专题05平行线几何模型压轴题（6大压轴题型）期中复习专项训练 2025-2026学年七年级数学下学期人教版

专题05 平行线几何模型压轴题（6大压轴题型） 题型导览 【题型1】拐点铅笔模型 【题型2】多拐点锯齿模型 【题型3】平行线+角平分线综合 【题型4】平行线+三角板旋转 【题型5】平行线+折叠问题 【题型6】情境类压轴 【题型1】拐点铅笔模型题型汇总 1．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 2．已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 3．如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 4．已知． (1)如图，求的大小，并说明理由． (2)如图，与的角平分线相交于点． 若，，则_______． 试探究与的数量关系，并说明你的理由． (3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 5．已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 6．【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 7．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【题型2】多拐点锯齿模型 8．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 9．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 10．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 11．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 12．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【题型3】平行线+角平分线综合 13．如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴__________（角平分线定义） ∴____________________（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（__________） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∴ 14．已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 15．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． (1)如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 16．已知，点M，N分别在直线上，在平行线之间有一动点E（点E在直线的左侧）．    (1)如图1，请写出，和之间的等量关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，…，以此类推，则______（用含n的代数式表示）． 17．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．    (1)【特例探究】 如图1，． ①______度； ②若与的角平分线相交于点，则______度； (2)【一般探索】 如图2，，． ①若，，求与的关系； ②若，（且为整数），直接写出与的关系； (3)【拓展应用】 如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果） 18．如图，直线，被直线所截，交点分别是，．已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，按此规律依次进行，则的度数是 A． B． C． D． 19．如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 20．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【题型4】平行线+三角板旋转 21．如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 22．把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，将三角板绕点旋转，与交于点，与交于点．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 23．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 24．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 25．将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 26．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 27．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 28．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【题型5】平行线+折叠问题 29．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 30．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 31．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 32．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 33．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 35．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 36．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中___________．    37．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 38．结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 39．【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 40．在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 【题型6】情境类压轴 41．综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断．，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，AD平分，，求的度数． 42．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 43．【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 44．【问题情境】已知，，平分交于点． 【问题探究】（1）如图1，已知． ①若，则的度数为________． ②若，，求的度数：________． 【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系． 45．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出这样一道题：如图，，直线交于点，交于点，点在上，过点作，交于点．探索图形间的关系． 【探究发现】 （1）勤奋小组的同学发现，请说明理由； 【操作探究】 （2）如图，乐思小组的同学过点作直线，且平分，，当时，的度数不变，求的度数； 【拓展探究】 （3）创意小组的同学测得图中的，直接写出与的数量关系． 46．【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】 （2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数； 如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 47．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 48．两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】 （1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】 （2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 （3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 49．【课本再现】如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分，和平行吗？为什么？真题试炼 (1)【问题解决】请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： 平分，FH平分（已知）， ， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）， ． （ ） (2)【举一反三】由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：①两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同位角的平分线有何位置关系？ ②两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？ 请选择其中一个问题提出猜想，并借助相应备用图，写出证明过程． ①已知，分别平分． ②已知，分别平分． 50．柳树湾公园某处河道两岸所在直线互相平行，在河道两岸安装探照灯和灯，灯和灯在如图所示的位置．若灯的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯的光束自逆时针旋转至便立即回转．设灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒． (1)灯自转至需要的时间为___________秒，灯自转至需要的时间为___________秒； (2)若灯先转动秒，灯才开始转动． ①如图，灯转动秒时，两光束恰好在点汇聚，求； ②当灯的光束第一次到达之前，请求出灯开启多长时间两灯的光束互相平行？ 51．直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 52．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 53．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 54．已知：如图1直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出结论； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平行线几何模型压轴题（6大压轴题型） 题型导览 【题型1】拐点铅笔模型 【题型2】多拐点锯齿模型 【题型3】平行线+角平分线综合 【题型4】平行线+三角板旋转 【题型5】平行线+折叠问题 【题型6】情境类压轴 【题型1】拐点铅笔模型题型汇总 1．综合与实践：（1）如图1，，E为图形内一点，连接、得到，求、、之间的关系，并说明理由． 【探究应用】可以利用（1）中结论解决下面问题： （2）如图2，，直线分别交、于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． （3）如图3，已知，F为线段上一点，，，，求的度数． 【答案】（1），理由见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义、一元一次方程的应用，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质得到，，再利用角的和差即可得出结论； （2）由角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，由（1）中的结论得到，，再利用角的和差、角度间的等量代换即可证明； （3）由（1）中结论可得，，，则有，代入数据求出的度数，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作，如图： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，、为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∵， ∴， ∴ ， ∴； （3）解：∵，E为图形内的点， ∴由（1）中结论可得，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．已知点是直线，所确定的平面内的一点． (1)如图1，若，，，与平行吗？为什么？ (2)如图2，已知，求出，，之间的数量关系； (3)在图2的基础上，延长至点，延长至点，过点作，连接，，且，过点作平分交于点，如图3所示．若，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． （1）首先过点M作，易得，，进而可得，由同旁内角互补，两直线平行可得，进而可得，； （2）作， 可得，根据两直线平行，内错角相等，即可证得； （3）由（2）知，，先求出，进而可得，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：结论 ：， 理由：如图1所示，过点M作， ∴， ∵， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论 ：， 如图2，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）由（2）知，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ． 3．如图，直线，是一条折线段，平分． (1)如图①，若，探究和的数量关系； (2)平分，直线交于点F ①如图②，探究和的数量关系，并说明理由； ②当点E在直线之间时，若，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)①．理由见解析；②或或或 【分析】本题考查了平行公理推论、平行线的性质、角平分线的定义，综合较强，正确分情况讨论，熟练掌握平行线的性质是解题关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，再根据平行公理推论可得，根据平行线的性质可得，根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，从而可得，由此即可得； （2）①先根据角平分线的定义可得，，再过点作，过点作，则，根据平行线的性质可得，，，，从而可得，然后根据求解即可得； ②分四种情况：（Ⅰ）当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，（Ⅱ）当点在直线之间，且和均为钝角时，（Ⅲ）当点在直线之间，且和均为锐角时，（Ⅳ）当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，（V）当F在射线上时，参照（2）①的方法，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可得． 【详解】（1）解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴． （2）解：①，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， 如图，过点作，过点作， ∴， ∴，， ，， ∴ ， ∴， ∴ ， ∴． ②∵平分，平分， ∴，． （Ⅰ）如图1，当点在直线之间，且为锐角，为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅱ）如图2，当点在直线之间，且和均为钝角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅲ）如图3，当点在直线之间，且和均为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （Ⅳ）如图4，当点在直线之间，且为钝角，为锐角时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∴； （V）如图5，当F在射线上时，过点作，过点作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴， 又，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴， 综上，的度数为或或或． 4．已知． (1)如图，求的大小，并说明理由． (2)如图，与的角平分线相交于点． 若，，则_______． 试探究与的数量关系，并说明你的理由． (3)如图，与的角平分线相交于点，过点作交于点，若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)；，理由见解析； (3)． 【分析】（）过作，判定，根据平行线的性质即可求解； （）由（）的结论可求解，利用角平分线的定义可求，，再结合平行线段的性质即可求解；可采用的解题方法解答即可求解； （）设，则，根据列方程，解方程即可求解； 本题考查了平行线的性质，平行公理的推论，角平分线的定义，三角形的内角和定理，一元一次方程的应用，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：（）过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）由（）知， ∵，， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为； 由（）知， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， ， ， 即； （3）解：设，则， 由题意得， 解得， 答：的度数为． 5．已知，连接A，C两点． (1)如图1，与的平分线交于点E，则等于 　 　度； (2)如图2，点M在射线反向延长线上，点N在射线上．与的平分线交于点E．若，求的度数； (3)如图3，图4，M，N分别为射线，射线上的点，与的平分线交于点E．设，请直接写出图中的度数（用含α，β的式子表示）． 【答案】(1)90 (2) (3)或 【分析】（1）根据平行线的性质得到，利用角平分线的定义求出，即可求出答案； （2）过点E作，得到，根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义求出，即可得到答案； （3）由平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴， ∴； 故答案为：90． （2）如图2，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵分别平分， ∴， ∴； （3）①如图3，过点E作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图4，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了平行线的性质及角平分线的定义，解题的关键是正确掌握平行线的性质：两直线平行同旁内角互补，两直线平行内错角相等． 6．【问题情境】如图①，，，，求的度数． 小明的解题思路：过作，通过平行线的性质来求的度数． (1)按小明的思路，求的度数． (2)【问题迁移】如图②，，点在直线上运动，记，，当点在线段上（不与、重合）时，与，之间有何数量关系？请说明理由． (3)【问题应用】在（2）的条件下，如果点不在线段上，请直接写出与，之间的数量关系． 【答案】(1)110° (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）由平行线的性质求出，，进而求解即可； （2）过点作，由平行线的性质求出，，进而求解即可； （3）分两种情况讨论，分别利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ， ∴， ； （2）解：如图②，当在线段上时，，理由如下： 过点作， ∴， ， ， ， ； （3）解：当在射线上时，交于，如图③，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 当在射线上时，交于，如图④，，理由如下： 过点作， ∴ ， ， ∴ ； 综上所述，当点不在线段上（不与、重合）时，或． 7．已知，，为，上的点，是，之间的点． (1)如图1，连，，探究（均指小于平角的角）间的数量关系，并说明理由． (2)为射线，上的点，分别过点作，的平行线交于F点，分别作的角平分线，交点为，如图2． ①若，则求的大小． ②将射线沿所在直线翻折交线段于点，如图3，若，则判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②，理由见解析 【分析】（1）过点作，由平行线的性质，从而得到； （2）①由（1）可得，再分别延长交于点，延长交于点，利用平行线的性质得到，因为分别平分，所以可以利用整体法得到，最后求得度数； ②利用（1）中结论，以及方程思想，设 ，分别表示出，代入条件，解得，根据垂直的定义判定． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作， 即 （2）解：①延长交于点，延长交于点， 有（1）知， 分别平分 ②由折叠性质得： 由题意得，， 设 . 即 【点睛】本题考查了角平分线的性质及平行线的性质和判定的综合应用，主要是对平行线拐点模型的应用，根据图形准确的找到角的和差关系是关键． 【题型2】多拐点锯齿模型 8．探索发现：如图是一种网红弹弓的实物图，在两头上系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1图2，弹弓的两边可看成是平行的，即．各活动小组探索与，之间的数量关系．已知，点不在直线和直线上，在图1中，智慧小组发现：．智慧小组是这样思考的：过点作，…… (1)补全证明过程（在对应序号位置补全）： 证明：过点作． ①（②） ，， （③）， ④（两直线平行，内错角相等）， 又， ． (2)在图2中，猜测与，之间的数量关系，并完成证明． (3)善思小组提出： ①如图3，已知，则角、、之间的数量关系为____________．（直接填空） ②如图4，，，分别平分，．则与之间的数量关系为__________．（直接填空） 【答案】(1)见解析 (2)；证明见解析 (3)①；② 【分析】（1）发现由平行线的性质得出，由，，推出，得出，推出，即可得出结论； （2）过点P作，由平行线的性质得出，由，，推出，得出，则； （3）①过点M作，由平行线的性质得出，由，推出，得出，即可得出结果； ②过点P作，过点F作，由平行线的性质得出，，由角平分线的性质得出，即，由，，推出，得出，，由角平分线的性质得出，即，推出，，即可得出结果． 【详解】（1）证明：过点P作． ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵，， ∴ (平行于同一直线的两直线平行)， ∴（两直线平行，内错角相等）， 又， ∴． （2）； 证明：过点P作，如图2所示：    ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）①；理由如下： 过点M作，如图3所示：    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ②； 证明：过点P作，过点F作，如图4所示：    ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ， ∴． 9．经过平行线中的“拐点”作平行线是解决与平行线有关问题的常用思路． (1)如图1，，与的平分线相交于点P，则_________°； (2)如图2，，，与的平分线相交于点P，求的度数； (3)如图3，，，，，与的平分线相交于点P，求的度数．（用，，的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）如图，过P点作直线，则可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得． （2）如图，过E点作直线，过F点作直线，则可得．根据平行线的性质可得， ， ．根据角平分线的定义可得，．由可得，结合（1）中的结论可得，进而可得． （3）如图，过F点作直线，则可得．由（1）得，，，进而可得．由角平分线的定义可得，，由（1）得． 本题考查了平行线的判定与性质，角平分线等知识．熟练掌握平行线的判定与性质，明确角度之间的数量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：如图，过P点作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， ∴， ∴． （2）解：如图，过E点作直线，过F点作直线． ∵， ∴， ∴， ， ， ∵、分别平分和， ∴，， ∵， 即， ∴， 由（1）知， ∴， ． （3）解：如图，过F点作直线． ∵， ∴， 由（1）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵、分别平分和， ∴，， 由（1）得 ． 10．已知，点、分别在直线、上，点在、之间，连接、，． (1)如图1，若，直接写出的度数； (2)如图2，点是上方一点，连接、，与交于点，，，，求的度数；结果可用含的式子表示 (3)如图，点是下方一点，连接、，若的延长线是的三等分线，平分交于点，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】1）过点作，得到，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （2）过点作，则：，根据平行线的性质和角的和差关系进行求解即可； （3）过点作，得到，利用平行线的性质结合角的和差和数量关系，分2种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； ∵， ∴； （2）解：过点作， ∵， ∴， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∵是的三等分线，分两种情况： ①当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， 又由（1）知：， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 综上：或． 11．问题情境：如图①，，点在，之间，且在所在直线的右侧，我们称这种模型为“铅笔模型”，请探究，，之间的数量关系． (1)问题解决：小明的思路是：如图②，过点作，根据平行线的性质，可以得到，，之间的数量关系是________． 迁移运用：请运用上面的数量关系解决下列问题： 已知，与的平分线相交于点F． (2)如图③，若，求的度数； (3)如图④，若，，写出与之间的数量关系，并且说明理由； (4)如图④，若，（n为正整数），设，请直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】（1）先得到，则，再由求解即可； （2）由（1）得，，则，由角平分线可得，过点作，证明即可； （3）设，，由（2）可得，由题意可得，再根据角平分线得到，，由（1）得：，再代入求解即可； （4）同问题（3）求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：、分别是和的平分线， ，， 由（1）得，， ， ， ， 过点作， ∵， ∴， ∴, ∴； （3）解：，理由是： 设，， ∴由（2）可得 ∵，， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴ ； （4）解：设，， ∴由（2）可得 ∵，（n为正整数）， ∴， 、分别是和的平分线， ∴， 由（1）得：， ， ∴； ． 12．解决问题 (1)如图①，与的角平分线相交于点P，求的大小； (2)如图②，与的平分线相交于点P，求的大小； (3)如图，，，，与的角平分线相交于点P，则 ；（用，，的代数式表示） (4)结合以上探索的经验，对这一模型进行一般化研究，画出示意图并写出对应的结论． 【答案】(1) (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，列代数式， （1）利用平行线性质得，结合角平分线定义得，再由三角形内角和求出； （2）作辅助线构造平行线，利用内错角相等推导角的关系，结合已知，通过角平分线性质求出； （3）作辅助线转化折线角，利用平行线性质建立与α、β、γ的关系，再由角平分线定义得； （4）画出及多个折线角的示意图，总结规律：等于内部所有折点（点）中奇数项角的和减去所有偶数项角的和的一半． 【详解】（1）解：作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，作，则， ∴，， ∴， 设， ∴ ，即， 整理得， ， ∴， ∴； （3）解：由平行线性质及角平分线定义，， 如图所示，作，则， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴； （4）解：一般化研究示意图：画两条平行线，在两线之间依次画多个折线角（如，，，），与的角平分线交于点P， 结论：，即内部所有折点（点）中所有奇数项的角和减去所有偶数项的角和的一半． 例如，若有3个折线角，则，与第（3）问一致． 【题型3】平行线+角平分线综合 13．如图，，点E在上，若是的角平分线，且，试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：∵（已知） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴__________（角平分线定义） ∴____________________（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（__________） ∴__________（两直线平行，内错角相等） ∴ 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线定义） ∴（等式的基本事实） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴． 14．已知直线，E、F分别为直线上的点，P为直线上方一点． (1)如图1，若，，求的度数． (2)如图2，的角平分线的反向延长线与的角平分线交于点N，试说明：．（不能利用三角形的内角和） (3)如图3，若的角平分线与的角平分线交于点H，的角平分线与的角平分线交于点G，当时，请写出与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)．见解析 【分析】（1）过点P作，利用两直线平行，同旁内角互补求得，再证明，利用两直线平行，内错相等求得，据此即可求解； （2）过点P作，过点N作，推出，由平分，平分，设，，求得，，据此即可证明结论； （2）过点H作，过点P作，过点G作，推出，由平分，设，同（2）用表示相关的角，计算角的和差即可求解． 【详解】（1）解：过点P作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：过点P作，过点N作， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴设，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 而， ∴； （3）解：．理由如下， 过点H作，过点P作，过点G作， ∵， ∴， ∵平分， ∴设， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的有关计算，解题的关键是学会利用参数表示各个角之间的关系解决问题． 15．已知，点E在直线上，点G在直线上，点H为一动点． (1)如图1，当点H在与之间时，点F在上，连接、、，若，求证：； (2)如图2，在（1）的条件下，平分交于点K，，平分，且． ①当，时，求的度数； ②当平分，，交于点M时，若，求的值． (3)如图3，当H在上方，交于点F，的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M，的角平分线和的角平分线相交于点，以此类推．请直接写出与之间的数量关系__________，用含n的式子表示与之间的数量关系__________． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；② (3)， 【分析】本题考查平行线的判定与性质，平行线拐点模型，角平分线的定义； （1）过作交于，则，得到，结合得到，即可证明； （2）①当，时，设，则，由角平分线得到，，，根据列方程求出，再根据求解即可； ②由，设，则，根据角平分线和平行得到，，根据，得到，再根据得到，即可得到； （3）根据拐点模型得到，，即可得到；由角平分线得到，，则，同理可得，得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：过作交于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当，时，， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 过作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∴，解得， ∴； （3）解：过作，过作， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线相交于点M， ∴，， ∴，， ∴； ∵的角平分线和的角平分线相交于点， ∴，， ∴， 同理可得， ∴ ∵， 故答案为：，． 16．已知，点M，N分别在直线上，在平行线之间有一动点E（点E在直线的左侧）．    (1)如图1，请写出，和之间的等量关系，并说明理由； (2)如图2，与的角平分线相交于点F，请直接写出与之间的等量关系； (3)如图3，在（2）的条件下，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，和的角平分线相交于点，…，以此类推，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）如图1，过作，则，，，由，可得； （2）如图2，过作，过作，则，，同理（1）可知，，由平行线的性质可得，，则，由、是与的角平分线，可得 ，，即，，则； （3）同理（2）可知，，，由、是和的角平分线，、是和的角平分线，可得，，，，由，可得，同理可求，，，……，进而可推导一般性规律为：，然后作答即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过作，则，    ∴，， ∴， ∴； （2）解：如图2，过作，过作，则，，    同理（1）可知，， 由平行线的性质可得，， ∴， ∵、是与的角平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴； （3）解：同理（2）可知，，， ∵、是和的角平分线，、是和的角平分线， ∴，，，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可求，， ，……， ∴可推导一般性规律为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，四边形内角和．解题的关键在于明确角度之间的数量关系． 17．已知，李想同学将放置在这两条平行线上展开探究，其中三边与两条平行线分别交于点、、、．    (1)【特例探究】 如图1，． ①______度； ②若与的角平分线相交于点，则______度； (2)【一般探索】 如图2，，． ①若，，求与的关系； ②若，（且为整数），直接写出与的关系； (3)【拓展应用】 如图3，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推，则的值是多少？（直接写出结果） 【答案】(1)①，② (2)①；② (3) 【分析】（1）①利用平行线的性质证明即可； ②证明即可； （2）①利用平行线的性质证明和即可； ②利用平行线的性质证明和即可； （3）利用（2）中的结论计算即可． 【详解】（1）①过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ②∵与的角平分线相交于点，则______度； ∴，， ∴ 故答案为：①，②； （2）① 过点作平行于，过点作平行于    ∵， ∴，， ∴，，，， ∴，， 即，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即； ② 同①可得， ∵，， ∴， ∴，即； （3）∵与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点；……，以此类推， ∴， ∴由（2）得 ∴． 【点睛】本题考查平行线的性质，根据平行线的性质、角平分线的定义，利用平行线的性质证明和是解决本题的关键． 18．如图，直线，被直线所截，交点分别是，．已知，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，与的角平分线相交于点，按此规律依次进行，则的度数是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质、图形规律，掌握平行线的性质是关键．根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与的角平分线相交于点， ∴， 如图所示，过点作，过点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵与的角平分线相交于点，， ∴， ∴， 同理，， ∴依此类推，． 故选：D ． 19．如图，，与相交于点O，与的角平分线相交于点，与的角平分线交于点，与的角平分线交于点，如此继续下去，则与、之间的数量关系为（   ） A． B． C． D．没有等量关系 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形规律探索，平行线的性质，平行线公理的应用，角平分线的定义，过点作，根据平行线的性质和平行公理得出，根据角平分线的定义和平行线的性质得出，，即可得出，同理得出；；总结规律得出． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵、分别平分、， ∴，， ∴； 同理得：； ； …… ∴， 故选：C． 20．如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的性质，过点作，则，由平行线的性质结合角平分线的定义可得，，设，，则，，表示出，结合，计算即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ， ∵， ∴， ∴，， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点， ∴，， ∴，， 设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴由①②可得：， 故选：C． 【题型4】平行线+三角板旋转 21．如图，将一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，．按住三角板不动，将三角板绕顶点转动，当在直线的上方时，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，依据平行线的性质得到，然后根据角的和差解题即可． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故选：B． 22．把一副三角尺按如图所示的方式放置，其中角的顶点恰好放在等腰直角三角板的斜边上，将三角板绕点旋转，与交于点，与交于点．当时，的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理．利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 23．综合与实践 动手操作可提高我们的思维能力，王老师和同学们利用两块直角三角板（含的直角三角板DEF和含的直角三角板）不同的摆放方式探究平行线的相关问题． 初步认知 （1）如图1，将三角板直角顶点A与E重合，若，则______． 深入探究 王老师让同学们改变三角板的位置，提出新的问题并作出解答． （2）“智慧小组”提出问题：如图2，将三角板的顶点B放在三角板的边上，若，平分吗？请说明理由． （3）“善思小组”提出问题：将图2位置的三角板不动，三角板绕点B旋转一周，在此过程中与三角板的某一边平行（不共线）时，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2）平分，理由见解析；（3）或或或 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出的度数； （2）先根据两直线平行，内错角相等求出，进而可求出平分； （3）依题意有以下4中情况：①当，且点C在的右侧时，则，由此可得出的度数；②当，且点C在的上方时，则；③当，且点C在的左侧时，则，④当，且点C在的下方时，则，由此可得出的度数，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）平分； 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）依题意有以下4中情况： ①当，且点C在的右侧时，如图①所示： ∴， ∴； ②当，且点C在的上方时，如图②所示： ∴； ③当，且点C在的左侧时，如图③所示： ∴， ④当，且点C在的下方时，如图④所示： ∴， ∴， 综上所述：的度数是或或或． 24．【实践与探究】 在校园科技节上，宁宁同学用一副三角板，做模拟机器人机械手臂的实验．用三角板模拟可任意伸展方向的机械臂，，，；用另一块三角板模拟固定关节底座，，．他用直线和直线模拟机器人机械手臂安装的基准线，其中，将三角板平稳放置，使边在直线上，就像机械臂的基座固定在平台上，再调整三角板的位置，使三角板的顶点C落在直线上．在模拟机械臂的运动过程中，他遇到了一系列有趣的问题： (1)当两块三角板按图1的位置摆放时，点C，E，A，D在同一直线上，则三角板的边与所成的 °； (2)为了更深入探究机械臂多角度运动，他将三角板绕点C逆时针转动一定角度，设三角板的边与三角板的边相交于点O． ①如图2，当转动三角板到的位置时，求的度数； ②如图3，在转动过程中，他还发现的值为定值，请求出这个定值； (3)如图4，将直线向上平移一定距离，以点C，A，E，D四点共线为初始位置，继续将三角板绕点C逆时针转动，直到边与模拟基准线首次重合时，三角板停止运动．在这个转动过程中，设的度数为，那么当取何值时，三角板的边与三角板的边平行？请直接写出符合条件的的值． 【答案】(1)15 (2)①  ② (3)30，75，120 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． （1）根据三角板和平行线的性质得出的度数； （2）①根据平行线的性质和邻补角计算即可；②过点作，根据平行线的性质得出； （3）分①当时，②当时，③当时，三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：在和中，， ， ， ， 故答案为：； （2）解：①在中，， ， ， ； ②． 理由如下：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为定值，定值是； （3）解：①当时，点在同一条直线上， ， ； ②当时， ∵，即， 又 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； ③当时，如图， ， ， ； 综上，在旋转的过程中，当或 75 或 120 时，三角板的边与三角板的一条边平行． 25．将一副直角三角板如图①所示摆放在直线上（直角三角板和直角三角板中，），保持三角板不动，将三角板绕点C以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为，当与射线重合时停止旋转． (1)如图②，当为的平分线时，求此时t的值； (2)当旋转至的内部时，求与的数量关系； (3)在旋转过程中，当三角板的其中一边平行于三角板的某一边时，t等于 ． 【答案】(1)3 (2) (3)15或24或27或33 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找相等关系是解题的关键． （1）先计算的度数，再根据角平分线的定义和旋转的速度可得t的值； （2）分别表示与的度数，相减可得数量关系； （3）分四种情况讨论：分别和三边平行，还有，计算旋转角并根据速度列方程可得结论． 【详解】（1）解：如图2，∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：当旋转至的内部时，如图3，与的数量关系是：； 理由是：由旋转得：， ∴， ∴； （3）解：①当时，如图4，， ； ②如图5，当时， ∴， ∴， ∴； ③当时，如图6，则， ∴， ∴； ④当时，如图7，， ∴； 综上，t的值是15或27或33或24秒． 26．在综合与实践课上，班级开展了以两条平行线和直角三角尺为主题的数学活动． 【初步感知】（1）如图1，若三角尺的角的顶点G放在上，若，则的度数为________； 【自主探究】（2）将一副三角板如图2所示摆放，直线，若三角板不动，而三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，设旋转时间为t秒，求当旋转到时，t的值是多少？ 【探究拓展】（3）现将三角板绕点A以每秒的速度顺时针旋转，同时三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设时间为t秒，当时，若边与三角板的直角边平行，请直接写出满足条件的t值． 【答案】（1）；（2）40或100；（3）15 或105 【分析】本题主要考查了平行线的性质，一元一次方程的应用，三角形外角的性质，三角形内角和定理． （1）先由平角的定义得到，再由平行线的性质即可得到； （2）当在上方时，延长交于T，先由平行线的性质得到，则，当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有，据此求解即可； （3）分解析中两种情况，画出对应的图形，根据角之间的关系，建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）分以下两种情况： 如图所示，当在上方时，延长交于T， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在下方时，只需要在旋转40秒的基础上再旋转180度即有， ∴； 综上所述，当旋转到时，t的值是40或100； （3）分以下两种情况： 如图，当时， 设直线与，分别交于P，Q， 此时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 解得：； 如图所示，当时，设直线分别交、于P、T， 此时，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 综上：所有满足条件的t的值为15 或105． 27．在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 28．综合与实践 综合与实践课上，老师让同学们“借助两条平行线和一副直角三角板”开展数学探究活动．即：已知直线和一副直角三角板． 【操作判断】如图1，小华把一个三角板角的顶点分别放在直线上，请直接写出与的数量关系_______； 【迁移探究】如图2，小春把一个三角板角的顶点F放在直线上，若，求的度数； 【拓展应用】在图1的基础上，小明把三角板角的顶点，放在E处，即（如图3），与的平分线分别交于点，将含角的三角板绕点E转动，使始终在的内部，请问：的值是否发生变化？若不变，求出它的值；若变化，请说明理由． 【答案】操作判断： 迁移探究： 拓展应用：不变， 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，过拐点构造平行线是解题的关键： [操作判断]：过点E作，则，从而，，进而可得与的数量关系； [迁移探究]：对顶角相等，结合（1）中结论进行求解即可； [拓展应用]：过点E作，可证，设，则，，然后根据角平分线的定义即可求解． 【详解】［操作判断］：如图1，过点E作 ， ，， ∵ ∴    故答案为： ［迁移探究］：如图2，由（1）可知： ，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； ［拓展应用］：不变， 理由如下：过点E作 ， ， 设，则， 、分别平分、 ， 【题型5】平行线+折叠问题 29．已知M，N分别是长方形纸条边，上两点（），如图1所示，沿M，N所在直线进行第一次折叠，点A，D的对应点分别为点E，F，交于点P，如图2所示，继续沿进行第二次折叠，点B，C的对应点分别为点G，H，若，则的度数为（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由翻折的性质和长方形的性质可得出：，，据此可得，，再根据得，根据得，据此可求出，进而可求出的度数． 【详解】解：由翻折的性质得：，， 四边形为长方形， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 即：， ， ， ， ， ， ． 30．如图，在长方形纸片中，点E，F分别在上，将∠AFE沿折叠，点A刚好落在边上的点处；再将沿折叠，点B刚好落在射线上的点处，交于点G，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，角的计算，平行线的性质．先求得，利用平行线的性质求得，再由折叠的性质得，作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得， 作， ∴，， ∴， 故选：B． 31．如图，长方形纸片，点M，N分别在，边上，将纸片沿折叠，点C，D分别落在点，处，与交于点P，再沿折叠纸片，点，分别落在点，处，设，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，掌握翻折变换，平行线的性质是解题的关键．由折叠的性质可得，由平行线的性质可求，再由折叠性质可得，再由平行线的性质可得 ，最后即可求解． 【详解】解：， ， 由折叠性质可得：， ， 由题意得：， ， ， 由折叠性质可得：， ， ， 由题意得：， ， 故选：D 32．已知点分别在长方形纸条的边上（），如图1，沿直线第一次折叠，点的对应点分别为交于点；如图2，为上一点，沿直线第二次折叠，点的对应点分别为，若，记的度数为度，的度数为度，则在的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据折痕是角平分线，以及平行线的性质，进行推导，得到，即可得出结论． 【详解】解：对于图1，由折叠可知：， ∵长方形纸条， ∴， ∴，， ∴度， 对于图2，由折叠可知：度， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为定值； 故选A． 33．如图，在一次数学实践活动课上，某同学将一条对边互相平行的纸带进行两次折叠．折痕分别为，，若，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质以及折叠的性质，根据平行线的性质得出，再根据折叠性质得出，进而解答即可． 【详解】解：由折叠性质可得，， ，， ， ， ， ， ， 由折叠性质可得，， ， ， ， 故选：A． 34．折纸是一门古老而有趣的艺术，现代数学家藤田文章和羽鸟公士郎甚至为折纸建立了一套完整的“折纸几何学公理”．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则________． 【答案】/21度 【分析】本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解答的关键是结合图形分析清楚角之间的关系．由折叠的性质可得，，，，由平行线的性质可求得，，从而可求得，则有，由对顶角相等得，从而得． 【详解】解：由折叠得：，，，， 是长方形，， ， ，， ， ， ， ， 与重合， ， ， 故答案为： 35．如图，将一长方形纸条先沿着进行第一次折叠，使得两点分别落在的位置，再将纸条沿着进行第二次折叠（与在同一直线上），使得分别落在的位置． （1）若，则的度数为___________； （2）若，则的度数为___________． 【答案】 /120度 /150度 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，熟记矩形的性质以及折叠的性质是解题的关键． （1）根据折叠及平行线的性质即可求解； （2）根据平行以及折叠对应角相等，得到：，利用外角的性质得到：，再根据折叠得到：，利用平角的定义即可求解． 【详解】解：（1）根据题意得： ，， ∴， ∵， ∴； （2）根据题意得： ， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 36．折叠问题的实质是图形的轴对称变换，所以在解决折叠问题时可以充分运用轴对称的思想和轴对称的性质．如图1，，将长方形纸片沿直线折叠成图2，再沿直线折叠成图3，则图3中___________．    【答案】/105度 【分析】根据平行线的性质及折叠的性质可得，再根据折叠的性质及四边形的内角和即可解答． 【详解】解：∵如图，， ∴由折叠的性质， ∵如图，， ∴， ∴， ∵如图，由折叠的性质可知 ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为.    【点睛】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，对顶角相等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 37．综合与实践： 七年级下册第二章我们学习了平行线的性质与判定，今天我们继续探究：折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线 (1)知识初探 如图1，长方形纸条中，，，．将长方形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G． ①若，求的度数． ②试猜想和之间的数量关系，并进行说明． (2)类比再探 如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的处．点落在处，得到折痕，点、、、在同一条直线上，则折痕与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线的判定与性质、平角的定义等知识；熟练掌握折叠的性质和平行线的判定与性质是解题的关键． （1）①由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； ②由题意得，则，由平行线的性质得，由平角的定义即可得出结果； （2）由题意得，，由平行线的性质得，推出，即可得出． 【详解】（1）解：①由题意得：， ， ， ， ； ②结论： 理由：由题意得：， ， ， ， ， （2），理由如下： 由题意得：，， ， ， ， ． 38．结合图形，解答下列各题： (1)如图①，长方形纸条中，，，，将长方形纸条沿直线折叠，点落在处，点落在处，交于点．若，求的度数． 【类比再探】 (2)如图②，在图①的基础上将对折，点落在直线上的处，点落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？说明理由． 【拓展延伸】 (3)如图③，在图②的基础上，过点作的平行线，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1) (2)，理由见解析； (3)，见解析 【分析】（1）根据折叠可得到，进而可求得的度数；根据两直线平行的性质可得到，即可求得答案． （2）根据轴对称图形的性质可得到，，根据两直线平行的性质可得到，进而可得到与的位置关系． （3）可过点作，根据两直线平行的性质可得到，，，根据得出，然后代入即可． 【详解】（1）解：有折叠可得． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴； （2）解：折痕与的位置关系为：．理由如下： 由折叠有，． ∵， ∴． ∴． ∴． （3）解：和的数量关系为：． 理由如下：    如图，过点作． ∵，，， ∴， ∴，，． ∵， ∴， ∴即． 39．【综合与实践】折纸中的数学 【问题提出】我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方法找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？ 【知识初探】同学们热爱数学，对数学知识有着自己的理解与表达．学习平线后，张华想出了过已知直线外一点，画这条直线的平行线的新方法，张华是通过折一张半透明的纸得到的（直线、直线为折痕，折纸过程如下：①-②-③-④)． （1）如图①，在纸上画一条直线，在外取一点P．过P折叠纸片，使得点B落在直线上(如图②)，记折痕与的交点为Q，将纸片展开铺平．则______°； （2）再过点P将纸片沿进行折叠，使得点F落在直线上（如图③)，再将纸片展开铺平（如图④)，此时张明说，就是的平行线．张华的说法正确吗？请写出过程予以证明； 【拓展延伸】 （3）张华在（2）的条件下继续探究，他在P、Q两点处安装了绚丽的小射灯，灯P射线从开始绕点P顺时针旋转至后立即回转，灯Q射线从开始绕点Q顺时针旋转至后立即回转两灯不停旋转交叉照射，且灯P、灯Q转动的速度分别是秒、秒，若灯P射线转动20秒后，灯Q射线开始转动，在灯P射线第一次到达之前，当灯Q转动t秒时，灯P射线转动到如图⑤的位置． ①用含t的式子表示______； ②在灯P射线第一次到达之前，Q灯转动几秒，两灯的光束互相平行？并说明理由． 【答案】； 张华的说法正确，理由见解析； 在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 【分析】本题主要考查了折叠的性质、平行线判定及性质、分类讨论的思想，解决本题的关键是根据折叠的性质和平行线的性质找角之间的关系，根据角之间的关系列方程求解． 根据折叠的性质可知； 根据折叠的性质可知、，等量代换可得，根据同位角相等，两直线平行可得张华的说法正确； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动，所以当灯转动秒时，灯转动了秒，根据灯转动的速度和时间可知在灯射线第一次到达之前； 根据灯和灯转动的速度可知：在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒，根据灯转动的速度可知灯从转到需要的时间是秒，所以应分三种情况讨论两灯光束平行：第一种情况、当时，第二种情况、当时，第三种情况、当时． 【详解】解：根据折叠的性质可知， 故答案为：； 张华的说法正确， 证明：根据折叠的性质可知， 由可知， ， ； 灯射线转动秒后，灯射线开始转动， 当灯转动秒时，灯转动了秒， 在灯P射线第一次到达之前，， 故答案为：； 解：灯的射线从转到需要的时间是秒， 在灯射线第一次到达时，Q灯转动秒， 灯的射线转动的速度是每秒， 灯从转到需要的时间是秒， 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ， 解得：； 如下图所示，当时，，， ， ， ， ， ， ∴ ， 解得：； 综上所述，在灯射线第一次到达之前，灯转动或秒时，两灯的光束互相平行． 40．在学习过平行线的判定后，我们围绕“过直线外一点作已知直线的平行线”为主题开展探究． 方法一：用尺规作图的方法画平行线 （1）A同学用的是尺规作图，已知P是直线a外一点，按如下作图步骤可作． A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． （2）B同学想出了另外一种尺规作图的方法如图所示． B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是： ． 方法二：用折纸的方法画平行线 （3）已知P是外一点，按照下面折纸步骤能折出与直线平行的直线（折纸步骤如图所示）． 第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是 ，依据是： ． 【答案】（1）内错角相等，两直线平行；（2）同位角相等，两直线平行；（3）垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质的应用，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． （1）根据作图，可得到，即内错角相等，两直线平行； （2）根据作图，可得到，即同位角相等，两直线平行； （3）根据折叠，可得到根据折叠的性质，折痕垂直于两点的连线，利用同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行，可得到结果． 【详解】（1）A同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行； （2）B同学画法，过点P作直线b与a相交，作，则，依据是：同位角相等，两直线平行， 故答案为：同位角相等，两直线平行； （3）第一步：过点P折叠纸片，使点C的对应点C′落在直线上（如图②），记折痕与的交点为A，则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第二步：将纸片展开并铺平，再过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点E′落在直线上（如图③），则折痕与的位置关系是垂直，依据是：折叠的性质， 第三步：将纸片展开并铺平，此时折痕与的位置关系是平行，依据是：同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行， 故答案为：垂直，折叠的性质；垂直，折叠的性质；平行，同一平面内，两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线互相平行． 【题型6】情境类压轴 41．综合与探究 问题情境 在数学探究课上，老师给出这样的情境：如图1，，，请同学们提出数学问题，并予以解答． 探究发现 （1）小丽同学提出问题：与有怎样的数量关系？请解答小丽同学提出的问题，并加以证明． 深入探究 （2）小兵同学提出问题：如图2，当点在上时，连接和，请判断．，与之间的数量关系，并加以证明． 问题解决 （3）睿思小组提出问题：如图3，连接，当点在上时，若，AD平分，，求的度数． 【答案】（1），证明见解析；（2），证明见解析；（3）． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，准确作出辅助线是解题关键． （1）根据平行线的性质可得，再由，即得结论； （2）过点作交于点，根据平行线的性质可得，，即可得到； （3）过点作交于点，按照（2）中的解题思路，根据平行线的性质和角平分线定义即可得到结果． 【详解】解：（1）． 证明：， （两直线平行，同旁内角互补）． ， （同角的补角相等）； （2）． 证明：如答图1，过点作交于点． ． ， ． ． ； （3）如答图2，过点作交于点． ， ． ． ． 由（1）知，． ∵AD平分， ． 由可知，． ， ． ． ． 42．学习情境·类比探究 问题情境：如图，，，，求的度数． (1)小机灵同学看过图形后立即口答出：，请你补全他的推理依据． 如图2，过点作， ， ， （_____） ，． （_____） ，， ，． ．（_____） 问题迁移： (2)如图，，当点在线段上运动时，，，求与、之间有何数量关系？请说明理由； (3)在（2）的条件下，如果点在射线上，且在、两点外侧运动时（点与点、、三点不重合），请直接写出与、之间的数量关系． 【答案】(1)平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换 (2)，理由见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，掌握平行线的性质与判定并且作出平行的辅助线是解答本题的关键． （1）根据平行线的判定与性质填写即可； （2）过作交于，推出，根据平行线的性质得出，，代入，即可得出答案； （3）画出图形（分两种情况：点在的延长线上，点在的延长线上），根据平行线的性质得出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ， ， （平行于同一条直线的两条直线互相平行） ，． （两直线平行，同旁内角互补） ，， ，． ．（等量代换） 故答案为：平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直线平行，同旁内角互补；等量代换； （2）解：，理由：过点作交于点， ， ， ，， ； （3）解：或， 当点在延长线上时，过点作交延长线于点， ， ， ，， ； 当点在延长线上时，过点作交于点， ， ， ，， ， 综上，或． 43．【问题情境】如图①，若，，，过点P作，则________； 【问题迁移】如图②，，点P在的上方，点E，F分别在，上，连接，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】如图③，在【问题迁移】的条件下，若，，的反向延长线与交于点G，则与的数量关系是________． 【答案】问题情境：；问题迁移：，理由见解析；问题拓展： 【分析】本题考查角的和差，平行线的判定及性质，正确作出辅助线，运用平行线的判定及性质求解是解题的关键． 问题情境：根据平行线的判定可得，从而得到，，再由角的和差即可求解； 问题迁移：过点P作，得到，因此，，根据角的和差即可解答； 问题拓展：过点P作，过点G作，则，因此，从而．再由，得到，，进而有，即可得出． 【详解】解：【问题情境】∵，， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【问题迁移】，理由如下： 过点P作， ∵，， ∴， ∴，， ∴． 【问题拓展】过点P作，过点G作， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴． ∴． ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 44．【问题情境】已知，，平分交于点． 【问题探究】（1）如图1，已知． ①若，则的度数为________． ②若，，求的度数：________． 【问题解决】（2）如图2，若，，当时，求的度数； 【问题拓展】（3）如图2，若，请直接写出、和三者之间的数量关系． 【答案】（1）①②（2）（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，与角平分线有关的计算，熟练掌握平行线的判定和性质，是解题的关键： （1）①根据平行线的性质进行求解即可；②证明，根据平行线的性质和角平分线的定义，进行求解即可； （2）证明，推出，利用平行线的性质，进行求解即可； （3）证明，推出，利用平行线的性质，角平分线的定义和角的和差关系进行求解即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． 45．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，老师给出这样一道题：如图，，直线交于点，交于点，点在上，过点作，交于点．探索图形间的关系． 【探究发现】 （1）勤奋小组的同学发现，请说明理由； 【操作探究】 （2）如图，乐思小组的同学过点作直线，且平分，，当时，的度数不变，求的度数； 【拓展探究】 （3）创意小组的同学测得图中的，直接写出与的数量关系． 【答案】（）见解析；（），（）． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据平行线的性质得，又，则，然后利用平行线的判定方法即可求证； （）由平分，则，根据平行线性质可得，，又，则，，设，，然后根据，即，求出即可； （）同（）理，设，，如上图，则，，，，求得，由，然后代入求解即可． 【详解】解：（）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （）∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，，如图， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， （）同解析（），设，，如上图， 则，，，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．【问题情境】 （1）若将具有图特征的图形称为“平行凸折线”，“平行凸折线”的性质可以表述如下：若，为，之间一点，则______． 【问题迁移】 （2）已知直线，点，在直线上，点，在直线上，连接，，平分，平分，且，所在的直线交于点． 如图，当点在点的左侧时，若，，请你结合（）中“平行凸折线”的性质，求的度数； 如图，当点在点的右侧时，设，，请写出的度数并说明理由（用含，的式子表示）． 【答案】（）；（），，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，平行公理推论，熟练掌握平行线的性质及结合图形进行角的和差运算是解题的关键． （）过点作，根据平行线的性质进行证明，即可得到结论成立； （）由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案； 由平行线的性质，角平分线的定义，结合（）的结论，即可求出答案． 【详解】解：（）如图，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵平分， ∴， ∴，        由平行凸折线的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； ，理由如下， 如图， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， 由平行凸折线性质可得：， ∴， ∴． 47．【问题情境】在综合实践课上，老师组织班上的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点是射线上的一个动点（与点不重合），分别平分和，且分别交射线于点． (1)【探索发现】当时，求：的度数； (2)“快乐小组”经过探索后发现：不断改变的度数，与始终存在某种数量关系． ①当时，______； ②当时，______（用含的代数式表示）； (3)【操作探究】“智慧小组”利用量角器量出和的度数后，探究二者之间的数量关系．他们惊奇地发现，当点在射线上运动时，无论点在上的什么位置，与之间的数量关系都保持不变．请写出它们的关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)①；②； (3)结论：；理由见详解． 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握这些性质是解此题的关键． （1）由，得到，由分别平分和，可得，代入的度数即可求解； （2）①根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； ②根据（1）的结论，代入，即可得到的度数； （3）由，得到，，由平分，可得，进而推出和的数量关系． 【详解】（1）解：， ， ， ， 分别平分和， ，， ； （2）解：① 当时： ， ， ， ， 分别平分和， ，， ； ② 当时： ， ， ， ， 分别平分和，， ，， ； 故答案为：①；②； （3）解：结论：； 理由如下： ， ， 平分， ， ， 又， ， ． 48．两条平行线间的拐点问题经常可以通过做一条直线的平行线进行转化．已知直线为平面内一点，连接． 【问题情境】 （1）如图1，已知，求的度数． 小明的思路是：过点作，通过平行线的性质来求． 按照小明的思路，易求得的度数为___________； 【类比探究】 （2）如图2，设，猜想之间的数量关系，并给出证明； 【应用拓展】 （3）如图3，平分交于点，请直接写出的度数． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查平行线的判定和性质，过拐点作平行线是解题的关键： （1）根据两直线平行，同旁内角互补，求出的度数，角的和差关系求出的度数； （2）过点P作，则，根据平行线的性质得出，，求出，得出，得出，即可得出答案； （3）由（2）的结论求出的度数，角平分线求出的度数，对顶角得到的度数，三角形的内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：（1）过点作， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2），证明如下： 过点P作， ， ， ，， ，， ， ； （3）∵， ∴， 由（2）可知， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 49．【课本再现】如图，平行直线，与相交，交点分别为，，平分，平分，和平行吗？为什么？真题试炼 (1)【问题解决】请将下面的解答过程补充完整：（括号内填写推理依据） 解：，理由如下： 平分，FH平分（已知）， ， （ ）， （已知）， （ ）， （ ）， ． （ ） (2)【举一反三】由上可知，两条平行直线被第三条直线所截，所得的一组内错角的平分线互相平行．类比探究：①两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同位角的平分线有何位置关系？ ②两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线有何位置关系？ 请选择其中一个问题提出猜想，并借助相应备用图，写出证明过程． ①已知，分别平分． ②已知，分别平分． 【答案】(1)；角平分线的定义；两直线平行，内错角相等；等式的性质；内错角相等，两直线平行 (2)①两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同位角的平分线互相平行，证明见解析；②两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线互相垂直，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，由平行线的性质可得，则可证明，进而可证明； （2）①由角平分线的定义得到，由平行线的性质得到，则可证明，进而得到；②过点N作，由角平分线的定义得到，证明，得到，则可证明，即． 【详解】（1）解：，理由如下： 平分，平分（已知）， ，（角平分线的定义）， （已知）， （两直线平行，内错角相等）， （等式的性质）， ． （内错角相等，两直线平行） （2）解：①两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同位角的平分线互相平行，证明如下： ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同位角的平分线互相平行； ②两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线互相垂直，证明如下： 如图所示，过点N作， ∵分别平分， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴ ， ∴， ∴两条平行直线被第三条直线所截，所得一组同旁内角的平分线互相垂直． 50．柳树湾公园某处河道两岸所在直线互相平行，在河道两岸安装探照灯和灯，灯和灯在如图所示的位置．若灯的光束自逆时针旋转至便立即回转，灯的光束自逆时针旋转至便立即回转．设灯转动的速度是度/秒，灯转动的速度是度/秒． (1)灯自转至需要的时间为___________秒，灯自转至需要的时间为___________秒； (2)若灯先转动秒，灯才开始转动． ①如图，灯转动秒时，两光束恰好在点汇聚，求； ②当灯的光束第一次到达之前，请求出灯开启多长时间两灯的光束互相平行？ 【答案】(1)； (2)①；②灯开启秒或秒后两灯的光束互相平行 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的计算与一元一次方程的应用，熟练掌握平行线的性质、根据运动过程表示出对应角度并建立等量关系是解答本题的关键． （1）根据时间总旋转角度旋转速度，分别计算灯、灯从初始位置转到另一端所需的时间； （2）①先根据灯、灯的转动速度与时间，分别求出对应光束的旋转角度，再通过作辅助线，利用平行线的性质（两直线平行，内错角相等、同旁内角互补），将拆分为两个角的和，进而计算其度数； ②分 “未从点回转” 和 “从点回转” 两种情况，设灯开启的时间为秒和秒，平行线的性质列出关于和的方程，求解得到符合“灯的光束第一次到达之前” 的时间值． 【详解】（1）解：对于：（秒），对于：（秒）； （2）解：①先转动秒， 此时旋转的度数为：，此时才开始转动， 灯转动秒时，在秒内又转动了，而转动了，即， 一共旋转的度数为：， 即， 如图，作， 又， ， ， ， ，， ， ， ； ②若想两束光线平行，则如图所示， 情况一： ，， ∴， 设灯开启秒后两灯光束平行， ，， ， 解得：， 情况二：当从点回转时，设从点回转了秒， ，， ， 解得：， 灯开启秒或秒后两灯的光束互相平行． 51．直线与直线互相平行，是射线上一点，且点不在直线，上，射线，分别是和的平分线． (1)如图，若点在线段上，试判断与的位置关系，并证明； (2)若点在线段的延长线上， （）中与的位置关系是否发生变化？并说明理由；（注：说理时不能使用没有学过的定理） 当时，若，分别是直线，上的动点，且，请画出符合条件的图形，并直接写出的度数． 【答案】(1)，见解析； (2)与的位置关系发生变化，，理由见解析；画图见解析，的度数为或． 【分析】（）由得，又射线，分别是和的平分线，知，，故，； （）反向延长射线交于，过作，由得，根据射线，分别是和的平分线，可得，而，有，，故，即，得； 分两种情况：当在左侧时，由，得，，而平分，可得，，又，故，可得；当在右侧时，同理可得，即可得，． 【详解】（1）解：， 证明： 如图： ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）解：与的位置关系发生变化，，理由如下： 反向延长射线交于，过作，如图， ∵， ∴， ∵射线，分别是和的平分线， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 当在左侧时，如图： ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 当在右侧时，如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或． 52．已知 ，在内有一条折线． (1)如图1，小明发现，他是这样思考的：过点作，…请你按照他的思路完成证明过程． (2)如图2，已知的平分线与的平分线相交于点． ①若，则_____； ②试探索与之间的数量关系，并说理理由； (3)如图3，若，请直接写出与之间的数量关系：_______． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】（1）根据平行线的性质得出，，结合图形即可证明； （2）①过P点作，根据平行线的性质证明，同理可得，再利用角平分线的定义，结合邻补角的性质求解即可；②利用①的结论直接求解即可； （3）由（2）可得：，，结合已知条件，根据邻补角的性质求解即可 ． 【详解】（1）证明：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：①过P点作，如图所示， ∵， ∴， ∴，， ∵， 即， 同理可得：， 分别为，的角平分线 ，， ∴ 故答案为：； ②，理由是： 由①可得， ∴； （3）解：，理由是： 由（2）可得：， ∵， ∴ ∴ ． 即 53．综合与实践课上，张老师让同学们以“平行线间的折拐”为主题开展数学活动． (1)观察发现 如图①，，点在直线、之间，连接、．若，，则的大小为__________度． (2)探究迁移 （Ⅰ）如图②，，，交于点，探究，，之间的数量关系，并说明理由． （Ⅱ）如图③，，若点在直线，之间，平分，平分，当时，直接写出的度数是__________． (3)拓展应用 如图④，，若在直线的上方，平分，平分，的反向延长线交于点，当时，直接写出的度数__________．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)（Ⅰ），理由见解析，（Ⅱ） (3) 【分析】（1）过点作直线，由平行线的性质容易得到； （2）（Ⅰ）过点作直线，利用平行线的性质可得，，由可得； （Ⅱ）由（1）可得，则，结合角平分线的性质可得，由（1）可得； （3）过点作直线，由平行线的性质可得，．设，则，，由角平分线的性质可得，，结合（2）的模型可知，将条件代入并化简即可得到结果． 【详解】（1）解：如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：（Ⅰ），理由如下： 如图，过点作直线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （Ⅱ）如图， 由（1）可得，，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图④，过点作直线， ∵， ∴， ∴，， 设，则， 又∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）可得，， ∴， 化简，得． 54．已知：如图1直线、被直线所截，． (1)求证：； (2)如图2，点在，之间的直线上，P、Q分别在直线、上，连接、，平分，平分，则和之间有什么数量关系，请直接写出结论； (3)如图3，在（2）的条件下，过点作交于点，连接，若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）首先证明，即可证得； （2）作，由平行线的性质得到，得到，同理可证：，然后结合角平分线的定义求解即可； （3）如图3中，设，，，则，由平行线的性质得到，然后推出，然后结合角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：如图1， ，， ， ； （2）解：． 理由：如图2中，作 同理可证： ，， ，， ∴； （3）解：如图3中，设，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $