模块二 压轴题讲练(范围：第19-21章 期中备考必刷练练 45个题型 共90题）-2025-2026学年人教版数学八年级下册

2025-2026学年人教版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［人教版（新教材）八年级下册第19-21章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 求二次根式中的参数 压轴题型二 利用二次根式的性质化简 压轴题型三 二次根式的乘除混合运算 压轴题型四 化为最简二次根式 压轴题型五 已知最简二次根式求参数 压轴题型六 二次根式的混合运算 压轴题型七 分母有理化 压轴题型八 二次根式的应用 压轴题型九 复合二次根式的化简 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 压轴题型十一 以弦图为背景的计算题 压轴题型十二 用勾股定理构造图形解决问题 压轴题型十三 勾股定理与无理数 压轴题型十四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 压轴题型十五 解决航海问题(勾股定理的应用） 压轴题型十六 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 压轴题型十七 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 压轴题型十八 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 压轴题型十九 求最短路径（勾股定理的应用） 压轴题型二十 勾股定理的逆定理及其应用 压轴题型二十一 多(少）算一个角问题 压轴题型二十二 多边形截角后的内角和问题 压轴题型二十三 复杂图形的内角和 压轴题型二十四 多边形内角和与外角和综合 压轴题型二十五 利用平行四边形的判定与性质求解 压轴题型二十六 利用平行四边形性质和判定证明 压轴题型二十七 平行四边形性质和判定的应用 压轴题型二十八 与三角形中位线有关的求解问题 压轴题型二十九 与三角形中位线有关的证明 压轴题型三十 矩形与折叠问题 压轴题型三十一 根据矩形的性质与判定求角度 压轴题型三十二 根据矩形的性质与判定求线段长 压轴题型三十三 根据矩形的性质与判定求面积 压轴题型三十四 根据菱形的性质与判定求角度 压轴题型三十五 根据菱形的性质与判定求线段长 压轴题型三十六 根据菱形的性质与判定求面积 压轴题型三十七 正方形折叠问题 压轴题型三十八 根据正方形的性质与判定求角度 压轴题型三十九 根据正方形的性质与判定求线段长 压轴题型四十 根据正方形的性质与判定求面积 压轴题型四十一 根据正方形的性质与判定证明 压轴题型四十二 （特殊）平行四边形的动点问题 压轴题型四十三 四边形中的线段最值问题 压轴题型四十四 函数的概念 压轴题型四十五 函数的表示 压轴题型一 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 2．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 压轴题型二 利用二次根式的性质化简 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边长，化简：． 压轴题型三 二次根式的乘除混合运算 5．（25-26八年级下·上海黄浦·期中）计算：（）． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为___________． 压轴题型四 化为最简二次根式 7．（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为_______ ． 8．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 压轴题型五 已知最简二次根式求参数 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 10．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 压轴题型六 二次根式的混合运算 11．（2023八年级下·浙江·竞赛）计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 压轴题型七 分母有理化 13．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 14．（25-26八年级下·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 压轴题型八 二次根式的应用 15．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 16．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 压轴题型九 复合二次根式的化简 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 18．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 20．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 压轴题型十一 以弦图为背景的计算题 21．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 22．（24-25八年级下·山东威海·期末）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 压轴题型十二 用勾股定理构造图形解决问题 23．（25-26八年级下·广东江门·月考）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 24．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． (2)类比迁移：已知均为正数，且，求的最小值_____． (3)方法应用：已知均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（晒出构造图形，用含的代数式表示）． 压轴题型十三 勾股定理与无理数 25．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 压轴题型十四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 27．（25-26八年级下·广东东莞·月考）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 28．（25-26八年级下·青海海东·月考）如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 压轴题型十五 解决航海问题(勾股定理的应用） 29．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 30．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 压轴题型十六 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 31．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 32．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 压轴题型十七 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 33．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 34．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 压轴题型十八 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 35．（22-23八年级下·河南漯河·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 36．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 压轴题型十九 求最短路径（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 38．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 压轴题型二十 勾股定理的逆定理及其应用 39．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，连接，求的度数． 40．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 压轴题型二十一 多(少）算一个角问题 41．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 42．（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 压轴题型二十二 多边形截角后的内角和问题 43．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 44．（23-24八年级下·山东济宁·月考）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 压轴题型二十三 复杂图形的内角和 45．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 46．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 压轴题型二十四 多边形内角和与外角和综合 47．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 48．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，作平分线的反向延长线，现要分别以，，为内角作正多边形，且边长均为，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示．图中的图案外轮廓周长是．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（  ） A． B． C． D． 压轴题型二十五 利用平行四边形的判定与性质求解 49．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中）点在轴正半轴上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数． (3)如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 50．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 压轴题型二十六 利用平行四边形性质和判定证明 51．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知矩形，，，P是边的中点，E是边上的动点，线段分别与，相交于点F，Q．若，则的长为_______ 52．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 压轴题型二十七 平行四边形性质和判定的应用 53．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是________． 54．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 压轴题型二十八 与三角形中位线有关的求解问题 55．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在中，平分于点E，点F是的中点． 【探究】 (1)如图①，的延长线与边相交于点D，若，那么________． (2)如图①，的延长线与边相交于点D，求证：． 【应用】 (3)如图②，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由 【拓展】 (4)如图③，在中，是中线，是角平分线，于点F，，则的长为________． 56．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． (3)如图2，若，，，求的面积． 压轴题型二十九 与三角形中位线有关的证明 57．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，在中，与相交于点O，点E为的中点，连接交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，点P为的中点，连接、、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 58．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 压轴题型三十 矩形与折叠问题 59．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 60．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 压轴题型三十一 根据矩形的性质与判定求角度 61．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 62．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中， ，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 压轴题型三十二 根据矩形的性质与判定求线段长 63．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为_______． 64．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 压轴题型三十三 根据矩形的性质与判定求面积 65．（24-25八年级下·广东广州·期中）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 (1)①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 66．（25-26八年级下·上海·月考）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 压轴题型三十四 根据菱形的性质与判定求角度 67．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 68．（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为_________． 压轴题型三十五 根据菱形的性质与判定求线段长 69．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 70．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 压轴题型三十六 根据菱形的性质与判定求面积 71．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 72．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 压轴题型三十七 正方形折叠问题 73．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 74．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 压轴题型三十八 根据正方形的性质与判定求角度 75．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度．请画出图形，并求这个四边形的最大内角的度数． 76．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________． 压轴题型三十九 根据正方形的性质与判定求线段长 77．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 78．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知菱形，点E是射线上一点，点F是射线上一点，且，以为邻边作四边形，要求B，E，G，F按逆时针顺序排列（与时针走向相反即为逆时针），且，，连接，点H是的中点，连接． (1)如图，当点E在边上时， ①求证：四边形是菱形； ②试确定与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长．（直接写出答案） 压轴题型四十 根据正方形的性质与判定求面积 79．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 80．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 压轴题型四十一 根据正方形的性质与判定证明 81．（2023·辽宁葫芦岛·二模）中，，，点D在直线上运动，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段和线段的数量关系； (2)点D在线段上（不与点B，C重合）时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，请直接写出的面积． 82．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，正方形中，为对角线上的一点，是延长线上一点且，，，过点作，，垂足分别为，，连接，．有以下结论：①，②，③四边形是平行四边形，④，⑤，其中正确的是______（填序号即可） 压轴题型四十二 （特殊）平行四边形的动点问题 83．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 84．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 压轴题型四十三 四边形中的线段最值问题 85．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 86．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中， ，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 压轴题型四十四 函数的概念 87．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 88．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）定义，即当时，；当时，，则_____． 压轴题型四十五 函数的表示 89．（25-26八年级下·河北唐山·月考）已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 90．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学八年级下册期中考前必刷练精讲练【压轴题重难点题型】 模块二 压轴题题型讲练『期中备考必刷练』 ［人教版（新教材）八年级下册第19-21章］ 题型序列 题型名称 压轴题型一 求二次根式中的参数 压轴题型二 利用二次根式的性质化简 压轴题型三 二次根式的乘除混合运算 压轴题型四 化为最简二次根式 压轴题型五 已知最简二次根式求参数 压轴题型六 二次根式的混合运算 压轴题型七 分母有理化 压轴题型八 二次根式的应用 压轴题型九 复合二次根式的化简 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 压轴题型十一 以弦图为背景的计算题 压轴题型十二 用勾股定理构造图形解决问题 压轴题型十三 勾股定理与无理数 压轴题型十四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 压轴题型十五 解决航海问题(勾股定理的应用） 压轴题型十六 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 压轴题型十七 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 压轴题型十八 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 压轴题型十九 求最短路径（勾股定理的应用） 压轴题型二十 勾股定理的逆定理及其应用 压轴题型二十一 多(少）算一个角问题 压轴题型二十二 多边形截角后的内角和问题 压轴题型二十三 复杂图形的内角和 压轴题型二十四 多边形内角和与外角和综合 压轴题型二十五 利用平行四边形的判定与性质求解 压轴题型二十六 利用平行四边形性质和判定证明 压轴题型二十七 平行四边形性质和判定的应用 压轴题型二十八 与三角形中位线有关的求解问题 压轴题型二十九 与三角形中位线有关的证明 压轴题型三十 矩形与折叠问题 压轴题型三十一 根据矩形的性质与判定求角度 压轴题型三十二 根据矩形的性质与判定求线段长 压轴题型三十三 根据矩形的性质与判定求面积 压轴题型三十四 根据菱形的性质与判定求角度 压轴题型三十五 根据菱形的性质与判定求线段长 压轴题型三十六 根据菱形的性质与判定求面积 压轴题型三十七 正方形折叠问题 压轴题型三十八 根据正方形的性质与判定求角度 压轴题型三十九 根据正方形的性质与判定求线段长 压轴题型四十 根据正方形的性质与判定求面积 压轴题型四十一 根据正方形的性质与判定证明 压轴题型四十二 （特殊）平行四边形的动点问题 压轴题型四十三 四边形中的线段最值问题 压轴题型四十四 函数的概念 压轴题型四十五 函数的表示 压轴题型一 求二次根式中的参数 1．（24-25八年级下·江苏扬州·期中）若满足关系式 ，则 ____． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的非负性，解二元一次方程组，由二次根式有意义的条件得，即得，，再根据二次根式的非负性得，，即得，再解方程组求出的值即可求解，掌握二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 由，解得， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（24-25八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为__________． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 压轴题型二 利用二次根式的性质化简 3．（25-26八年级下·上海·月考）已知，则的值为（   ） A． B．2 C．或2 D．或2 【答案】A 【分析】依据题意，设，，且，，从而，故，可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意∵， ∴， ∴， 设，，且，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ 若，即，则， ∴， 解得， ∴， ∴； 故选：A． 4．（24-25八年级下·全国·单元测试）已知，，是的三边长，化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，二次根式的化简，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． 根据三角形三边关系以及二次根式的化简法则进行化简即可． 【详解】解：，，是的三边长，，，． 原式 ． 压轴题型三 二次根式的乘除混合运算 5．（25-26八年级下·上海黄浦·期中）计算：（）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除混合运算；根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 6．（24-25八年级下·浙江宁波·开学考试）已知实数，满足，则的值为___________． 【答案】4036 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先分别求出和 ．然后再求出和．两式子相加，即可得出，然后利用二次根式的非负性质可得出，，即可得出和，然后代入计算即可． 【详解】解：∵ ∴① 同理可得出②， ∴① ②， 由①②得：， ∴ ， ∵ ，， ∴，， ∴，， 故， 故答案为：4036． 压轴题型四 化为最简二次根式 7．（25-26八年级下·山东淄博·月考）如图，在中，，，分别以，为边向外作正和正，连接，在的边变化过程中，当取最长时，则的长为_______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理．根据等边三角形的性质证明，可得，再根据当点A，B，D共线时，最大，即最大，然后作出图形，并作，根据勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵都是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． ∵， ∴当点A，B，D共线时，最大，即最大． 过点C作于点F， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在中，根据勾股定理，得． 在中，根据勾股定理得． 故答案为：． 8．（24-25八年级下·湖北荆州·期中）如图，在矩形中，，，P，Q分别是边，上的点，将四边形沿翻折，A，B两点的对应点分别为F，E． (1)如图1，当点E落在上时，求证：； (2)如图2，若，点E与点D重合，求的长； (3)如图3，当点E恰好落在的中点，交于点G，连接，若为等腰三角形，求折痕的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了矩形与折叠，化为最简二次根式，解题关键是熟练运用矩形的性质、勾股定理和折叠的性质及等腰三角形的判定进行推理证明与计算； （1）根据折叠和平行证明即可； （2）设，则，根据勾股定理列出方程即可求； （3）过点P作于H，证明，设，则，由勾股定理列出方程即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 将四边形沿翻折， ，， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得， ； （3）解：如图3，过点P作于H， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形， ，， 为的中点， ， 将四边形沿翻折， ，，， ， 为等腰三角形， ， ，， ， ，， ，， ， 设，则， 在中，根据勾股定理，，即， 解得，即， ， 在中，根据勾股定理， ． 压轴题型五 已知最简二次根式求参数 9．（24-25八年级下·陕西商洛·期中）若最简二次根式和可以合并，则的值为___________． 【答案】2 【分析】能合并则说明两者为同类二次根式，再根据同类二次根式的被开方数相同列方程即可． 【详解】解：由题意得：，解得：． 所以， ∴． 故答案为2． 10．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 压轴题型六 二次根式的混合运算 11．（2023八年级下·浙江·竞赛）计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式的分母有理化，再展开计算得到的表达式，结合无理数的估算，求出原式的近似值，即可得到整数部分． 【详解】解：， ， 原式， ， ， 原式， 计算结果的整数部分是． 12．（25-26八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)（其中）． (3)． 【答案】(1) (2)4 (3)2025 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算； （2）利用完全平方公式展开，再进行加减运算； （3）先对第一个括号内的每一项进行分母有理化，再进行裂项相消，最后利用平方差公式． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． （3）解：原式 ． 压轴题型七 分母有理化 13．（25-26八年级下·江苏扬州·月考） 阅读并回答问题：为了化简，我们尝试找到两个数、，使且，则可将化为，即，从而使得化简． 例如，， 所以． 请仿照上例化简下列根式． (1)______； (2)_______； (3)计算：． (4)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) (4)． 【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （2）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简； （3）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，再分母有理化计算即可； （4）利用分子有理化，即可比较大小． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ； （4）解：．理由如下， ， ， ∵， ∴． 14．（25-26八年级下·河南焦作·期末）我们已经知道，因此将的分子、分母同时乘以“”，分母利用平方差公式就变成了4．请仿照这种方法化简： (1)； (2)利用上面的规律，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分母有理化； （1）分子、分母乘以，将分母有理化，然后再化简即可； （2）仿照例题分别把加数分母有理化，然后再进行计算即可． 【详解】（1）解：                   （2）解：          压轴题型八 二次根式的应用 15．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）已知代数式，，，，其中，，，，，，均为正整数，其中是开方开不尽的数，下列说法正确的个数是（） ①若，则； ②若，时，则至少存在一组、满足条件， ③若代数式、之积为时，则满足条件的、共有2个结果． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①若，整理得，，得到，结合推出，可判断①错误；若，，则，整理得，，得出可判断②错误；③计算，得出，由，均为正整数，推出，，可判断③错误． 【详解】解：①若， 则， 整理得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 若成立， 解得，与已知，均为正整数矛盾， ∴不正确， ∴①错误； ②若，， 则， ∴， 整理得，， ∴， ∵左边是正整数乘无理数（结果为无理数），右边是整数（有理数），不可能相等， ∴不存在满足条件的m，n， ∴②错误； ③， ∵均为正整数，且不是完全平方数， 比较等式两边的有理部分与无理部分可得． 两边平方得． ∵均为正整数， ∴． ∵为正整数，必为45的约数中的完全平方数， ∴，即， 此时，满足为正整数且不是完全平方数的条件． ∵， ∴， ∴， ∵，均为正整数， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∴不存在正整数，，，使等式成立， ∴没有符合条件的A，B， ∴③错误． 综上可知，三个说法均错误． 16．（25-26八年级下·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【答案】(1)2，1 (2)的最小值为5， (3)矩形地块面积的最大值为，此时矩形地块的长与宽的值均为 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 压轴题型九 复合二次根式的化简 17．（25-26八年级下·江苏苏州·月考）【阅读材料】小明在学习二次根式时，发现一些含根号的式子可以化成另一个式子的平方，如： ， ， 【类比归纳】 (1)仿照小明的方法将化成另一个式子的平方：________； (2)请运用小明的方法化简：． (3)将式子化成平方的形式：________． (4)已知a，b为非负实数，，，当且仅当“”时，等号成立．这个结论就是著名的“均值不等式”．请利用均值不等式解决：当x为何值时，有最小值？求出该最小值． 【答案】(1) (2) (3) (4)当 时，最小值为 【分析】本题为新定义问题，考查了完全平方公式的变形，分式的计算，二次根式的化简等知识，难度较大． （1）把变形为即可求解； （2）把变形为即可求解； （3）把变形为即可求解； （4）把变形为，进而变形为，根据“均值不等式”结论得到，进而得到，从而得到当且仅当即时，等号成立，原式的最小值为3． 【详解】（1）解：． 故答案为： （2）解：； （3）解：； 故答案为： （4）解：条件可得， ∴ ∵， ∴ ， ∴当且仅当即时，等号成立， ∴原式的最小值为3． 18．（25-26八年级下·四川遂宁·月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答： 化简． 解：首先把化为，这里，，即，， ∴． 仿照上例化简 = __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、完全平方公式等知识点，掌握二次根式的性质是解题的关键． 仿照示例，将表达式化为完全平方形式，再利用二次根式的性质求解即可． 【详解】解：首先将写成，这里，，即，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 压轴题型十 勾股定理与折叠问题 19．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知在中，； （1）边上的高为______； （2）将沿着某条过一个顶点的直线折叠，打开后再沿着所得到的折痕剪开，若剪开后的两个三角形能够拼成一个与原不全等的新三角形，则折痕的长为_____． 【答案】 或 【分析】（1）设边上的高为，利用勾股定理列方程求解即可． （2）分两种情况讨论：折痕过顶点A，折痕过顶点B，折痕过顶点C ，分别利用勾股定理计算折痕长度即可． 【详解】解：（1）设边上的高为，垂足为H，设，则， 由勾股定理得 ，， 因此 ， 代入得 ， 展开整理得 ，解得 ． 因此 ． （2）分两种情况讨论∶ ① 当折痕过点A，且为边上的高时，剪开后两个直角三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， ，， ． 由勾股定理得 ． ② 当折痕过点B，且为边上的中线时，剪开后两个三角形可拼成与原不全等的新三角形，如图， 为中点，， ． 由（1）得 ，， ． 由勾股定理得 ； ③当折痕过点B，同② 可求， 综上，折痕的长为或． 20．（25-26八年级下·浙江舟山·期中）如图，为等边三角形，且，点D是边AB上一动点，点E为AC边上一动点，若沿着直线DE翻折后，点A始终落在边BC上．若，则满足条件的a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由折叠的性质可知，，则，如图，作于，由为等边三角形，可得，则，，由勾股定理求得，由翻折后，点A始终落在边上，可得即可求解． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴， 如图，作于， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∵翻折后，点A始终落在边上， ∴，即，，即， 解得，， ∴． 压轴题型十一 以弦图为背景的计算题 21．（25-26八年级下·上海杨浦·期末）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理． (1)如图1、2、3，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足的有________个； (2)如图3，在中，，分别以、、为边向外作等边三角形、、．记的边长为、面积为，的边长为、面积为，的边长为、面积为．请证明图3中、、之间的数量关系； (3)如图4，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图5的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，大正方形的边长为，小正方形的边长为，若，请直接写出________． 【答案】(1)3 (2)，证明见详解 (3) 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、一元二次方程与几何图形，理解题意求得、是解题的关键． （1）根据题意设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c，分别表示出正方形、半圆、等边三角形的面积，结合勾股定理得出的，判断正误即可； （2）根据（1）的过程即可证明等边三角形、、之间的数量关系； （3）根据题意设出，，，将阴影部分的面积和空白面积利用m，n，a表示出来得到一个一元二次方程，再根据推断出m与a之间的关系，得到进而将看为一个整体进行求解即可． 【详解】（1）解：设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，斜边为c， 在图1中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图2中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； 在图3中，，，， ∵直角三角形中，， ∴； ∴满足的有3个， 故答案为：3； （2）证明：∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， ∵的边长为、面积为， ∴， 在中，， ∴； （3）解：如图，由题意得：，，是直角三角形，，且，为正数， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为， 设， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴，即，解得：（负值已舍去）， 将代入，得：， ∴， 令，则， 解得：（负值已舍去）， ∴， 故答案为：． 22．（24-25八年级下·山东威海·期末）综合与实践：弦图 如图1，是我国古代数学书上一个重要图形，称为“弦图”，弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成．请完成以下问题： (1)若，，则正方形的面积为 ．（用含有，的式子表示） (2)如图2，若点是中点，在弦图里任取一点，则点落在阴影部分的概率为 ． (3)如图3，连接交于点，连接分别交，于点，，判断与的关系．（温馨提示：正方形的四条边相等，四个角都是直角） 【答案】(1)或 (2) (3)，，证明见解析 【分析】 本题考查了勾股定理、概率的计算、全等三角形的判定与性质，利用弦图中全等直角三角形的性质分析边长关系、构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到正方形的面积为； （2）由点是中点，得到，求得，设，则，根据勾股定理得到，求得正方形的面积，正方形的面积，于是得到结论； （3）根据全等三角形的性质得到，，，推出，得到，，于是得到结论． 【详解】（1） 解：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的面积为， 故答案为：； （2）解：∵点是中点， ∴， ∴， ∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴， 设，则， ∴， ∴正方形的面积，正方形的面积， ∴点落在阴影部分的概率为； 故答案为：； （3） 解：，， 证明：∵弦图是由四个全等的直角三角形和两个正方形构成， ∴，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 压轴题型十二 用勾股定理构造图形解决问题 23．（25-26八年级下·广东江门·月考）数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． (1)【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示________，用含n的代数式表示________； ②据此写出的最小值是________； (2)【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是________； (3)【感悟探索】 ①的最大值是________； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是________．（用含a，b的式子表示） ③已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并求出的最小值． 【答案】(1)①；；②5 (2)20 (3)①；②；③ 【分析】（1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当、、共线时取等号），作交的延长线于，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①设，，，，则，作点D关于的对称点，，而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号），再利用三角形三边关系即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构建解答即可． ③利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； 【详解】（1）解：①∵在中，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； （2）解：设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形，如图， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20； （3）解：①设，，，，则， 作点D关于的对称点，于点，则，， 在中，； 在中，， ∴， 而（当且仅当C、E、共线且E在的延长线上即点时等号成立时取等号）， 在中，， 即的最大值为； ②分别以，为边长作长方形，则，，上取一点，使，则，取的中点为，连接，，，如图， ∵，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， ③画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当、、、共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 24．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）按要求解答下列各题： (1)问题再现：数学探究课时，老师给同学们提出了一个求代数式最小值的问题．如，“求代数式的最小值”，小明同学发现可看作两直角边分别为和2的直角三角形斜边长，可看作是两直角边分别为和3的直角三角形的斜边长．于是构造出如图所示，将问题转化为求线段的长，进而求得的最小值是_____． (2)类比迁移：已知均为正数，且，求的最小值_____． (3)方法应用：已知均为正数，且是三角形的三边长，求这个三角形的面积（晒出构造图形，用含的代数式表示）． 【答案】(1)13 (2)17 (3) 【分析】（）先根据题意利用勾股定理求出，，要使的值最小，则的值最小， 当，，三点共线时，的值最小，最小值为，过点作，交延长线于点，得矩形，根据两点间线段最短，得到线段就是所求代数式的最小值； （）同（）理即可求解； （）构造图形，当，，，，，由勾股定理得到，， ，，则可得的面积即为所求，利用分割法求出三角形的面积即可得到结论． 【详解】（1）解：（）如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴ ， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （2）解：如图，，，，， 在中，， 在中，， ∴， ∴要使的值最小，则的值最小， ∴当，，三点共线时，的值最小，最小值为， 过点作，交延长线于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：构造图形如图，，，，，， ∴，，， ∴的面积即为所求， ∴ ． 压轴题型十三 勾股定理与无理数 25．（25-26八年级下·上海浦东新·期末）如图，数轴上点A、点D所表示的数分别为和，以为边长作正方形，以点D为圆心，为半径的弧与数轴的负半轴交于点E，那么点E表示的实数是________． 【答案】/ 【分析】本题根据勾股定理求出的长，即的长，从而求出点对应的数． 【详解】解：由勾股定理知：， ∴， ∴点对应的数是． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列图形（甲和乙）中，不添加辅助线便可验证的是（   ） A．只有甲 B．只有乙 C．甲、乙均可 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短和三角形的三边关系，熟练掌握垂线段最短是解决本题的关键． 根据勾股定理及其逆定理的应用以及垂线段最短分析甲图，根据三角形的三边关系分析乙图，从而做出判断． 【详解】解：图甲中，∵， ∴三角形是直角三角形 再根据垂线段最短，可知， ∴图甲可验证； 图乙中，根据三角形的两边之和大于第三边可得 ∴ ∴ 无法验证； 故选：A． 压轴题型十四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 27．（25-26八年级下·广东东莞·月考）有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为______尺． 【答案】12 【分析】利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意，，，，， 由得， 解得， 则水的深度为12尺． 28．（25-26八年级下·青海海东·月考）如图所示的一只玻璃杯，高为8厘米，将一根筷子插入其中，伸出杯外最长4厘米，最短2厘米，那么这只玻璃杯的内径是多少厘米（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】设玻璃杯的内径为 厘米，根据筷子竖直插入杯中时，在杯内长度8厘米，斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度为10厘米．利用勾股定理求出玻璃杯的内径． 【详解】解：由题意可知，筷子竖直插入杯中时，在杯内长度最短，等于杯子高度，为8厘米； 筷子斜插入杯中，底端在杯底边缘，上端靠在对面杯口边缘时，在杯中长度最长，为（厘米）． 设玻璃杯的内径为 厘米， 根据勾股定理得：， 解得 （负值舍去）． 压轴题型十五 解决航海问题(勾股定理的应用） 29．（25-26八年级下·湖北·月考）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，甲船从B处行至小岛C的速度是（    ） A．海里/小时 B．15海里/小时 C．海里/小时 D．海里/小时 【答案】C 【分析】过点B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出．先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【详解】（1）解：如图，过点B作，垂足为M， 由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）． 30．（25-26八年级下·重庆沙坪坝·月考）如图，，分别是两个港口，，是海上两座小岛景点，在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西60°方向，且在北偏西方向．（参考数据：） (1)求港口和小岛的距离为多少千米（结果保留小数点后一位）； (2)一艘货船从港口出发沿前往港口，同时一艘观光船也从港口出发，沿路线前往小岛，货船的速度与观光船的速度之比为，出发小时后观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等．求货船从港口出发多少小时后到达港口（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用中的方向角问题，运用了三角函数，并巧妙运用了两个直角三角形的公共边． （1）根据题意证得，求得过点作，交于，过点作，交于，，，结合直角三角形利用三角函数即可解答； （2）设货船速度为，观光船速度为， 过作于，于 根据行程关系，利用两个直角三角形的公共边，结合勾股定理列方程求出，用路程除以速度即可解答． 【详解】（1）解：∵在正北方向千米处，在北偏东方向， 千米，在的南偏西方向，且在北偏西方向， ∴，，， 过点作，交于，过点作，交于， 则， ∴， ∴， 则，，（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴（千米）， ∴（千米） 答：港口和小岛的距离为千米． （2）设货船速度为，观光船速度为， 出发小时后：货船行驶的路程 即货船在上的位置距点千米 观光船行驶的路程：， 因故观光船在上距点的距离为（记该点为）， 观光船在由到的途中且离港口的直线距离与离货船的直线距离正好相等． 即，， ∴是等腰三角形， 过作于，于， 则， 由（1）得， 在中，，，则： ， ， ， 在中， 在中， ∴， 化简得， 解得或， ∵，故舍去， 货船速度为：， 由（1）可得（千米）， 货船从港口到港口用时：， 答：货船从港口出发小时后到达港口． 压轴题型十六 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 31．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，三级台阶，每一级的长、宽、高分别为8dm、3dm、，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为______dm． 【答案】17 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为8dm，宽为， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：， 解得． 故答案为：17． 32．（24-25八年级下·安徽安庆·期末）如图是楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在A处发现C处有一块糖，则这只蚂蚁吃到糖所走的最短路程为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】D 【分析】此类题目只需要将其展开便可直观的得出解题思路．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从A点到C点的最短距离，便是矩形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， 因为DC=AE+BE=3+1=4，AD=2， 所以AC2=DC2+AD2=20， 所以AC=， 故选：D． 压轴题型十七 判断汽车是否超速（勾股定理的应用） 33．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）随着人们生活水平的不断提升，汽车已成为每个家庭的常用交通工具．随着车辆的增多，道路交通管理更需要科学规范，如图，一辆家用小汽车在城市道路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方的C处，过了小汽车到达B点，测得B与A距离为． 根据“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市道路上行驶速度不得超过． 通过计算说明，这辆家用小汽车是否超速了？（，） 【答案】未超速，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理在实际生活中的应用，利用勾股定理解得是解题的关键． 由题意知，为直角三角形，且是斜边，已知根据勾股定理可以求，然后求得速度与比较即可． 【详解】解：未超速，理由如下： 由题意知，， 由勾股定理可得， 则． 所以． 所以这辆家用小汽车未超速． 34．（23-24八年级下·内蒙古赤峰·期中）超速行驶是引发交通事故的主要原因．某数学小组三位同学跟着交警叔叔在腾飞大道路段，尝试用自己所学的知识检测车速，观测点设在到公路l的距离为的处．这时，一辆红旗轿车由西向东匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为，并测得，请你帮助该小组判断此车是否超过了的限制速度？（） 【答案】此车超过的限制速度，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意知：，，，得，，再根据勾股定理得出，进而求出小车的速度，再和比较即可．从复杂的实际问题中整理出直角三角形进而利用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：此车超过的限制速度． 理由： 由题意知：，，， 在中，， ∴， ∴， ∵从处行驶到处所用的时间为， ∴速度为， ∴此车超过的限制速度． 压轴题型十八 判断是否受台风影响（勾股定理的应用） 35．（22-23八年级下·河南漯河·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米的范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向的B处有一台风中心，该台风中心现在正以的速度沿北偏东方向移动，若在距离台风中心范围内都要受到影响，（结果保留根号） (1)该城市是否会受到这次台风的影响？说明理由． (2)若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响，理由见解析 (2)小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，使问题解决． （1）求是否会受到台风的影响，其实就是求到的距离是否大于台风影响范围的半径，如果大于，则不受影响，反之则受影响．如果过作于就是所求的线段．在直角三角形中，求出再比较即可． （2）受台风影响时，台风中心移动的距离，应该是为圆心，台风影响范围的半径为半径，所得圆截得的上的线段的长即得长，可通过在直角三角形和中，根据勾股定理求得即可求解． 【详解】（1）解：该城市会受到这次台风的影响． 理由是：如图，过作于． 在直角中， ， ， ， ∴该城市会受到这次台风的影响； （2）解：如图以为圆心，为半径作交于、． 则． ∴台风影响该市持续的路程为：． ∴台风影响该市的持续时间小时， ∴台风影响该城市的持续时间有小时． 36．（24-25八年级下·辽宁阜新·月考）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响，据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响），如图，线段是台风中心从C市向西北方向移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． (1)判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，求出台风同时影响农场A和B市的时间有多长？ 【答案】(1)会受到台风的影响．理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用勾股定理解决实际问题，正确理解题意确定直角三角形利用勾股定理进行计算是解题的关键． （1）过点A作，垂足为D，在中，根据勾股定理，求出的长，进而求得的长，即可求解， （2）假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响，则，根据勾股定理求出的长，进而求出台风同时影响农场A和B市的距离即可求出结论． 【详解】（1）解：会受到台风的影响．理由如下： 如图， 过点A作，垂足为D， ， 在中，，， ， ∵， ∴， ∴， ∵， 农场A会受到台风的影响， （2）解：如图， 假设台风在线段上移动时，会对农场A造成影响， 所以，， 由勾股定理，可得， ， ∴台风同时影响农场A和B市的距离为 ∵台风的速度是， ∴受台风影响的时间为． 压轴题型十九 求最短路径（勾股定理的应用） 37．（25-26八年级下·四川自贡·月考）如图，在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从A处爬向B处，已知，圆柱底面圆周长为，高为2，求蚂蚁走的最近距离是________． 【答案】6 【分析】本题考查勾股定理的应用．将圆柱体展开，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在圆柱表面行走问题需将侧面展开再计算， 圆柱侧面展开为矩形， 如图，点为所在边的中点， 根据勾股定理， 蚂蚁走的最近距离． 38．（24-25八年级下·山东临沂·月考）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】取点关于直线的对称点，连接，，的最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如下图所示，取点关于直线的对称点，连接，， 点与点关于直线对称， ， ， 即的最小值为的长， 在中， ，， ， 的最小值为． 压轴题型二十 勾股定理的逆定理及其应用 39．（25-26八年级下·广东广州·月考）如图，在中，，，点在边上，将沿着折叠得，连接，． (1)用尺规作出（不写作法，保留作图痕迹）； (2)若，连接，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据折叠的对称性，即可作折叠后的； （2）根据折叠的性质求证是等边三角形，由勾股定理得，即可求； 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）由折叠可得，，， 是等边三角形， ， 又，，， ， 是直角三角形，且， ． 40．（25-26八年级下·天津·期中）已知在的网格中，每个小正方形的边长为1，在下列正方形网格中用无刻度的直尺按要求作图： (1)如图1，与交于点 M； ①找格点 E， 作线段； ②直接写出的度数 _________． (2)如图2， 点A、B、C均在格点上， 在上作点 M， 使． 请叙述你的作图方法，不要求证明．_________． 【答案】(1)①图见解析；② (2)见解析 【分析】（1）①根据格点特点把向上平移1格即可；②先证明为等腰直角三角形，再利用平行线的性质可得答案； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 【详解】（1）解：①如图1中， 直线即为所求； ②∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：； （2）如图2中，取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为，即为所求． 理由：同理可得：，， 而， ∴， 故答案为：取格点，连接， 把向左边平移2格得到线段，再以为底边构造等腰直角三角形，记与的交点为． 压轴题型二十一 多(少）算一个角问题 41．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）一个多边形，除了一个内角外其余各内角和为，则这个内角是______度． 【答案】80 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，设多边形的边数为x，根据多边形的内角一定大于0，且小于180度，因而内角和除去一个内角的值，这个值除以180度，所得数值比边数要小，可以求出多边形的边数为14，再利用内角和公式即可得出结果． 【详解】解：设多边形的边数为x， 由题意得， 解得：， 多边形的边数是14， 则这个内角是， 故答案为80． 42．（23-24七年级下·河南南阳·期末）看图回答问题： (1)内角和为，小明为什么说不可能？ (2)小华求的是几边形的内角和？ (3)错把外角当内角加一起的那个外角的度数你能求出来吗？它是多少度？ 【答案】(1)见解析 (2)13边形的内角和 (3)能，这个外角为 【分析】本题主要考查了多边形内角和，一元一次不等式的应用．解决本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．n边形的内角和是． （1）n边形的内角和是，因而内角和一定是180度的倍数，据此可进行解答； （2）设这个多边形的边数为n，根据已知可得，进行求解即可，注意n为正整数； （3）根据上面的结果求出这个多边形的内角和，再用减去求出的结果，计算即可． 【详解】（1）∵不是的整数倍， ∴小明说不可能． （2）设这个多边形的边数为n， 由题意，得． 解得． ∵n为整数， ∴． ∴小华求的是13边形的内角和． （3）∵当时，， ， ∴这个外角为． 压轴题型二十二 多边形截角后的内角和问题 43．（24-25八年级下·江苏扬州·月考）在一个各内角都相等的多边形中，每一个内角都比相邻外角的2倍还大， (1)求这个多边形的边数； (2)若将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是多少？ 【答案】(1)8 (2)或或 【分析】本题考查多边形内角和、多边形外角和以及剪去一个角的问题，熟练掌握多边形的相关知识是解题的关键． （1）设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为，根据平角定义可求出a的值，再利用多边形的外角和为，可求出多边形的个数； （2）剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变，因此分情况讨论，即可求出答案． 【详解】（1）解：设多边形的一个外角为a，则与其相邻的内角为， 由题意得，， 解得， 又多边形的外角和为， 多边形的外角个数为， 这个多边形的边数为8； （2）因为剪掉一个角后，多边形的边数可能增加了1条，也可能减少了1条，或者不变， 若剪掉一个角后，边数增加了1条，即变成九边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数减少了1条，即变成七边形，则此时内角和为； 若剪掉一个角后，边数不变，即还是八边形，则此时内角和； 将这个多边形剪去一个角，剩下多边形的内角和是或或． 44．（23-24八年级下·山东济宁·月考）一个多边形纸片剪去其中某一个角后，形成的另一个多边形的内角和为900°，那么原多边形的边数为______． 【答案】6或7或8 【分析】设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形，根据多边形的内角和定理列式计算可求解． 【详解】解：设原多边形为边形，则当多边形截去一个角后，可形成或或边形， 或或， 解得或7或6， 故答案为：8或7或6． 压轴题型二十三 复杂图形的内角和 45．（2024八年级下·全国·专题练习）（1）如图1，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F=__________． （2）如图2，则∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F+∠G=___________． 【答案】 【分析】（1）根据三角形内角和定理即可求得； （2）根据四边形内角和可求得， ，再利用三角形内角关系可得 ，进而可求得． 【详解】解：（1）∵在中，， 在中，， ∴， 故答案为； （2）如图，∵， ， ∴． ∵， ∴． 故答案为． 46．（25-26八年级下·全国·周测）如下图，四边形中，若，，平分，是外角的平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了四边形内角和定理、角平分线的性质与三角形外角性质，掌握四边形内角和为，及利用角平分线、三角形外角性质转化角的关系是解题的关键． 先利用四边形内角和求出的度数，再得到其外角的度数；接着通过角平分线分别求出相关角的度数，最后利用三角形的外角性质计算的度数． 【详解】解：，， ， ． 平分， ． 平分， ， ． 压轴题型二十四 多边形内角和与外角和综合 47．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①，作的平分线，并反向延长得到．分别以，，为内角作正多边形，且边长均为1．例如，若，以为内角，可作出一个边长为1的正方形，此时，是的，这样就恰好可作出两个边长均为1的正八边形，如图②． (1)图②的外轮廓周长是_____． (2)若某协会在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，求会标的外轮廓周长． 【答案】(1)14 (2)21 【分析】（1） 根据图②的构成，确定三个正多边形的边数，计算外轮廓周长时需减去重叠的边，从而得到总周长． （2） 设，推导以为内角的正多边形的边数表达式，写出周长的代数表达式；根据边数为正整数确定的取值，代入计算找到最大周长． 【详解】（1）解：图②中，，因此：  以 为内角的正多边形是正方形， 以为内角的正多边形是正八边形， 两个正八边形各贡献条边，共， 正方形贡献条边， 总周长：． （2）解：设， 以为内角的正多边形的边数为， 以，为内角的正多边形的边数均为， 会标的外轮廓周长是． 根据题意可知与均为整数， 的值只能为，，，． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 综上所述，当时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是21． 48．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，作平分线的反向延长线，现要分别以，，为内角作正多边形，且边长均为，将作出的三个正多边形填充不同花纹后成为一个图案．例如，若以为内角，可作出一个边长为的正方形，此时，而是（多边形外角和）的，这样就恰好可作出两个边长均为的正八边形，填充花纹后得到一个符合要求的图案，如图所示．图中的图案外轮廓周长是．在所有符合要求的图案中选一个外轮廓周长最大的定为会标，则会标的外轮廓周长是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的内角和和外角和，分式的运算，解题的关键是明确正多边形的各内角相等，且外角和为，并利用数形结合的思想解决问题． 设以为内角的正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式求出则，再根据多边形的外角和定理得到以为内角的正多边形的边数为，根据是整数求出可能的值，再通过计算其周长即可得出结论． 【详解】解：设以为内角的正多边形的边数为， 则， ∴以为内角的正多边形的边数为， 由题意得，是整数， ∴是8的因数， ∴的值可能是3，4，6，10， 由题意得，图案外轮廓周长是， 当时，周长是； 当时，周长是； 当时，周长是； 当时，周长是； ∴当时，周长最大，此时图案定为会标， ∴会标的外轮廓周长是21． 故选：C． 压轴题型二十五 利用平行四边形的判定与性质求解 49．（25-26八年级下·广东佛山·月考）如图，平面直角坐标系中，已知点在轴正半轴上，点（其中）点在轴正半轴上，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当时，连接，在内取一点，使，若，求的度数． (3)如图3，点在轴上，直线交于点，当点在轴负半轴上运动时，度数是否为定值？如果是，请求出的度数；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)见详解 (2) (3)的度数为定值， 【分析】（1）根据完全平方公式因式分解得出，进而得出，即可得证； （2）过作的垂线交的延长线于，证明，，，证明为等腰直角三角形，得出，即可得解； （3）过作于，取，连接、，由得，证明，得出，，证明出是等腰直角三角形，得出，从而得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，而， ∴为等腰直角三角形， 过作的垂线交的延长线于， ∵，而， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 在中，，， ∴为等腰直角三角形，， ∴； （3）解：的度数为定值，， 过作于，即轴，取，连接、， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴，即是等腰直角三角形， ∴， 由（1）得， 又∵， ∴， ∵轴，在y轴上， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 50．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 压轴题型二十六 利用平行四边形性质和判定证明 51．（25-26八年级下·江苏南通·月考）已知矩形，，，P是边的中点，E是边上的动点，线段分别与，相交于点F，Q．若，则的长为_______ 【答案】 【分析】由于的长无法直接求出，需要进行转化，在上找到一点M，使，则证明，从而推出是等腰直角三角形，进而可证四边形是平行四边形，则求转化为求的长． 【详解】解：如图，在上找到一点M，使，连接，， ∴， ∵，P是边的中点， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，， ∴． 52．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 压轴题型二十七 平行四边形性质和判定的应用 53．（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图所示，线段与线段相交于点，连接，．若，，，则的最小值是________． 【答案】 【分析】过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形，推出，，当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小，过点C作于点H，求出，得到，勾股定理求出，再利用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点B作，过点D作，与交于点F，连接，则四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴当C，D，F三点共线时，的长最小，即最小， 过点C作于点H， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为． 54．（23-24八年级下·江苏扬州·期末）如图，矩形中，，，点是射线上一点，连接． (1)将沿翻折至的位置，使点落在处； ①若在边上，如图1，当点落在边上时，求的长； ②若在延长线上，当为直角三角形时，在图2中画出图形，并求的长． (2)若点在边上，如图3，将沿翻折得到，连接，将绕着点顺时针旋转得到，连接，则的最小值________． 【答案】(1)①；②画图见解析；4或24； (2)． 【分析】（1）①根据矩形和翻折的性质可知，，利用勾股定理可求得，从而得到，再利用勾股定理即可解得；②当中时，根据矩形和翻折的性质可得到点、、三点共线，由即可得到；当中时，可推出点、、三点共线，利用勾股定理可得，从而得到，再利用勾股定理即可解得； （2）在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，根据翻折的性质和矩形的性质，可证明四边形是平行四边形，从而推出，再通过证明，，得到，最后利用，可求得最小值，即得到最小值． 【详解】（1）解：①四边形是矩形 ，， 由翻折的性质可知，， ， ， 解得： 的长为； ②当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 根据翻折的性质，， ， 点、、三点共线 当中时，如图所示即为所求： 四边形是矩形 又 点、、三点共线 根据翻折的性质，， 解得： 的长为4或24； （2）解：在上取，在上取，连接，，，，作交于点，设交于点，如图所示， 根据翻折的性质，，，，， 又 四边形是平行四边形 四边形是矩形 又， ， ，即 又， ， ，即 当、、三点共线时，最短，即 的最小值为 的最小值为 故答案为：． 压轴题型二十八 与三角形中位线有关的求解问题 55．（25-26八年级下·山东聊城·月考）如图，在中，平分于点E，点F是的中点． 【探究】 (1)如图①，的延长线与边相交于点D，若，那么________． (2)如图①，的延长线与边相交于点D，求证：． 【应用】 (3)如图②，试猜想线段之间的数量关系，并说明理由 【拓展】 (4)如图③，在中，是中线，是角平分线，于点F，，则的长为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 (4)2 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题； （2）利用证明，根据全等三角形的性质得出，，再根据三角形的中位线定理及线段的和差即可解决问题； （3）结论：，先证明，根据等腰三角形的三线合一，推出，根据三角形的中位线定理即可解决问题； （4）延长交于G，求出，，再求出，然后根据三角形的中位线可得； 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵于点E， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴是的中位线， ∴． （3）解：如图②中，延长交的延长线于P． ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴E为的中点， ∴， ∵点F为的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， （4）解：如图③，延长交于G， ∵是角平分线，， ∴，， 又， ∴ ∴，， ∴， ∵是中线， ∴， ∴是的中位线， ∴． 56．（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）如图1，在中，为的中点，为的延长线上一点，连接交于点，过点作交的延长线于点，连接，且． (1)求证：； (2)若，，，求的长． (3)如图2，若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长至点，使，连接、，构造全等三角形，得到，，易知垂直平分，根据垂直平分线的性质可得，结合已知的，等量代换即可证得是直角三角形，，再根据等量代换证得，即可得证； （2）根据含角直角三角形的性质以及勾股定理可求得，的长，设，则，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解即可； （3）取的中点，连接，根据中位线的判定与性质可求得的长，在中，利用勾股定理可求得的长，根据线段之间的和差关系可求得的长，设，在中，根据勾股定理可表示出，再结合已知的，列方程求解的长，最后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接、， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， ， 是直角三角形，， ， ， ， ； （2）解：在中，，， ，，， 设，则， ， ， 在中，， ， ，解得， 即； （3）解：如图，取的中点，连接， 为的中点， 是的中位线， ，， , 在中，， ， 为的中点， ， ， 设，则， ，， ，即， 解得， 即， 的面积为． 压轴题型二十九 与三角形中位线有关的证明 57．（25-26八年级下·江苏·期中）如图1，在中，与相交于点O，点E为的中点，连接交于点F． (1)求证：，； (2)如图2，点P为的中点，连接、、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是平行四边形，证明见解析 【分析】（1）如图1，连接，根据已知和平行四边形的性质可知，，然后设，，根据三角形的面积公式和三角形面积的和差表示出，，从而表示出，，然后再根据面积的和差表示出，，从而得到，利用因式分解得到a和b关系，即可证得结论； （2）根据，，利用（1）中的结论，通过线段的和差可推出，进而得到，结合即可证得结论． 【详解】（1）证明：如图1，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，即， ∴，即， ，即； （2）解：四边形是平行四边形，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点P为的中点， ∴， 由（1）可知，，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 58．（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，已知点在四边形的边上，且，平分，与交于点，分别与、交于点、．（1）；（2）；（3）；（4）四边形的周长最大值为10．以上说法正确的是个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等边对等角得，再根据角平分线的定义得，然后根据三角形外角的性质得，即可得，进而解答（1）；根据“边角边”解答（2）即可；结合已知条件不能得出该结论，判断（3）；先说明是的垂直平分线，再设则，根据勾股定理得，进而得出，然后根据中位线的性质得，接下来结合四边形的周长为，最后结合完全平方公式的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴，则（1）正确； ∵平分， ∴． ∵， ∴，则（2）正确； 只有都是等边三角形，可得，由已知条件不能得出该结论，所以（3）不正确； ∵， ∴． ∵，， ∴是的垂直平分线，即． 设则， ∵， 即， 解得， ∴． ∵， ∴， ∴四边形的周长为， 当时，四边形的周长最大值为10，则（4）正确． 所以正确的有3个，C符合题意． 压轴题型三十 矩形与折叠问题 59．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，矩形中，，，E是边上一点（与C、D不重合）．四边形关于直线的对称图形为四边形． (1)若，与交于点F，求的面积； (2)如图，的延长线交于点P，设（），求的面积S．（用含x代数式表示） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由矩形、轴对称的性质可证得，设，则，在中，，即可求得，再结合三角形面积公式即可求解； （2）由矩形、轴对称的性质可证得，则，设，，则，，在中，，解得，再结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， 则， 由对称可知，， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即：， 解得：，即：， ∴的面积； （2）解：过作于， 由题意可知，，， ∴，， 由对称可知，， 则， ∴， 设， ∵， 则， 又∵， ∴在中，，解得：， ∴（）． 60．（25-26八年级下·江苏·期中）如图，在矩形中，对角线和相交于点，，是射线上一点，将沿翻折得，当时，的度数为_____ ． 【答案】或 【分析】由题意可分当点在线段上时和当点在线段的延长线上时，然后根据平行线的性质及折叠的性质可进行求解． 【详解】解：如图1，当点在线段上时， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图2，当点在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 综上所述，的度数为或． 压轴题型三十一 根据矩形的性质与判定求角度 61．（24-25八年级下·福建福州·期中）如图1，在中，，平分，，延长使得，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由； (2)如图2，过作交于点，点在上，平分，过作交的延长线于点． ①求证：为等腰直角三角形； ②试探究：的数量关系，并证明． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析 (2)①证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）先证出，再证出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，从而可得，再根据三角形的外角性质可得，由此即可得证； ②过点作，交延长线于点，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的性质可得，根据勾股定理可得，然后证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质可得，由此即可得． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． （2）证明：①∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形． ②，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点，连接， 由上已得：，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 由（1）已证：四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴． 62．（23-24八年级下·广西玉林·期末）如图，矩形中， ，为上一点，且，连接．以下说法中：①；②当点在边上时，则；③当时，则；④的最小值为．其中正确的结论是______(填写序号)． 【答案】②④ 【分析】由及，可判定①；当点在边上时，可求得，从而由矩形的性质及等腰三角形的性质，可得的度数，根据互余关系可求得的度数，从而对②作出判断；当时，可求得的长，进而可求得的函数值，则可对③作出判断；取，连接，，证明，则，从而，在中求出，即可对④作出判断． 【详解】解：①∵，， ∴， 故①错误； ②当点在边上时，如图， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故②正确； ③当时，如图， ∵， ∴是等边三角形， 如图，过点作于，交于， 则，四边形是矩形， ∴， 由勾股定理得， ∴， 而， ∴， ∴， 故③错误； ④如图，取，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点在线段上时，取得最小值，最小值为线段的长； 在中，， 由勾股定理得， 故④正确． 故答案为：②④． 压轴题型三十二 根据矩形的性质与判定求线段长 63．（25-26八年级下·辽宁营口·月考）如图，四边形中，，，，，，，则四边形的面积为_______． 【答案】 【分析】过点分别作，交直线于点，证明，则设，，则，则，求出，再由四边形的面积，然后整体代入求解即可． 【详解】解：过点分别作，交直线于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵四边形的面积， ∴四边形的面积 ． 64．（25-26八年级下·上海·月考）如图，已知在梯形中，，，，平分，交边于点．如果是直角三角形，那么的长为_____． 【答案】或 【分析】本题主要考查矩形的判定及性质、全等三角形的判定及性质、勾股定理等，分两种情况讨论：（Ⅰ）当时，过点作的垂线，交于点，容易证明，四边形为矩形，结合，即可求得的数值；（Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点，容易证明，，可得，即可求得的数值． 【详解】（Ⅰ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 因为平分， 所以， 又因为，， 所以， 所以，， 因为，， 所以， 又因为， 所以四边形为矩形， 所以，， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以 所以， 所以， （Ⅱ）当时，如图所示，过点作的垂线，交于点， 设，则， 同（Ⅰ）可证得， 所以，， 因为，， 所以， 又因为，， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以， 综上所述，或． 压轴题型三十三 根据矩形的性质与判定求面积 65．（24-25八年级下·广东广州·期中）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分四边形也是平行四边形直角三角板互不重叠，两个直角三角形斜边上的高都为 (1)①直接写出：一副三角板中的两个直角三角形的直角边结果用h表示； ②求四边形的面积． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出拼图的4个三角形的边． 【答案】(1)①角三角板直角边长为，角三角板直角边为和；②； (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图：则， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ∵，， ∴，则， ， 角三角板直角边长为，角三角板直角边为和； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； （2）解：①顶角为时， ②顶角为时， 66．（25-26八年级下·上海·月考）同学用两副三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠）．直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： ①两个直角三角形的直角边（结果用表示）： ______，______，______． ②小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； ______，______，______． (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： ①不与给定的图形状相同； ②画出三角形的边． 【答案】(1)① ；； ②；；． (2)画图见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系，根据平行四边形的性质来构造图形是本题解题的关键． （1）①根据等腰直角三角形和角的直角三角形的三边关系求解即可； ②根据长方形的面积公式求解即可； （2）根据平行四边形对边相等，邻角互补进行拼接即可． 【详解】（1）解：①作和的高，两个直角三角形斜边上的高都为，如图， 则：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ，， ，则， ， 故答案为： ；； ②， ， 平行四边形为矩形， ，， ； 故答案为：；；． （2）解：①顶角为时，如下图： ②顶角为时，如下图： 压轴题型三十四 根据菱形的性质与判定求角度 67．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）在中，，将线段绕点A逆时针旋转得到线段． (1)如图1，连接，延长交延长线于点，若，，，求的长； (2)如图2，连接，过点作于点，以为边作，且，连接交延长线于点，若，求证：； (3)如图3，若为等边三角形，，连接，K为线段上一点，且，M为线段上一点，连接，将绕点M顺时针旋转得到线段，连接，则的最小值为______． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，三角形内角和定理，等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的判定与性质，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握旋转的性质． （1）根据等边对等角以及三角形内角和定理得出，，进而根据平角的定义得出，根据旋转的性质可得，，进而得出，根据等角对等边即可得证； （2）延长至，使得，证明，，，根据是等腰直角三角形，得出，根据全等三角形的性质可得，即可得证； （3）过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，，先证明，四边形是菱形，继而证明当点M与点B重合时，点N与点F重合；当点M与点C重合时，点N与点E重合；确定当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动，根据时，等于，取得最小值为6，即可解答． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴， （2）证明：如图所示，延长至，使得， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ∴ ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴ ∴ ∴ 在中， ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ （3）如图，过点A作于点O，延长到点F，使得，延长到点E，使得，连接，，， ∴， ∵为等边三角形，，， ∴，，， ∴，四边形是平行四边形， ∵， ∴，四边形是菱形， ∴，， ， ∴，， ∴当点M与点B重合时，点N与点F重合，， ∴，即， ∵， ∴， ∴当点M与点C重合时，点N与点E重合； ∴当点M在线段上运动时，点N在在线段上运动， 当点M与点B重合时，点N与点F重合，由， 根据垂线段最短，得，当等于时，取得最小值为6． 故答案为：6． 68．（23-24八年级下·陕西西安·月考）如图所示三角形纸片，，将其沿折叠后点A落在处，使，P是上一动点，连接．当取最小值时，的度数为_________． 【答案】37 【分析】本题考查了翻折变换，菱形的判定和性质，平行线的性质，轴对称−最短路线问题等知识，添加恰当辅助线是解题的关键． 由折叠的性质可得，可证四边形是菱形，可得平分，由轴对称的性质可得，则，即当点B，点，点三点共线，且时，的值最小，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 由折叠可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∴平分， 作点P关于对称点，连接， ∴， ∴， ∴当点B，点，点三点共线，且时，的值最小， 此时，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：37． 压轴题型三十五 根据菱形的性质与判定求线段长 69．（25-26八年级下·上海·月考）如图，平行四边形中，、分别在、上，连接、交于点，连接交于点，四边形是矩形．连接，如果，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）连接，证明四边形及都是平行四边形，得出，即可得出； （2）先证明四边形为平行四边形，根据四边形是矩形，得出，证明四边形是菱形，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：连接，如图所示： 四边形是矩形， ，即， 又， ∴， 四边形及都是平行四边形， ， ； （2）证明：由（1）得，E为中点， 四边形是平行四边形， ， ， ， 同理可得F为中点， ， ， 四边形为平行四边形， 四边形是矩形， ，即， 四边形是菱形， ， ． 70．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在菱形中，，与交于点O，E为延长线上一点，且，连接，分别交，于点F、G，连接、，则下列结论： ①； ②四边形是菱形； ③四边形与四边形面积相等． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】①由证明，得出，证出是的中位线，得出，①正确；②先证四边形是平行四边形，再证、是等边三角形，得，则四边形是菱形，②正确；③由菱形的性质可得，由中线的性质，即可得四边形与四边形面积相等，得出③正确． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴是的中位线， ∴，故①正确； ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴、是等边三角形， ∴， ∴四边形是菱形，故②正确； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形与四边形面积相等，故③正确； 故正确的结论有3个． 压轴题型三十六 根据菱形的性质与判定求面积 71．（25-26八年级下·辽宁鞍山·月考）如图1．在中，平分交于点，垂足为点，与相交于点． (1)求证：； (2)若，求的长度； (3)在（2）的条件下，如图2，若平分交于点，点在上，且，连接． ①求证：四边形是平行四边形； ②直接写出的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)①见解析；② 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，推出，再根据角平分线的定义得到，推出，即可证明结论； （2）设，则，结合（1）中，可得，再求出，由，利用勾股定理得到建立方程求解即可； （3）①证明，推出，结合，得到，进而求出，即可证明；②由①知四边形是平行四边形，易证四边形是平行四边形，再根据，易证四边形是菱形，求出菱形的面积，连接交于点，求出，得到，证明是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵在中，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∵，即 在中，，， ∴， 解得， ∴； （3）①证明：∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，即， 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； ②解：由①知四边形是平行四边形， ∴， 又， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∵， ∴菱形的面积， ∴， 连接交于点，则， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴或， ∴（负值舍去）或（负值舍去）， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当时，则，，，符合题意， 当时，则，，，不符合题意， ∴， 由①， ∴， 又， ∴， ∴． 72．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，在矩形中，点是的中点，延长至点，使得，连接，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若平分，，求菱形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由矩形的性质可得，，，由两直线平行内错角相等可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，由对顶角相等可得，利用可证得，于是可得，进而可证得四边形是平行四边形，由于，于是结论得证； （2）由平分可得，由矩形的性质可得，，，，由两直线平行内错角相等可得，进而可得，由等角对等边可得，利用线段中点的有关计算及已知条件可得，于是可得，利用勾股定理可得，进而可得，由（1）可得，于是可得，利用菱形的性质可得，据此即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ，，， ， 点是的中点，， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形； （2）解：平分， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， 点是的中点，， ， ， ， ， 由（1）可得：， ， 菱形的面积． 压轴题型三十七 正方形折叠问题 73．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）【问题背景】在正方形中： 如图1，如果点、分别在、上，且，垂足为，那么与相等（无需证明）； (1)如图2，如果点、、分别在、、上，且，垂足为，那么与相等吗？证明你的结论； 【思考应用】 (2)如图3，若将正方形折叠，使得点的对应点落在边上，折痕分别交，于，．若正方形的边长为2，，则_____； 【继续探索】 (3)如图4，当图1中的点是的中点且时，连接，请你判断线段与之间的关系，并说明理由； 【拓展延伸】 (4)如图5，在正方形中，点、分别在、上，且，连接与相交于点．若，空白部分面积为，则_____． 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）过点A作，则有四边形是平行四边形，然后可得，进而问题即可得证； （2）连接，交于点K，由折叠的性质可知，同理可得，进而根据勾股定理可进行求解； （3）延长，交的延长线于点I，同理①可得：，然后通过证明，进而根据全等三角形的性质及直角三角形斜边中线定理可进行求解； （4）由题意易得，，则有，然后根据完全平方公式及线段的和差关系可进行求解． 【详解】（1），证明如下： 过点A作，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）连接，交于点K，如图所示： 由折叠的性质可知：， 同理②可得：， 在正方形中，， ∴； （3）延长，交的延长线于点I，如图所示： 同理（1）可得：， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点D为的中点， ∵， ∴， ∴； （4）同理①可得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 解得：（负根舍去）； 74．（25-26八年级上·山东东营·期末）如图，正方形中，，点E在边上，，将沿对折至，延长交边于点G，连接、，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题考查了正方形和折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形面积公式及平行线的判定．先根据正方形和折叠的性质分析图形中的边和角关系，再通过全等三角形的判定、勾股定理、面积计算及平行线判定逐一验证四个结论的正确性． 【详解】解：如图，由题意可知，，， ， 在和中， ， ∴，故①正确； ∵正方形边长是12， ， 设，则，， 由勾股定理得：， 即：， 解得：， ，，，故②正确； ，故③错误； ， ， ，， ， ，故④正确； ∴①②④正确， 故选：B． 压轴题型三十八 根据正方形的性质与判定求角度 75．（24-25八年级下·浙江宁波·月考）已知凸四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度．请画出图形，并求这个四边形的最大内角的度数． 【答案】图形见解析；四边形的最大内角的度数分别是，，和． 【分析】本题考查了根据题意画出图形，解题关键是正确理解题意． 分四种情况： 在四边形中，四边相等，两条对角线相等，求出度数即可； 四边形的四条边与一条对角线相等，求出度数即可； 四边形的两条边与两条对角线相等，另两条边相等，求出度数即可； 四边形的一条边与两条对角线相等，另三边相等，求出度数即可． 【详解】解：分四种情况： 如图所示， ， 在四边形中，四边相等，两条对角线相等， 即，， 四边形是正方形， ， 正方形符合题意， ， 即这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的四条边与一条对角线相等， 即， ∵在中，， ∴是等边三角形， ， 同理，， ， 这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的两条边与两条对角线相等，另两条边相等， 即，， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， ； 这个四边形的最大内角为； 如图所示， ， 四边形的一条边与两条对角线相等，另三边相等， 即，， 则四边形是梯形，与平行， ， ，　　　　　　　　 ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， 四边形的最大内角的度数分别是，，和． 76．（24-25八年级下·广东佛山·月考）如图，矩形中，，，为的中点，为上一动点，为中点，连接，则的最小值是________． 【答案】 【分析】如图，取中点，连接并延长，交于，则是的中位线，可得点P的运动轨迹是线段，如图，连接，，证明四边形是正方形，则，，可知的最小值为，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取中点，连接并延长，交于， ∴是的中位线， ∴且 ， ∴点的运动轨迹是线段， 如图，连接，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 由勾股定理得，， 故答案是：． 压轴题型三十九 根据正方形的性质与判定求线段长 77．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在矩形中，，，点是边上一点，连接，将沿折叠，使点落在点处．当为直角三角形时，______． 【答案】3或6 【分析】先求出，，，再分三种情况：①，②，③，利用勾股定理和正方形的性质求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，，． ①如图1，当时，为直角三角形， ∴， ∴点三点共线， ∵在中，， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， 即； ②如图2，当时，为直角三角形， ∴， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴矩形是正方形， ∴； ③如图3，当时，为直角三角形， ∵， ∴在中，斜边，不符合题意，舍去； 综上，或． 78．（24-25八年级下·辽宁鞍山·期中）已知菱形，点E是射线上一点，点F是射线上一点，且，以为邻边作四边形，要求B，E，G，F按逆时针顺序排列（与时针走向相反即为逆时针），且，，连接，点H是的中点，连接． (1)如图，当点E在边上时， ①求证：四边形是菱形； ②试确定与的位置关系，并说明理由； (2)若，，，求线段的长．（直接写出答案） 【答案】(1)①见解析；②，理由见解析 (2)4 【分析】（1）①先证明四边形是平行四边形，再由，即可证明四边形是菱形；②取的中点O，连接，由三角形中位线定理得到，由菱形的性质得到，，，则可证明，即，进而可证明，即O、C、H三点共线，则； （2）可证明四边形是正方形，四边形是正方形，由勾股定理得，由勾股定理得，则；取的中点O，则，由（1）可得，据此可得，则． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②，理由如下： 如图所示，取的中点O，连接， ∵点H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴，即O、C、H三点共线， ∴； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴菱形是正方形， ∴， ∴， 同理可得四边形是正方形， ∴， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴； 如图所示，取的中点O，则， 由（1）可得， ∴， ∴． 压轴题型四十 根据正方形的性质与判定求面积 79．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）【新知学习】 定义：一组邻边相等，另一组邻边也相等的凸四边形叫做“筝形”．如在凸四边形中，若，，则四边形是“筝形”． （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，画出“筝形”，要求点是格点； 【问题探究】 （2）如图2，在矩形中，，，“筝形”的顶点是的中点，点，，分别在，，上，且，求对角线的长； 【拓展思考】 （3）如图3，在“筝形”中，，，，、分别是、上的点，平分，，，求“筝形”的面积． 【答案】（1）图见解析；（2）的长是12或；（3）72 【分析】（1）根据“筝形”的定义，结合网格性质画图即可； （2）分，两种情况，画出图形，分别求解； （3）过A作，证明，得到，，再证明，从而说明四边形是正方形，设，表示出相应边，在中，利用勾股定理列出方程，求出，再计算面积． 【详解】解：（1）如图1，点D是所求作的点， 由勾股定理得， ， ， 由图可得， ∴，， ∴四边形是“筝形”； （2）如图，当时，    ∵是中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴，又，， ∴四边形为矩形． ∴． ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 如图，，， 过点G作于点M， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点E是的中点，， ∴，， 在中，，， 由勾股定理得， ∵， ∴， 在中，，， 由勾股定理得， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ； 综上所述，或． （3）如图，过A作， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，． 又，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴，    设，则， ，， 在中，， 即， 解得． ∴，，， ∴ ． 80．（24-25八年级下·广东惠州·月考）如图，已知，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．给出以下四个结论： ①； ②； ③是等腰直角三角形； ④ 上述结论始终正确的有（   ）    A．①②③ B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据等腰直角三角形的判定与性质、三角形全等的判定定理与性质逐个验证即可． 【详解】如图，连接．    是等腰直角三角形 ∵点是的中点 同理可得：，结合（已证） ，故①正确． 是等腰三角形， 又是直角， 是等腰直角三角形，故③正确 过点P分别作，垂足为点M、N．如下图．   ，点是的中点 是三角形的两条中位线 ，故④正确． 连接．    假定点E与点N不重合． 由，为直角知，四边形是矩形． 又（前面已证）知，四边形是正方形． 则为等腰直角三角形． 由前面已证可知，也是等腰直角三角形． ∴． 在直角中，总有：． ∴． ∴ 即：． 由四边形是正方形知，， ∴． 只有当点E与点N重合时，． 故②不正确． 综上，正确的有①③④． 压轴题型四十一 根据正方形的性质与判定证明 81．（2023·辽宁葫芦岛·二模）中，，，点D在直线上运动，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． (1)当点D与点B重合时，如图1，请直接写出线段和线段的数量关系； (2)点D在线段上（不与点B，C重合）时，请写出线段之间的数量关系，并说明理由； (3)若，，请直接写出的面积． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)的面积为或 【分析】（1）由旋转得， 当点D与点B重合时，则再说明，即可得出四边形是正方形，则此题可解； （2）如图2，作交于点F，则，先说明，再根据“边角边”证明，可得，进而得出，然后根据勾股定理得，则此题可证； （3）分两种情况：当点D在线段上，作交于点F，交的延长线于点G，先由（2）得，可得，再结合已知条件得，然后求出，最后根据得出答案； 当点D在线段的延长线上，作交的延长线于点F，交的延长线于点G，先根据“边角边”证明，可得，再根据勾股定理得，进而得出，然后求出，最后根据得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 由旋转得， 当点D与点B重合时，则 ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴； （2）解：，理由如下： 如图2，作交于点F，则， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴； （3）解：如图3，点D在线段上，作交于点F，交的延长线于点G， 由（2）得， ∴ ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； 如图4，点D在线段的延长线上，作交的延长线于点F，交的延长线于点G， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 综上所述，的面积为或． 82．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·期中）如图，正方形中，为对角线上的一点，是延长线上一点且，，，过点作，，垂足分别为，，连接，．有以下结论：①，②，③四边形是平行四边形，④，⑤，其中正确的是______（填序号即可） 【答案】①②③⑤ 【分析】①先证，进而可证和全等，据此可对结论①进行判断； ②延长交于P，先证四边形为矩形，四边形为正方形，进而可证和全等得，然后由①可知，，根据可计算得出，，进而可求出，，则，据此可对结论②进行判断； ③由②可知：四边形为矩形，，四边形为正方形，据此可对结论③进行判断； ④假设成立，则，由②可知：得，再证，然后设正方形的边长为x，则，，进而可得，可知，据此可对结论④进行判断； ⑤由③可知：四边形是平行四边形，则，由④可知：，由②可知：四边形为矩形，则，然后在中由勾股定理得，据此可对结论⑤进行判断． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，，，， ①∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴结论①正确； ②延长交于P，如图： ∵，， ∴， 又， ∴四边形和四边形均为矩形， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴矩形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由①可知：，， 又， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴结论②正确； ③由②可知：四边形为矩形，，四边形为正方形， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴结论③正确； ④设， 若，则 ∴， ∴， 由②可知：， ∴， 又， ∴，， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 设正方形的边长为x，则， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， ∴不成立， ∴结论④不正确； ⑤由③可知：四边形是平行四边形， ∴， 由④可知：， 由②可知：四边形为矩形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴结论⑤正确． 综上所述：正确的结论是①②③⑤． 压轴题型四十二 （特殊）平行四边形的动点问题 83．（25-26八年级下·江苏常州·月考）如图，平面直角坐标系中，点为坐标原点，四边形为矩形，，．点是的中点，点在边上以每秒1个单位长的速度由点向点运动．设动点的运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)在线段上是否存在一点，使得四边形为菱形？若存在，求当四边形为菱形时的值，并求出点的坐标：若不存在，请说明理由； (3)若点是平面内一点，且、、、四点为顶点的四边形构成菱形，则符合条件的的坐标有_____． 【答案】(1) (2)存在，， (3)或或或 【分析】（1）根据平行四边形的性质就可以知道，可以求出，从而可以求出的值． （2）要使为菱形，可以得出，由三角形的勾股定理就可以求出的值而求出的值． （3）分三种情况①当为菱形的边时，②当为菱形的边时，③当为菱形的边时，分别画图求解． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，，，点是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ， ， ． （2）解：∵四边形为菱形，点是线段上一点， ， ， ， ∴，． （3）解：①当为菱形的边时，， 则，， ∴， ∴； ②当为菱形的边时，， ∵， ∴，解得或， ∴或， ∴或， ∴或； ③当为菱形的边时，，点P与点M关于对称， 过点P作， ∴， ∴， ∴， 综上，或或或． 84．（24-25八年级下·吉林·期末）如图，在四边形中，，．点P从点A出发，以的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止，设运动时间为，解答下列各题： (1)当运动时间为多少秒时，四边形为平行四边形？ (2)当运动时间为___________________秒时，； (3)四边形____________为菱形（填“可能”或“不可能”）； (4)四边形 ____________为正方形（填“可能”或“不可能”）． 【答案】(1)当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； (2)6或7 (3)不可能 (4)不可能 【分析】（1）根据题意可知当时，四边形为平行四边形，再列方程求解； （2）分四边形是平行四边形和四边形是等腰梯形两种情况进行求解； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形，结合（1）的结果判断即可； （4）四边形为正方形，则，再根据是否相等即可判断． 【详解】（1）解：， ， 故当时，四边形为平行四边形， 由题可知，，，， ，解得， 当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：若，分两种情况： ①当四边形是平行四边形时，．如图： 由（1）知当时，四边形是平行四边形，； ②当四边形是等腰梯形时，．如图： 设运动时间为秒，则有，， ∴， 作于M，于N，则有， ∵梯形为等腰梯形， ∴， ∴， 由得， 解得， ∴时，四边形为等腰梯形，， 综上，当运动时间为秒或秒时，； （3）当四边形为菱形，首先四边形要为平行四边形， 由（1）知当运动时间为6秒时，四边形为平行四边形， 此时，， ， 故四边形不可能为菱形； （4）当四边形为正方形，则， ，解得， 当时，， 又， ， 故四边形不可能为正方形． 压轴题型四十三 四边形中的线段最值问题 85．（25-26八年级下·福建福州·月考）如图，菱形的对角线相交于点O，且，．点E在线段上，且，点F为线段上一动点． (1)求的长； (2)若时，连接，求四边形的面积； (3)记的最小值为a，的最小值为b．求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据四边形是菱形，且，，得出，，，．在中，根据直角三角形的性质得出，再根据勾股定理算出，即可解答； （2）如图，连接，设，在中，根据，得出，根据勾股定理即可解出，．证明，即可得出，．算出，，再根据即可计算； （3）如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接．证出，在中，根据直角三角形的性质得出，根据，得出当E、F、G共线时，的值最小，此时，证出四边形是矩形，即可得出，．证明，得出，得出当A、F、H共线时，的值最小，在中，根据定理得出，即可算出，即可解答． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，且，， ∴，，， ． 在中，， ∴， ∴． ∴． （2）解：如图，连接，设， ∵， ∴， 在中，， ∴，， 即， 解得：（舍），． ∴． 在和中，， ∴． ∴，． ∴． ． ∴． ∴四边形的面积是． （3）解：如图，过点B作，且，过点F作于点G，连接． ∵，， ∴． ∴， ∴在中，． ∴． ∴当E、F、G共线时，的值最小，此时． ∴， ∴四边形是矩形． ∴． ∴． 在和中，， ∴． ∴， ∴． ∴当A、F、H共线时，的值最小． 在中，， ∴． ∴． 86．（25-26八年级下·江苏淮安·月考）【问题呈现】在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，矩形中，，，过对角线上一点，作的垂线，交边、于点、，求的长． (1)【问题解决】小明同学是这样思考的：点是的中点，过点作的垂线，交、于点、，发现四边形的形状是__________，得，请你结合小明的思路，求出的长是__________． (2)【类比分析】小鹏发现小明的思路就是平移线段，构成平行四边形，把替换，使问题得到解决，他突然想起思考多日的题目有了思路： 如图3，在六边形中，满足，，，．求证：；请你完成此题； (3)【学以致用】 李老师发现两名同学都运用了转化思想，使得问题得到了解决，为了帮助同学更好的感悟转化思想，李老师在【问题呈现】的基础上又提出新的问题，请你解答： 如图4，矩形中， ，，点、分别是线段、上的动点，且与互相垂直，则的最小值为__________． 【答案】(1)平行四边形；； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）先由、均垂直于且平行于，判定四边形为平行四边形，得到；再证明，结合和推出四边形为菱形；设，在中用勾股定理求出，再通过菱形面积公式求出，进而得到的长． （2）连接辅助线构造平行四边形，利用平行四边形的性质得到角相等，再结合已知的平行关系，证明，结合的条件，推导出． （3）由（1）知时为定值，将的最小值转化为求的最小值值；平移构造平行四边形，将转化为，利用两点之间线段最短，将的最小值转化为的长度，再在中用勾股定理求出，最终得到的最小值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 又∵四边形是矩形， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴． 如图，连接，． ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形， ∴． 设，则， 在中，，由勾股定理得，解得． 在矩形中，由勾股定理得， ∵菱形的面积， ∴，解得， ∴． （2）解：如图，连接，，延长，交于点． ，， 四边形是平行四边形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理，可得， ∴， ∴，． 又， ． （3）解：由（1）可知，在矩形中，时，的长度为定值， ∴， 要求的最小值，只需求的最小值． 如图，平移线段到线段， ，， 四边形是平行四边形， ． ， 根据两点之间线段最短，， 当且仅当，，三点共线时，等号成立． ，， ，即． 在中，，， ∴由勾股定理得． 的最小值为， ∴的最小值为． 压轴题型四十四 函数的概念 87．（2026八年级下·黑龙江哈尔滨·专题练习）如图，已知平面直角坐标系中，已知，，连接． (1)如图1，求的长； (2)如图2，点P在y轴负半轴上，设点P的纵坐标为t，的面积为S，用含有t的式子表示S； (3)如图3，在（2）的条件下，点Q在y轴上方一点，点E在第四象限，连接，，，若，，，，求点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点B作轴于点H，根据、得到，，根据勾股定理计算即可； （2）过点B作轴于点M，连接，根据列关系式即可； （3）将代入（2）中关系式求出，可知，过点E作轴于点T，根据三角形面积公式求出，则，证明四边形是矩形，得到轴，，可知，根据30度角的性质及勾股定理得到，进而求出，根据线段的和差求出，即可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：过点B作轴于点H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，； （2）解：过点B作轴于点M，连接， ∴， ∴ ； （3）解：当时，， 解得， ∴， 过点E作轴于点T， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形． ∴轴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，轴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． 88．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）定义，即当时，；当时，，则_____． 【答案】 2027 【分析】先推导得到，且，据此对原式两两配对，再加上的值即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴，， 原式 ． 压轴题型四十五 函数的表示 89．（25-26八年级下·河北唐山·月考）已知在中，． (1)如图1，若，，求长． (2)若点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止，图3是点运动时，的面积随时间变化的函数图象，若，求图3中的值． (3)如图4，若点从点出发，沿射线以的速度匀速运动，运动时间为，，，若为等腰三角形，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或5或8 【分析】（1）根据含30度角的直角三角形的性质得到的长，再利用勾股定理可求出的长； （2）根据函数图象可得，利用勾股定理建立方程求出的长，再求出的面积即可得到答案； （3）分三种情况：，，，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴， ∴； （2）解：由函数图象可知， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵点从点出发沿以的速度匀速运动至点停止， ∴当点P与点A重合时，的面积有最大值， ∴由函数图象可知a的值即为的面积得到最大值，即； （3）解：由题意得，， 当时，此时点P在边上，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得； 当时，在中，由勾股定理得， ∴； 当时， ∵，即， ∴， ∴； 综上所述，t的值为或5或8． 90．（25-26八年级下·重庆北碚·月考）甲、乙两人原计划一同从到城，但乙临时有事就只能分开自驾出发，乙为了能在预计时间内到达城，其匀速行驶的速度比甲匀速行驶的速度大．当乙提前到达城后，他又立马掉头用原来速度的去接甲，与甲相遇后又按照甲的速度一起行驶到城，整个行驶过程中，两人与城的距离与甲行驶的时间之间的函数关系如图所示．有下列结论： ①两城相距；②乙比甲晚出发，却早到； ③两人第一次相遇时距出发点；④图象中，； ⑤当甲、乙两人相距时，或或或； 其中正确的结论有（） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】先根据函数图象提取A、B两城距离，计算甲、乙的速度，再逐一分析5个结论：通过行程公式验证两城距离、出发与到达时间差、第一次相遇位置、图象中a和b的值，最后分5个时间段列方程求解两人相距时的t值，统计正确结论的个数． 【详解】解：由图象可知，A、B两城相距，故①正确． 乙去程的速度， 乙去程行驶所用时间为， 甲的速度， 甲到达B城的时间， 乙比甲晚出发1h，第一次到达B城的时间为，比甲早到，但乙返回接甲后，两人最终同时到达B城（），故②错误． 由图可得两人第一次相遇时， 此时距出发点，故③正确． 乙返回时的速度为， 设相遇时间为，则， 解得，即， 又，故④正确． 分情况讨论相距， 乙出发前（）： ，解得 乙追上甲之前（）： ，解得 乙超过甲（）： ，解得 乙返回接甲（）： ，解得 相遇后（）： 两人同速同向，距离为0，不可能相距． 综上，的值为或或或，故⑤正确． 正确的结论为①③④⑤，共4个． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $