第19天 工程问题-【王朝霞系列】2026年小升初数学重点校各地真题精编卷

小升初各地真题精编卷·数学 好☆ 8天典型应用分类集训 王朝 第9天： 工程问题 答案：P69 编者按：工程问题在小学阶段中是考查的重点，同时也是难点。解决此类问题时，主要利用假设法，把总工 作量设成一个固定的数（通常是1），最大难，点是发现“变中之不变”。本套试卷从全程合作和部分合作两个维度 对不同情境下的工程问题进行考查，有效地帮助学生提高分析、总结及解决生活中复杂问题的能力。 三知识通关三 知识点1 全程合作 知识点 考查角度 基本公式 1.可以把总工作量看作“1”，灵活应用基本数量关系式。 工作效率×工作时间=工作总量 全程合作 2.常见的类型主要是已知几人单独做的时间，求合作时 工作总量÷工作效率=工作时间 间；或者已知合作时间，求其中一人单独做的时间。 工作总量÷工作时间=工作效率 1.中华优秀传统文化风筝是中国古人的一项重要发明，有着两千多年的历史。为了宣传风筝文 化，某市举办风筝节活动，现在需要制作一批风筝，甲单独做需要30天才能完成，乙单独做需 要20天才能完成，那么两人合作5天可以完成这批风筝的多少？ 2.〔2024广东广州)在“618”促销活动中，某网店需要12000个包装箱。由甲工厂单独完成，需要10天， 由乙工厂单独完成，需要15天。如果由两个工厂合作完成，需要多少天？ 3.〔2025吉林长春〕一个水池的容积是36m3,有甲、乙两个注水管，如果单开甲管，那么6小时可以注 满；如果单开乙管，那么4小时可以注满。现在同时打开两个注水管向这个水池注水，几小时后可 以注满这个水池的亏？此时甲管注水多少立方米？ 4.〔2024河北承德〕甲、乙合作完成一项工程需要6天，甲单独完成这项工程需要15天，乙单独完成 这项工程需要几天？ 5.“创建文明城市，我们在行动。”为改善城市居住环境，某市运来一批树苗，准备开展植树活动。甲 队单独种植20天可以完成，乙队单独种植30天可以完成，丙队单独种植15天可以完成。如果选 择其中两队合种，最快多少天可以完成？ (1)我选择( )队和( )队合种，理由是( (2)列式解答： 6.〔2025广东东莞〕赵师傅和孙师傅要对小区进行绿化养护，赵师傅3小时完成全部工作量的 6； 孙师傅6小时完成全部工作量的4。两人合作需要多少小时可以完成全部的工作量？ 知识点2 部分合作 知识点 解题思路 1.准确找出每一部分工作的工作量、工作时间和工作效率。 部分合作 2.有时两人或多人分别做，可以合在一起作为合作情况分析。 1.〔2024河北保定〕星光小学进行校内植树活动，共植树300棵。如果全由六年级同学植树，3天可以 完成；如果全由五年级同学植树，6天可以完成。如果先让六年级植树1天，再由两个年级的同学 合作，还需几天可以完成？ 小升初各地真题精编卷·数学 37 2.〔2025安徽合肥〕林场建设者计划在10天内完成一个人工林的开垦工作。甲、乙各自单独开垦 分别需要10天、12天完成。现两人合作中途各休息了若干天，前后共用9天完成，完工时甲、乙 工作量的比是2：3，甲休息了几天？ 3.〔2024陕西百安)一项工作，第一天甲、乙两人合作4小时，完成全部工作的？：第二天乙又独做了7 小时，还剩全部工作的没有完成。这项工作由甲独做需要多少小时完成？ 4.〔2025河南郑州〕在国家乡村振兴战略推动下，某村的标志性项目“富民路”开始修建。修建过 程中分别由甲、乙丙三家施工队参与修建，已知甲、乙两队合修6天完成了这条路的子，乙、丙 两队合修3天完成了剩下的，其余的再由三队合修半天完成。若甲、乙、丙三队单独修这条 路，各需要多少天可以修完？ 5.甲、乙两个工程队合盖一栋老年公寓，需要24天完成。现在由甲工程队先盖6天，再由乙工程队 盖2天，这样可以完成工程的易。如果从一开始就由甲工程队单独盖，需要多少天完成任务？ 38 小升初各地真题精编卷·数学 6.〔2024陕西西安〕一项工程，第一天甲做，第二天乙做，第三天甲做，第四天乙做…这样交替轮流 做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，第三天乙做，第四天甲做…这样交 替轮流做，那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需20天完成，甲单独做这项 工程要多少天完成？ 之思维闯关因 现有A、B、C三位老师参加试卷改阅，已知A老师单独完成改阅需要10小时，B老师单独完成改阅需要 8小时，C老师单独完成改阅需要6小时。 1.如果三位老师同时改阅，那么需要多少时间能完成？ 2.如果按照A、B、C、A、B、C…的顺序每人改阅1小时，那么改阅完全部试卷需要多少时间？ 3.如果调整上一问中的改卷顺序，是否可以提前半小时完成改阅试卷的任务？设甲、乙两地相距ykm。 3.（1)60+60=120(秒)，所以60秒时两人的距离相 y8+×2+y8-x2-9 当于半个桥长，此时半个桥长=车长，因此桥长恰 好是车长的2倍。 y=20 答：桥长是车长的2倍。 答：甲、乙两地相距20km。 (2)120÷3=40(秒) 【解析】设平时的水速为x千米/时，根据“平时逆行 答：从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用 与顺行所用的时间比为2：1”，可知平时逆行与顺 40秒。 行的速度比为1：2，据此求出平时的水速；然后计 【解析】(1)根据题意，120秒时两人相遇，所以60 算水流速度变为原来的2倍时的水速，进而求出顺 秒时两人的距离相当于半个桥长。因此桥长恰好 水航行速度和逆水航行速度；最后设甲、乙两港相 是车长的2倍。 距ykm,根据“顺水航行时间+逆水航行时间=9 (2)120秒时，火车恰好走了一个车长和桥长，即3 小时”列方程求出两港之间的路程即可。 个车长；从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾，火 知识点3火车过桥 车恰好走了一个桥长减去车长即1个车长的距离。 车头 隧道长 车尾车头 所以共用了120÷3=40（秒）。 L. 型双程型M型理业理思维闯关程湿型涩限型理覆 400m=0.4km 根据题意画图如下： 解：设共需x小时。 东村 西村 40x=2.8+0.4 甲 乙 x=0.08 30 km 0.08时=4.8分 答：共需4.8分钟。 由图可知，甲、乙相遇用时为：30×2÷12=5（时） 所以，甲的速度为：30÷(5-3.5)=20（千米时）， 2.路程和：400+800=1200(m) 乙的速度为20-12=8（千米时），丙的速度为20 速度和：1200÷40=30（米/秒） -15=5(千米时)。东村与西村之间的距离为：20 30-10=20(米/秒) ×3.5=70(km) 答：客运火车每秒行驶20m。 70×2÷(20+5)=5.6(时) ≈易错点拨 答：丙行了5.6小时和甲相遇。 两车的运动过程如图所示： 客运火车 货运火车 第9天工程问题 货运火车 客运火车 亚双亚双亚M业W知识通关覆理亚W型M双亚双亚M 知识点1全程合作 货运火车路程 客运火车路程 分析可知两车的路程和=客运火车车长 +货运火车车长=400+800=1200(m),从 答：两人合作5天可以完成这批风筝的品。 车头相遇到车尾相离经过的时间为40秒，所 以两车的速度和是1200÷40=30（米/秒），因 210+5 =6(天) 此客运火车的速度为30-10=20（米/秒）。 答：需要6天 ≈归纳总结 个年级的工作效率和六年级植树1天的工作量，再 解决工程问题的关键是把工作总量看作单 用基本关系式解决问题。 位“1”，工作效率就是工作时间的倒数（它表示 2.甲、乙工作量的比是2：3,2+3=5，甲的工作量就 单位时间内完成工作总量的几分之几)。 占全部工作量的导 常用数量关系： 号0-4天) 9-4=5(天) 工作效率×工作时间=工作总量 答：甲休息了5天。 工作总量÷工作效率=工作时间 31÷[号4-1-0引+7小-15（时） 工作总量÷工作时间=工作效率 答：这项工作由甲独做需要15小时完成。 如：一项工程，甲单独做需要a天完成，乙单 【解析】报据题意，甲、乙工作效率和为号÷4= 10 独微需要6天完成，甲、乙合作，需要1÷侣+日 乙的工作效1-0引7=0那么甲的 天完成。 工作效率 103015,由此即可算出甲独做需 111 3名÷G+4=2时) 要的时间。 2×1=1 1 6=3 36×3=12(m) 4甲，乙的工作效率和：号6=) 答：2小时后可以注满这个水池的。此时甲管注 乙丙两的工作效率和：-引x-号3= 水12m3。 甲，乙、两的工作效率和-号》名 41+6=10天) 甲的工作效率石立立 答：乙单独完成这项工程需要10天。 5.(1)甲丙 乙的T作效率：)26 甲队和丙队单独完成种植需要的时间都比乙队短 丙的工作效率：。写8 (理由合理即可) 21÷易+5-9（天） 甲单独修的天数：1÷=12天) 答：最快0天可以完成。 乙单強修的天数：1÷石=36（天） 丙单独修的天数：1÷ =18(天)》 6后3=86= -18 24 答：甲队需要12天可以修完，乙队需要36天可以 修完，丙队需要18天可以修完。 1+4时) 5.1[易×2小6-2小-60天 答：两人合作需要号小时可以完成全部的工作量。 答：需要60天完成任务。 知识点2部分合作 之解题技巧 1.1-×小+=天) 甲工程队先盖6天，再由乙工程队盖2天，相 当于甲、乙工程队合盖2天后，甲工程队单独盖6 答：还需号天可以完成。 -2=4(天)。先求出甲工程队单独盖4天的工作 【解析】本题的工作总量“300棵”可以看成是单位 量，从而可以求出甲工程队的工作效率，最后求 “1”,根据工程问题的基本关系式可以分别求出两 出甲工程队单独盖的工作时间。 小升初各地真题精编卷·数学 69 6.解：设甲的工作效率为x。 -1 1 最后剩下的工作量由B独做需要的时间：20 10 =10(天) 60=24(分) 答：甲单独做这项工程需要10天完成。 总共需要的时间：6时+1时+24分=7时24分 ≈解题技巧 7时56分-7时24分=32（分） 根据题干从乙开始做的话，完工时间要比 答：可以提前半小时完成改阅试卷的任务。 前一种多半天，得出甲的工作效率要比乙的工 第20天 经济问题 作效率高，每次交替轮流做这项工程时，最后 一次都是由甲做才能满足题意，这也是理解并 MWW型n理w知识通关理W型WW理理型型WWWW型 解决本题的一个难点。 知识点1折扣、利润和亏损 把这项工程总量看作单位“1”，根据题干可知， 1.2×150=300(元) 300-300÷100×25=225(元) 乙的工作效率是0设甲的工作效率为x,则可 300×70%+20=230(元) 以得出：如果按照甲、乙、甲、乙…交替轮流做， 225<230,在A网店购买更合算 1。 1 x 20+x+20+x+20+…+x+20+x=1: 答：在A网店购买更合算。 2.700÷(1+5%-98%)=10000(元) 如果接照乙甲、乙甲…交谷轮流致分 +x 答：这台电脑的原价是10000元。 +0++0++…+0+分=1。由上述 1 1 3.假设乙店的进货价为1，(1+15%)是乙店的定价； (1-10%)×(1+20%)是甲店的定价。 推理可得：甲的工作效率=乙的工作效率+甲 (1+15%)-(1-10%)×(1+20%)=7% 的工作效率×3由此即可解央问题。 11.2÷7%=160(元)160×(1-10%)=144（元） 答：甲店的进货价是144元。 ”W型程m》型mM》》思维闯关型m》》》WMM》覆理mW 4.66÷(1+10%)=60(元) 1.1÷1+11 10+8+6 120÷(1-20%)=150(元) 总成本：60+150=210（元） 答：需要226小时能完成。 47 总售价：66+120=186（元） 2.按照A、B、C、A、B、C…的顺序，2轮后剩余工作 186<210亏本210-186=24（元） 量1-++x2=品 答：妙妙玩具店卖出这两个玩具亏本24元。 【解析】拼装玩具售价66元，赚了10%相当于成本 剩余工作量由A独做1小时后剩下： 1×1-60 60101 的(1+10%)，根据量率对应可以求出拼装玩具的 成本；遥控飞机售价120元，亏本20%相当于成本 下的工作量由B独做需要的时间：名 的(1-20%)，根据量率对应可以求出遥控飞机的 60=56(分) 成本。用成本总和与售价总和进行比较即可得出 总共需要的时间：6时+1时+56分=7时56分 答案。 答：改阅完全部试卷需要7小时56分钟。 