考点01 幂的四则运算（专项训练）数学新教材浙教版七年级下册

01 幂的四则运算 考点一：幂的意义 幂是乘方运算的结果。一般地，表示 (n) 个 (a) 相乘，其中 (a) 叫做底数，(n) 叫做指数。 考点二：同底数幂的乘法 1、法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、 推广：多个同底数幂相乘时，指数连续相加。 3、 逆运算：将一个幂拆分成两个或多个同底数幂的乘积。 4、应用：指数较大时，可将幂分解为多个幂的乘积，便于计算或与其他式子约分。 考点三：同底数幂的除法 1、法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、零指数幂：当 时， 3、负整数指数幂： 4、逆运算：将一个幂写成两个同底数幂的商的形式。 5、应用：将指数较大的幂转化为指数较小的幂的商，用于化简分式或比较大小。 考点四：幂的乘方 1、法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、逆运算：将幂的乘方形式拆分为幂的乘方的逆过程。 3、应用：将指数为合数的幂写成幂的乘方形式，便于计算或与其他式子合并。 考点五：积的乘方 1、法则：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、推广：多个因式相乘的积的乘方。 3、逆运算：将同指数幂的乘积写成一个积的乘方的形式。 4、推广逆运算： 5、应用：当多个幂的指数相同时，可将它们合并为积的乘方，简化计算。 题型一：同底数幂的乘法 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 若有多个幂相乘，指数连续相加：。 4. 注意底数可以是数字、字母或式子，但必须完全相同。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 底数不同时误用同底数幂乘法法则。 2. 指数相加时忘记符号，如 ，误写成 。 3. 系数相乘与指数相加混淆，如 的错误。 4. 忽略底数为0的情况。 1．（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 2．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂相乘．根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故选：A． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，掌握其相关知识点时解题关键，根据同底数幂法则“底数不变，指数相加”即可求解. 【详解】解： 故选：D. 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法法则即可计算得到结果． 【详解】解：． 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）计算：___________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为：． 题型二：同底数幂的乘法的逆用 1. 同底数幂乘法法则的逆用：。 2. 将一个幂拆分成两个或多个同底数幂的乘积。 3. 常用于化简求值、证明等式或解指数方程。 4. 拆分时要注意指数的分配，如 。 5. 根据题目需要灵活拆分，通常拆成已知条件中的指数形式。 1. 拆分时指数分配错误，如 漏掉指数。 2. 逆用时忘记底数不变的条件。 3. 拆分后的式子未合并同类项。 4. 符号处理错误，如 误用乘法。 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如果，，则___． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算法则，对所求式子变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则得， ∵，， ∴． 故答案为：． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题关键是掌握同底数幂的乘法法则，逆用法则对所求代数式变形后，代入已知条件计算即可 【详解】解：∵ ∴，代入得：原式． 3．（25-26七年级下·浙江台州·月考）若，则__________． 【答案】6 【分析】根据同底数幂的乘法法则，将变形为，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：由同底数幂的乘法法则得 将，代入得， ． 4．（21-22七年级下·浙江衢州·月考）若，，________． 【答案】32 【分析】本题利用了同底数幂乘法的逆运算，将所求代数式变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：依题意，． 5．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求__________． 【答案】6 【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可． 本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 题型三：幂的乘方运算 1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 多个幂的乘方：。 4. 注意幂的乘方与同底数幂乘法的区别。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 混淆幂的乘方与同底数幂乘法： 的错误。 2. 指数相乘时忘记括号，如 ，误写成 。 3. 符号处理错误，如 ，忘记负号。 4. 底数为0时忽略特殊情况。 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了幂的乘方法则，即 ． 根据幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______． 【答案】a6 【分析】先根据积的乘方法则化简，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方运算法则，根据对应运算法则计算即可得到结果． 【详解】解：原式=． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，则__________． 【答案】1 【分析】根据幂的乘方法则把原式变为，得到，然后解方程即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则____________，____________． 【答案】 5 25 【分析】本题考查了幂的乘方运算，掌握幂的乘方：底数不变、指数相乘这一法则是解题的关键． 根据指数运算规则，由已知条件 推导出 ，进而求解 和 ． 【详解】解：∵ ， ∴， 且 ． 故答案为 ：，． 题型四：幂的乘方的逆用 1. 幂的乘方法则的逆用：。 2. 将一个幂写成另一个幂的乘方形式。 3. 常用于化简求值、比较大小或解指数方程。 4. 根据题目需要选择合适的拆分方式，如 。 5. 逆用时要保持指数运算正确。 1. 指数分解错误，如 正确，但 也正确，不能写错形式。 2. 逆用时底数不变，不能改变底数。 3. 符号处理错误，如 ，逆用时需小心。 4. 忽略指数为0或1的特殊情况。 1．（2021·浙江杭州·模拟预测）若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查幂的乘方的逆用，逆用幂的乘方法则，得到，求出的值，进而求出代数式的值即可． 【详解】解：∵， ， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 2．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查指数变形的思维，根据已知条件进行变形，构造相同的底数关系建立方程，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴,即, ,即 ∴, 即 ∴． 故选：C． 3．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则______． 【答案】 【详解】解：． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，根据幂的运算法则可得，再将，代入计算，即可求解． 【详解】解：∵， 将，代入，可得． 故答案为：28． 5．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，熟练掌握幂的乘方法则是解题的关键．将、、、转化为指数相同的幂，再比较底数大小，从而得出它们的大小关系． 【详解】解： 因为， 所以． 故答案为：． 题型五：积的乘方运算 1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 公式：（ 为整数）。 3. 推广到多个因式：。 4. 注意系数也要乘方，如 。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 系数漏乘方，如 的错误。 2. 积的乘方与幂的乘方混淆，如 与 混淆。 3. 负号处理错误，如 ，忘记负号平方为正。 4. 因式较多时漏掉某个因式的乘方。 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方，将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【详解】解：． 故答案为：B ． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：=___________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的运算，积的乘方运算，先计算括号内的幂运算，再处理负号得，最后进行立方运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简的结果是______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据积的乘方运算法则，进行解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）化简 ：   ______________ 【答案】 【分析】该题考查了同底数幂乘法和积的乘方，根据同底数幂乘法和积的乘方法则解答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）__________ 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方，根据积的乘方进行计算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型六：积的乘方的逆用 1. 积的乘方法则的逆用：。 2. 将同指数的幂相乘，转化为底数乘积的乘方。 3. 常用于简化计算、化简求值或比较大小。 4. 注意底数必须是同指数，如 。 5. 逆用时符号和系数要正确处理。 1. 指数不同时逆用，如 。 2. 系数与底数未分开处理，如 ，但 不能直接逆用。 3. 负号处理错误，如 ，忘记负号。 4. 逆用后未化简。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，则a的值为______． 【答案】 【分析】先根据积的运算法则对已知等式进行化简，再求解a的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江台州·月考）计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·浙江金华·月考）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查了积的乘方运算的逆运算，同底数幂的乘法的逆运算，根据即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 【答案】4 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，将等式两边化为同底数的幂的形式，通过比较指数建立方程求解． 【详解】解：∵ ∴ 解得： 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 题型七：同底数幂的除法 1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 推广到多个幂的乘除混合运算。 4. 注意 的条件，底数不能为0。 5. 计算结果要化为最简形式，指数可为负数或0。 1. 指数相减时符号错误，如 ，误写成 。 2. 底数不同时误用同底数幂除法法则。 3. 忽略 的条件。 4. 系数相除与指数相减混淆。 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查幂的运算，包括幂的乘方、积的乘方及同底数幂的乘除法．需分步计算各部分的符号和指数，再合并结果即可． 【详解】解： ； 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的除法，根据同底数幂的除法法则，底数不变，指数相减进行计算即可． 【详解】解：∵ ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算：______．() 【答案】m 【分析】本题考查了幂的运算，熟练掌握幂的乘方，同底数幂除法，是解题的关键． 先计算乘方，再计算除法，利用同底数幂的除法法则． 【详解】解：． 故答案为：m． 4．（22-23八年级上·河南南阳·期末）计算：________． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相除，根据同底数幂相除，底数不变，指数相减，进行作答即可． 【详解】解：， 故答案为：． 5．（24-25八年级下·浙江·假期作业）__________． 【答案】 【分析】本题考查整式混合运算，幂的乘方和同底数幂的乘除．先根据幂的乘方和同底数幂的乘法进行计算，再根据同底数幂的除法进行计算，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型八：同底数幂的除法的逆用 1. 同底数幂除法法则的逆用：。 2. 将一个幂写成两个同底数幂的商的形式。 3. 常用于化简求值、证明等式或解指数方程。 4. 逆用时注意 的条件。 5. 根据题目需要灵活拆分指数。 1. 拆分时指数分配错误，如 ，指数差应为5。 2. 逆用时忘记底数不变。 3. 符号处理错误，如 与 混淆。 4. 忽略除法的分母不能为0。 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的除法，利用同底数幂的除法法则，将已知条件转化为方程求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得， 故选：C． 2．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）若，则____． 【答案】 【分析】先利用幂的相关运算法则及其逆运算，将待求代数式恒等变形为题目条件中的幂，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：， 当时，原式． 3．（20-21七年级下·浙江衢州·期中）已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查同底数幂的除法和幂的乘方，熟练掌握相关的运算法则并灵活运用是解答的关键．根据同底数幂的除法和幂的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如果，那么___________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆应用，解题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则． 利用同底数幂的除法的逆应用法则进行计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则 __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法的逆用．逆用同底数幂的除法法则进行运算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：4． 题型九：零、负整数指数幂 1. 零指数幂：（）。 2. 负整数指数幂：（， 为正整数）。 3. 推广：（）。 4. 计算时先将负指数转化为正指数，再进行运算。 5. 结果通常写成分数形式或正整数指数幂的形式。 1. 零指数幂忽略 的条件，如 无定义。 2. 负指数幂转化时忘记取倒数，如 的错误。 3. 负号处理错误，如 正确，但 需注意符号。 4. 结果未化为最简形式。 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：____ 【答案】 【分析】根据负整数指数幂运算法则和零指数幂运算法则分别计算两项，再进行有理数加法运算即可． 【详解】解：． 2．（25-26八年级上·吉林·期末）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】根据负整数指数幂和零指数幂的运算法则，分别计算两个式子的值，再比较大小即可． 本题主要考查了负整数指数幂和零指数幂，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴． 故答案为：． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： 【答案】 【分析】先计算绝对值和乘方，再把除法运算转化为乘法运算，最后算加减即可求解． 【详解】解：原式 ． 4．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 【答案】 5 【分析】分别计算各项后合并即可得到结果． 【详解】解： ． 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查绝对值，零指数，负指数，乘方运算，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算绝对值，零指数，负指数，乘方运算，再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 题型十：用科学记数法表示绝对值小于1的数 1. 科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。 2. 对于绝对值小于1的正数， 为负整数，其绝对值等于第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）。 3. 例如：。 4. 注意有效数字的保留，根据题目要求确定 的位数。 5. 反过来，将科学记数法转化为小数时，指数为负表示向左移动小数点。 1. 的范围错误，如 不符合规范。 2. 指数 的符号错误，如 的错误。 3. 指数 的值计算错误，如 漏掉一个零。 4. 忽略科学记数法中的有效数字要求。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务．其每次计算仅需约秒，将用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中要求，为整数，确定和的值即可求解． 【详解】解：由题意得，． 2．（21-22七年级下·浙江温州·期中）我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的数，绝对值小于的非零数可以记作的形式，其中，是正整数，且等于将原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了还原用科学记数法表示的小数，科学记数法转换为小数时，需将的小数点向左移动位，对于，将1.24的小数点左移3位即可作答． 【详解】解：依题意，将科学记数法转换为小数形式，需将1.24的小数点向左移动3位， ∴用小数表示为， 故选：A． 4．（24-25七年级下·浙江温州·月考）我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升0.00000000025微克，用科学记数法表示0.00000000025为_________ 【答案】 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，正确确定以及的值是解题的关键．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，据此即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了科学记数法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （2）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （3）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． （4）将数据用科学记数法表示，即写成的形式，其中，n为整数，即可作答． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 1．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）下面的计算，不正确的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了同底数幂相乘和幂的乘方的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 运用同底数幂相乘和幂的乘方知识进行逐一辨别即可得到答案． 【详解】解：， 选项A符合题意； ∵， 选项B不符合题意； ∵， 选项C不符合题意； ∵， 选项D不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若 ，则，x，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正数的大小比较．熟练掌握正分数和它的倒数，它的平方数的大小关系，是解题的关键． 当 时，得且，即． 【详解】由于， 当分数自乘时结果更小，故 ． 如，则． ∵，， ∴ ， ∴ ． 如，则 ． 综上，． 应选项C． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，合并同类项，解题的关键是熟练掌握运算法则． 依据同底数幂相乘法则和合并同类项的方法，逐一判断各式的正确性即可． 【详解】解：∵，，，，与无法合并，， ∴只有符合题意， 故选：． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂相乘的运算法则，把转化为与相乘的形式，再代入已知值计算．本题主要考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂相乘，底数不变、指数相加的运算法则是解题的关键． 【详解】同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即（，、为整数）， ∴． 又，， ． 故选： ． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则___________． 【答案】16 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，负整数指数幂．由负整数指数幂将转化为，再利用同底数幂的乘法变形，最后代值计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：16． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：①______；②_______；③______． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，同底数幂的乘法，底数不变指数相减，可得答案． 【详解】解：①； ②； ③， 故答案为：，，． 7．（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则______； （2）若为正整数，则______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】题目主要考查新定义及同底数幂的除法运算，理解新定义是解题关键． （1）根据新定义直接求解即可； （2）根据新定义得出，然后利用同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】解：（1）根据题意得：； （2）∵， ∴， ∴， 故答案为：25；． 8．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为______． 【答案】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要确定的值以及的值． 【详解】解：数据0.000006用科学记数法表示应为 故答案为： 9．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)81 (2)32 【分析】（）由，得，然后由，最后代入求解即可； （）由，把，代入求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ． 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 【答案】(1)3，0 (2)42 (3)2，理由见解析 【分析】本题考查有理数的乘方、同底数幂的乘除法的逆用，理解题中运算方法是解答的关键． （1）根据题中运算方法，结合有理数的乘方求解即可； （2）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的乘法运算求解即可； （3）类比题中例题解法步骤结合同底数幂的除法运算求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 故答案为：3，0； （2）解：设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：42． （3）解：猜想，理由： 设，， ∴，，， ∵，则， ∴， 故答案为：2． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 01 幂的四则运算 考点一：幂的意义 幂是乘方运算的结果。一般地，表示 (n) 个 (a) 相乘，其中 (a) 叫做底数，(n) 叫做指数。 考点二：同底数幂的乘法 1、法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、 推广：多个同底数幂相乘时，指数连续相加。 3、 逆运算：将一个幂拆分成两个或多个同底数幂的乘积。 4、应用：指数较大时，可将幂分解为多个幂的乘积，便于计算或与其他式子约分。 考点三：同底数幂的除法 1、法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2、零指数幂：当 时， 3、负整数指数幂： 4、逆运算：将一个幂写成两个同底数幂的商的形式。 5、应用：将指数较大的幂转化为指数较小的幂的商，用于化简分式或比较大小。 考点四：幂的乘方 1、法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2、逆运算：将幂的乘方形式拆分为幂的乘方的逆过程。 3、应用：将指数为合数的幂写成幂的乘方形式，便于计算或与其他式子合并。 考点五：积的乘方 1、法则：积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2、推广：多个因式相乘的积的乘方。 3、逆运算：将同指数幂的乘积写成一个积的乘方的形式。 4、推广逆运算： 5、应用：当多个幂的指数相同时，可将它们合并为积的乘方，简化计算。 题型一：同底数幂的乘法 1. 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 若有多个幂相乘，指数连续相加：。 4. 注意底数可以是数字、字母或式子，但必须完全相同。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 底数不同时误用同底数幂乘法法则。 2. 指数相加时忘记符号，如 ，误写成 。 3. 系数相乘与指数相加混淆，如 的错误。 4. 忽略底数为0的情况。 1．（25-26九年级下·浙江金华·开学考试）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·浙江温州·二模）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（2023·浙江宁波·模拟预测）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）计算：___________． 题型二：同底数幂的乘法的逆用 1. 同底数幂乘法法则的逆用：。 2. 将一个幂拆分成两个或多个同底数幂的乘积。 3. 常用于化简求值、证明等式或解指数方程。 4. 拆分时要注意指数的分配，如 。 5. 根据题目需要灵活拆分，通常拆成已知条件中的指数形式。 1. 拆分时指数分配错误，如 漏掉指数。 2. 逆用时忘记底数不变的条件。 3. 拆分后的式子未合并同类项。 4. 符号处理错误，如 误用乘法。 1．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）如果，，则___． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为______． 3．（25-26七年级下·浙江台州·月考）若，则__________． 4．（21-22七年级下·浙江衢州·月考）若，，________． 5．（24-25七年级下·浙江·月考）已知，，求__________． 题型三：幂的乘方运算 1. 幂的乘方，底数不变，指数相乘。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 多个幂的乘方：。 4. 注意幂的乘方与同底数幂乘法的区别。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 混淆幂的乘方与同底数幂乘法： 的错误。 2. 指数相乘时忘记括号，如 ，误写成 。 3. 符号处理错误，如 ，忘记负号。 4. 底数为0时忽略特殊情况。 1．（23-24七年级下·浙江温州·期中）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·月考）计算：______． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）计算：_____． 4．（25-26七年级下·浙江金华·月考）已知，则__________． 5．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知，则____________，____________． 题型四：幂的乘方的逆用 1. 幂的乘方法则的逆用：。 2. 将一个幂写成另一个幂的乘方形式。 3. 常用于化简求值、比较大小或解指数方程。 4. 根据题目需要选择合适的拆分方式，如 。 5. 逆用时要保持指数运算正确。 1. 指数分解错误，如 正确，但 也正确，不能写错形式。 2. 逆用时底数不变，不能改变底数。 3. 符号处理错误，如 ，逆用时需小心。 4. 忽略指数为0或1的特殊情况。 1．（2021·浙江杭州·模拟预测）若， ，则等于(   ) A． B．3 C． D．1 2．（2023七年级下·浙江衢州·竞赛）已知，，则等于（   ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则______． 4．（25-26八年级上·全国·期末）若，，则_______． 5．（21-22七年级下·浙江杭州·期中）若，则a，b，c，d的大小关系为__________．（用“”连接） 题型五：积的乘方运算 1. 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 2. 公式：（ 为整数）。 3. 推广到多个因式：。 4. 注意系数也要乘方，如 。 5. 计算结果要化为最简形式。 1. 系数漏乘方，如 的错误。 2. 积的乘方与幂的乘方混淆，如 与 混淆。 3. 负号处理错误，如 ，忘记负号平方为正。 4. 因式较多时漏掉某个因式的乘方。 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：=___________． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）化简的结果是______． 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）化简 ：   ______________ 5．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）__________ 题型六：积的乘方的逆用 1. 积的乘方法则的逆用：。 2. 将同指数的幂相乘，转化为底数乘积的乘方。 3. 常用于简化计算、化简求值或比较大小。 4. 注意底数必须是同指数，如 。 5. 逆用时符号和系数要正确处理。 1. 指数不同时逆用，如 。 2. 系数与底数未分开处理，如 ，但 不能直接逆用。 3. 负号处理错误，如 ，忘记负号。 4. 逆用后未化简。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）已知，则a的值为______． 2．（25-26七年级下·浙江台州·月考）计算_________ 3．（25-26七年级上·浙江金华·月考）计算：______． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知，求x的值． 5．（25-26七年级上·浙江·假期作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 题型七：同底数幂的除法 1. 同底数幂相除，底数不变，指数相减。 2. 公式：（， 为整数）。 3. 推广到多个幂的乘除混合运算。 4. 注意 的条件，底数不能为0。 5. 计算结果要化为最简形式，指数可为负数或0。 1. 指数相减时符号错误，如 ，误写成 。 2. 底数不同时误用同底数幂除法法则。 3. 忽略 的条件。 4. 系数相除与指数相减混淆。 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算的值为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·四川凉山·期末）计算的结果为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）计算：______．() 4．（22-23八年级上·河南南阳·期末）计算：________． 5．（24-25八年级下·浙江·假期作业）__________． 题型八：同底数幂的除法的逆用 1. 同底数幂除法法则的逆用：。 2. 将一个幂写成两个同底数幂的商的形式。 3. 常用于化简求值、证明等式或解指数方程。 4. 逆用时注意 的条件。 5. 根据题目需要灵活拆分指数。 1. 拆分时指数分配错误，如 ，指数差应为5。 2. 逆用时忘记底数不变。 3. 符号处理错误，如 与 混淆。 4. 忽略除法的分母不能为0。 1．（24-25七年级下·浙江金华·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C．4 D．6 2．（21-22七年级下·浙江绍兴·期中）若，则____． 3．（20-21七年级下·浙江衢州·期中）已知，，则________． 4．（24-25七年级下·浙江金华·月考）如果，那么___________． 5．（24-25七年级下·浙江绍兴·期中）已知，，则 __________． 题型九：零、负整数指数幂 1. 零指数幂：（）。 2. 负整数指数幂：（， 为正整数）。 3. 推广：（）。 4. 计算时先将负指数转化为正指数，再进行运算。 5. 结果通常写成分数形式或正整数指数幂的形式。 1. 零指数幂忽略 的条件，如 无定义。 2. 负指数幂转化时忘记取倒数，如 的错误。 3. 负号处理错误，如 正确，但 需注意符号。 4. 结果未化为最简形式。 1．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算：____ 2．（25-26八年级上·吉林·期末）比较大小：__________（填“”、“”或“”）． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）计算： 4．（2026·浙江杭州·一模）计算：． 5．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）计算：． 题型十：用科学记数法表示绝对值小于1的数 1. 科学记数法：将一个数表示成 的形式，其中 ， 为整数。 2. 对于绝对值小于1的正数， 为负整数，其绝对值等于第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）。 3. 例如：。 4. 注意有效数字的保留，根据题目要求确定 的位数。 5. 反过来，将科学记数法转化为小数时，指数为负表示向左移动小数点。 1. 的范围错误，如 不符合规范。 2. 指数 的符号错误，如 的错误。 3. 指数 的值计算错误，如 漏掉一个零。 4. 忽略科学记数法中的有效数字要求。 1．（22-23七年级下·浙江温州·期中）是人工智能技术驱动的自然语言处理工具，它能够真正像人类一样来聊天交流，甚至能完成撰写邮件、视频脚本、写论文等任务．其每次计算仅需约秒，将用科学记数法可表示为（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江温州·期中）我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）已知空气的单位体积质量为克／厘米，则用小数表示为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·浙江温州·月考）我国对浙江沿海的海水进行氚检测，发现其含量为每升0.00000000025微克，用科学记数法表示0.00000000025为_________ 5．（25-26七年级下·全国·课后作业）用科学记数法表示下列各数： (1)； (2)； (3)； (4)． 1．（24-25七年级下·浙江丽水·月考）下面的计算，不正确的是（　　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江金华·期末）若 ，则，x，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）下面计算中①，②，③，④，⑤，⑥．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则的值是（   ） A．28 B．11 C． D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）已知，则___________． 6．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）计算或化简：①______；②_______；③______． 7．（24-25七年级下·浙江·期中）现定义一种新运算：．若，则，所以． （1）若，则______； （2）若为正整数，则______（用含的代数式表示）． 8．（22-23七年级下·浙江宁波·期末）太空中微波理论上可以在0.000006秒内接收到相距约的信息，数据0.000006用科学记数法表示应为______． 9．（25-26七年级下·浙江金华·月考）解决下列问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 10．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）我们规定两数a、b之间的一种运算，记作：如果，那么；例如，记作， (1)根据以上规定求出：______________；______________； (2)小明发现也成立，并证明如下 设：          根据以上证明，请计算，______________] (3)猜想，______________]，并说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $