专题03 方程（组）与不等式（组）（8大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题03 方程（组）与不等式（组） 8大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点04根据一元二次方程根的情况求参数 考点05一元二次方程的应用 考点06分式方程 考点07一元一次不等式 考点08一元一次不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·河南信阳·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据幻方各行、各列、对角线的和相等的性质，列出一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵幻方中各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等， 观察右上到左下的对角线，三个数和为：， ∴所有行、列、对角线的和均为 ， 又第一列三个数的和为：， ∴可得方程， 解得 ． 2．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 【答案】A 【分析】把代入，得出关于a的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得． 3．（2026·河南周口·一模）在一个温度变化的实验中，规定温度上升为正数、下降为负数．现有一个温度变化的实验数据记录，其中某一个时刻的温度变化情况可以用方程的解（单位：）来表示，则该时刻的温度变化情况是（    ） A．温度下降 B．温度下降 C．温度上升 D．温度上升 【答案】B 【分析】首先求出方程的解，再根据正负判断即可． 【详解】解： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵规定温度上升为正数，下降为负数，， ∴该时刻温度下降． 二元一次方程组 考点02 4．（2026·河南平顶山·一模）解方程组和不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得，解得． 把代入①，得，解得． 方程组的解为． （2）解： 由①，得， 由②，得． 不等式组的解集为． 5．（2026·河南信阳·一模）计算、解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据绝对值的性质、二次根式的化简运算法则、负整数指数幂的运算法则依次计算，最后计算实数的加减运算即可． （2）本题利用加减消元法将两式相减消去，得到，并代入①，得到． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， ①②，得：， 解得， 把代入①，得：， 解得， 原方程组的解为． 6．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，得出，，根据方程组的解都为正数，得出关于的不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解： 得：，解得 得：，解得 因为、都为正数，所以： 解得： 7．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 【答案】(1)型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元 (2)该公司有2种购进方案 【分析】（1）设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元，根据表格中的信息，列出方程组，解方程组即可； （2）设购进型号机器人个，型号机器人个，根据两种型号的机器人的价格之和为450元，列出方程，求方程的整数解即可． 【详解】（1）解：设型号机器人单价为万元，型号机器人单价为万元． 根据题意，得， 解得， 答：型号机器人的单价为60万元，型号机器人的单价为45万元． （2）解：设购进型号机器人个，型号机器人个． 根据题意，得． 整理，得： ， ∵为正整数， ∴或， ∴该公司有2种购进方案． 8．（2026·河南平顶山·一模）河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． (1)求，两种幼苗的单价； (2)该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 【答案】(1)种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元 (2)当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元 【分析】（1）设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）设采购种幼苗株，则种幼苗株，总费用为元，得出，根据购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，得出，根据一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设种幼苗的单价为元/株，种幼苗的单价为元/株， ∵购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元， ∴， 解得：， ∴种幼苗的单价为元，种幼苗的单价为元． （2）解：设总费用为元，采购种幼苗株，则种幼苗株， ∴， ∵购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍， ∴， 解得：， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为， ∴当分别购买，两种幼苗株、株时，总费用最少，最少总费用为元． 【点睛】本题是二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用及一次函数的应用，理解题意，正确得出方程组及不等式，掌握一次函数的性质是解题关键． 9．（2026·河南周口·一模）某合作社销售我省出产的“禹州钧瓷”和“开封汴绣”两种手工艺品．已知2件钧瓷工艺品和3件汴绣工艺品的售价之和为700元；4件钧瓷工艺品和5件汴绣工艺品的售价之和为1300元． (1)求两种工艺品每件的售价． (2)某公司计划从该合作社购买两种工艺品共12件，且汴绣工艺品的件数不超过钧瓷工艺品的件数．求该公司最少需花费多少元． 【答案】(1)每件钧瓷工艺品的售价为200元，每件汴绣工艺品的售价为100元； (2)该公司最少需花费1800元 【分析】（1）设每件钧瓷工艺品的售价为x元，每件汴绣工艺品的售价为y元，根据2件钧瓷工艺品和3件汴绣工艺品的售价之和为700元；4件钧瓷工艺品和5件汴绣工艺品的售价之和为1300元建立方程组求解即可； （2）设购买钧瓷工艺品m件，该公司的花费为w元，列出w关于m的关系式，再求出m的取值范围，最后根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设每件钧瓷工艺品的售价为x元，每件汴绣工艺品的售价为y元， 由题意得，， 解得， 答：每件钧瓷工艺品的售价为200元，每件汴绣工艺品的售价为100元； （2）解：设购买钧瓷工艺品m件，该公司的花费为w元， 由题意得，， ∵汴绣工艺品的件数不超过钧瓷工艺品的件数， ∴， ∴， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w有最小值，最小值为， 答：该公司最少需花费1800元． 10．（2026·河南洛阳·一模）洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． (1)求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ (2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？ 【答案】(1) 购进A种汉服每套元，B种汉服每套元； (2) 购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少． 【分析】（1）设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元，列出方程组并解方程组即可； （2）设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半列出不等式，求出的范围，再设花费元，结合（1）中单价，列出关系式，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设购进A种汉服每套x元，购进B种汉服每套y元，根据题意得： ， 解得：． 答：购进A种汉服每套元，购进B种汉服每套元． （2）解：设购进A种汉服a套，则购进B种汉服套，根据题意得： ， 解得， 设花费元，则， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，（套）， 答：购买A种汉服套，B种汉服套时花费最少． 11．（2026·河南周口·一模）第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ (2)若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元 (2)最多购进甲种纪念品70件 【分析】（1）设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元，列二元一次方程组计算即可； （2）设购进甲种纪念品m件，列一元一次不等式计算即可． 【详解】（1）解：设甲、乙两种纪念品每件的进价分别为x，y元， 由题意可得：， 解得， ∴甲、乙两种纪念品每件的进价分别为30元和20元． （2）解：设购进甲种纪念品m件， 由题意可列一元一次不等式：， 解得， ∴最多购进甲种纪念品70件． 12．（2026·河南平顶山·一模）某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元． (1)，两款机器人的单价分别为多少? (2)如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么?最省钱的购买方案需要多少资金? 【答案】(1)款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元 (2)购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元 【分析】（1）设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元，利用购买的价格购买的价格购买总价，列出方程组解答即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元，利用总费用购买的价格购买的价格列出表达式，再根据购买款的数量不超过款的两倍，得出取值范围即可解答． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，款机器人的单价为万元． 则， 解得：， 答：款机器人的单价为2万元，款机器人的单价3万元． （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，总费用为万元， 由题意得：， 又， 解得， ∵小于， ∴随着的增大而减小，故当时，有最小值，此时最小值为，此时， 答：购买10台款机器人，5台款机器人最省钱，最省钱费用为35万元． 13．（2026·河南南阳·一模）近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． (1)求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． (2)该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元 (2)经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元 【分析】（1）设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元，根据购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等列二元一次方程组求解即可； （2）设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元，根据题意得到购进“神舟”模型玩具个，求出的解析式，根据一次函数的性质可知当时，有最大值，进而计算即可． 【详解】（1）解：设“天宫”模型玩具的进货单价为元，“神舟”模型玩具的进货单价为元， 根据题意，得， 解得 答：“天宫”模型玩具的进货单价为80元，“神舟”模型玩具的进货单价为60元； （2）解：设购进个“天宫”模型玩具，经销商获利元． 由题意，知购进“神舟”模型玩具个． ． ， 随的增大而减小． ，且为整数， 当时，有最大值，最大值为 此时． 答：经销商购进30个“天宫”模型玩具，40个“神舟”模型玩具时获利最大，最大利润为900元． 14．（2026·河南郑州·一模）能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示： 能量 碳水化合物（克） 热量（千卡） 钠（毫克） 钾（毫克） A ？ 120 35 20 B ？ 90 40 15 (1)教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？ (2)依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带） 【答案】(1)每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克 (2)A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支，对应的碳水化合物总量为86克 【分析】（1）根据7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克列方程组求解即可； （2）根据运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克列不等式，再根据运动员可携带5支能量胶且A，B两种能量胶必须均携带求出x的整数值，即可得解． 【详解】（1）解：设每支A、B能量胶中各含有碳水化合物m克、n克， 依据题意得方程组， 解得， 答：每支A、B能量胶中各含有碳水化合物18克，14克； （2）解：设携带A种能量胶x支， 则， 解得：， 又x为整数，且A、B两种能量胶必须均携带， x只能取4， 故方案为：A种能量胶携带4支，B种能量胶携带1支； 对应的碳水化合物总量为：克． 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点03 15．（2026·河南信阳·一模）下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，方程有两个相等的实数根，计算各选项的判别式即可得到结果． 【详解】解：A．对于方程，，，， ∵， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意； B．对于方程，，，， ∵， 方程没有实数根，不符合题意； C．对于方程，，，， ∵， 方程有两个相等的实数根，符合题意； D．对于方程，， ∵， 方程有两个不相等的实数根，不符合题意． 16．（2026·河南南阳·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 【答案】A 【分析】先根据二次函数的图象与性质可得，，则可得，再根据一元二次方程根的判别式求解即可得． 【详解】解：由图象可得，， ∴ ∴， ∴， ∴ ∴对于方程， ∴方程的根的情况为有两个不相等的实数根． 17．（2026·河南许昌·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先将方程化为一元二次方程的一般形式，再计算判别式的值判断根的情况即可． 【详解】解：将方程化为一般形式，得， ，，， ， 该一元二次方程没有实数根． 18．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】A 【分析】计算判别式后分析其符号即可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴原方程有两个不相等的实数根． 19．（2026·河南周口·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据新定义将给定方程转化为标准一元二次方程，计算判别式即可判断根的情况． 【详解】解：根据新定义运算得， 整理为一元二次方程标准形式：， ， ∴方程无实数根． 20．（2026·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 21．（2026·河南新乡·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】先确定方程各项系数，计算判别式，根据判别式符号判断根的情况． 【详解】解：一元二次方程中， ，，， ， 又∵无论取任意实数，都有， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 22．（2026·河南许昌·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，其中根的判别式为，根据的值可以判断方程根的情况：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根，由此进行判断． 【详解】对于一元二次方程，展开得：，其中，，， 由可知，， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根． 23．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 【答案】B 【详解】解：一元二次方程 其中，，， ， 此一元二次方程没有实数根. 24．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．可能有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．不可能有一根为 D．一定没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，通过计算根的判别式的取值范围，结合判别式与根的情况的关系即可判断，再验证特殊情况排除错误选项． 【详解】∵方程是一元二次方程，，，， ∴. ∵无论取任意实数，， ∴， ∴方程一定有两个不相等的实数根，故B正确，A、D错误， 当时，方程变为，解得，，此时方程有一根为，故C错误， 故选：B． 25．（2026·河南平顶山·一模）关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】先将原方程整理为一般形式，再计算判别式的值，根据判别式即可判断根的情况． 【详解】解：将原方程整理为一元二次方程的一般形式得 ． ∵ ， ∴ 该一元二次方程没有实数根． 26．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（ ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判断，掌握判别式的计算公式和用法是解题关键． 先将方程化为一般形式，再计算判别式判断根的情况． 【详解】解：， 化简，得， ，，， ∵判别式， ∴方程有两个相等的实数根． 故选：B． 根据一元二次方程根的情况求参数 考点04 27．（2026·河南平顶山·一模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式，先列出需满足的条件：二次项系数不为0，且判别式，求出的取值范围，再逐一验证选项，选出符合条件的答案． 【详解】解： 方程是一元二次方程，且有两个不相等的实数根 ， ， ， 即的取值范围是且， 选项A： ，，且，满足取值范围， A项正确，符合题意； 选项B：， ，不满足， B项错误，不符合题意； 选项C：， ，不满足， C项错误，不符合题意； 选项D： ，，不满足 ， D项错误，不符合题意． 28．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，先根据方程有两个实数根得判别式非负，确定k的取值范围，再利用根与系数的关系表示两根之和与两根之积，代入已知条件求解k，最后舍去不符合范围的解即可． 【详解】解：∵ 方程有两个实数根 ∴ 解得 ， 由根与系数的关系可得 ， 由题意得，代入得： 整理，得， 解得或 ∵ ∴ 不符合要求，舍去 因此． 29．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 30．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程有实数根等价于根的判别式大于等于0，列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵ 一元二次方程有实数根， ∴根的判别式， 方程中，代入得， 即， 解得． 31．（2026·河南信阳·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】A 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，根据该性质列方程即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 判别式， 解得． 32．（2026·河南许昌·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A． B． C．0 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 33．（2026·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 【答案】 【详解】解：方程整理为一般式得， ∵方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 34．（2026·河南郑州·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，结合方程没有实数根的条件列出关于的不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， 整理得， 解得：． 一元二次方程的应用 考点05 35．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 【答案】(1)爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个 (2)这个增长率为 (3)还需3天就可交货完成此订单 【分析】（1）设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个，根据爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个，列出方程，解方程即可； （2）设小明每周的增长率为m，根据经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个，列出方程，解方程即可； （3）设还需n天就可交货完成此订单，根据需要完成3600个陶艺碗的订单，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是个， 根据题意得：， 解得：， ∴（个）． 答：爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量是100个，小明平均每天制作的陶艺碗的数量是50个． （2）解：设小明每周的增长率为m，根据题意得： ， 解得，（舍去）． 答：这个增长率为； （3）解：设还需n天就可交货完成此订单，因爸爸每天制作100个，小明每天制作72个，则： ， 解得：， 答：还需3天就可交货完成此订单． 36．（2026·河南洛阳·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 【答案】(1)； (2)元 【分析】（1）利用增长率公式建立方程：，其中为增长次数，这里第一周到第三周经过2次增长，代入数据求解即可； （2）根据“日利润=每单利润×日订单量”列方程，再结合“尽可能降低用户配送成本”的条件选择较低的配送费作为解． 【详解】（1）解：设该超市月份第一周到第三周订单量的周平均增长率为． 根据题意，得． 解得，(舍)． 答：该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率为． （2）解：设配送费用上涨元，则实际配送费为元，日订单量为单． 根据题意，得． 解得，． 要降低用户的配送成本， 每单实际配送费为(元)． 答：每单实际配送费应定为元． 37．（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)7 (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由见解析 【分析】（1）根据月历的特点列式即可； （2）设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案； （3）设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为，根据题意可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为； （2）解：设圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， ∴这4个数中最小的数为7； （3）解：方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269，理由如下： 设圈出的4个数中最小的数为m，则其他三个数分别为， ∵方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和为269， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或， 解得或（舍去）， 当，即圈出的最小的数为11时，结合月历可知，此时不能圈出对应的四个数， ∴方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和不能为269． 38．（2026·河南周口·一模）从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路．某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克．设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________． 【答案】 【分析】根据“从2025年到2027两年间，把某种产品的产量由150万千克提高到216万千克”列方程即可得解． 【详解】解：设每年草莓鲜果产量的增长率为， 根据题意得． 分式方程 考点06 39．（2026·河南周口·一模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， 两边同乘最简公分母，得， 移项得 ， 检验：当时，，满足分母不为0的要求， ∴原分式方程的解为． 40．（2026·河南周口·一模）在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ． 41．（2026·河南焦作·一模）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（）先分别计算立方根、平方根、负指数幂，再将三项结果相加即可； （）先去分母，将分式方程化为整式方程，再求解整式方程，最后检验所得的根是否为增根． 【详解】（1）解： ； （2）解： 去分母，得， 展开并整理：， 解得：， 检验：将代入原方程分母，，，分母均不为， ∴是原方程的解． 42．（2026·河南驻马店·一模）计算、解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的性质分别进行计算，再进行加减运算，即可解题； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后再解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 解得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 43．（2026·河南商丘·一模）今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设村平均每小时植树棵，则村平均每小时植树棵，根据“A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同”即可列出方程． 【详解】解：设村平均每小时植树棵， ∵两个村平均每小时共植树棵， ∴村平均每小时植树棵， 又∵A村植树64棵与B村植树56棵所用时间相同， ∴村用时为，村用时为， 因此可列方程． 44．（2026·河南周口·一模）我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多2秒．已知一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍． (1)求该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，苹果双臂采摘机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比原来减少了a秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作（效率提升一倍），它与一个采摘工人同时工作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a，m的式子表示） 【答案】(1)该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒 (2)该机器人比工人多采摘个苹果 【分析】（1）设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒，一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍，再建立方程求解即可． （2）列式进行运算即可求得答案． 【详解】（1）解：设该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为x秒，则工人采摘一个苹果平均所用的时间为秒． 根据题意，可列方程． 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． 答：该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间为5秒． （2）解：（个）． 答：该机器人比工人多采摘个苹果． 一元一次不等式 考点07 1．（2026·河南信阳·一模）不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 【答案】A 【分析】求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，进而求得k的值． 【详解】解：由，解得； 由，解得． 由图象知不等式组的解集为， 则， ∴． 2．（2026·河南南阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先分别求出两个不等式的解集，然后求出不等式组解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解∶解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式的解集为， 在解集上表示为∶ ． 3．（2026·河南信阳·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． (1)求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 【答案】(1) 每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． (2) 最节省费用的购买方案是购买篮球20个，排球40个，最少费用为7000元． 【分析】（1）根据题干给出的两个等量关系，列出二元一次方程组求解即可得到两种球的单价； （2）设购买篮球的个数，得到总费用关于篮球个数的一次函数，再根据题干给出的不等关系求出自变量的取值范围，利用一次函数的增减性即可求出最小费用和对应的购买方案． 【详解】（1）解：设每个篮球的价格为x元，每个排球的价格为y元，根据题意可得 ， 解得：， 答：每个篮球的价格是150元，每个排球的价格是100元． （2）解：设购买篮球m个，总费用为W元，则购买排球个，其中m为正整数， ∴ ，，， ∴ ，m为正整数， ∴总费用 ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当m取最小值20时，W取得最小值，此时（元），个， 答：最节省费用的购买方案是购买篮球20个，购买排球40个，最少费用是7000元． 4．（2026·河南驻马店·一模）每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． (1)分别求七巧板和数独棋的单价． (2)若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 【答案】(1)七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． (2)数独棋最多能购买20副． 【详解】（1）解：设七巧板和数独棋的单价分别为元，元 根据题意得， 解得：， 答：七巧板和数独棋的单价分别为10元，25元． （2）解：设数独棋购买的数量为副， 根据题意得：， 解得， 的最大值为20． 答：数独棋最多能购买20副． 5．（2026·河南新乡·一模）为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． (1)求A，B两款草莓每箱的售价； (2)若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 【答案】(1)A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元 (2)该单位最少需花费2000元 【分析】（1）根据题干给出的两种购买总价的条件，设未知数列出二元一次方程组，求解即可得到两款草莓的售价． （2）先根据A款箱数不超过B款箱数的条件确定自变量取值范围，再列出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性即可求出最少花费． 【详解】（1）解：设A款草莓每箱售价x元，B款草莓每箱售价y元． 根据题意得，解得 答：A款草莓每箱售价80元，B款草莓每箱售价120元． （2）解：设购买A款草莓m箱，总花费为W元，则购买B款草莓箱． 根据题意得 解得，其中m为非负整数． ， ∵ ∴W随m的增大而减小， 当m取最大值10时，W取得最小值， 答：该单位最少需花费2000元． 6．（2026·河南许昌·一模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排20个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量26千卡；第二组安排30个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量44千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个15分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时6秒，每个开合跳用时3秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 【答案】(1)小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量 (2)小亮安排100个深蹲消耗的热量最多 【分析】（1）设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设小亮安排m个深蹲，则安排个开合跳，根据“深蹲的数量不少于开合跳的数量”求得m的范围，设消耗的总热量为W，根据题意得到关于m的一次函数，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设小亮每做一个深蹲消耗千卡的热量，一个开合跳消耗千卡的热量， 根据题意，得， 解得， 答：小亮每做一个深蹲消耗0.8千卡的热量，一个开合跳消耗0.5千卡的热量； （2）解：设小亮安排m个深蹲，则安排个开合跳， 根据题意，得， 解得． 设消耗的总热量为W， 根据题意，得， ， ∴W随m的增大而减小， ∴当时，W取得最大值． 答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多． 7．（2026·河南平顶山·一模）2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． (1)求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． (2)若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元． (2)购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 【分析】（1）根据“购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元”列方程组求解； （2）设A型冰箱贴购进a套（a为整数），根据“总费用不超过2600元”列不等式求出a的取值范围，设销售利润为w元，求出，然后根据一次函数的性质求解． 【详解】（1）解：设A型冰箱贴购进单价为x元，B型冰箱贴购进单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：A型冰箱贴购进单价为40元，B型冰箱贴购进单价为45元； （2）解：设A型冰箱贴购进a套（a为整数），则B型冰箱贴购进套， 根据题意，得， 解得， 又， ∴， ∴， 设销售利润为w元， 根据题意，得， ∵， ∴w随a的增大而减小， 又， ∴当时，w有最大值，最大值为，此时， ∴购进A型冰箱贴20套，B型冰箱贴40套时可获得最大利润，最大利润为1000元． 8．（2026·河南周口·一模）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，某校食堂一天的营养午餐如下． 菜品名称 土豆炖排骨 青椒肉丝 清炒西兰花 米饭 水果 食物种类 土豆、排骨 青椒、肉丝 西兰花 有机大米 苹果 排骨 肉丝 蛋白质（g） 脂肪（g） (1)午餐中的蛋白质和脂肪主要来自排骨、肉丝，每克排骨、肉丝中的蛋白质和脂肪含量如表所示．按配餐要求推算，一人份午餐中排骨与肉丝提供的蛋白质、脂肪质量应分别为，，求这天一人份午餐所需要的排骨与肉丝的质量分别是多少克； (2)按配餐要求，一人份午餐中青椒和西兰花的质量共．已知每克青椒与西兰花分别含有的膳食纤维，出于营养考虑，青椒的质量不超过西兰花质量的一半，青椒与西兰花的质量分别为多少时，这两种蔬菜的膳食纤维的总含量最高？ 【答案】(1)这天一人份午餐所需要的排骨与肉丝的质量分别是 (2)青椒与西兰花的质量分别为时这两种蔬菜的膳食纤维的总含量最高 【分析】（1）列二元一次方程组进行求解； （2）根据题意，列出一次函数解析式，然后求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的性质进行求解． 【详解】（1）解：设这天一人份午餐所需要的排骨与肉丝的质量分别是，， 根据题意，得 解得 答：这天一人份午餐所需要的排骨与肉丝的质量分别是； （2）解：设青椒的质量为，则西兰花的质量为，这两种蔬菜的膳食纤维的总含量为． 依题意，得 ， ， ， 当时，取得最大值， ， 即青椒与西兰花的质量分别为时这两种蔬菜的膳食纤维的总含量最高． 一元一次不等式组 考点08 9．（2026·河南周口·一模）写出一个满足不等式组的整数___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再得到不等式组的解集，最后找出解集中的整数即可得到结果． 【详解】解： 由①得：，解得， 由②得：，解得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为，，，，， ∴写出一个满足不等式组的整数可以为（答案不唯一）． 10．（2026·河南·一模）不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再确定不等式组的公共解集，最后找出解集内的整数，统计个数即可得到答案 【详解】解：解不等式， ， ， 解不等式， ， 则不等式组的解集为， 该范围内的整数为，共3个 11．（2026·河南洛阳·一模）不等式组的最小整数解为______． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式，再找出两个解集的公共部分得到不等式组的解集，即可找出最小整数解． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为， 不等式组的最小整数解为． 12．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为_______． 【答案】 【分析】先分别求解两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分，即可得到不等式组的解集． 【详解】解∶解不等式，得， ∴不等式组的解集为． 13．（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解出已知不等式的解集，再根据一元一次不等式组无解的条件，即两个不等式的解集没有公共部分，判断选项即可． 【详解】解：∵， 移项得：， ∴， ∵不等式组无解，即：另一个不等式的解集需要和没有公共部分， A、 与没有公共部分，不等式组无解，符合题意； B、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； C、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意； D、 与公共部分为，不等式组有解，不符合题意． 14．（2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先分别解两个不等式，再根据“大大小小无解”确定m的取值范围，最后结合选项判断即可． 【详解】解：解不等式，得； 解不等式，得； ∵不等式组无解， ∴， ∴． 结合选项，只有A选项满足． 15．（2026·河南郑州·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 【答案】3（答案不唯一） 【分析】根据求不等式组解集的规律：同大取大，可确定a的取值范围，在这个范围任取一个数即可． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴得， 取满足题意． 16．（2026·河南新乡·一模）不等式组的最大整数解为___________． 【答案】0 【分析】先求出一元一次不等式组的解集，再在解集范围内找出最大整数即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 因此不等式组的最大整数解为． 17．（2026·河南许昌·一模）不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴解集为． 18．（2026·河南平顶山·一模）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数 偏右数，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的应用，根据题意可列出一元一次不等式组，求解即可． 【详解】根据题意，得 解不等式，得 ． 解不等式，得 ． 所以该不等式组的解集为． 故选：C． 19．（2026·河南信阳·一模）不等式组的整数解的和为___________． 【答案】 【分析】分别求两个不等式的解集，进而求得整数解，再求和，即可求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为： ∴整数解为，， ，，，，，，，，，，， 整数解的和为． 20．（2026·河南周口·一模）关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 【答案】 【详解】解：关于的不等式组的解集为， 不等式组恰好有两个整数解， 这两个整数解为、， 21．（2026·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 【答案】(1)② (2)种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元 (3)应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个 【分析】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析与的含义，结合选项判断被覆盖的条件． （2）设、两种品牌足球的单价分别为元、元，根据“品牌单价比品牌高元”和“购买个、个共花费元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价． （3）设购买品牌足球个，则购买品牌足球个，根据“总费用不超过元”和“品牌数量不少于个”列一元一次不等式组，求解得到的取值范围，结合为正整数确定所有购买方案，再分别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【详解】（1）解：设种品牌足球的单价为元， 方程中，表示种品牌足球的单价， 种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元， 故被覆盖的条件为②． （2）解：设种品牌足球的单价为元，种品牌足球的单价为元， 根据题意，得， 解得， 答：种品牌足球的单价为元．种品牌足球的单价为元； （3）解：设购买种品牌的足球个，则购买种品牌的足球个， 依题意，得， 解得， 又∵为正整数， ∴可以为，，， ∴共有种购买方案， 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； 方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，所需总费用为（元）； ∵， ∴为了节约资金，学校应选择方案：购买种品牌的足球个，种品牌的足球个． 22．（2026·河南三门峡·一模）随着新能源汽车保有量的快速增长，商场充电桩的市场需求持续增加，某商场为提升服务体验和增加收入，计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元． (1)求该商场新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需要多少万元． (2)若该商场计划新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍，应如何新建充电桩使得总费用最少？ 【答案】(1)新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元 (2)应新建地上充电桩20个，地下充电桩40个，此时总费用最少 【分析】（1）设新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元，根据“新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元”建立二元方程组求解即可； （2）设新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩，总费用为万元，先根据“地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍”建立不等式求出的取值范围，再建立关于的一次函数关系式，再由一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元． 由题意，得 解得 答：新建1个地上充电桩需要万元，新建1个地下充电桩需要万元． （2）解：设新建个地上充电桩，则新建个地下充电桩，总费用为万元． 则，解得． 由题意，得， ∵， ∴随的增大而减小． ∴当时，取得最小值，此时． 答：应新建地上充电桩20个，地下充电桩40个，此时总费用最少． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 方程（组）与不等式（组） 8大考点概览 考点01一元一次方程 考点02二元一次方程组 考点03根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点04根据一元二次方程根的情况求参数 考点05一元二次方程的应用 考点06分式方程 考点07一元一次不等式 考点08一元一次不等式组 一元一次方程 考点01 1．（2026·河南信阳·一模）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图．如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中a的值为（    ） 7 a 3 1 A．6 B．3 C．0 D． 2．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元一次方程的解为，则a的值为（   ） A． B．6 C． D． 3．（2026·河南周口·一模）在一个温度变化的实验中，规定温度上升为正数、下降为负数．现有一个温度变化的实验数据记录，其中某一个时刻的温度变化情况可以用方程的解（单位：）来表示，则该时刻的温度变化情况是（    ） A．温度下降 B．温度下降 C．温度上升 D．温度上升 二元一次方程组 考点02 4．（2026·河南平顶山·一模）解方程组和不等式组： (1)； (2)． 5．（2026·河南信阳·一模）计算、解方程组： (1)； (2)． 6．（2026·河南商丘·一模）若关于，的二元一次方程组的解都为正数，则的取值范围为______． 7．（2026·河南周口·一模）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递公司为提高工作效率，拟购买两种型号的智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 型号机器人台数 型号机器人台数 总费用（单位：万元） 1 3 195 2 1 165 (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)若某公司恰好用450万元购进两种型号的机器人若干（两种型号机器人均购买），求该公司共有几种购进方案． 8．（2026·河南平顶山·一模）河南南阳是中国月季之乡．某花店计划在南阳购买，两种月季幼苗培育盆栽．已知购买株种幼苗和株种幼苗共需元，购买株种幼苗和株种幼苗共需元． (1)求，两种幼苗的单价； (2)该花店计划购买两种幼苗共株，其中购买种幼苗的株数不多于种幼苗株数的倍，当分别购买，两种幼苗多少株时，总费用最少？并求出最少总费用． 9．（2026·河南周口·一模）某合作社销售我省出产的“禹州钧瓷”和“开封汴绣”两种手工艺品．已知2件钧瓷工艺品和3件汴绣工艺品的售价之和为700元；4件钧瓷工艺品和5件汴绣工艺品的售价之和为1300元． (1)求两种工艺品每件的售价． (2)某公司计划从该合作社购买两种工艺品共12件，且汴绣工艺品的件数不超过钧瓷工艺品的件数．求该公司最少需花费多少元． 10．（2026·河南洛阳·一模）洛阳以古都历史文化为底蕴，通过一系列活动正吸引越来越多的游客来一场古今穿越之旅，某单位计划购进A，B两种汉服，若购进2套A种汉服与1套B种汉服共需560元；购进3套A种汉服与2套B种汉服共需920元． (1)求购进A种汉服和B种汉服每套各多少元？ (2)若该单位因举办活动需要购进A，B两种汉服共21套，要求买A种汉服的数量不少于B种汉服数量的一半，怎样购买花费最少？ 11．（2026·河南周口·一模）第二十七届哈尔滨冰雪大世界于2025年12月17日开园，位于哈市中央大街的某商店销售甲、乙两种纪念品．该商店购进两种纪念品的信息如下：购进甲种纪念品3件、乙种纪念品2件共需130元；购进甲种纪念品5件、乙种纪念品4件共需230元． (1)求甲、乙两种纪念品每件的进价各是多少元？ (2)若该商店计划购进两种纪念品共100件，所花费用不超过2700元，则该商店最多购进甲种纪念品多少件？ 12．（2026·河南平顶山·一模）某公司计划采购一批智能机器人，共有，两款．如果购买5台款机器人和4台款机器人，则一共花费22万元；如果购买3台款机器人和8台款机器人，则一共花费30万元． (1)，两款机器人的单价分别为多少? (2)如果该公司计划购买，两款机器人共15台（两款都要买），且购买款的数量不超过款的两倍，那么最省钱的购买方案是什么?最省钱的购买方案需要多少资金? 13．（2026·河南南阳·一模）近年来，我国航天事业取得了举世瞩目的成就，点燃了广大青少年对航天的热情．某经销商看准商机，迅速推出“天宫”和“神舟”两款模型玩具．已知购进1个“天宫”模型玩具的费用比购进1个“神舟”模型玩具的费用多20元；购进30个“天宫”模型玩具的费用与购进40个“神舟”模型玩具的费用相等． (1)求“天宫”和“神舟”两款模型玩具的进货单价． (2)该经销商计划用4800元购进这两款模型玩具，且购进“天宫”模型玩具的数量不低于30个．已知每个“天宫”模型玩具的售价为90元，每个“神舟”模型玩具的售价为75元，该经销商如何进货才能获利最大，最大利润为多少？ 14．（2026·河南郑州·一模）能量胶是长跑运动员常用的补给品，能快速为身体补充碳水化合物、电解质等，及时缓解疲劳，维持运动表现，助力运动员完成长距离赛事．某长跑团队为运动员准备了A、B两种能量胶，每种能量胶的营养成分如表所示： 能量 碳水化合物（克） 热量（千卡） 钠（毫克） 钾（毫克） A ？ 120 35 20 B ？ 90 40 15 (1)教练发现7支A能量胶和9支B能量胶中的碳水化合物含量相同，每支A能量胶的碳水化合物含量比B能量胶多4克，每支A、B能量胶中各含有碳水化合物多少克？ (2)依据运动营养学建议，运动员单次长距离训练前补充碳水化合物总量不低于85克．在某次长距离训练前，运动员可携带5支能量胶，为符合标准，应如何安排携带方案？并求出对应的碳水化合物总量．（注：A，B两种能量胶必须均携带） 根据判别式判断一元二次方程根的情况 考点03 15．（2026·河南信阳·一模）下列四个方程中，有两个相等的实数根的是（    ） A． B． C． D． 16．（2026·河南南阳·一模）二次函数的图象如图所示，则方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．可能只有一个实数根 17．（2026·河南许昌·一模）一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 18．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 19．（2026·河南周口·一模）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 20．（2026·河南郑州·一模）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有一个实数根 D．没有实数根 21．（2026·河南新乡·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 22．（2026·河南许昌·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 23．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．无法确定 24．（2026·河南周口·一模）关于的一元二次方程根的情况，下列判断正确的是（   ） A．可能有两个相等的实数根 B．一定有两个不相等的实数根 C．不可能有一根为 D．一定没有实数根 25．（2026·河南平顶山·一模）关于一元二次方程的根的情况，下列判断正确的是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 26．（2026·河南·一模）一元二次方程的根的情况是（ ）． A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 根据一元二次方程根的情况求参数 考点04 27．（2026·河南平顶山·一模）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的值可以是（   ） A． B． C． D． 28．（2026·河南周口·一模）已知关于x的方程有两个实数根且 则k的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．3 29．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 30．（2026·河南周口·一模）已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 31．（2026·河南信阳·一模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（   ） A．2 B．0 C． D． 32．（2026·河南许昌·一模）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数m的值为（   ） A． B． C．0 D．3 33．（2026·河南平顶山·一模）若关于的一元二次方程 有两个相等的实数根，则的值为______． 34．（2026·河南郑州·一模）若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为______． 一元二次方程的应用 考点05 35．（2026·河南信阳·一模）暑假，小明随爸爸在自己家的作坊制作陶艺碗，小明发现，爸爸3天时间制作的陶艺碗的数量比自己4天时间制作的数量多100个．核查发现爸爸平均每天制作的陶艺碗的数量比小明多50个． (1)求爸爸和小明平均每天制作陶艺碗的数量分别是多少个？ (2)小明虚心学习陶艺技术，经过两周，平均每天制作的陶艺碗的数量增加到了72个．若每周的增长率相同，求这个增长率； (3)小明家接到了3600个陶艺碗的订单，而小明家目前库存3084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起努力，还需几天可交货完成此订单． 36．（2026·河南洛阳·一模）根据以下素材，完成任务． 素材1：优优生鲜超市月份在某配送平台开展外送服务．已知该超市月份第一周在该配送平台完成订单单，月份第三周完成订单单． 素材2：该配送平台每单的配送成本为4元，当每单配送费定为8元时，日订单量为单；若配送费每提高1元，日订单量将减少单． 问题解决 任务： (1)求该超市月份第一周到第三周在该配送平台的订单量的周平均增长率； (2)为使在该配送平台日利润达到元，且尽可能降低用户的配送成本，则每单实际配送费应定为多少元？ 37．（2026·河南周口·一模）如图，这是一张2026年1月的月历表．在此月历表上可以用一个正方形框任意圈出4个数（如2，3，9，10）． (1)若圈出的4个数中最小的数为，则最大的数为　　　　　　．（用含的代数式表示） (2)若圈出的4个数中最大的数与最小的数的乘积为105，求这4个数中最小的数． (3)方框中最大的数与最小的数的乘积与这四个数的和能为269吗？若能，请直接写出最小的数；若不能，请说明理由． 38．（2026·河南周口·一模）从黄河滩区的标准化大棚，到唐店村的品牌化实践，河南草莓产业正走出一条“科技育种规范种植品牌赋能”的高质量发展之路．某村2025年产草莓鲜果150万千克，假设从2025年到2027年，每年草莓鲜果产量的增长率相同，预计2027年的产量为216万千克．设每年草莓鲜果产量的增长率为，则可列方程：___________． 分式方程 考点06 39．（2026·河南周口·一模）分式方程的解为（   ） A． B． C． D． 40．（2026·河南周口·一模）在解分式方程时，去分母后所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 41．（2026·河南焦作·一模）计算： (1)计算：； (2)解方程：． 42．（2026·河南驻马店·一模）计算、解方程： (1)计算：． (2)解方程：． 43．（2026·河南商丘·一模）今年8月，郑州市发布第5号总河长令，全面发力幸福河湖建设，提出深入落实河南省建设幸福黄河三年行动．为响应这次行动，黄河岸边A，B两个村的村民开展植树造林活动，已知A村植树64棵与B村植树56棵所用的时间相同，两个村平均每小时共植树15棵．求A村平均每小时植树多少棵？设A村平均每小时植树x棵，则下面所列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 44．（2026·河南周口·一模）我国西北农林科技大学自主研发的苹果双臂采摘机器人（“双臂”指一个机器人安装两个机械手）在瞬间识别、单果速摘、无损采摘中，诠释着科技赋能的力量．经测试，该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比采摘工人采摘一个苹果平均所用的时间多2秒．已知一个工人用720秒采摘苹果的个数是该机器人的一个机械手用600秒采摘苹果个数的2倍． (1)求该机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间； (2)经科研人员研发改进，苹果双臂采摘机器人的一个机械手采摘一个苹果平均所用的时间比原来减少了a秒（）．若该机器人双臂（两个机械手）同时工作（效率提升一倍），它与一个采摘工人同时工作m秒，则该机器人比工人多采摘多少个苹果？（列式并计算，结果用含a，m的式子表示） 一元一次不等式 考点07 1．（2026·河南信阳·一模）不等式组的解集如图所示，则k的值为（    ） A．8 B．4 C．2 D． 2．（2026·河南南阳·一模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南信阳·一模）为贯彻落实健康第一的指导思想，切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，提高体质健康水平．某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质．已知购买2个篮球与购买3个排球需要的费用相等，购买2个篮球和5个排球共需800元． (1)求每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共60个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的2倍．请给出最节省费用的购买方案，并求出最少的费用． 4．（2026·河南驻马店·一模）每年的3月14日为国际数学日，为庆祝国际数学日，某校计划到文具店购买数学益智玩具七巧板和数独棋，已知购买3副七巧板和2副数独棋需要80元，购买5副七巧板和4副数独棋需要150元． (1)分别求七巧板和数独棋的单价． (2)若该校计划购买这两种益智玩具共50副，且购买经费不超过800元，则数独棋最多能购买多少副？ 5．（2026·河南新乡·一模）为落实乡村振兴战略，助力农业产业升级，某县电商助农平台推出本地特色水果A，B两款有机草莓．已知购买2箱A款草莓和3箱B款草莓共需520元；购买5箱A款草莓和2箱B款草莓共需640元． (1)求A，B两款草莓每箱的售价； (2)若某单位开展“助农消费”活动，计划购买A，B两款草莓共20箱，且A款草莓的箱数不超过B款草莓的箱数，求该单位最少需花费多少元． 6．（2026·河南许昌·一模）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排20个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量26千卡；第二组安排30个深蹲，40个开合跳，健身软件显示消耗热量44千卡． (1)小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？ (2)小亮想设计一个15分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时6秒，每个开合跳用时3秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？ 7．（2026·河南平顶山·一模）2025 年河南文旅市场消费持续火爆，热度领跑全国，龙门石窟、云台山等文创周边冰箱贴深受大家喜爱．某商家计划购进A，B两种类型的冰箱贴共60套进行销售，若购进5套A型冰箱贴和3套B型冰箱贴共需335元，若购进2套A 型冰箱贴和1套B型冰箱贴共需125元． (1)求 A，B两种类型冰箱贴的购进单价分别是多少元． (2)若该商家计划购进这批冰箱贴所花的总费用不超过2600元，且A 型冰箱贴的售价定为50元/套，B型冰箱贴的售价定为65元/套．要使这批冰箱贴全部售完时商家能获得最大利润，请你帮助商家设计购进方案，并求出最大利润． 8．（2026·河南周口·一模）2026年5月20日是第37个中国学生营养日，某校食堂一天的营养午餐如下． 菜品名称 土豆炖排骨 青椒肉丝 清炒西兰花 米饭 水果 食物种类 土豆、排骨 青椒、肉丝 西兰花 有机大米 苹果 排骨 肉丝 蛋白质（g） 脂肪（g） (1)午餐中的蛋白质和脂肪主要来自排骨、肉丝，每克排骨、肉丝中的蛋白质和脂肪含量如表所示．按配餐要求推算，一人份午餐中排骨与肉丝提供的蛋白质、脂肪质量应分别为，，求这天一人份午餐所需要的排骨与肉丝的质量分别是多少克； (2)按配餐要求，一人份午餐中青椒和西兰花的质量共．已知每克青椒与西兰花分别含有的膳食纤维，出于营养考虑，青椒的质量不超过西兰花质量的一半，青椒与西兰花的质量分别为多少时，这两种蔬菜的膳食纤维的总含量最高？ 一元一次不等式组 考点08 9．（2026·河南周口·一模）写出一个满足不等式组的整数___________． 10．（2026·河南·一模）不等式组的整数解有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 11．（2026·河南洛阳·一模）不等式组的最小整数解为______． 12．（2026·河南平顶山·一模）不等式组的解集为_______． 13．（2026·河南三门峡·一模）请从下列选项中选择一个不等式，使其与不等式组成的不等式组无解，则应该选择（   ） A． B． C． D． 14．（2026·河南郑州·一模）已知关于x的不等式组无解，则m的值可能为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 15．（2026·河南郑州·一模）不等式组的解集为，请你写出一个符合条件的a的值：______． 16．（2026·河南新乡·一模）不等式组的最大整数解为___________． 17．（2026·河南许昌·一模）不等式组的解集是________． 18．（2026·河南平顶山·一模）对于实数对，定义偏左数为，偏右数为．已知实数对的偏左数 偏右数，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 19．（2026·河南信阳·一模）不等式组的整数解的和为___________． 20．（2026·河南周口·一模）关于的不等式组，恰好有两个整数解，则的取值范围是___________． 21．（2026·河南周口·一模）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买种品牌的足球个，种品牌的足球个，共花费元，已知，求，两种品牌足球的单价各多少元？ 【情境引入】 小明通过查看例题的解析发现：“设种品牌足球的单价为元，则列出一元一次方程： ”． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是________（填序号）； ①种品牌足球的单价比种品牌足球的单价低元； ②种品牌足球的单价比种品牌足球的单价高元； (2)小军看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求，两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进，两种品牌的足球个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，种品牌的足球单价打折，种品牌的足球单价优惠元．若此次学校购买，两种品牌足球的总费用不超过元，且购买种品牌的足球不少于个，请通过计算，设计一种符合购买要求且节约资金的购买方案． 22．（2026·河南三门峡·一模）随着新能源汽车保有量的快速增长，商场充电桩的市场需求持续增加，某商场为提升服务体验和增加收入，计划新建地上和地下两类充电桩，已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩共需万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩共需2万元． (1)求该商场新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需要多少万元． (2)若该商场计划新建60个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩的2倍，应如何新建充电桩使得总费用最少？ 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $