5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时）导学案-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 5.3 导数在研究函数中的应用 5.3.2 函数的极值与最大（小）值（第3课时） 【学习目标】 1. 能利用导数研究函数的单调性、极值、最值，并据此画出函数的大致图象. 1. 能利用导数解决生活中的优化问题（利润最大、用料最省、成本最低等）. 1. 体会导数在解决实际问题中的工具性作用，培养数学建模与数学运算素养. 【学习重点】 1. 利用导数研究函数性质并画出大致图象的步骤. 2. 建立实际问题的函数模型，利用导数求最值解决优化问题. 【学习难点】 1. 从实际问题中抽象出函数关系，并确定自变量的取值范围（定义域）. 2. 对含参数的实际问题进行分类讨论. 学习任务一 利用导数画函数的大致图象 【合作探究】 1. 给定函数 ，如何利用导数研究它的性质并画出大致图象？ (1) 确定定义域：______. (2) 求导：______. (3) 令 ，得 ______. (4) 列表：分析 的符号及 的单调性、极值. (5) 计算特殊点：如 时 ______； 时 ______； 时 ______. (6) 根据以上信息，描点画出大致图象（用文字描述图象特征：在 处有极小值，曲线先减后增等）. 1. 结合上述探究，归纳利用导数画函数 大致图象的步骤. 【自主梳理】 利用导数画函数 大致图象的步骤： 1. 确定函数的______. 1. 求导数 ，并求出 的______. 1. 列表：用零点将定义域分成若干区间，判断 的符号，得到 的______和______. 1. 确定 图象经过的某些______点（如与坐标轴的交点、极值点）. 1. 分析当 趋向于定义域边界时的______趋势（如 或趋近于间断点）. 1. 综合以上信息，画出 的大致图象. 学习任务二 导数在实际优化问题中的应用（利润最大） 【合作探究】 1. 问题情境：某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 分，（单位：cm）是瓶子的半径.每出售 饮料可获得 分，且制造商能制作的瓶子的最大半径是 . (1) 已知球形体积公式 ，那么每瓶饮料的利润 如何表示？（提示：利润 = 销售收入 - 成本） (2) 写出利润函数 的解析式，并确定 的取值范围. (3) 求 ，并求出 的根. (4) 列表分析 的单调性和极值，判断在区间 上 的最大值和最小值分别在哪里取得. (5) 解释结果的经济意义：当 较小时，利润可能为负，说明什么？当 较大时，利润如何变化？ 1. 通过这个实例，你认为利用导数解决实际优化问题的基本思路是什么？ 【自主梳理】 利用导数解决实际优化问题的基本思路： 1. 审题：明确问题中的已知条件和待求目标（如利润最大、用料最省）. 1. 建模：建立函数关系式 ，并确定自变量 的实际意义和取值范围（定义域）. 1. 求解：求 ，解 ，列表判断函数的单调性和极值，必要时与端点值比较，确定最值. 1. 作答：回答实际问题，注意单位及解释. 学习任务三 其他优化问题（用料最省、面积最大等） 【合作探究】 1. 如图（文字描述），用铁丝围成一个上面是半圆、下面是矩形的图形，其面积为 .为使所用材料最省（即周长最小），半圆的直径应为多少？ · （提示：设半圆直径为 ，矩形的高为 ，根据面积公式建立等量关系，将周长表示为 的函数，然后求导） 1. 某分公司销售某种产品，每件产品的成本为 元，售价为 元（），年销售量为 万件.求年利润最大时的售价及最大利润. 【自主梳理】 常见优化问题类型： 1. 几何中的最值（面积、体积、周长等）. 2. 经济中的最值（利润最大、成本最低、收益最大）. 3. 物理中的最值（速度、时间等）. 注意事项： 1. 定义域由实际问题决定，必须保证所有量有意义（如长度、半径大于0）. 2. 若函数在开区间内只有一个极值点，则该极值常为最值. 3. 结果需符合实际，必要时进行验证. 【自查自纠】（正误判断） 1. 利用导数画函数图象时，不需要考虑定义域. （ ） 1. 实际优化问题中，函数的最值一定在极值点处取得. （ ） 1. 利润函数为负时，表示亏损. （ ） 1. 饮料瓶的半径越大，利润一定越大. （ ） 1. 解决优化问题时，建立正确的函数模型是关键. （ ） 【典例分析】 例1：已知函数 ，利用导数研究其单调性、极值，并画出大致图象.（请按步骤描述，不必画图） 解： 例2：某工厂生产某种产品，每件产品的成本为 元，出厂单价为 元.月销售量为 件.为了提高利润，工厂计划提价，调查发现每提价 元，月销售量将减少 件.问提价多少元时，工厂月利润最大？最大利润是多少？ 解： 【习题巩固】 1. 函数 在区间 上的最大值为（ ） · A.  B.  C.  D. 1. 用边长为 cm 的正方形铁皮，四角各截去一个大小相同的小正方形，然后折起做成一个无盖长方体容器.为使容积最大，截去的小正方形边长应为（ ） · A. cm B. cm C. cm D. cm 1. 某商品每件成本 元，售价 元（），年销量为 万件，则年利润最大时的售价为（ ） · A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 1. 已知函数 在 上的最小值为 ，则 （ ） · A.  B.  C.  D. 5.（选做）某制造商要制造一种圆柱形无盖容器，容积为 ，底面半径为 ，高为 .侧面积与底面积之和为 .求当 为何值时 最小？（提示：，） 学科网（北京）股份有限公司 $