知识点2成数 3.按C、B、A、C、B、A…的顺序，2轮之后剩余工作 1.5600÷(1+25%)=4480(kg) 量1-传++x2=品 答：张叔叔去年线下的销售量是4480kg。 2.解：设李阿姨家去年苹果的销售总额是x元。 剩余工作量由C独做1小时后剩下： 1 606 20 (1+20%)×(1-15%)x-x=4200 小升初各地真题精编卷·数学 x=210000 形程理型形形思维闯关M型型MM” 答：李阿姨家去年苹果的销售总额是210000元。 1.使用优惠券1：80×2=160（元）160>100 三一题多解 160×80%=128(元) 上面采用的是方程法，还可以采用如下方法： 使用优惠券2：80×2=160（元） 【算术法】 160÷120=1(个)…40（元） 160-30×1=130(元) 4200÷[(1+20%)×(1-15%)-1]=210000(元) 使用优惠券3：80+80×50%=120（元） 答：李阿姨家去年苹果的销售总额是210000元。 130>128>120,使用优惠券3更划算。 知识点3税率 答：她付款时使用优惠券3更划算，付款金额是 1.2.6×150=390(万元) 120元。 390+390×1.5%-390×1%=391.95(万元) 2.B【解析】分情况讨论：她购买的商品的标价为 答：乐乐家买这套新房实际用了391.95万元（含 138元时，用优惠券1实际付款：138×80%= 契税)。 110.4(元)；用优惠券2减免30元，实付：138-30= 2.15÷3%=500(元) 108(元)；110.4>108，不符合题意。她购买的商品 500+5000+2500+1000+1000=10000(元) 答：小明爸爸这个月的税前收入是10000元。 的标价为218元时，用优惠券1实际付款：218× 3.费用500元，自费500元； 80%=174.4(元)；用优惠券2减免30元，实付：218 费用10000元，自费500+(10000-500)×(1- -30=188(元)；174.4<188，符合题意。她购买的 70%)=3350(元)； 商品的标价为298元时，用优惠券1实际付款：298 4350>3350,王叔叔这次就医实际医疗费超过了 ×80%=238.4(元)；用优惠券2减免60元，实付： 10000元。 298-60=238(元)；238.4>238，不符合题意。综 (4350-3350)÷(1-80%)=5000(元) 上可知她购买的商品的标价可能为218元，所以 10000+5000=15000(元) 选B。 答：王叔叔这次就医实际医疗费为15000元。 知识点4利率 第21天浓度问题 1.20万元=200000元 亚MW”WMMW知识通关MW亚W曜理W》亚曜 213000-200000=13000(元) 知识点1同一种溶液 13000÷5÷200000=1.3% 1.2÷(2+8)×100%=20% 答：该银行五年定期存款年利率是1.3%。 原糖水的含糖率是20%，新加入的糖与水混合后的 2.①50000×1.25%×3+50000=51875（元） 含糖率也是20%，所以糖水的含糖率不变。 51875×1.25%×3+51875≈53820（元） 答：糖水的含糖率是20%。 ②50000×1.7%×5+50000=54250（元） 2.解：设原来杯中有xg水。 53820<54250,那么选理财方式②到期后的本息 (x+10+200)×2.5%=10+200×5% 和一定大于理财方式①，所以应选理财方式②。 答：小明爸爸应该选理财方式②。 x=590 3.按手机销售店广告计算：6000÷500=12（个）月到 答：原来杯中有590g水。 期，共还款530×12=6360（元） 3.方案设计：加入12.5g盐。 如果从银行贷款6000元，到期后连本带息共还款： 思考过程：100-100×10%=90(g) 6000×4.35%×1+6000=6261(元) 90÷(1-20%)=112.5(g） 6360>6261,显然顾客还款数额比银行贷款还要 112.5-100=12.5(g) 高，不划算。 需要加盐12.5g。（答案不唯一)