第23天 盈亏问题、鸡兔同笼问题-【王朝霞系列】2026年小升初数学重点校各地真题精编卷

小升初各地真题精编卷·数学 8天典型应用分类集训 第23天盈亏问题、鸡兔同笼问题 答案：P73 编者按：盈亏问题和鸡兔同笼问题都属于小学阶段的典型应用题，在近三年小学毕业升学考试中，考查频次 占比约为25%。这两类题目的题型和解题方法比较固定，盈亏问题主要有盈亏型、盈盈型、亏亏型三种，鸡免同笼 问题主要有直接型和倒扣型两种。学生在练习本套试卷时，除了直接套公式外，也可以用方程、图形等方法解 决，在练习过程中体验解决问题的灵活性。 ≈知识通关兰 知识点1 盈亏问题 知识点 考查角度 基本公式 盈亏型 （盈+亏)÷两次分得之差=人数或单位数 盈亏问题 盈盈型 (盈-盈)÷两次分得之差=人数或单位数 亏亏型 (亏-亏)÷两次分得之差=人数或单位数 1.〔2025山东临沂)老师买来一些练习本分给优秀少先队员。若每人分5本，则多了14本；若每人分 7本，则多了2本。优秀少先队员有几人？买来多少本练习本？ 2.数学文化〔2025山西太原〕《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三。 问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差 3钱。合伙人数是多少？羊价是多少？（钱是古代的货币单位） 3.〔2024山东济南〕幼儿园老师拿出苹果发给小朋友。若平均分给小朋友，则少4个；若每个小朋友只 发4个，则老师自己也能留下4个。有多少个小朋友？有多少个苹果？ 4.〔2025湖南长沙〕端午节吃粽子是我国的传统习俗。小明家特意多包了一些粽子送给邻居，若给每 户邻居家送4个，则多出8个；若给1户邻居家送10个，给其余每户邻居家送6个，则缺18个。小 明家送给邻居的粽子共有多少个？ 5.小强从家到学校，如果每分钟走50m,就要迟到3分钟到校；如果每分钟走60m,就可以提前2分 钟到校。小强家到学校的路程是多少米？ 知识点2 鸡兔同笼问题 知识点 考查角度 解题方法 直接型：已知鸡和兔的头及脚的数量，求鸡和免的数量。 鸡兔同笼问题 假设法、方程法、分组法等 倒扣型：做对得分，做错扣分，求做对、做错的题数。 1.数学文化我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题一一“鸡兔同笼”问题：今有雉（鸡）兔 同笼，上有二十三头，下有六十二足，问雉兔各几何？请你算出这道题中的鸡和兔各有多少只。 2.〔2025湖南张家界〕某快递公司为客户运送盘子100个，按合同规定成功运送一个付运费5元，打破 一个倒赔2元。快递公司运送后获得运费451元，快递公司一共打破了多少个盘子？ 小升初各地真题精编卷·数学 45 3.〔2025江西南昌〕鸡兔同笼，共有头28个，兔的总脚数比鸡的总脚数的3倍多12，那么笼中共有多 少只兔？ 4.〔2025重庆)学校举办“知识大赛”，答对一道题加10分，答错一道题扣5分。小宇共回答了15道 题，最后得了90分。他答对了几道题？ 5.〔2025江苏淮安〕聪聪用两种方法解决下面的问题： 六年级学生分组参加课外兴趣小组，每人只能参加一个小组。科技类每5人一组，艺术类每3人 一组，共45名学生报名，正好分成11组。参加科技类和艺术类的学生各有多少人？ 方法1解：设 5x+3(11-x)=45 方法2解：设 专+5=11 3 (1)请将他是怎样设x的在横线上补充完整。 (2)我选择用方法 来解答。 解答过程： 6.〔2025浙江金华)储蓄罐里有1元和5角的硬币共28枚，总钱数是23元。1元和5角的硬币各多少枚？ 46 小升初各地真题精编卷·数学 三思维闯关兰 1.生活情境〔2025重庆〕小颖周末去看电影，根据以往的经验入场检票、找座位需要10分钟。小颖 19时整从家出发去电影院，她先用每分钟150m的速度走了2分钟，这时她发现照这样的速度走 下去，那么当她找到座位时电影已经开映4分钟了；如果马上改为每分钟200m的速度前进就能 在电影开映前3分钟找到座位。求小颖家与电影院之间的距离和这场电影开映的时间。 2.有若干个苹果和若干个梨，如果按每1个苹果配2个梨分堆，那么梨分完时还剩2个苹果；如果按 每3个苹果配5个梨分堆，那么苹果分完时还剩1个梨。问：苹果和梨各有多少个？ 3.数学文化明代数学著作《算法统宗》一书中，记载了一些诗歌形式的算题。其中有一道趣题：一百 馒头一百僧，大和三个更无争。小和三人分一个，大小和尚各几丁？意思是100个和尚吃100个 馒头，大和尚1人吃3个，小和尚3人吃1个，正好吃完。大、小和尚各有多少人？ 4.〔2025湖南长沙〕蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀（小翅膀不计）。 现有三种动物共18只，共有112条腿和22对翅膀。蜘蛛、蜻蜓和蝉各有多少只？因为从题目中看不出父、母的年龄谁大谁小，所以 (150+120)÷(60-50)=27(分) 母亲的年龄可能是32岁，也可能是34岁。 50×(27+3)=1500(m) 答：母亲年龄有两种可能：32或34岁。 答：小强家到学校的路程是1500m。 【解析】根据“父、母年龄的和是儿子年龄的11 【解析】如果每分钟走50m,就要迟到3分钟到校， 倍”，把儿子的年龄看作1份，则父、母年龄的和是 即还差50×3=150(m);如果每分钟走60m,就可 11份，那么三人的年龄和是(1+11)份，再根据“三 以提前2分钟到校，即多行60×2=120(m)。根据 人年龄之和是72岁”，由此可以求出父、母的年龄 盈亏问题公式可知，小强从家不迟到且不提前到 和及儿子的年龄，最后再根据“儿子年龄是父、母 学校所用时间为(150+120)÷(60-50)=27 年龄差的3倍”，可以求出父、母年龄差，进而根据 (分)，则小强家到学校的路程是50×(27+3)= 和差公式求出母亲的年龄。另外还要注意题中没 1500(m)。 有告诉我们父、母年龄谁大谁小，所以考虑母亲的 知识点2鸡兔同笼问题 年龄有两种情况。 1.兔：(62-23×2)÷(4-2)=8（只） 第23天盈亏问题、鸡兔同笼问题 鸡：23-8=15（只） 答：这道题中的鸡有15只，兔有8只。 M mM m I mmmmmMm知识通关M mMm R mmm mm m mm m 易错点拨 知识点1盈亏问题 假设全是鸡，先求出的是兔的只数；假设全 1.优秀少先队员：(14-2)÷(7-5)=6（人） 是兔，先求出的是鸡的只数，不要颠倒。 练习本：5×6+14=44（本） 答：优秀少先队员有6人，买来44本练习本。 2.(5×100-451)÷(5+2)=7(个) 2.合伙人数：(45-3)÷(7-5)=21（人） 答：一共打破了7个盘子。 羊价：5×21+45=150（钱） 【解析】假设快递公司全部成功运送，获得运费5 答：合伙人数是21人，羊价是150钱。 ×100=500(元)，实际获得运费与500元相差500 3.小朋友：(4+4)÷1=8（个） -451=49(元)。每打破一个盘子，快递公司不仅 苹果：4×8+4=36（个） 少赚5元运费（未成功），还要倒赔2元，因此每打 答：有8个小朋友，有36个苹果。 破一个盘子，总损失为5+2=7（元），所以一共打 【解析】若平均分给小朋友，则少4个，说明小朋友 破了49÷7=7（个）盘子。 人数大于4；若每个小朋友只发4个，则老师也能留 3.解：设笼中共有x只鸡，则有(28-x)只兔。 下4个，说明每人少分若千个，就少分4+4=8 (28-x)×4=3×2x+12 (个)苹果。因为小朋友人数大于4，所以，一定是 x=1028-x=18 每人少分1个，有8÷1=8（个）小朋友，有4×8+ 答：笼中共有18只兔。 4=36(个)苹果。 4.15×10=150(分) 4.如果给每户邻居家送6个，则缺： 答错：(150-90)÷(10+5)=4（道） 18-(10-6)=14(个) 答对：15-4=11（道） 送粽子的邻居户数： 答：他答对了11道题。 (14+8)÷(6-4)=11(户) 5.(1)科技类有x组，则艺术类有(11-x)组 粽子数：11×4+8=52（个） 参加科技类的学生有x人，则参加艺术类的学生有 答：小明家送给邻居的粽子共有52个。 (45-x)人 5.50×3=150(m)60×2=120(m) (2)【示例一】1 解：设科技类有x组，则艺术类有(11-x)组。 ≈解题技巧 5x+3(11-x)=45x=6 容易看出本题是一道盈亏应用题，但是盈 参加科技类学生人数：6×5=30（人） 亏总额与两次分配数之差很难找到。原因在于 参加艺术类学生人数：45-30=15（人） 第一种方案是1个苹果配2个梨，第二种方案是 答：参加科技类的学生有30人，参加艺术类的学 3个苹果配5个梨。如果将这两种方案统一为1 生有15人。 个苹果配若干个梨，那么问题就好解决了。将 【示例二】2 原题条件变为“1个苹果配2个梨，缺4个梨；1个 解：设参加科技类的学生有x人，则参加艺术类的 学生有(45-x)人。 苹果配号个梨，多1个梨”，则盈亏总颜是4+ 言+5-1 3 x=30 1=5个)课，两次分配数之差是2-号-个) 参加艺术类学生人数：45-30=15（人） 梨。再按盈亏思路解答即可。 答：参加科技类的学生有30人，参加艺术类的学 3.100×3=300(个) 生有15人。 小和尚：(300-10)÷3-=75（人） 6.5角=0.5元 5角：(28×1-23)÷(1-0.5)=10（枚） 大和尚：100-75=25（人） 1元：28-10=18（枚） 答：大和尚有25人，小和尚有75人。 答：1元的硬币有18枚，5角的硬币有10枚。 之一题多解 M亚MM亚M思维闯关M A R I R M AI型MM 上面采用的是假设法，此外，还可以采用如 1.解：设小颖家到电影院的距离为xm。 下方法： x-150×2_x-150×2 【分组法】把1个大和尚和3个小和尚看作一组， 150 200 =4+3x=4500 则一组有4个和尚，分了4个馒头。 (4500-2×150)÷150+2+10-4=36(分) 100÷4=25(组) 19时经过36分钟是19时36分。 所以大和尚有25×1=25（人） 答：小颖家与电影院之间的距离为4500m,这场电 小和尚有25×3=75（人） 影开映的时间为19时36分。 答：大和尚有25人，小和尚有75人。 【解析】设小颖家到电影院的距离为xm。她先用 4.假设全是蜻蜓和蝉 每分钟150m的速度走了2分钟，如果剩余路程以 蜘蛛：(112-6×18)÷(8-6)=2（只） 150米/分的速度走完全程，那么会导致电影开映 蜻蜓和蝉：18-2=16（只） 后4分钟到达座位；如果剩余路程以200米/分的速 假设这16只全是蜻蜓 度走完全程，那么会在电影开映前3分钟到达座 蝉：(16×2-22)÷(2-1)=10（只） 位，所以用两种速度走完剩下路程，所用时间相差 蜻蜓：16-10=6（只） 7分钟。根据两种情况的所用时间关系，列出方程 答：蜘蛛有2只，蜻蜓有6只，蝉有10只。 并求解。 【解析】假设全是蜻蜓和蝉，总腿数为18×6=108 2.苹果：2x2+1)÷2-》=15(个) (条)，但实际有112条腿，多出112-108=4（条）。 每只蜘蛛比蜻蜓或蝉多8-6=2（条）腿，因此蜘蛛 梨：15×写+1=26（个） 有4÷2=2（只）。剩余动物为蜻蜓和蝉，共18- 答：苹果有15个，梨有26个。 2=16(只)。假设这16只全是蜻蜓，总翅膀数为 小升初各地真题精编卷·数学73 16×2=32(对)，但实际有22对，多出32-22=10 答：A跑道的起点到第4个栏架的距离是28.5m,C (对)，每只蜻蜓比每只蝉多2-1=1（对）翅膀，因 跑道的起，点到第4个栏架的距离是31.5m。 此蝉有10÷1=10（只），蜻蜓有16-10=6（只）。 10.105和60的最大公因数是15，即树的间隔距离最 大为15m 第24天植树问题、平均数问题 (105+60)×2÷15=22(棵) mmm m m型mMMM型m知识通关M业m mm mm m mm mmm 答：最少要栽22棵树。 知识点1植树问题 11.（1)210和120的最大公因数是30 -、1.41392.363.504.145.133 答：相邻两盏路灯间的最大距离是30m。 6.22【解析】大钟敲6下，中间有(6-1)个间隔，先 (2)210÷30+1=8(盏) 用10÷(6-1)求出每个间隔需要的时间，再求出 120÷30=4(盏) 大钟敲12下的间隔数，所以一共需要的时间=每 8+4=12(盏) 个间隔需要的时间×敲12下的间隔数，据此解答。 答：这条马路最少需要安装12盏路灯。 ≈解题技巧特殊类型的植树问题 知识点2平均数问题 (1)锯木头问题：次数比段数少1。 1.(1)(121+131+128+134+140+144+139+ 段数=次数+1 132+131+130)÷10=133(cm) 所需时间=锯一次的时间×次数 答：第一小组的平均身高是133cm。 (2)爬楼问题：楼层比层数多1。 (2)(128+124+135+126+137+139+145+ 爬一层的时间=所用时间÷楼层数之差 143+140+143+132+140)÷12=136(cm) 所用时间=爬一层的时间×楼层数之差 答：第二小组的平均身高是136cm。 (3)敲钟问题：敲的次数比间隔数多1。 2.(7.5+7.6+7.4+7.4+7.6+7.5)÷6=7.5(分) 间隔数=敲的次数-1 答：这名同学歌唱比赛的平均分是7.5分。 所用时间=间隔时间×间隔数 3.14×4+20×4-17×7=17 7.4【解析】原来安装间隔是45m,共21根电线杆， 答：第四个数是17。 间隔数为(21-1)，用间隔的距离×间隔数，计算 ≈解题技巧 出甲地到乙地的总路程是45×(21-1)=900(m); 根据题意画图：已知平均数和个数，可先求 现在的间隔是60m,需要找出与原来间隔45m的 出七个数的和。 公倍数，45和60的最小公倍数是180，即在0m, 和：17×7=119 180m,360m,540m,720m,900m处，新旧电线杆 ① ② ③④ ⑤⑥ ⑦ 位置重合，不需要移动。即除起始端的电线杆外，中 和：14×4=56 间还有4根不需要移动。 和：20×4=80 8.33【解析】从第1根电线杆走到第15根电线杆， 观察发现，前四个数与后四个数中间重复了第 共经过(15-1)即14个间隔，用了7分钟，因此1分 四个数，即第四个数=前四个数的和+后四个 钟走14÷7=2（个）间隔。当她走回到第5根电线 数的和-七个数的和。 杆时一共用了30分钟，共走了30×2=60（个）间 4.解：设一班的平均成绩是x分，则二班的平均成绩 隔。设走到第x根电线杆时开始往回走，开始往回 是(x+5)分。 