考点02 整式的乘除（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

02 整式的乘除 考点一：整式乘法 1、单项式与单项式乘法运算法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同其指数作为积的一个因式。 更一般地： 2、单项式与多项式乘法运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、多项式与多项式乘法运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 考点二：整式除法 1、单项式除以单项式运算法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：整式除法中除式不能为零。 考点三：乘法公式 1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 逆运算（因式分解形式）： 2、完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍。 逆运算（因式分解形式）： 3、完全平方公式的推广： 4、立方公式（补充）： ①立方和公式：两个数的立方和等于这两个数的和乘以它们的平方和减去它们的积。 ②立方差公式：两个数的立方差等于这两个数的差乘以它们的平方和加上它们的积。 5、完全立方公式（补充）： ①完全立方和公式：两数和的立方，等于这两个数的立方和加上它们积的3倍乘以这两个数的和。 ②完全立方差公式：两数差的立方，等于这两个数的立方差减去它们积的3倍乘以这两个数的差。 考点四：整式乘除的混合运算 1、整式乘除的混合运算步骤： 确定运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 选择法则： · 单项式乘除 ：系数与系数、同底数幂与同底数幂分别运算 · 多项式乘除：转化为单项式乘除 · 出现乘法公式特征 ：优先用公式简化 合并同类项：将运算结果中字母相同且指数相同的项合并。 检查结果：确保结果是最简形式（无括号、无同类项）。 题型一：单项式乘以单项式相关 1. 法则：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同指数作为积的因式。 2. 公式： 3. 步骤：先定符号 → 系数相乘 → 同底数幂运算 → 整理结果。 1. 系数相乘忽略负号，符号判断错误。 2. 同底数幂相乘，指数相加误算为相乘。 3. 遗漏只在一个单项式中出现的字母。 4. 有乘方时，未先算乘方再算乘法。 1．（22-23八年级上·吉林长春·月考）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 【答案】B 【分析】根据单项式乘单项式的计算法则求出a，b，计算ab即可． 【详解】解：×3xy＝＝， ∴a+1＝5，b+1＝6， 解得a＝4，b＝5， ∴ab＝4×5＝20， 故选：B． 【点睛】此题考查了单项式乘单项式，解题的关键是掌握单项式乘单项式的运算法则． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）__________ 【答案】 【详解】． 3．（25-26七年级上·浙江·假期作业）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘法，单项式与单项式的乘法法则是，把它们的系数相乘，字母部分的同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 根据单项式的乘法法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】此题考查了单项式的乘法，熟练掌握单项式乘法法则是关键． 根据单项式的运算法则逐题计算即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式． （4）解：原式． （5）解：原式． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）利用单项式乘单项式法则进行计算即可； （2）利用单项式乘单项式法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型二：单项式乘以多项式相关 1. 法则：利用乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把积相加。 2. 公式： 3. 关键：不漏项、符号正确、最后合并同类项。 1. 漏乘常数项或某一项，展开不完整。 2. 单项式为负时，多项式内各项未全部变号。 3. 展开后未合并同类项，结果不最简。 4. 指数运算出错，同底数幂处理错误。 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】B 【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握换元法是解题的关键．利用换元法，设，则，可得：，，，再代入计算即可． 【详解】解：根据题意，设， ， ， ，，， ， 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该题考查了多项式乘法与图形面积，解题的关键是表示出图中阴影部分面积． 设大正方形和小正方形的边长分别为，根据图1和图2列出等式，求出，再根据图3表示出阴影部分面积，代入求解即可． 【详解】解：设大正方形和小正方形的边长分别为， 根据题意可得：， 即， ， 即，解得：； ∴， ∴， 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题关键．先根据单项式乘以多项式可得，再将代入计算即可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：=____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知， (1)求代数式的值． (2)求代数式的值． 【答案】(1)1 (2)2 【分析】本题主要考查代数式求值，正确进行代数式变形是解答关键． （1）根据已知得，等式两边同除以可得结论； （2）先由已知条件得到，再将降次并代入进行化简，最终利用整体代入法求值即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴ ． 题型三：多项式乘以多项式相关 1. 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 2. 公式： 3. 技巧：按顺序逐项相乘，避免漏项；不含某一项则令该项系数为0。 1. 交叉相乘漏项，展开不完整。 2. 负项相乘时符号判断错误。 3. 合并同类项错误，结果未化简。 4. 套用公式错误，与平方差/完全平方混淆。 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式把展开，再合并同类项，让和项的系数为0即可． 【详解】解：原式, ∵乘积中不含和项， ∴， 解得． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 【答案】D 【分析】此题考查了整式乘法的计算能力．根据题中“三乘”对应的展开式进行代入求解． 【详解】解：由题意得， ， ∴m的值是24， 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 【答案】C 【分析】本题考查多项式乘多项式和整式加减，恒等式的问题．先根据中二次项系数为4，得出，然后列出代数式，进行化简，得出，即可求出结果．掌握求和符号的定义，是解题的关键． 【详解】解： ∵中二次项系数为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：C． 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法和减法运算，令，可得，，再利用作差法解答即可求解，正确计算是解题的关键． 【详解】解：令， 则 ， ∴ ， ∵均为正数， ∴， 即， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 ___________ 【答案】3 【分析】本题考查整体代入求代数式的值，把化为，再代入，计算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：3． 6．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 【答案】 【分析】（1）根据题意得到规律，即可求出的值； （2）将转化为，根据计算即可． 【详解】解：（1）由题意，得， ∴； （2） ． 7．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，我校闻澜阁前有一个长为米，宽为米的长方形喷泉，现计划在喷泉的四周种植三色堇花带，花带的种植宽度均为米． (1)用含，的代数式表示三色堇花带所占面积，并化简． (2)已知，三色堇花苗单价为3元/，若购买花苗花费1812元，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目中的数据和图形，结合三色堇花带所占面积大长方形的面积长方形喷泉面积列代数式，再根据多项式乘多项式法则展开即可； （2）根据（1）中的结果和题意，结合题意列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可得三色堇花带所占面积 ． （2）解：∵， ∴三色堇花带所占面积， 根据题意可得， 解得：． 题型四：平方差公式及其应用 1. 结构：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数。 2. 公式： 3. 应用：简便计算、几何面积验证、连乘约分。 1. 不满足“一同一反”结构，强行套用公式。 2. 系数未整体平方，如误写为。 3. 符号错误，结果写成。 4. 连乘拆分后约分出错。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列代数式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，有一项完全相同，另一项互为相反数，逐一判断选项即可得到答案．平方差公式为． 【详解】解：A项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故A错误； B项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故B错误； C项：，有一项b相同，另一项a和互为相反数，符合平方差公式特征，能用平方差公式计算，故C正确； D项：，能用完全平方公式，不符合平方差公式特征，故D错误． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）计算的值是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式对每个因式分解，分解后通过约分消去中间项，即可计算得到最终结果． 【详解】解：∵ ， ∴原式可变形为： ． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平方差公式在几何图形中的应用．解题的关键在于根据题意正确的表示面积．根据图形面积得出答案即可． 【详解】解：由题意知，， 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 【答案】32 【分析】本题考查了平方差公式的应用，设正方形和的边长为、，根据即可解答． 【详解】解：设正方形和的边长为、， ∵，， ∴， 又∵， ， ∴， 故答案为：32． 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 题型五：完全平方公式及其应用 1. 口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方。 2. 公式： 3. 应用：配方、非负数求值、几何面积计算。 1. 遗漏中间交叉项 。 2. 差的平方尾项符号错误。 3. 系数未平方，如算成。 4. 配方时常数项配错。 1．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式的化简求值．本题可先根据已知条件求出的值，再将代数式进行变形，最后代入求值． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴原式； 故选：A． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则a的值为______． 【答案】2 【分析】利用完全平方公式展开等式左边，根据多项式相等对应项系数相等，即可求出a的值． 