专题04 一次函数与反比例函数（7大考点）（河南专用）2026年中考数学一模分类汇编

专题04 一次函数与反比例函数 7大考点概览 考点01一次函数 考点02一次函数的应用 考点03反比例函数的性质 考点04求反比例函数解析式 考点05反比例函数与一次函数综合 考点06实际问题与反比例函数 考点07反比例函数与几何综合 一次函数 考点01 1．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，如果将一次函数的图象向右平移5个单位，得到一个正比例函数图象，则m的值为________． 【答案】5 【分析】根据“左加右减”的平移规律得到平移后的函数解析式，再根据正比例函数的定义，令常数项为，即可求解的值． 【详解】解：将一次函数的图象向右平移个单位后的函数的解析式为， ∵平移后得到一个正比例函数的图象， ∴，解得． 2．（2026·河南周口·一模）已知一次函数，若，则关于“该函数图象经过的象限”的推理正确的是（    ） A．，图象从左到右上升；，图象与轴交于负半轴，故图象经过一、三、四象限 B．取特殊值，图象经过，，故图象经过一、三、四象限 C．经过一、三象限，经过二、四象限，故图象经过一、二、三、四象限 D．无法确定，需结合具体的值判断 【答案】A 【分析】根据和的几何意义即可判断推理是否正确． 【详解】解：A、对于一次函数， 时，随增大而增大，图象从左到右上升， ∵是图象与轴的交点的纵坐标， ∴时，图象与轴交于负半轴，可得图象经过一、三、四象限，故选项符合题意； B、通过单个特殊函数推导一般结论，推理逻辑不一定成立，故选项不符合题意； C、错误理解的意义，得出错误结论，故选项不符合题意； D、根据和的符号即可确定图象经过的象限，不需要具体数值，故选项不符合题意； 3．（2026·河南周口·一模）若一次函数 的图象经过原点，则m的值为（    ） A．2 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题结合一次函数的定义和函数图象过原点的条件求解参数，需要注意一次函数的一次项系数不能为0． 【详解】解：∵一次函数的图象经过原点 ∴将代入解析式得 解得 又∵一次函数的一次项系数不为0 ∴，即 ∴． 4．（2026·河南商丘·一模）将一次函数的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式为______． 【答案】 【分析】一次函数图象平移的规律：上加下减． 【详解】解：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象对应的函数表达式为，即． 5．（2026·河南周口·一模）在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（　　） A．当时，随的增大而减小 B．当时， C．当时，有最大值 D．当时， 【答案】C 【分析】掌握数形结合思想是解题的关键，根据函数图象，依次进行判断，即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，随的增大先增大后减小，故A选项错误，不符合题意； B、由图象可知，抛物线经过点和， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； C、∵ 抛物线经过点和， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，故C选项正确，符合题意； D、当时，设， 将，代入得： ， 解得， ∴ ， 当时，， 解得， 故D选项错误，不符合题意． 故选：C． 6．（2026·河南周口·一模）已知点在一次函数的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】根据一次函数解析式得到比例系数k的值，利用一次函数的性质判断y随x的变化趋势，比较两点横坐标的大小即可得到与的大小关系． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点，在该一次函数图象上，且， ∴． 7．（2026·河南平顶山·一模）请写出一个经过点，且随的增大而增大的一次函数表达式__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数经过点可得截距，由随的增大而增大可得斜率，取满足条件的即可得到符合要求的一次函数表达式． 【详解】解：设符合题意的一次函数表达式为. ∵函数图象经过点， ∴，即. 又∵随的增大而增大， ∴. ∴当时满足题意，则函数表达式为. 8．（2026·河南周口·一模）已知一次函数的图象经过点和，则该函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法确定一次函数解析式．将已知两点坐标代入一次函数解析式，解方程组得到与的值，即可确定出函数解析式． 【详解】解：一次函数的图象经过点和， 将两点坐标代入解析式，得， 解得， 该一次函数的解析式为． 9．（2026·河南周口·一模）已知一次函数的图象经过点和． (1)求该一次函数的解析式； (2)若点在该函数图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）将点代入，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过点和， ， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：把点代入， 则， 解得． 一次函数的应用 考点02 10．（2026·河南南阳·一模）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图．乙槽中放置一个圆柱形玻璃块（玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上），现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度与注水时间之间的关系如图②所示． (1)注水前乙槽中水深________，玻璃块的高度为________； (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间； (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)2，14 (2)当甲乙水深相同时，注水时间为2分钟 (3) 【分析】（1）注水过程与函数图象结合，可知折线是乙槽中水位的变化情况，观察图象即可得注水前乙槽中水深 为，玻璃块的高度为； （2）求甲、乙水槽水位相同的注水时间，即是求线段与线段交点的横坐标，求出解析式，联立求交点即可； （3）根据函数图象，得出答案即可． 【详解】（1）解：由题意可知，乙槽在注入水的过程中，水的高度不断增加，当水位达到玻璃块顶端时，高度变化情况又同前面不同， 折线表示的是乙槽的水深与注水时间的关系； 注水前乙槽中水深 为，折线拐角处表示深度有所变化， 此时表示水位达到玻璃块顶端即玻璃块的高度为． （2）解：如图， 设的解析式为， 将点代入得： ，解得， 的解析式为， 设的解析式为，将点代入得： ， 解得， 的解析式为， ， 解得， 答：注水时，甲、乙两个水槽中水深相同． （3）解：根据函数图象可得：当时，乙水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象在甲水槽中水的深度与注水时间之间的函数图象的上面，所以乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，的取值范围为． 11．（2026·河南平顶山·一模）某品牌储水机的容量是升，当加水加满时，储水机会自动停止加水．已知加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的图象如图所示，加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系为：．下列结论错误的是（   ） A．加冷水前，储水机内的水量为升 B．加冷水前，储水机内水的温度为 C．储水机中的水加满时，储水机内水的温度为 D．当储水机内水的温度达到时，加冷水量为升 【答案】D 【分析】根据函数图象可判断A选项；在中，当时，，可判断B选项；设加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的关系为，代入，，可得，当时，，代入，可得，可判断C选项；由，可得，代入，可得，减去加冷水前的水量，可得加冷水量，可判断D选项． 【详解】解：由加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的图象可知， 当时，， ∴加冷水前，储水机内的水量为升， ∴选项A正确，不符合题意； 加水过程中，水的温度（摄氏度）和（分钟）的关系为：， 当时，， ∴加冷水前，储水机内水的温度为， ∴选项B正确，不符合题意； 设加冷水后储水机内的水量（升）和时间（分钟）的关系为：， 代入，， 可得， 解得， ∴， ∵储水机的容量是升， ∴当加水加满时，， ∴， 解得， 将，代入， 可得， ∴储水机中的水加满时，储水机内水的温度为， ∴选项C正确，不符合题意； 当储水机内水的温度达到时，， 解得， 将，代入， 可得， （升）， ∴当储水机内水的温度达到时，加冷水量为升， ∴选项D错误，符合题意． 12．（2026·河南焦作·一模）某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台来代替人工分拣．购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元． (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元． (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元 (2)购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元 【分析】（1）设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机器人共需19万元，列方程组求解即可； （2）设购买甲型机器人a台，则设购买乙型机器人台，根据购买甲、乙两种型号的机器人共10台，且使这10台机器人每小时分拣快递量的总和不少于8600件，列不等式组求出a的取值范围，再设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，根据总费用=每台甲型机器人价格乘以购买的甲型机器人数量+乙型机器人价格乘以购买的乙型机器人数量，列出函数关系式，再根据一次函数性质求解即可． 【详解】（1）解：设每台甲型机器人x万元，每台乙型机器人y万元，根据题意得 ， 解得：， 答：每台甲型机器人5万元，每台乙型机器人3万元． （2）解：设购买甲型机器人a台，则购买乙型机器人台，根据题意得 ， 解得：， 设购买两种型号机器人所花的总费用为w万元，则 ， ∵ ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最小，最小值 ， ， ∴购买甲型机器人3台．乙型机器人7台能使总费用最少，最少费用是36万元． 【点睛】解答本题的关键是明确题意，列出二元一次方程组，一元一次不等式组与一次函数关系式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答． 13．（2026·河南·一模）河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子……数不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元；若销售甲种水果千克，乙种水果千克，共收入元．若顾客在限定时间内拍下甲种水果超过千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果千克，甲种水果的销售额（元）与（千克）之间的函数关系如图所示． (1)求的值； (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共千克，且甲种水果不少于千克，但又不超过千克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 【答案】(1) (2)电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大；最大销售额为元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用． (1)设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克，列二元一次方程组求出即为甲种水果打折前的售价，根据销售额单价销量即可求出； (2)设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元，根据销售额单价销量可得，利用一次函数的性质求出销售额的最大值． 【详解】（1）解：设甲种水果打折前的售价元/千克，乙种水果的售价为元/千克， 根据题意得：， 解得：， ；   （2）解：设甲种水果销售千克，则乙种水果销售千克，销售额为元， 当时， ； 则， ， 随的增大而增大， 当时，有最大值，, 此时(千克)， 答：电商销售甲种水果千克，乙种水果千克时销售额达到最大．最大销售额为元. 14．（2026·河南商丘·一模）项目式：智慧通讯 【背景】 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套餐：收费公式为：；轻享套餐：收费公式为：．其中，、分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元），x代表用户的可视通话时长（分钟）． 【理解模型】 （1）请解释“经济套餐”公式中的“”和“15”以及“轻享套餐”公式中的“”在实际计费中分别表示什么意义． 【应用模型】 （2）小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟．根据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱． 【决策分析】 （3）如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议． 【答案】（1）意义见解析；（2）小宇选择经济套餐更省钱；（3）建议见解析 【分析】（1）根据一次函数的表达式，结合题目中给出的收费公式，分析每个参数的实际意义即可； （2）根据题意分别计算两种套餐费用，再进行比较即可； （3）令，求出两种套餐费用相等的时长临界点，再进行分析即可． 【详解】解：（1）由题意得，经济套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元；“15”表示每月固定收取的套餐基础费； 轻享套餐中，“”表示每分钟可视通话的收费标准为元； （2）由题意得，小宇每月总可视通话时长为分钟， ∴经济套餐为 （元）； 轻享套餐为（元）， ∵， ∴小宇应选择经济套餐更省钱； （3）由题意得，令， 解得， ∴当每月可视通话时长分钟时：轻享套餐总费用更低，更省钱； 当每月可视通话时长分钟时：两种套餐费用完全相同； 当每月可视通话时长分钟时：经济套餐总费用更低，更省钱． 【点睛】本题将通讯套餐计费问题抽象为一次函数模型，通过参数意义解读、代入计算、求解函数交点与分类讨论，为用户提供了清晰的消费决策依据，充分体现了数学建模思想在生活消费场景中的实用价值，是一次函数解决实际决策问题的典型范例． 反比例函数的性质 考点03 15．（2026·河南洛阳·一模）关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，且反比例函数的图象经过，，三点，则，，之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据方程有两个相等的实数根，利用判别式求出的值，再代入计算三个点的纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得 ， ∴反比例函数解析式为 ， ∵反比例函数经过，，三点， ∴，，， ∵， ∴． 16．（2026·河南周口·一模）探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … (1)列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． (3)已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 【答案】(1)-6,见解析 (2)①小，；② (3)或 【分析】（1）把对应的x的值代入即可求出a值，通过描点，用平滑的曲线连接，即可作出图象； （2）①②观察图象即可得到； （3）找出函数的图象比函数的图象低时对应的x的范围即可． 【详解】（1）解：当时，； ∴， 补全函数图象，如图所示． （2）解：①观察图象可知，当时，函数有最小值，最小值为； ②观察图象可知，当时，y随x的增大而增大； （3）解：观察图象，即可得到的解集为：或． 17．（2026·河南驻马店·一模）关于反比例函数，下列说法正确的是（   ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【分析】先由解析式得到，再结合反比例函数的性质逐一判断选项即可． 【详解】解：∵ 反比例函数为，， ∴ 反比例函数图象在第二、四象限，A选项错误． ∵ 反比例函数中，恒不为， ∴ 图象与轴没有交点，B选项错误． ∵ 时，反比例函数在每个象限内，随的增大而增大， ∴ 当时，随的增大而增大，C选项错误． ∵ 点，都在第二象限的函数图象上，且， ∴ ，D选项正确． 18．（2026·河南郑州·一模）若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据解析式可判断反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大，再根据三个点的横坐标可判断三个点所在的象限，据此可得答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点在反比例函数的图象上，且， ∴点A和点B在第二象限，点C在第四象限， ∴． 求反比例函数的解析式 考点04 19．（2026·河南焦作·一模）如图，的顶点O与原点重合，点B在y轴正半轴上，点在反比例函数的图象上，． (1)求这个反比例函数的表达式． (2)把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点A作轴于点C，可推出，，则；由旋转的性质可得，则可得到三点共线，进而可得． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图所示，过点A作轴于点C，则， ∴，； ∴； ∵把绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点处， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴． 20．（2026·河南新乡·一模）如图，四边形是矩形，点的坐标为，轴，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若为边上一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数和矩形的性质． （1）用待定系数法求解即可； （2）过点A和点E分别作x轴的垂线，垂足分别为点G和点F；根据一线三垂直模型证明，得出，即可解答． 【详解】（1）解：把点的坐标代入得：”， 解得：， ∴这个反比例函数的解析式为； （2）解：过点A和点E分别作x轴的垂线，垂足分别为点G和点F； ∵点的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 21．（2026·河南驻马店·一模）在平面直角坐标系中，将一块含有角的直角三角板如图放置，直角顶点的坐标为，顶点的坐标为，顶点恰好落在第一象限的双曲线上． (1)确定反比例函数的关系式； (2)现将直角三角板沿轴正方向平移，当顶点恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点的对应点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点B作轴于点D，证明，可得，，可求出点B的坐标，即可求解； （2）先求出时，可得此时点A移动了3个单位长度，即C也移动了3个单位长度，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过点B作轴于点D， ∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵点的坐标为，顶点的坐标为， ∴，， ∴， ∴， ∴设反比例函数的关系式为， 将代入得：， ∴反比例函数的关系式为； （2）解：把代入，得， 解得：， 当顶点A恰好落在该双曲线上时， 此时点A向右移动了3个单位长度， ∴C也向右移动了3个单位长度， ∵点的坐标为， ∴点C的对应点的坐标为． 22．（2026·河南周口·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点． (1)求的值； (2)将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为，连接，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把点代入求解即可；（2）过点作轴于点，利用勾股定理求出，计算出，再利用勾股定理求解即可； 【详解】（1）反比例函数的图象过点， ； （2）如图，过点作轴于点， 则， ， ，， ， 将绕点顺时针旋转至与轴重合，点的对应点为， ， ， ． 23．（2026·河南南阳·一模）数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将它放入如图2平面直角坐标系中．顶点，，分别落在坐标轴上，点恰好落在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将此教具沿轴正方向平移，当点恰好落在反比例函数图像上时，求此时点平移后的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先得到，再由待定系数法求解； （2）先得到，根据平移后点C的纵坐标不变为1，求出平移后点C的对应点的横坐标，则可求出平移的距离，然后根据平移规律求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ∵在反比例函数图象上 ∴ ∴反比例函数的表达式为． （2）解：由题意，得． 将点沿轴正方向平移，则纵坐标不变为1， 将代入，得， ∴点向右平移个单位, ∴点也向右平移4个单位, ∵点平移前坐标为 ∴点平移后坐标为． 24．（2026·河南周口·一模）如图，已知一次函数与，它们的图象与轴分别交于两点，交点在反比例函数的图象上，是的角平分线，与交于点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)尺规作图：求作的高线（保留作图痕迹，不写作法）； (3)在（2）的条件下，连接，求证：垂直平分． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）联立与，可得点的坐标，即可求得反比例函数的表达式； （2）以点为圆心画弧，与轴交于两点，再以为圆心，大于为半径画弧交于点，连接与轴交于点，则即为所求； （3）过点作轴于点，先证明，再证明，可得，即可得垂直平分． 【详解】（1）解：联立， 解得， ∴， 将代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式． （2）解：如图，即为所求． （3）证明：∵一次函数与的图象与轴分别交于两点， 令，得， 由（1）可知， 过点作轴于点，则， ∴，， ， ∴， ∴， 由（2）得是的高线， ∴， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的垂直平分线上，点在的垂直平分线上， ∴垂直平分． 25．（2026·河南信阳·一模）如图，的顶点为网格线的交点，反比例函数的图象过点，点． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，在图中用直尺和铅笔画出沿所在直线平移，且点与点重合，得到的（不写画法）． ①点 反比例函数图象上，点 反比例函数图象上；（填“在”或“不在”） ②四边形是 （特殊四边形），它的面积等于 ． 【答案】(1) (2)画图见解析；①在，在；②矩形， 【分析】（）由网格可得点在反比例函数图象上，用待定系数法求出，从而得到反比例函数解析式； （）先根据平行四边形性质确定点坐标，按平移规律求出坐标，验证两点在反比例函数图象上；再由平移性质判定四边形为平行四边形，结合边长关系确定其为矩形，最后用勾股定理求边长，按矩形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：由题意得， ∵反比例函数经过点， ， ∴反比例函数的解析式为． （2）如图所示． 由平行四边形性质得坐标为，将平移使与重合，平移规律为横坐标减，纵坐标减： ① 平移后，代入​，，故点在反比例函数图象上； 平移后 ，代入​，，故点在反比例函数图象上； ②由平移的性质，可知， ∴四边形是平行四边形， 由图象，可知， ∴四边形是矩形， 由勾股定理，得，， ∴． 26．（2026·河南三门峡·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点与原点重合，已知点，点．点在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的表达式． (2)将沿轴正半轴平移个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行四边形的性质求得点的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求得点平移后的坐标为，再代入，求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，顶点与原点重合，点， ∴， ∵点， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：当点沿轴正半轴平移个单位长度后，得到的点坐标为， 将代入， 得， 解得． 反比例函数与一次函数综合 考点05 27．（2026·河南信阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于、两点，一次函数分别交x轴、y轴于C、D两点，轴于点E． (1)求反比例函数及一次函数解析式； (2)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F（保留作图痕迹，不写作法）． (3)在（2）的基础上，连接，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据待定系数法即可求解； （2）根据垂线的性质画图即可； （3）根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵在反比例函数图象上， ∴，． ∴反比例函数解析式为 ∵在图象上， ∴． ∵经过和两点． ∴， 解得 ∴一次函数的解析式为， （2）解： （3）解：∵轴，轴， ∴， 设的直线解析式为：， 则得， 解得： 可得直线的解析式 ∴， ∵,的纵坐标相等， ， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴ ∴ ∴． 28．（2026·河南南阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为，为的中点．反比例函数的图象过点，交于点． (1)求反比例函数的表达式； (2)延长交轴于点，求的面积． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)的面积为 【分析】（1）根据矩形的性质，可得点的坐标，再求出点的坐标，即可得出反比例函数的表达式； （2）先得出点的坐标，求出直线的表达式，即可得出点的坐标，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵四边形为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ∴，，， ∴点的坐标为， ∵为的中点， ∴点的坐标为， 代入， 得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：当时，， ∴点的坐标为， 令直线的表达式为， 将点，代入， 得，解得， ∴直线的表达式为， 当时，得， 解得， ∴， ∴，， ∴的面积为． 29．（2026·河南商丘·一模）如图，反比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求反比例函数和一次函数解析式； (2)将一次函数的图象向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点B，连接，，当时，求点B的坐标及一次函数向上平移的距离． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点A，B分别作x轴和y轴的垂线，垂足为D，E，根据题意，得到，进而得到，根据值的几何意义，得到，进而求出点坐标，设一次函数平移后的直线对应的解析式为，待定系数法求出函数解析式即可. 【详解】（1）解：将点代入反比例函数和一次函数解析式得，， 解得，， ∴反比例函数和一次函数解析式分别为，； （2）解：过点A，B分别作x轴和y轴的垂线，垂足为D，E， ， ，即， ∵， ∴， ， ∴， ∵点在反比例函数上， ， ， ∴（负值舍去）， ∴， ， 设一次函数平移后的直线对应的解析式为， 将点代入得：， 解得， ， ∴点B的坐标为，一次函数向上平移的距离为． 30．（2026·河南·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，B，且一次函数与x轴，y轴分别交于点，D． (1)求一次函数的解析式和点A，B的坐标； (2)直接写出不等式的解集； (3)若在第三象限的反比例函数图象上有一点P，使得则点P的坐标为_____． 【答案】(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)或 (3) 【分析】（1）将点C代入一次函数表达式即可确定函数解析式，然后联立两个函数求解即可； （2）利用反比例函数以及一次函数图象，即可解决问题； （3）根据与的面积关系，可求出点的纵坐标，据此可解决问题． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得：， ∴一次函数的表达式为； 联立两个函数：， 解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）根据函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数图象的上方，即， ∴不等式的解集为或； （3）将代入得，， ∴点的坐标为， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得． ∵点在第三象限， ∴， 将代入得，， ∴点坐标为． 31．（2026·河南周口·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于、两点，则不等式 的解集为（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】将不等式问题转化为函数图象位置问题，先求出交点坐标和反比例函数的参数，再结合图象判断一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围，即可得到解集． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴把代入，得，即， 又∵在反比例函数上， ∴，得反比例函数为， ∵点在一次函数的图象上， ∴把代入得， 解得，即， 不等式的几何意义是：一次函数图象在反比例函数图象下方时的取值范围， ①时，反比例函数，一次函数，一次函数值大于反比例函数值，不满足不等式； ②时，反比例函数图象在一次函数图象上方，一次函数值小于反比例函数值，满足不等式； ③时，一次函数图象在反比例函数图象上方，一次函数值大于反比例函数值，不满足不等式； ④时，反比例函数图象在一次函数图象上方，一次函数值小于反比例函数值，满足不等式， ∴不等式的解集为或． 32．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象相交于，与x轴、y轴分别相交于点B，C． (1)求反比例函数的表达式； (2)点P是线段上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数 的图象于点Q（保留作图痕迹，不写画法）； ②当时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）将代入求出，再将点坐标代入，求出k即可； （2）①根据同位角相等，两直线平行，作即可； ②求出点B的坐标，设点，其中，则点，由，列式计算，求出t值，继而求出点Q的坐标． 【详解】（1）解：依题意得：点在一次函数的图象上， ∴， ∴点， ∵点在反比例函数 的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：①如图所示，即为所求； ②对于，当时，， ∴点B的坐标为， ∵点P在线段上， ∴设点P的坐标为，其中， ∵轴， ∴点Q的纵坐标为， ∵点Q在反比例函数的图象上， ∴点Q的坐标为， ∵， ∴， 整理得：，解得：，（不合题意，舍去）， 当时，，， ∴点Q的坐标为． 33．（2026·河南郑州·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且点，分别为一次函数与轴，轴的交点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)若点为该反比例函数图象上的一点，连接，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求出点坐标，进而代入反比例函数解析式解答即可求解； （2）设点的横坐标为，由得，解方程求出进而即可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图，设点的横坐标为， ∵， ∴ 解得， 把代入得，， 把代入得，， ∴或． 34．（2026·河南许昌·一模）如图，直线：与反比例函数的图象交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)将直线向上平移，在轴上方与反比例函数的图象交于点，连接，直线与反比例函数的图象交于点．当点与点关于直线对称时，求点的坐标及直线平移的距离． 【答案】(1) (2)点；直线向上平移的距离为 【分析】（）先把交点代入，求出的值以确定点的坐标；再将点的坐标代入反比例函数，求出的值，进而得到反比例函数的解析式； （）先利用点与点关于直线对称的性质，通过构造直角三角形并证明全等，得出对应边相等，结合点的坐标得到点；再设平移后的直线解析式，将点代入求出解析式中的参数，最后通过计算平移前后直线的截距差，得到直线向上平移的距离． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴， 将点代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵点与点关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴点， 设直线向上平移后的直线对应的解析式为， 将点代入，得， 解得， ∴， ∴直线向上平移的距离为． 35．（2026·河南平顶山·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，以，为邻边构造． (1)求的值及反比例函数的表达式； (2)求的面积． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先把点代入求出，然后再把点代入即可求解； （2）根据平行四边形的面积求解即可． 【详解】（1）解：点在直线的图象上， ， ． 点在的图象上， ， ， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵直线与轴交于点， ∴令，得，解得， ∴， ． ， ． 36．（2026·河南商丘·一模）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在直线上，过点作反比例函数的图象． (1)求出，的值； (2)连接，求的面积； (3)为线段上的点，将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点，点恰巧在反比例函数的图象上，求出点的横坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）把代入，得出，，再把代入即可求出； （2）过点作轴于，根据一次函数解析式求出，得出，，利用三角形面积公式即可得答案； （3）设，根据平移方式得出，根据列方程，求出值，根据在线段上，得出的取值范围，即可得答案． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴． （2）解：如图，过点作轴于， ∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， ∴当时，， ∴，， ∵， ∴， ∴． （3）解：设， ∵将点向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到点， ∴， ∵，点恰巧在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∵为线段上的点， ∴， ∴， ∴点的横坐标为． 37．（2026·河南周口·一模）如图，点和点是一次函数与反比例函数的图象的交点，且一次函数的图象与坐标轴分别交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)连接，直接写出的面积． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2) (3)8 【分析】（1）将点和点的坐标代入直线解析式即可求出m、n； （2）将点的坐标代入反比例函数解析式即可求出； （3）利用直线解析式求出点C坐标，根据，代入数据计算即可． 【详解】（1）解：∵点和点在一次函数的图象上， ∴把点代入，得； 把点代入，得，解得； ∴，． （2）解：把代入，得， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （3）解：∵点为一次函数的图象与轴的交点， ∴当时，， ∴， ∴， ∴． ∴的面积为8． 实际问题与反比例函数 考点06 38．（2026·河南周口·一模）综合实践小组的同学们利用自制密度计测量液体的密度．密度计在无外力作用下悬浮在不同的液体中（如图1）时，浸入液体中的高度是液体的密度的反比例函数，其函数图象如图2所示． (1)求h与之间的函数关系式； (2)当液体密度从增加到时，求密度计浸入该液体中的高度h怎么变化，变化了多少． 【答案】(1) (2)密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了3cm 【分析】（1）设，把求出k，即可得出解析式； （2）把代入（1）中求解的函数解析式即可． 【详解】（1）解：设h与之间的函数关系式为（）． 由题可知，图象过， 将，代入， 得． 解得． 所以h与之间的函数关系式为． （2）解：当时，． ． 答：密度计浸入该液体中的高度h减少了，减少了． 39．（2026·河南安阳·一模）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长，这就导致人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿直线前进，但实际上走的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．某学校数学兴趣小组通过实验发现，人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径米与其两腿迈出的步长之差厘米（）拟合后的函数为反比例函数，其图象如图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求与之间的函数表达式； (2)若小昆两腿迈出的步长之差为0.5厘米，则他蒙上眼睛走的大圆圈的半径为多少米？ (3)若小明蒙上眼睛走的大圆圈的半径不小于70米，求其两腿迈出的步长之差的取值范围． 【答案】(1) (2)当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米 (3)某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差 【分析】（1）设反比例函数解析式为，将图象中的点代入解析式求解，即可解题； （2）将代入（1）中解析式求解，即可解题； （3）根据题意建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数过点， ， ， 与之间的函数表达式为； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米； （3）解：当时，即， ， ∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于70米，则其两腿迈出的步长之差． 40．（2026·河南平顶山·一模）学校为防控流感病毒，用过氧乙酸溶液对教室内的空气进行熏蒸，过氧乙酸气体在空气中的浓度必须大于才能达到熏蒸消毒要求．王林为测出教室内过氧乙酸气体的浓度，设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”，图1是其简化的工作电路图，图2为过氧乙酸气体传感器 (Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（）变化的关系图象，则下面说法错误的是（   ） A．未进行熏蒸时，传感器的阻值为Ω B．传感器的阻值随过氧乙酸气体浓度的增大而减小 C．若过氧乙酸气体浓度不低于，则传感器的阻值不低于Ω D．若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω 【答案】C 【分析】本题主要考查函数的图象，根据函数的图象逐项分析即可． 【详解】A、未进行熏蒸时，过氧乙酸气体浓度为，传感器的阻值为Ω，说法正确，该选项不符合题意； B、观察函数图象可知，随着过氧乙酸气体浓度的增大，传感器的阻值逐渐减小，说法正确，该选项不符合题意； C、若过氧乙酸气体浓度不低于0.3，则传感器的阻值不高于10Ω，说法错误，该选项符合题意； D、过氧乙酸气体浓度为和时，传感器的阻值分别为Ω和Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从增大到，则传感器的阻值减小Ω，说法正确，该选项不符合题意． 故选：C 41．（2026·河南信阳·一模）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．则下列说法错误的是（ ） A．与的关系式为 B．当时， C．当时，可能为6.5 D．当时， 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出函数解析式，然后根据反比例函数的性质，数形结合逐项判断即可． 【详解】解：设， 把代入，得， 解得， ∴，故选项A正确，但不符合题意； 当时，，故选项B正确，但不符合题意； 当时，，解得， 观察图象，当时，， ∴不可能为6.5，故选项C错误，符合题意； 当时，， 观察图象，当时，，故选项D正确，但不符合题意． 反比例函数与几何综合 考点07 42．（2026·河南平顶山·一模）在平面直角坐标系中的位置如图所示，边经过原点O，点A，B关于y轴对称，交y轴于点E，交x轴于点G，连接，交x轴于点F，反比例函数的图象经过点B，C．已知点A的坐标为． (1)求反比例函数的表达式； (2)求图中阴影部分的面积； (3)将向上平移，当点D落在反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 【答案】(1) (2)6 (3)2 【分析】（1）利用轴对称的性质求得点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）证明，推出，根据阴影部分的面积，据此计算即可求解； （3）设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上，即点落在反比例函数的图象上，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点，B关于y轴对称， ∴点B的坐标为， ∵反比例函数的图象经过点B， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵反比例函数的图象经过点B，C， ∴点C，B关于原点对称， ∴点C的坐标为， ∵点A的坐标为， ∴点A，C关于x轴对称， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴阴影部分的面积； （3）解：由（2）得点D的坐标为， 设将向上平移个单位，点D落在反比例函数的图象上， 即点落在反比例函数的图象上， ∴， 解得． 即将向上平移2个单位，点D落在反比例函数的图象上． 43．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和点． (1)___________，___________； (2)在同一坐标系内作出反比例函数的图象与直线； (3)平面内有点，过C作轴，交于点D，交反比例函数的图象于点E，当时，直接写出n的值． 【答案】(1)6，1 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）根据已知条件利用待定系数法可求得反比例函数解析式，即得出k值，再将点B代入反比例函数解析式即可求得m的值； （2）作反比例函数图象时，在坐标系中描出点，，为了使图象更准确，还可取点，再用平滑的曲线连接这些点，画出第一象限内的双曲线分支；作直线时，连接点和点，画出直线； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据点D和点E的坐标表示出线段和的长度，利用给定的比例关系列出关于n的方程即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数解析式为， 又∵经过点， ∴将点B代入反比例函数解析式得：， ∴，． （2）解：如图所示，反比例函数的图象与直线的图象即为所求： （3）解：设直线的解析式为， 将，代入得： ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点，轴， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∵n的取值范围是， ∴n的值为4． 44．（2026·河南平顶山·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知正方形的顶点，，反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q． (1)求反比例函数的表达式． (2)将边上一点E绕点 Q 逆时针旋转，若旋转后的点 恰好落在 的图象上，求点 E 的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正方形的性质求出点C的坐标，根据中点坐标公式求出点Q的坐标，最后根据待定系数法求解即可； （2）连接，，，，，设，则，证明，可得出，，求出，把代入求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵正方形的顶点，， ∴，轴， ∴， 又Q是正方形的中心， ∴，即， ∵反比例函数 的图象经过正方形的中心 Q ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：连接，，，，， 设，则 ∵Q是正方形的中心， ∴，，， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，即， ∵恰好落在 的图象上， ∴， ∴． 45．（2026·河南郑州·一模）如图，平面直角坐标系中有一矩形，顶点、都在坐标轴上，反比例函数的图象经过点． (1)求反比例函数的解析式． (2)若，将矩形竖直向上平移，当反比例函数再次经过矩形的顶点时，求此时点的对应点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何应用，锐角三角函数，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）将点代入函数表达式即可求解； （2）过点作，垂足为，根据角度相同，对应三角函数相同，求出的长度，结合图形判断，再次经过矩形顶点时，应为点在函数上，由此可得出平移的距离，最终得出点平移后的坐标． 【详解】（1）解：∵反比例函数经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为； （2）解：过点作，垂足为，如下图所示： 在中，，， 根据勾股定理可知：， ∴ 根据矩形的性质可知， ∴， 又， ∴， ∴， ∴，即，解得， 将矩形竖直向上平移时， 根据题意可知，只有顶点满足条件， 平移后点对应点为， 当反比例函数经过该点时，， 即向上平移的距离是， 故此时点A的对应点坐标为． 46．（2026·河南·一模）如图，点是反比例函数的图象上一点，是直线延长线上的一点，且，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，连接，若． (1)求反比例函数的解析式； (2)是线段的中点，将沿轴向左平移 个单位长度后，点恰好落在反比例函数的图象上，求平移前点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)平移前点的坐标为 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，平移的性质，熟练掌握相关知识是关键． （1）设点的坐标为，根据，可得点的坐标为，进而求出点的坐标为，结合，计算出的值； （2）点的坐标为，结合题干可求出点的坐标为．由平移的性质可知，平移后的点的坐标为，将点坐标代入反比例函数的解析式，求出的值，从而得到平移前点的坐标． 【详解】（1）解：设点的坐标为， ∵是直线延长线上的一点，且， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴， 把代入，得， ， 解得，， ∴点的坐标为， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：设点的坐标为， 由（1）可知，点的坐标为， ∵是线段的中点， ∴点的坐标为， 将点向左平移个单位长度，所得的点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得，， ∴平移前点的坐标为． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题04一次函数与反比例函数 ☆7大考点概览 考点01一次函数 考点02一次函数的应用 考点03反比例函数的性质 考点04求反比例函数解析式 考点05反比例函数与一次函数综合 考点06实际问题与反比例函数 考点07反比例函数与几何综合 考点01 一次函数 1.(2026河南许昌一模)在平面直角坐标系中，如果将一次函数y=x+m的图象向右平移5个单位，得 到一个正比例函数图象，则m的值为 2.(2026河南周口一模)已知一次函数y=kx+b(k≠0)，若k>0,b<0,则关于“该函数图象经过 的象限”的推理正确的是() A.k>0,图象从左到右上升；b<0,图象与y轴交于负半轴，故图象经过一、三、四象限 B.取特殊值k=1,b=-1,图象经过(1,0)，(0，-1)，故图象经过一、三、四象限 C.k>0经过一、三象限，b<0经过二、四象限，故图象经过一、二、三、四象限 D.无法确定，需结合具体k,b的值判断 3.(2026河南周口一模)若一次函数y=(m-2)x+m2-4的图象经过原点，则m的值为() A.2 B.-2 C.±2 D.0 4.(2026河南商丘·一模)将一次函数y=3x一2的图象向下平移3个单位长度，所得图象的函数表达式 为 5.(2026河南周口一模)在空气，水分，温度，养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度y(厘米/天) 和光照强度x(勒克斯)之间存在一定关系.在低光照强度范围(200≤x≤1000)内，y与x近似成一次 函数关系；在中高光照强度范围(x≥1000)内，y与x近似成二次函数关系.其部分图象如图所示.根据 图象，下列结论正确的是() 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 y(厘米/天) 0.5 0.3 O2001000 2000 x(勒克斯) A.当x≥1000时，y随x的增大而减小B.当y≥0.5时，x≥1000 C.当x=1500时，y有最大值 D.当y=0.4时，x=500 6.(2026河南周口一模)已知点A(2y1)B(-1y2)在-次函数y=-2x+1的图象上，则y1与y2的 大小关系是() A.y>y2 B.y1<y2 C.y=y2 D.无法确定 7.(2026河南平顶山一模)请写出一个经过点(0,4)，且y随x的增大而增大的一次函数表达式 8.(2026河南周口一模)已知一次函数y=kx+b的图象经过点（一1,2）和(2，一1)，则该函数的解析 式为 9.(2026河南周口一模)己知一次函数y=kx+b的图象经过点A(0,2)和B(3,-1). (①)求该一次函数的解析式： (2)若点P(m,1)在该函数图象上，求m的值. 考点02 一次函数的应用 10.(2026河南南阳一模)如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的截面示意图.乙槽中放置一个圆柱形玻璃块 (玻璃块的下底面始终落在乙槽底面上)，现将甲槽中的水匀速注入乙槽中，甲、乙两个水槽中水的深度 y(cm)与注水时间x(min)之间的关系如图②所示. ◆y/cm 19 14 12 2 甲槽 乙槽 4 6 x/min 图① 图② (I)注水前乙槽中水深 cm,玻璃块的高度为 cm; (2)当甲、乙两个水槽中水的深度相同时，求注水的时间： (3)注水过程中，乙水槽水的深度大于甲水槽水的深度时，直接写出x的取值范围. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 11.(2026河南平顶山一模)某品牌储水机的容量是200升，当加水加满时，储水机会自动停止加水.己 知加冷水后储水机内的水量y(升)和时间x(分钟)的图象如图所示，加水过程中，水的温度t(摄氏度) 和x（分钟)的关系为：t=2t00 +2 下列结论错误的是() y(升) 200 160 80 x(分钟)》 A,加冷水前，储水机内的水量为80升 B.加冷水前，储水机内水的温度为50°C C.储水机中的水加满时，储水机内水的温度为32·C D.当储水机内水的温度达到40°C时，加冷水量为120升 12.(2026河南焦作一模)某物流公司为了提高快递分拣速度，决定购买甲、乙两种型号的机器人共10台 来代替人工分拣.购买1台甲型机器人和2台乙型机器人共需11万元，购买2台甲型机器人和3台乙型机 器人共需19万元 (1)求每台甲型、乙型机器人各多少万元， (2)甲型机器人每小时的分拣量为1000件，乙型机器人每小时的分拣量为800件，若使这10台机器人每小 时分拣快递量的总和不少于8600件，两种型号机器人各购买几台能使所花的总费用最少？最少费用是多少？ 13.(2026河南一模)河南水果特产资源丰富，诸如灵宝苹果、孟津葡萄、西峡猕猴桃、荥阳柿子数 不胜数，某电商对甲、乙两种河南特产精品水果进行销售，若销售甲种水果10千克，乙种水果20千克，共 收入1180元；若销售甲种水果20千克，乙种水果10千克，共收入1520元.若顾客在限定时间内拍下甲种 水果超过40千克，则超过部分的价格打八折，乙种水果的销售价格不变，设电商销售甲种水果x千克，甲 种水果的销售额y(元)与x(千克)之间的函数关系如图所示. 川元 4080 x千克 (I)求b的值： (2)若电商计划在限定时间内销售甲、乙两种水果共120千克，且甲种水果不少于50千克，但又不超过80千 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 克，如何分配甲、乙两种水果的销售量，才能使电商的销售额达到最大？最大值为多少？ 14.(2026河南商丘一模)项目式：智慧通讯 某通讯公司为满足不同用户的需求，推出了两种可视通话套餐；经济套 餐：收费公式为：y1=0.3x+15;轻享套餐：收费公式为：y2=0.7x 【背景】 其中，y1、Y2分别代表经济套餐和轻享套餐的可视通话总费用（元）， x代表用户的可视通话时长（分钟）. 【理解模 (1)请解释“经济套餐”公式中的0.3”和“15”以及“轻享套餐”公式中的 型】 “0,7”在实际计费中分别表示什么意义. 【应用模 (2)小宇每月工作可视通话需30分钟，生活可视通话预计42分钟.根 型】 据你的计算，他应该选择哪个套餐更省钱： 【决策分 (3)如果你是该通讯公司的运营经理，你需要告诉用户应该如何选择哪 析】 个套餐更省钱，请通过计算给出明确的建议， 考点03 反比例函数的性质 15.(2026河南洛阳一模)关于x的方程x2-一kx十k一1=0(k为常数)有两个相等的实数根，且反比 例函数y=会的图象经过(-1，a),(-2,b),(2c)三点，则a,b,c之间的大小关系为() A.c>b>a B.c>a>b C.a>b>c D.a>c>b 16.(2026河南周口一模)探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象 特征，概括函数性质的过程.结合已有的学习经验，探究函数y=一 是的图象与性质。 X -4 -3 -2 y - -号 -2 2/6 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 54-3-2-10 12345 -1 -2 5 -6 y--3x-1 (1)列表，写出表中a的值：a= 描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象， (2)观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最 值，是 ②当自变量x的取值范围是 时，函数y的值随自变量x的增大而增大， (③)已知函数y=一x-号的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式-品<-x一10的解 集是· 17.(2026河南驻马店一模)关于反比例函数y=-22，下列说法正确的是() A.图象在第一、三象限 B.图象与x轴有一个交点 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.如果点A(-1y)和点B(-3y2)均在该函数的图象上，那么y1>y2 18.(2026河南郑州一模)若点A(-2,a),B(-1,b),C(4,c)在反比例函数y=是的图象上，则 a,b,c的大小关系是() A.c>b>a B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 考点04 求反比例函数的解析式 19.(2026河南焦作一模)如图，△0AB的顶点0与原点重合，点B在y轴正半轴上，点A(√2，V2)在 反比例函数y=奈(x>0)的图象上，OA=OB. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求这个反比例函数的表达式 (2)把△OAB绕着点O顺时针旋转，当点B落在点A处时，点A落在点A'处，求点A的坐标. 20.(2026河南新乡一模)如图，四边形A0CB是矩形，点A的坐标为(-1.5,2)，ACx轴，反比例函 数y=的图象经过点A, (1)求这个反比例函数的解析式； (2)若E为边0C上一点，且0E=OA,求点E的坐标. 21.(2026河南驻马店一模)在平面直角坐标系中，将一块含有45·角的直角三角板如图放置，直角顶点 C的坐标为(2,0)，顶点A的坐标为(0,4)，顶点B恰好落在第一象限的双曲线上. B (①)确定反比例函数的关系式： (②)现将直角三角板沿x轴正方向平移，当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动，求此时点C的对应点C的 坐标 22.(2026河南周口一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=袁(x>0)的图象过点A(5,12) 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (I)求k的值； (②)将0A绕点O顺时针旋转至与x轴重合，点A的对应点为C,连接AC,求线段AC的长. 23.(2026河南南阳一模)数学活动课上，老师拿出一个由五个边长为1的正方形组成的教具（图1），将 它放入如图2平面直角坐标系中.顶点A,O,B分别落在坐标轴上，点D恰好落在反比例函数 y=奈(x>0)的图象上. O B O B 图1 图2 (1)求反比例函数的表达式. (②)将此教具沿x轴正方向平移，当点C恰好落在反比例函数图像上时，求此时点A平移后的坐标. 24.(2026河南周口一模)如图，己知一次函数y=2x+10与y=-专(x-5),它们的图象与x轴分别 交于AB两点，交点C在反比例函数y=气(x<0)的图象上，AD是△ABC的角平分线，与BC交于点D D B衣 ()求该反比例函数的表达式 (②)尺规作图：求作△ABD的高线DE(保留作图痕迹，不写作法)： (3)在(2)的条件下，连接CE,求证：AD垂直平分CE 1/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 25.(2026河南信阳一模)如图，☐A0BC的顶点为网格线的交点，反比例函数y=会的图象过点A,点 (1)求反比例函数的解析式： (2)连接AB,在图中用直尺和2B铅笔画出△ABC沿C0所在直线平移，且点C与点O重合，得到的 △AB0(不写画法). ①点A_反比例函数图象上，点B_反比例函数图象上；（填“在”或“不在”） ②四边形ABBA是_（特殊四边形），它的面积等于- 26.(2026河南三门峡一模)如图，在平面直角坐标系中，☐ABCD的顶点C与原点0重合，已知点 B(0,3),点D(2,1).点A在反比例函数y=袁(x>0)的图象上， o(C (①)求反比例函数的表达式. (2)将口ABCD沿x轴正半轴平移n个单位长度后，点D恰好落在反比例函数的图象上，求n的值. 考点05 反比例函数与一次函数综合 27.(2026河南信阳一模)如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=与一次函数y=ax+b交于 A(4,4)、B(-8,m)两点，一次函数y=ax+b分别交x轴、y轴于C、D两点，BE⊥y轴于点E. 2/6 动学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 VA D ①)求反比例函数及一次函数解析式： (②)请用尺规过点A向x轴作垂线，垂足为F(保留作图痕迹，不写作法). (3)在(2)的基础上，连接EF,求证：AD=EF=BC 28.(2026河南南阳一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，四边形0ABC为矩形，点A的坐标为(4,0)， 点C的坐标为(0,2)，D为BC的中点.反比例函数y=奈(x>0)的图象过点D,交AB于点E. B A F市 (I)求反比例函数的表达式： (2)延长DE交x轴于点F,求△AFE的面积. 29.(2026河南商丘一模)如图，反比例函数y=(k≠0)与一次函数y=一x+m的图象交于点 A-6,2. A ()求反比例函数和一次函数解析式： (2)将一次函数y=一x十m的图象向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点B,连接0A,OB, 当∠1=∠2时，求点B的坐标及一次函数向上平移的距离. 30.(2026河南一模)如图，一次函数y=x十m的图象与反比例函数y=是(k≠0)的图象交于点A,B, 且一次函数与x轴，y轴分别交于点C-1,0),D. 1/6 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (1)求一次函数的解析式和点A,B的坐标； (2)直接写出不等式x+m>是的解集； (3)若在第三象限的反比例函数图象上有一点P,使得S△0CP=4S△osD,则点P的坐标为一· 31.(2026河南周口一模)在平面直角坐标系中，一次函数y=一x+3的图象与反比例函数y=奈的图 象交于A(1,m)、B(n,1)两点，则不等式-x+3<的解集为() A.0<x<1或x>2 B.1<x<2 C.x<0或1<x<2D.x<0或 x>2 32.(2026河南商丘一模)如图，一次函数y=2x+2的图象与反比例函数y=袁(x>0)的图象相交于 A(1,a),与x轴、y轴分别相交于点B,C BO ()求反比例函数的表达式： (②)点P是线段AB上一个动点， ①尺规作图：过点P作x轴的平行线交反比例函数y=会(x>0)的图象于点Q(保留作图痕迹，不写画 法)： ②当PQ=号时，求点Q的坐标， 33.(2026河南郑州一模)如图，一次函数y=-x+1与反比例函数y=会的图象交于点A(-3,m), 且点B,C分别为一次函数与x轴，y轴的交点. 2/6