则： x00 mg Fcos 0=F sin 0+mg,Fsin 0+F cos 0=mr )· 其中r=Isin Ocos0,又lcos0+lsin0=1.4l, 张立部得1华√层 [答案导√层 第十四讲坚直面的圆周运动问题 [母题呈现] [例][解析](1)要想让小球在竖直平面内恰好做完 整的圆周运动，一定要通过最高点，设小球通过最高 点的最小速度为飞mim,此时轻绳拉力恰好为零，由圆周 运动的向心力得mg=m· .吃≥nn=,所以，在 最高，点的速度v≥√g。 、高考物理母题60讲 (2)由(1)可知，小球恰好做完整的圆周运动时，最高 点速度飞min=√g,小球从最低点到最高点应用动能定 理得-mg·2以=7mmin-7m6,解得w=√区. (3)由(2)可知，当0≥√5g时，小球能在竖直平面内 做圆周运动而让轻绳一直不松弛。 另一种情况，当小球通过圆心所在水平面以下位置 时，如图所示 0's- A 、☒> 以E点为创，白向心力公式得T-mg00=加二，因 为重力的合力背离圆心，此时T>0,轻绳一直是张紧 的，所以小球只要不越过与圆心等高的B点就在圆轨 道上一直做往复运动，轻绳就不会松弛。 设小球恰能过B点，即B=0,则从A→B由动能定理 1 得-mg1=0-2m,解得A=√2g, 所以，让小球在竖直平面内运动而轻绳一直不松弛， 有两种情况：v≥√5g7或者vo≤√2g7。 (4)由(3)可知，√2gl<(0=√4.5gl)√5gl,所以 小球能越过B点但不能到达最高，点C,小球在BC段某 一位置轻绳会松弛，假设轻绳在D点松弛，则TD=0。 C、 D mgsin 0 o2 mg B A 在D点：m8as9=mX号 从A到D由动能定理得：-mgL(1十cos0)= 2m2 m喝，解得cos0=5 1 6 (5)小球为研究对象受力分析，所受圆轨道的支持力 和(3)问中轻绳的拉力作用效果是相同的，所以(3)问 中的结论也是小球在光滑轨道上运动而不脱离轨道 的条件：即h≥√5g7或者0≤√2g7。 (6)假设小球恰能运动到最高点，即=0，对小球从最 低点到最高点应用动能定理得一mg·2=0 1 m哈，解得0≥√4g,所以能使小球在竖直平面内 做完整的圆周运动，则应满足0≥√4gl。 [答案](1)≥W√gl(2)0=√5gl(3)w≤√2gl 或0≥V5g7(0c0s0=吾(5)w≥5g7或者 Yo≤√2gl(6)o≥√4gl ·24 [衍生练习] [衍生1门[解析]汽车在拱桥的最高点时，向心力由 重力和支持力的合力提供，当汽车通过拱桥顶点的 速度为10m/s时，根据牛频第二定律mg一子mg 3 1 吃 m,若支持力应为0，根据牛顿第二定律有mg=m二 联立解得v2=20m/s。 [答案]B [衍生2][解析]A.当2=a时，此时绳子的拉力为 2 零，物体的重力提供向心力，则mg=m尺，解得v2- gR,故a=gR, 圆周运动半径为R=a,故A正确；B.当2=2a时， 对物体受力分析，根据向心力方程得mg十b=m尺， 解得小球的质量为m= 一名，故B正确；C.小球经过最 2 高，点时，根据向心力方程得mg十Ft=mR 解得FT=R2-mg, 图乙图线的斜奉为=登，与小球的质量和圆周轨道 半径有关，故C错误：D.若小球恰好能做完整圆周运 动，即小球在最高点有FT=0,由图知=a,即v= √Q,故D错误。 [答案]AB [衍生3][解析]AB.在最高点，若v=0, 则F=mg=c, 若F=0,重力提供向心力，则mg=m尺=mR, 解得小球的质量g=是，m=迟，故AB错民：C.若 F=0,则2=a,则v2=b时，小球所受的弹力方向向 下，所以小球对管壁的弹力方向竖直向上，故C错 误：D.当2=b时，根据mg十P=m食，F=C=mg, 解得b=2gR, 2 当子=3b时，根据mg十F=mR, 解得F'=5mg,故D正确。 [答案]D [衍生4幻[解析]对A球，合外力提供向心力，设环对 A的支持力为FA,由牛顿第二定律有FA一mAg= m爱代入教格解得P=28N, 由牛顿第三定律可得，A球对环的力向下，为28N, 设B球对环的力为FB',由环的受力平衡可得 FB'+28+m环g=0, 解得FB'=一44N,符号表示和重力方向相反，由牛 顿第三定律可得，环对B球的力FB为44N,方向竖 直向下，对B球由牛顿第二定律有FB十mBg=mBR, 解得B=4m/s. [答案]B [衍生5][解析]A球B运动到最高点时，球B对杆恰 好无作用力，即重力恰好提供向心力，则有mg=m21, 解得B=√2gL,故A错误；B.由于A、B两球的角 速度相等，由v=wr得：球A的速度大小为 n==?@,放B错送：CD.杆对A球的作 1 用力满足T一mg=m会，则T=子mg,B球到最高 点时，对杆无弹力，所以水平转轴对杆的作用力为1.5 mg,杆对O点的作用力为1.5mg,故C正确，D错误。 [答案]C [衍生6][解析](1)当弹力为零时，小球将脱离轨 道，设此，点与圆心连线与水平方向的角度为日，根据 动能定理知mg(R+Rsin0》=子m6-子m, 2 根据牛颜运动定律，由ngsin日=mR' 1 联立解得sin9=),w=2 -m/sa (2)由上分析可知，小球脱离轨道的位置与圆心连线 和水平方向间的夹角为30°，脱离后小球做斜抛运 动，根据速度的分解可知，在竖直方向上的分速度为 u=m0-号×91s= 4 -m/s, 可得小球脱离轨道后到达最高点的时间为 1=L=V g 40s。 [答案]1) 2m/s(2)2、 40 第十五讲斜面上的圆周运动问题 [母题呈现] [例][解析](1)当物体转到圆盘的最低，点，所受的 静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛 顿第二定律得ngcos30°-ng sin30°=mw品r, 解得wm /g(4cos30°-sin30) 10× 3×3_1 2 22=1rad/sa 2.5 (2)当小物体运动到最高点时，则有mngsin0一f= ma2R,解得f=2.5N,方向沿斜面向上，大小 为2.5N。 (3)小物体运动到与圆心等高的位置时，则有f= √mmR)+(mgin,解得f=吾N。 [答案](1)1rad/s(2)2.5N方向沿斜面向上 (3)36N [衍生练习] [衍生1][解析]AB.火车以某一速度v通过某弯道 时，内、外轨道均不受侧压力作用，其所受的重力和 N 支持力的合力提供向心力 ·24 高考物理母题60讲 由图可以得出F合=mgtan(0为轨道平面与水平面 的夹角)，合力等于向心力，故ngtan日m下，解得。 v=√gRtan0,故A正确，B错误：C.当转弯的实际 速度大于规定速度时，火车所受的重力和支持力的 合力不足以提供所需的向心力，火车有离心趋势，故 其外侧车轮轮缘会与铁轨外轨相互挤压，故C错误； D.根据几何关系可知当火车为设计速度时，铁轨对火 车的作用力等于火车实际造度大于设计连度时， 铁载对大车的作用力不等于。故D错误。 [答案]A 「衍生2]「解析]AB.当物体在最高点时，也可能受 到重力、支持力与摩擦力三个力的作用，摩擦力的方 向可能沿斜面向上（即背离圆心），也可能沿斜面向 下（即指向圆心），摩擦力的方向沿斜面向上时，w越 大时，小物体在最高，点处受到的摩擦力越小，故A错 误，B正确：CD.当物体转到圆盘的最低，点恰好不滑 动时，圆盘的角速度最大，此时小物体受竖直向下的 重力、垂直于斜面向上的支持力、沿斜面指向圆心的 摩擦力，由沿斜面的合力提供向心力，支持力FN= ngcos30°， 摩擦力Ff=FN=mgcos30°， 又mngcos30°-mngsin30°=mw2R, 解得w=l.0rad/s,故C正确，D错误。 [答案]BC [衍生3][解析]小球恰好到达A点时的速度大小为 vA=0,此时对应B点的速度最小，设为VB,对小球 从A到B的运动过程，由动能定理有弓m暖 1 2mu=2 ngLsin a,解得vB=4m/s。 [答案]A [衍生4幻[解析]A.在最低点恰好相对圆盘静止，则 说明摩擦力达到最大静摩擦力，依题意有mgcos0 -mgsin 0=ma2R,u=2 tan 0, 解得有w贺，故Λ正确：C.当小物块运动到 C点时，只分析在圆盘平面内的受力，如图所示 -0 B120% mgsin0 据前面分析有向心力大小为mgsin 0=F向， 向心力与重力沿斜面向下的分力夹角为120°，根据 平行四边形定则，则向心力减去重力沿斜面向下的 分力即为物块所受到的静摩擦力，即有 f=ngsin0sin60°×2=√3 ngsin0,方向如图所示，但 不指向圆心，故B错误，C正确：D.小物块从B运动 到C的过程，动能不变，重力做负功，则摩擦力做正 功，根据动能定理有W1一mngsin OR(1一cos60°)=0， 解得W1=mRRsin0,故D错误。 [答案]AC