【详解】， 由完全平方公式展开左边得 根据多项式相等，对应项的系数相等，可得 ， 解得． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 【答案】10 【分析】设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为，根据各图形的放置方式，可用含的代数式表示出，结合，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设正方形的边长为正方形①的边长为则长方形②的长为宽为， ∴，，． ∵， ∴， ∴． 故答案为：10． 4．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果多项式是个完全平方式，则________． 【答案】3或 【分析】利用完全平方公式的结构特征判断，即可确定出的值． 【详解】解：是一个完全平方式， ， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，或． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 【答案】/ 【分析】先由已知得到，代入第二个等式后对式子配方，利用偶次方的非负性求出，，的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 将其代入中， 得 ， ∵任意实数的平方为非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0， ∴，， 解得，， 将代入得， 将，，代入得：． 6．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， 当时，原式； （2）解：， ， ， ， 当时，原式． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）一组数：，，…，，它们分别从0，1，2这三个数中任意选取，若…且…，则，，…，中取值为2的个数有多少个？ 【答案】个数有1000个 【分析】本题考查数字的变化规律，根据所给的式子的结果，找到数的运算规律是解题的关键 根据题意先求1的个数为个，再求2的个数为个即可． 【详解】解：…， 的个数为个，0和2两个数共有1002个数， …， ，其中2000是所有0和2两个数的和， 个2的和是2000，其余是0， 的个数有个， ，，…，中取值为2的个数有1000个． 8．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 【答案】(1)是 (2)10 (3) 【分析】本题考查完全平方公式； （1）利用完全平方公式配方后判断即可； （2）利用完全平方公式配方得到 ，再根据双平方多项式列方程求解即可； （3）先计算，即可比较大小． 【详解】（1）解： ∴多项式能够变形为两个整式的平方和，是双平方多项式． （2）解： ， ∵多项式是双平方多项式， ∴， 解得． （3）解： ∵，， ∴，即， ∴． 题型六：单项式除以单项式 1. 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母保留。 2. 公式： 3. 步骤：符号 → 系数 → 同底数幂 → 单独字母。 1. 系数相除忽略符号，结果符号错误。 2. 同底数幂相除，指数相减误算为相除。 3. 遗漏被除式中独有的字母。 4. 未注意除式不能为0。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 【答案】 【分析】根据单项式除以单项式的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 2．（22-23七年级下·浙江温州·月考）计算：________． 【答案】 【分析】先计算积的乘方，再计算单项式除以单项式即可得到答案． 【详解】解： ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式除以单项式，直接根据单项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）计算的结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查了单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可求解． 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：_______． 【答案】 【分析】本题考查了单项式的乘除运算. 先计算单项式的乘法，再计算单项式的除法即可. 【详解】 ． 题型七：多项式除以单项式相关 1. 法则：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加。 2. 公式： 3. 应用：已知积与因式求另一因式、几何面积求边长。 1. 漏除多项式中的某一项。 2. 负号项相除，符号处理错误。 3. 忽略除式不为0的限制条件。 4. 结果未合并同类项。 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）与单项式的积是的多项式是____________． 【答案】 【分析】用多项式除以单项式即可得到结果． 【详解】解：设所求的多项式为， ∵， ∴． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，解题关键是熟练掌握运算法则； 根据多项式除以单项式法则进行计算即可得到结果． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_________ 【答案】/ 【分析】本题考查了多项式除以单项式，根据长方形的面积为，长为，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵长方形的面积为，长为， ∴该长方形的宽为， 故答案为： 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某学校计划新建一个面积为的长方形劳动实践基地，若基地的长为，则基地的宽为_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的面积公式和整式的乘除，熟练掌握多项式除以单项式的运算是解题的关键．根据长方形的面积公式，再用面积除以长即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，直接根据多项式除以单项式的计算法则求解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型八：整式的混合运算 1. 顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 2. 技巧：合理使用平方差、完全平方简化计算；去括号后合并同类项。 3. 新定义：严格按定义代入，分步计算。 1. 运算顺序颠倒，先算加减后算乘除。 2. 括号前是负号，去括号时未全变号。 3. 乘法公式与分配律混用、展开错误。 4. 结果未化为最简整式。 1．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查整式的混合运算，包括完全平方公式、平方差公式、幂的运算和整式的乘除．解题时需熟练掌握相关运算法则，逐步计算． （1）先根据完全平方公式计算，再去括号即可； （2）先算积的乘方，再算单项式的乘法和除法，然后合并同类项即可； （3）先根据乘法公式计算，再去括号合并同类项； （4）先算括号里，再算除法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 【答案】(1)7 (2) 滨滨正确，江江正确，美美错误 【分析】本题考查了新定义运算的计算及运算律的验证，解题的关键是根据新运算的定义代入计算并推导运算律． （1）根据新运算定义，将、代入公式计算； （2）分别推导交换律、结合律、分配律的左右两边，比较是否相等以判断说法正误． 【详解】（1）解：由新运算， 当，时， 故答案为：． （2）解：∵ ，， ∴ ，滨滨的说法正确． ∵， ； ， ； ∴ ，江江的说法正确． ∵ ； ； ∵ ， ∴ 分配律不成立，美美的说法错误． 答：滨滨、江江的说法正确，美美的说法错误． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查整式的混合运算及化简求值，先计算完全平方式，单项式乘多项式，平方差，再合并同类项，最后将代入求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值．，其中，． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，化简求值，掌握整式的运算法则是关键． 根据乘法公式，整式的混合运算法则计算，化简，再代入计算即可求解． 【详解】解： ， 当，时，原式． 5．（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题中竖式求解； （2）根据题意列出方程求解； （3）根据题意列出代数式并化简． 【详解】（1）解：由题中竖式得：， 故答案为：； （2）由题意得：， 解得：； （3）由题意得： ． 【点睛】本题考查了整式的除法，掌握新运算的意义是解题的关键． 6．（22-23七年级下·浙江·期末）计算题． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据积的乘方和合并同类项的方法可以解答本题； （2）根据平方差公式将式子展开，然后合并同类项即可； （3）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题； （4）根据平方差公式和完全平方公式可以解答本题． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 7．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求的值； 【答案】（1）；12 （2）12 （3） 【分析】（1）先算多项式除以单项式和平方差公式，再合并同类项，然后代入求值即可； （2）先化简代数式，然后将整体代入求值即可； （3）先将整理为两个完全平方的和，根据非负数的性质得出关于的方程组，求解方程组，然后把的值代入即可． 【详解】（1） ， 当时， 原式； （2） ， ∵， ∴， ∴原式； （3）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴且， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，还涉及完全平方公式，平方差公式，有理数的乘方运算等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 8．（25-26七年级上·福建厦门·月考）对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 【答案】(1)； (2)； (3)是“和谐有理数对”，理由见解析． 【分析】本题考查了整式的混合运算，理解新定义是解题的关键． （1）根据“和谐有理数对”的定义逐一判断即可； （2）根据“和谐有理数对”的定义列出算式，再等量代换，即可得出答案； （3）根据“和谐有理数对”的定义列出代数式，再比较即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是“和谐有理数对”， ∵，， ∴不是“和谐有理数对”， 故答案为：； （2）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是“和谐有理数对”， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴是“和谐有理数对”． 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了单项式乘单项式．根据单项式与单项式相乘的法则计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先展开等式左边的多项式乘积，根据多项式相等时对应项系数相等，列方程即可求解和的值． 【详解】解：， ∵， ∴， 解得． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，与选项给出结果不符，故A错误； 对于选项B：，与选项给出结果不符，故B错误； 对于选项C：，与选项给出结果一致，故C正确； 对于选项D：，与选项给出结果不符，故D错误． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 5．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 【答案】3 【分析】先把多项式展开后合并，然后令x的一次项系数等于0，再解方程即可． 【详解】解：∵多项式不含x的一次项， ∴， 解得． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 【答案】26 【分析】本题考查了新定义下的整式的混合运算．需要求的最小值，通过代数变换，将问题转化为求的最小值，求得，分别求得当、和时，的最小值，据此分析求解即可． 【详解】解：根据题意，设两位数为和，满足， ∴， ∴，， ∴， ∵ ， 设， 要求的最小值，即需求的最小值， ∵，， ∴，， ∴ ， ∵， ∴， 当时，，，取时，的最小值为12； 当时，，，为定值； 当时，，，取时，的最小值为12； ∴的最小值为12， ∴的最小值为， 故答案为：26． 7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设，根据“，”，可列出关于x，y的方程组，再利用，即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：设， 根据题意得：， 得： 即， ∴阴影部分的面积是． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于，的方程组的解为，则： ①_____； ②若，求的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，整式的混合运算，代数式求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． ①将代入后，将两式相加，得，求解即可； ②先化简得，将代入后，将两式相减，得，代入求解即可． 【详解】解：代入， 得：， ①将两式相加，得， 得， 解得：， 故答案为：； ② ， ∵， 两式相减，得， 得， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，16168 【分析】先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，合并同类项后计算整式的除法，再计算加法化简式子后，再代值计算． 【详解】解： ， 当时， 原式． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 【答案】(1) (2) ； 【分析】（1）根据，表示出各正方形和长方形的面积，即可得答案； （2）①根据，代入，，求出的值即可； ②令，，得出，，根据求出的值即可． 【详解】（1）解：由图2可知：， ∴． （2）解：①∵，，， ∴． ，求 ②令，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 整式的乘除 考点一：整式乘法 1、单项式与单项式乘法运算法则：单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，其余字母连同其指数作为积的一个因式。 更一般地： 2、单项式与多项式乘法运算法则：单项式与多项式相乘，用单项式乘以多项式的每一项，再把所得的积相加。 3、多项式与多项式乘法运算法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。 考点二：整式除法 1、单项式除以单项式运算法则：单项式除以单项式，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式中含有的字母，连同它的指数作为商的一个因式。 2、多项式除以单项式运算法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。 注意：整式除法中除式不能为零。 考点三：乘法公式 1、平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差。 逆运算（因式分解形式）： 2、完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和加上（减去）它们积的2倍。 逆运算（因式分解形式）： 3、完全平方公式的推广： 4、立方公式（补充）： ①立方和公式：两个数的立方和等于这两个数的和乘以它们的平方和减去它们的积。 ②立方差公式：两个数的立方差等于这两个数的差乘以它们的平方和加上它们的积。 5、完全立方公式（补充）： ①完全立方和公式：两数和的立方，等于这两个数的立方和加上它们积的3倍乘以这两个数的和。 ②完全立方差公式：两数差的立方，等于这两个数的立方差减去它们积的3倍乘以这两个数的差。 考点四：整式乘除的混合运算 1、整式乘除的混合运算步骤： 确定运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的。 选择法则： · 单项式乘除 ：系数与系数、同底数幂与同底数幂分别运算 · 多项式乘除：转化为单项式乘除 · 出现乘法公式特征 ：优先用公式简化 合并同类项：将运算结果中字母相同且指数相同的项合并。 检查结果：确保结果是最简形式（无括号、无同类项）。 题型一：单项式乘以单项式相关 1. 法则：系数相乘，同底数幂相乘，只在一个单项式里含有的字母，连同指数作为积的因式。 2. 公式： 3. 步骤：先定符号 → 系数相乘 → 同底数幂运算 → 整理结果。 1. 系数相乘忽略负号，符号判断错误。 2. 同底数幂相乘，指数相加误算为相乘。 3. 遗漏只在一个单项式中出现的字母。 4. 有乘方时，未先算乘方再算乘法。 1．（22-23八年级上·吉林长春·月考）若单项式和3xy的积为，则ab的值为（　　） A．30 B．20 C．﹣15 D．15 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）__________ 3．（25-26七年级上·浙江·假期作业）计算：___________． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)． 题型二：单项式乘以多项式相关 1. 法则：利用乘法分配律，用单项式乘多项式的每一项，再把积相加。 2. 公式： 3. 关键：不漏项、符号正确、最后合并同类项。 1. 漏乘常数项或某一项，展开不完整。 2. 单项式为负时，多项式内各项未全部变号。 3. 展开后未合并同类项，结果不最简。 4. 指数运算出错，同底数幂处理错误。 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）设实数满足，若，则的值为（   ） A． B．14 C． D．6 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，圆圆同学画了三个面积相等的大正方形和三个面积相等小正方形（两个大小不同的正方形不重合无间隙），她在三个图上分别画出了三块阴影面积．若图1，图2，图3的阴影面积分别记为，且，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）若实数a，b满足，，则的值是__________． 4．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：=____________． 5．（25-26七年级上·浙江嘉兴·期末）已知， (1)求代数式的值． (2)求代数式的值． 题型三：多项式乘以多项式相关 1. 法则：一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把积相加。 2. 公式： 3. 技巧：按顺序逐项相乘，避免漏项；不含某一项则令该项系数为0。 1. 交叉相乘漏项，展开不完整。 2. 负项相乘时符号判断错误。 3. 合并同类项错误，结果未化简。 4. 套用公式错误，与平方差/完全平方混淆。 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）使乘积中不含和项的，的值分别是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级上·浙江金华·期末）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】已知，则的值为（    ） A．4 B．8 C．16 D．24 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）求和符号“”（其中，且和表示正整数），这个符号我们进行如下定义：表示从开始取数一直取到，全部加起来．如：当时，．若则的值为（   ） A．－4 B．4 C．－5 D．5 4．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知 均为正数，且满足 ，，则 的大小关系满足________． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）已知，，  则的值为 ___________ 6．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）观察、归纳：；；；…请你根据以上等式的规律，完成下列问题： （1）_________． （2）计算_________． 7．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 8．（21-22七年级下·浙江温州·期中）如图，我校闻澜阁前有一个长为米，宽为米的长方形喷泉，现计划在喷泉的四周种植三色堇花带，花带的种植宽度均为米． (1)用含，的代数式表示三色堇花带所占面积，并化简． (2)已知，三色堇花苗单价为3元/，若购买花苗花费1812元，求的值． 题型四：平方差公式及其应用 1. 结构：两个二项式相乘，一项相同，一项互为相反数。 2. 公式： 3. 应用：简便计算、几何面积验证、连乘约分。 1. 不满足“一同一反”结构，强行套用公式。 2. 系数未整体平方，如误写为。 3. 符号错误，结果写成。 4. 连乘拆分后约分出错。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）下列代数式中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·月考）计算的值是（） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图的剪拼过程（由左向右）可以验证的公式是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知正方形和，点，，三点共线，，，则与的面积差是______． 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 题型五：完全平方公式及其应用 1. 口诀：首平方，尾平方，积的2倍放中央，符号看前方。 2. 公式： 3. 应用：配方、非负数求值、几何面积计算。 1. 遗漏中间交叉项 。 2. 差的平方尾项符号错误。 3. 系数未平方，如算成。 4. 配方时常数项配错。 1．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，，则代数式的值是（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若，则a的值为______． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）如图，将一张长方形纸片分割为一个正方形与一个长方形，并按图、两种方式放置在正方形内记图中阴影部分面积为，图中阴影部分面积分别为，，若，则的值为_________． 4．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果多项式是个完全平方式，则________． 5．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值是______． 6．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）按要求完成下列各题： (1)先化简，再求值：，其中． (2)已知，求代数式的值． 7．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）一组数：，，…，，它们分别从0，1，2这三个数中任意选取，若…且…，则，，…，中取值为2的个数有多少个？ 8．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）定义：若一个多项式能够变形为两个整式的平方和，则我们称为双平方多项式． 例如，若， 则多项式就是双平方多项式． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)判断：多项式是不是双平方多项式． (2)若多项式是双平方多项式，求整数的值． (3)已知，，比较，的大小． 题型六：单项式除以单项式 1. 法则：系数相除，同底数幂相除，只在被除式里含有的字母保留。 2. 公式： 3. 步骤：符号 → 系数 → 同底数幂 → 单独字母。 1. 系数相除忽略符号，结果符号错误。 2. 同底数幂相除，指数相减误算为相除。 3. 遗漏被除式中独有的字母。 4. 未注意除式不能为0。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 2．（22-23七年级下·浙江温州·月考）计算：________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）计算：_________． 4．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）计算的结果为_____． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：_______． 题型七：多项式除以单项式相关 1. 法则：多项式每一项分别除以单项式，再把商相加。 2. 公式： 3. 应用：已知积与因式求另一因式、几何面积求边长。 1. 漏除多项式中的某一项。 2. 负号项相除，符号处理错误。 3. 忽略除式不为0的限制条件。 4. 结果未合并同类项。 1．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）与单项式的积是的多项式是____________． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算： ______． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知长方形的面积为，长为，则该长方形的宽为_________ 4．（24-25七年级下·浙江台州·期末）某学校计划新建一个面积为的长方形劳动实践基地，若基地的长为，则基地的宽为_________． 5．（24-25七年级下·浙江温州·期中）计算：____________． 题型八：整式的混合运算 1. 顺序：先乘方 → 再乘除 → 最后加减；有括号先算括号内。 2. 技巧：合理使用平方差、完全平方简化计算；去括号后合并同类项。 3. 新定义：严格按定义代入，分步计算。 1. 运算顺序颠倒，先算加减后算乘除。 2. 括号前是负号，去括号时未全变号。 3. 乘法公式与分配律混用、展开错误。 4. 结果未化为最简整式。 1．（25-26八年级上·天津和平·月考）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）对于任意实数a，b，定义一种新运算：，例如：． (1)求__________； (2)滨滨说：该运算满足交换律． 江江说：该运算满足结合律 美美说：该运算满足分配律． 他们的说法是否正确？请说明理由． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中． 4．（24-25七年级下·浙江衢州·期中）先化简，再求值．，其中，． 5．（22-23七年级下·浙江金华·期中）我们学过单项式除以单项式、多项式除以单项式，那么多项式除以多项式该怎么计算呢？我们也可以用竖式进行类似演算，即先把被除式、除式按某个字母的指数从大到小依次排列项的顺序，并把所缺的次数项用零补齐，再类似数的竖式除法求出商式和余式，其中余式为0或余式的次数低于除式的次数． 例：计算，可依照的计算方法用竖式进行计算．因此．    (1)的商是_________． (2)已知一个长为，宽为的长方形，若将它的长增加6，宽增加就得到一个新长方形，此时长方形的周长是周长的2倍（如图），用含的代数式表示． (3)在（2）的条件下，另有长方形的一边长为，若长方形的面积比的面积大76，求长方形的另一边长． 6．（22-23七年级下·浙江·期末）计算题． (1)； (2)； (3)； (4)． 7．（22-23七年级下·浙江杭州·期中）（1）先化简，再求值：，其中； （2）已知，求代数式的值； （3）已知，求的值； 8．（25-26七年级上·福建厦门·月考）对于有理数，，我们给出如下定义：若，满足，则称，为“和谐有理数对”，记为．例如：，数对是“和谐有理数对”． (1)数对，，其中是“和谐有理数对”的是______； (2)若是“和谐有理数对”，求的值； (3)若是“和谐有理数对”，则是“和谐有理数对”吗？说明你的理由． 1．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）如果，那么、的值分别是（    ）． A．， B．， C．， D．， 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）下列运算正确的是（    ）． A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 5．（21-22七年级下·浙江温州·期中）若的展开式中不含有x的一次项，则a的值为________． 6．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）对于一个两位数，记，称为两位数的“生成数”．如，即5为两位数12的“生成数”．若两位数和满足（如），则的最小值为________． 7．（23-24七年级下·浙江温州·期中）如图，在长方形中，有正方形，正方形和正方形．，分别表示正方形，正方形的面积，若，，则阴影部分的面积是_______． 8．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）关于，的方程组的解为，则： ①_____； ②若，求的值为_____． 9．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 10．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）乘法公式的探究及应用：数学活动课上，老师准备了若干个如图的三种纸片：种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形并用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张拼成如图的大正方形． (1)观察图，请你写出三个代数式，，之间的数量关系：__________________； (2)根据（1）题中的等量关系，解决如下问题： 已知，，求的值； 已知，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $