学案20 导数的实际应用 -2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学导学案聚焦导数的实际应用，通过利润最大、成本最低、面积容积最值等典型问题，引导学生运用导数解决实际优化问题。前承导数的概念与求导法则，后接实际情境中的模型构建，搭建从理论到应用的学习支架。 资料以生活实例为载体，如商品销售、汽车耗油等，培养学生用数学眼光观察现实世界的能力。注重解题规范，强调隐含定义域及实际意义取舍，提升数学思维的严谨性。详细解析与变式训练结合，帮助学生用数学语言表达问题解决过程，有效发展应用意识与实践能力。

高二数学学案 　　　　　　　　　　 使用时间： 年 月 日 ( 学案20 导数的实际应用 ) 【重难点】 ： 【注意事项】 （1）注意隐含的定义域 （2）求实际问题的最值时，注意考虑实际问题的意义，不符合题意的值舍去 （3）函数在区间内只有一个点满足=0时，若函数在这点有极值，不与端点比较，也知道这是最值 类型一　利润最大问题 例一：1．已知某商品的进货单价为1元/件，商户甲往年以单价2元/件销售该商品时，年销量为1万件，今年拟下调销售单价以提高销量，增加收益．据测算，若今年的实际销售单价为x元/件(1≤x≤2)，今年新增的年销量(单位：万件)与(2－x)2成正比，比例系数为4． （1）写出今年商户甲的收益y(单位：万元)与今年的实际销售单价x间的函数关系式； （2）商户甲今年采取降低单价，提高销量的营销策略是否能获得比往年更大的收益(即比往年收益更多)？说明理由． 类型二：成本最低、用料最省问题 例二：统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量（升）关于行驶速度（千米/小时）的函数解析式可以表示为： 已知甲、乙两地相距100千米。 （I）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （II）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？ 变式2. 如图所示的某种容器的体积为，它是由圆锥和圆柱两部分连结而成的，圆柱与圆锥的底面圆半径都为.圆锥的高为，母线与底面所成的角为；圆柱的高为.已知圆柱底面造价为元，圆柱侧面造价为元，圆锥侧面造价为元. （1）将圆柱的高表示为底面圆半径的函数，并求出定义域； （2）当容器造价最低时，圆柱的底面圆半径为多少？ 类型三：面积、容积最值问题 例三：如图，在半径为的半圆形（O为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD，其中点A、B在直径上，点C、D在圆周上，将所截得的矩形铁皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面（不计剪裁和拼接损耗），记圆柱形罐子的体积为． （1）按下列要求建立函数关系式： ①设，将表示为的函数； ②设（），将表示为的函数； （2）选用（1）问中的一个函数关系，求圆柱形罐子的最大体积 例四. 南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2 m，宽1.5 m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到处，点落在牛皮纸上，沿，裁剪并展开，得到风筝面，如图1． （1）若点E恰好与点B重合，且点在BD上，如图2，求风筝面的面积； （2）当风筝面的面积为时，求点到AB距离的最大值． 学案20 导数的实际应用答案 例一（1）y＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)（2）不能 【解析】（1）由题意知，今年的年销售量为1＋4(x－2)2 (万件)． 因为每销售一件，商户甲可获利(x－1)元，所以今年商户甲的收益y＝[1＋4(x－2)2](x－1) ＝4x3－20x2＋33x－17，(1≤x≤2)． 4分 （2）由（1）知y＝4x3－20x2＋33x－17，1≤x≤2， 从而y′＝12x2－40x＋33＝(2x－3)(6x－11)． 令y′＝0，解得x＝，或x＝．列表如下： x (1，) (，) (，2) f ′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x) 递增 极大值 递减 极小值 递增 又f()＝1，f(2)＝1，所以f(x)在区间[1，2]上的最大值为1(万元)． 而往年的收益为(2－1)×1＝1(万元)， 所以，商户甲采取降低单价，提高销量的营销策略不能获得比往年更大的收益． 例二．(1) 17.5 L. (2) 当汽车以80 km/h的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为11.25 L. 【解析】 解: (1)当x=40时，汽车从甲地到乙地行驶了小时, 要耗油(. 答：当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油17.5升. (2)当速度为x千米/小时，汽车从甲地到乙地行驶了设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=()·, (x)=其中0＜x≤120 令(x)=0，得x=80. 当x∈(0,80)时，(x)＜0,h(x)是减函数; 当x∈(80,120)时，(x)＞0,h(x)是增函数. ∴当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=11.25. 因为h(x)在(0,120)上只有一个极值，所以它是最小值. 答：当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少， 最少为11.25升. 变2（1），定义域为.（2） 【解析】（1）因为圆锥的母线与底面所成的角为，所以， 圆锥的体积为，圆柱的体积为. 因为，所以， 所以. 因为，所以. 因此.所以，定义域为. （2）圆锥的侧面积， 圆柱的侧面积，底面积. 容器总造价为. 令，则.令，得. 当时，，在上为单调减函数； 当时，，在上为单调增函数. 因此，当且仅当时，有最小值，即有最小值，为元. 所以总造价最低时，圆柱的底面圆半径为. 例三（1）①，（） ②，（） （2） 【解析】解：（1）①，， ，（） 4分 ②，， ，（） 8分 （2）选用：，， 令 ，则 10分 列表得： 单调增 极大值 单调减 （不列表，利用导函数的符号，判断出单调性同样得分） 选用：令， ， 令 ，则 10分 列表得： 单调增 极大值 单调减 ，即 15分 （对直接求导求解也得分，）答：圆柱形罐子的最大体积为． 例四（1）；（2） 【解析】（1）方法一：建立如图所示的直角坐标系． 则，， 直线的方程为．设（），因为点F到AB与BD距离相等， 所以，解得或（舍去）． 所以△ABF的面积为， 所以四边形的面积为．所以风筝面的面积为． 方法二：设，则．在直角△ABD中，， 所以，解得或（舍去）． 所以． 所以△ABF的面积为，所以四边形的面积为． 所以风筝面的面积为． （2）方法一：建立如图所示的直角坐标系. 设，，， 则直线的方程为，因为点A与关于直线对称， 所以解得． 因为四边形的面积为，所以， 所以． 因为，，所以． 设，．， 令，得或（舍去）．列表如下： 0 单调递减 极小值 单调递增 当时，取得极小值，即最小值， 所以的最大值为，所以点到AB距离的最大值为。 方法二：设，，则．因为四边形的面积为，所以， 即，所以．过点作AB的垂线，垂足为T， 则 ． 因为，，所以． （下同方法一） 学科网（北京）股份有限公司 $