第五章一元函数的导数及其应用单元复习导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 单元复习导学案 【学习目标】 1. 回顾导数的概念及几何意义，理解瞬时变化率、切线斜率与导数的关系. 1. 熟练运用基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则及复合函数求导法则进行求导运算. 1. 掌握利用导数研究函数单调性、极值、最值的方法，并能画出函数的大致图象. 1. 能利用导数解决实际优化问题及函数零点、不等式证明等综合问题. 1. 感悟极限思想，体会导数在刻画函数变化中的作用. 【学习重点】 1. 导数的概念与几何意义. 2. 导数运算法则（基本公式、四则运算、复合函数）. 3. 利用导数研究函数的单调性、极值与最值. 4. 导数在实际问题中的应用. 【学习难点】 1. 复合函数的求导. 2. 含参函数的单调性、极值与最值讨论. 3. 构造函数解决不等式及零点问题. 学习任务一 导数的概念及其意义 【合作探究】 1. 从高台跳水运动员的速度问题回顾： (1) 平均速度 与瞬时速度 的关系. (2) 瞬时速度的几何意义是什么？ 1. 从抛物线 的切线斜率问题回顾： (1) 割线斜率 . (2) 当 时， 的极限即为切线斜率 . (3) 导数的几何意义： 等于曲线在点 处切线的______. 1. 填写下列重要关系： (1) 平均变化率 . (2) 瞬时变化率（导数）定义：. (3) 导函数：. 【自主梳理】 1. 平均速度与瞬时速度：瞬时速度是平均速度的极限. 1. 割线与切线：切线是割线的极限位置，切线斜率是割线斜率的极限. 1. 导数的几何意义： 表示曲线 在点 处切线的斜率. 1. 导函数： 是 的函数，称 为 的导函数（简称导数）. 学习任务二 导数的运算 【合作探究】 1. 默写基本初等函数的导数公式： (1) (2) （） (3) ， (4) ， (5) ， 1. 导数的四则运算法则： (1) (2) (3) （） (4) （ 为常数） 1. 复合函数求导法则： · 若 ，，则 . · 例如： 的导数 . 【自主梳理】 1. 基本初等函数导数公式需熟记. 1. 四则运算法则：和差、积、商、常数倍. 1. 复合函数求导：链式法则，层层求导相乘. 学习任务三 导数在研究函数中的应用 【合作探究】 1. 单调性与导数： (1) 在区间 上，若 ，则 单调______；若 ，则单调______. (2) 的点不一定是极值点（如 在 处）. 1. 极值： (1) 可导函数在 处取得极值的必要条件：. (2) 充分条件：左正右负为______值；左负右正为______值. (3) 极值是______性质，最值是______性质. 1. 最值（闭区间 上）： (1) 求 在 内的极值； (2) 计算端点值 ； (3) 比较得最大值和最小值. 1. 函数图象的画法：根据定义域、导数符号、极值点、端点趋势等画出大致形状. 1. 实际优化问题：建立函数模型，求导得最值，注意定义域的实际意义. 【自主梳理】 1. 利用导数求单调区间步骤：定义域 → 求导 → 解 → 列表判断符号. 1. 极值判定： 且左右异号. 1. 最值求法：闭区间上，比较极值和端点值. 1. 优化问题：建立函数 → 求导 → 求最值 → 作答. 学习任务四 综合题型与方法 【合作探究】 1. 导数与函数零点： · 已知函数 ，判断零点个数. · （提示：求导得单调区间，求极值，结合零点存在性定理） 1. 含参函数的最值： · 已知 在 上的最小值为 ，求 . 1. 构造函数证明不等式： · 证明：当 时，. · （提示：令 ，求最小值） 【自主梳理】 · 零点问题：利用单调性和极值符号判断. · 含参最值：分类讨论极值点是否在区间内. · 不等式证明：构造函数，转化为最值问题. 【自查自纠】（正误判断） 1. 若 ，则 一定是极值点. （ ） 1. 函数 在 上有最大值. （ ） 1. 复合函数 的导数是 . （ ） 1. 若函数 在区间 上单调递增，则 在 上恒成立. （ ） 1. 导数的几何意义是曲线在点处的切线斜率. （ ） 【典例分析】 例1：求函数 的单调区间、极值，并画出大致图象. 解： 例2：某产品每件成本 元，售价 元（），销量 万件，求利润最大时的售价. 解： 【习题巩固】 1. 函数 的导数为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 曲线 在点 处的切线方程为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 函数 的极小值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 若函数 在 处取得极值，则 的值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 证明：当 时，. 学科网（北京）股份有限公司 $