走时，走了(x-1)个间隔，回来时走了(x-5)个间隔， 52x+48×(x+5)=80×(52+48) 然后列出方程：(x-1)+(x-5)=60,解得x=33。 x=77.6x+5=82.6 二、9.A跑道：12+5.5×(4-1)=28.5(m) 答：一班的平均成绩是77.6分，二班的平均成绩是 C跑道：12+6.5×(4-1)=31.5(m) 82.6分。 小升初各地真题精编卷·数学 5.24×3+28=100(棵) 若天平不平衡，取较轻的1份继续；第二次，把较轻 100-26×3=22(棵) 的1份12盒饼千平均分成3份(4,4,4)，取其中的2 答：甲队植树22棵。 份分别放在天平的两侧，若天平平衡，较轻的那盒 覆》理程型醒理思维闯关双覆型亚》程醒覆 饼干在未取的1份中，若天平不平衡，取较轻的1 1.3000÷5=600(棵) 份继续；第三次，把较轻的1份4盒饼千平均分成2 600÷（1+2)×2=400(棵) 份(2,2)，分别放在天平的两侧，天平不平衡，取较 答：桃树有400棵。 轻的1份继续；第四次，把较轻的1份2盒分成2份 2.解：设李岩最少还要参加x次歌唱比赛。 （1,1),分别放在天平两侧，较轻的一端是稍轻一 100x+87×4=92(x+4) 些的那盒饼千。所以用天平称，至少称4次才能保 x=2.5 证找到这盒饼千。 x取整数是3 之归纳总结 答：李岩最少还要参加3次歌唱比赛。 只含一个次品，并已知次品轻重时，找次品 3.10名选手共赛：10×9÷2=45（盘），总得分为45 的规律。 分。 保证能 因为丙队平均得分为9分，而最多只能有一人得分 找出次 为9分，可得丙队有1人，并且9盘比赛全部获胜， 要辨别的物品数目 品至少 则甲、乙两队总得分为：45-9=36（分）。 需要称 的次数 每个人的得分是整数或整数加上0.5分，可得乙队 的总得分（即3.6分乘乙队的人数）是整数，故乙队 2-3 1 的人数只能是5人。 (3+1)49(3×3) 2 甲队的人数：10-1-5=4（人） (3×3+1)10-27(3×3×3) 3 甲队平均得分为： (3×3×3+1)28~81(3×3×3×3) 4 (36-3.6×5)÷4=4.5(分) … 答：甲队平均得4.5分。 (3×3×.…×3+1)a-b(3×3×3×3)） (n-1)个3 n个3 第25天优化问题、推理问题 M型m覆型M鼎mM雅M知识通关W型MWW醒程》W业W 7.131【解析】三人间每间98元，平均每人的租 知识点1优化问题 金是98÷3=32（元）…2（元）。双人间每间78 -、1.352.153.34.4 元，平均每人的租金是78÷2=39（元）。要最优惠 5.36912【解析】轮流报数时，每人只能报1 的租房方式，应尽量多租三人间。男游客有15名， 个数或连续2个数。小明想获胜，如果小莉报的是 15÷3=5(间)，租5间三人间正好住满。女游客有 1个，那么小明就报2个；如果小莉报的是2个，那 26名，26÷3=8（间）…2（人），可以租8间三人 么小明就报1个，也就是小明总是需要报到3的倍 间，剩下的2人租1间双人间，正好住满。所以一 数，即3,6,9,12。这样，小莉最后报的数肯定是 共租5+8=13（间）三人间和1间双人间。 “10”或“10,11”，那么小明就可以报“11,12”或 二、8.乙有获胜的机会。如下图所示，要想最后把棋 “12”了。 子移动到A所在的格子里，必须迫使对方把棋子移 6.4【解析】第一次，把36盒饼千平均分成3份(12， 动到A周围的3个涂色格子里。因为移动这枚棋 12,12),任意取出其中的2份分别放在天平的两 子，每次只能向上、向右或向右上方移动一格，如 侧，若天平平衡，较轻的那盒饼干在未取的1份中， 果某一方能把棋子移动到B、D这两个格子里，则