一元二次方程的实际应用 专项训练- 2026年中考数学二轮复习

一元二次方程的实际应用4种高频考点专项训练 一元二次方程的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 增长率问题 销售问题 几何问题 材料阅读类问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26八年级下·山东东营·月考）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 例2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 【答案】(1)在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为 (2)预计三月初水稻采收的产量将达到吨 【分析】（1）设每月产量的平均增长率为，根据等量关系，则二月初水稻采收产量增至，列出方程求解即可； （2）根据每月产量的增长率相同，列式计算即可． 【详解】（1）解：设在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． 由题意，得， 解得（不合题意，舍去）． 答：在该栽培模式下，每月产量的平均增长率为． （2）解：（吨）， 答：预计三月初水稻采收的产量将达到吨． 例3．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 【答案】(1)从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到 (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过，理由见解析 【分析】（1）设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）根据题意列出算式，进而和比较即可求解． 【详解】（1）解：设从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到x，由题意可得 ∵， ∴ ∴ 答：从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到； （2）解： 所以照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可超过． 变式1．（25-26九年级上·广西河池·月考）因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)420，不能，理由见解析 【分析】（1）根据增长率的模型，列方程，即可求解； （2）设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天，列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设每天增长的百分率为x， 依题意得：． 解得：，（不合题意，舍去） 答：每天增长的百分率为． （2）解：若增加2条生产线，则每天生产口罩最多万个， 设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（）万个/天， 依题意，得：， 化简得：． ∵，方程无解． ∴不能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个． 变式2．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）根据以下素材，探索完成任务： 如何计算工厂生产线数量？ 素材1：近期居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器．开工第一天日生产量400万个． 素材2：经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天． 问题解决： 任务1：1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量． 任务2：达到1条生产线最大日生产量后，工厂计划增加一定数量生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大）．现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，求增加的生产线数量 任务3：该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 【答案】任务1：900万个；任务2：4条；任务3：不能，理由见解析 【分析】任务1：根据“按日平均增长率增加”解答即可； 任务2：设增加m条生产线，根据“保证每天生产一次性注射器4100万个”，列出方程，即可； 任务3：设增加x条生产线，每天生产一次性注射器万y个，根据题意，列出函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【详解】解：任务1：∵（万个）， ∴1条生产线的最大产量是900万个； 任务2：设增加m条生产线，由题意，得： ， 解得：， ∵要节省投入， ∴． ∴增加4条生产线． 任务3：每天生产一次性注射器不能达到10900万个，理由如下： 设增加x条生产线，每天生产一次性注射器y万个， 根据题意得：． ∵， ∴当时，y取最大值10580，即每天生产一次性注射器最多10580万个． ∵， ∴每天生产一次性注射器不能达到10900万个． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． (1)求A商品每次降价的百分率； (2)该网红店A商品的进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? 【答案】(1)该种商品每次降价的百分率为 (2)为使两次降价销售的总利润不少于17400元．第一次降价后至少要售出商品300件 【分析】本题主要考查了一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立方程或不等式求解． （1）设该种商品每次降价的百分率为，根据“电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件”建立方程求解； （2）设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件，表示出第一次降价后的单件利润为：（元/件），第二次降价后的单件利润为：（元/件），再由“总利润不低于17400元”建立不等式求解． 【详解】（1）解：设该种商品每次降价的百分率为， 依题意得：， 解得：，或（舍去）． 答：该种商品每次降价的百分率为． （2）解：设第一次降价后售出商品件，则第二次降价后售出商品件， 第一次降价后的单件利润为：（元/件） 第二次降价后的单件利润为：（元/件）． 依题意得：， 解得：． 答：为使两次降价销售的总利润不少于17400元，第一次降价后至少要售出商品300件． 考点二 销售问题 例1．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 【答案】(1)此玩具的进价是20元 (2)日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为 (3)该益智玩具的销售单价定为30元 【分析】（1）设此玩具的进价是m元，根据题意玩具数量相等列分式方程，然后解方程即可解答； （2）通过分析表中数据可以看出，日销售量y与销售单价x之间成一次函数关系，故可设日销售量y与销售单价x之间的函数关系式为，利用待定系数法求出k与b的值，进而得出该益智玩具的日销售量y与销售单价x之间的函数关系式； （3）根据“每日利润＝（销售单价－进价）×日销售量－房租等运营成本”可得，然后解方程，再结合“要尽量减少库存”即可解答． 【详解】（1）解：设此玩具的进价是m元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列方程的解， 答：此玩具的进价是20元； （2）解：通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 设该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为， 将，代入，得： ，解得：， 答：该益智玩具的日销售量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为； （3）解：该益智玩具的销售单价定为x元， 根据题意，得：， 解得：，， 当销售单价为60元时，日销售量为个， 当销售单价为30元时，日销售量为个， ，且要尽量减少库存， ∴ 应选择日销售量较大的方案， ． 答：该益智玩具的销售单价定为30元． 例2．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元，根据题意列出方程组，求解即可； （2）根据题意，根据总利润列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：令甲、乙两种商品的零售单价分别为元和元， 由题意可得方程组， 解得， 故答案为：，． （2）解：甲单件利润为1元，乙单件利润也为元， 根据题意可得， ∴， 化简得， 解得（舍去）或． 当时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元． 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)涨价5元 【分析】（1）利用“原价×(1-下降百分率)2=两次降价后的价格”列方程，注意下降百分率的取值范围是，需舍去不合题意的解． （2）根据“每盒盈利×日销售量=总盈利”列方程，求解后结合“尽快减少库存”的要求，选择使日销售量更大的涨价金额(即较小的涨价数值)． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为， 根据题意可得：， 解得，(舍去)， 答：每次下降的百分率为． （2）解：设每盒应涨价元， 根据题意可得：， 展开化简得：， 因式分解得：， 解得，， ∵要尽快减少库存， ∴， 答：每盒应涨价5元． 变式1．（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 【答案】任务一：；任务二：90元 【分析】任务一：利用待定系数法求解，结合不考虑亏本出售的情况得到自变量的取值范围； 任务二：根据任务一所求关系式，结合利润（售价成本价）日销售量，得到一元二次方程，再根据市场规定得到售价的范围，即可解得答案． 【详解】解：任务一：根据题意，设与之间的函数关系式为， 代入，得， 解得， ∵不考虑亏本出售的情况，成本价为80元/盒， ∴ ∴与之间的函数关系式为； 任务二：根据题意，， 解得，， ∵市场规定：该茶叶获利不得高于， ∴， ∴， ∴若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为90元． 变式2．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 【答案】(1)①；② (2)当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元 【分析】（1）根据题意列出表达式即可； （2）由题意，得即可得到答案． 【详解】（1）解：①每个帆布包的销售利润为（元）； ②每天的销售量为（个）； （2）解：由题意，得 解得， (元)，（元）． 答：当单价定为74元或66元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元． 变式3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元．物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的．经试销发现，每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)请直接写出每天的销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？ (3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为110元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元 (3)当销售单价为120元时，每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元 【分析】（1）设销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为，用待定系数法求出函数解析式，再根据题意求出自变量的取值范围即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解，并取在范围内的值即可； （3）根据销售利润=每个神舟十三号飞船模型的利润×销售量列出函数解析式，再根据二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为， 根据题意得： ，解得：． ∴每天的销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式为． ∵进价每个80元，物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的， ∴， ∴自变量的取值范围为， ∴每天的销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式． （2）解：（1）可知，， 根据题意可得，， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴销售单价为110元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元． （3）解：该电商平台每天销售飞船模型的利润为w， 由题意可得，， 整理得：， ∵， ∴该抛物线开口向下，w有最大值， 当元时，， ∴当销售单价为120元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是4000元． 考点三 几何问题 例1．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，，围成这样的矩形养殖区符合题意 (2)面积不能达到，见解析 【分析】（1）设，则，根据“养殖区的面积计划为”列方程求解即可； （2）设，则，，根据题意列出一元二次方程，然后利用判别式判断即可． 【详解】（1）解：设，则． 由题意得：． 解得，． ，即， ∴， ， ∴， ∴，，围成这样的矩形养殖区符合题意； （2）解：设，则，， 由题意得：， 整理得， ， 方程无解， ∴面积不能达到． 例2．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 【答案】(1)道路的宽为3米 (2)当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元 【分析】（1）设道路的宽为米，根据“铺地毯防污的面积为675平方米”列方程求解即可； （2）设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w，根据题意表示出w，然后利用二次函数的性质求最大值即可． 【详解】（1）解：设道路的宽为米， 根据题意得，， 解得：（舍去），， 答：道路的宽为3米； （2）解：设日租金上涨元，美食节的日租金收入为w， 根据题意得：， ∵ ∴抛物线开口向下 ∴当时，w有最大值12500， 答：当每个摊位的日租金上涨50元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是12500元． 例3．（2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料 (1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 (2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 (3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 【答案】(1)40 (2)储物盒的容积为 (3)玩具机械狗不能完全放入该储物盒，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程和二元一次方程组是解题的关键． （1）根据储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域，求出图1中的四角裁去小正方形的边长，即可解决问题； （2）设裁去的小正方形的边长为，储物盒的底面积是，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设小长方形的宽为，长为，根据“和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为”，列出二元一次方程组，解方程组，即可解决问题． 【详解】（1）解：∵储物区域的长为，储物盒可以完全放入储物区域， ∴图①中的四角裁去小正方形的边长为， ； （2）解：由图①知，设小正方形的边长为， 由题意可得， 解得（舍去），， 容积为 答：储物盒的容积为． （3）解：设小长方形的宽为，长为， 由题意可得， 解得（舍去）或， 小长方形的宽为．当，两边恰好重合且无重叠部分，储物盒的高为， 玩具机械狗不能完全放入该储物盒． 变式1．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 【答案】(1)①5米；②5，80 (2)980元 【分析】（1）①设行车道的宽度为米，根据行车道的面积等于停车场总面积减去停车区域的面积建立方程，解方程即可得；②根据A、B、C区域的南北方向宽度与行车道的宽度之和等于30米建立方程，解方程即可得的值；再根据车位的划分方法即可得车位数量； （2）根据收费标准：停车场当天收费总金额每个车位每天费用出租车位的数量，建立与之间的函数关系式，利用二次函数的性质求解即可； 【详解】（1）解：①设行车道的宽度为米， 由题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）． 答：行车道的宽度为5米． ②由题意得：， 解得， 车位数量为（个）． （2）解：由题意得：， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为980元． 答：停车场当天收费总金额的最大值为980元． 变式2．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 【答案】(1)这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克 (2)道路宽度为 【分析】（1）设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克，然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设道路宽度为．然后根据题意列一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设这台智能机器人每天可采摘该种水果千克，则每名工人每天可采摘千克， 依题意得，解得， 经检验，是原方程的解． 答：这台智能机器人每天可采摘该种水果1000千克． （2）解：设道路宽度为． 依题意得，解得（不合实际，舍去）． 答：道路宽度为． 变式3．（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 【答案】(1)小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， (2)． 【分析】（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2：1的理由，而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可； （2）由使矩形矩形，利用相似多边形的性质，可得＝ ，然后利用比例的性质． 【详解】（1）解：小明理解题意错误，题干不是矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为；而是矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为， 解：设温室的宽为xm，则长为，则矩形蔬菜种植区域的宽为m，长为m． ∵， 解得：，（不合题意，舍去）， 所以温室的长为， 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． （2）解：要使矩形矩形， 就要＝，即， 即， 即， ∴， ． 考点四 材料阅读类问题 例1．（25-26九年级下·安徽合肥·月考）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 【答案】(1)；； (2) (3)； 【分析】（1）根据题意即可求解；（2）由，可得，可得，即可得解；（3）一元二次方程为，即，结合图形面积求解即可； 【详解】（1）在材料一中，大正方形面积可以表示为，另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于，故可得到方程； （2）由，可得， 仿照材料二构图如下： 由图形面积关系可得：，即， ， 或（舍去）， 方程的解为； （3）一元二次方程，即， 由题意得，，解得：， 中间围成的小正方形面积为， 小正方形的边长为， 若矩形的长为，宽为，则，解得， 若矩形的长为，宽为，则，解得， ． 例2．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； ．．． 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 【答案】(1)22，34 (2) (3)该单位购买盆景42盆，花卉119盆 【分析】（1）根据材料提示计算即可； （2）根据图片的序号与图形中的数据关系，找出规律即可； （3）由（2）中的数量关系列式求解即可． 【详解】（1）解：第1个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第2个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第3个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 第4个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； ∴第5个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为； 故答案为：22，34； （2）解：根据上述计算得到， 第（为正整数）个图案中盆景的盆数为，花卉的盆数为， 故答案为：； （3）解：设第个花卉展览图案中花卉比盆景多了77盆， 由题意得， 整理得，因式分解得， 解得或（不合题意，舍去）， 当时，， 答：该单位购买盆景42盆，花卉119盆． 例3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案 AI   设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案 AI   设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 (1)原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． (2)为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 【答案】(1)；15个 (2)能设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的高度为，摆放方法见解析 【分析】（1）设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据底面积为平方分米，列出方程，解方程，得出铁盒的长、宽、高，然后求出可以容纳工具盒的个数即可； （2）设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米，分别求出，，，，时，铁盒可以容纳工具盒的个数，然后进行判断即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为分米，则这个铁盒的底面边长分别为：分米，分米，根据题意得： ， 解得：或（舍去）， ∴铁盒的底面边长分别为：（分米），（分米）， ∴铁盒的长、宽、高分别为6分米、5分米、3分米， ∵工具盒尺寸为3分米分米分米， 又∵，，， ∴这个铁盒最多能容纳工具盒的个数为（个）． （2）解：设小正方形的边长为y分米，则无盖的长方体铁盒的长为分米，宽为分米，高为y分米， 当时，长为16分米，宽为9分米，高为1分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，可以放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，可以放4个，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为12分米，宽为5分米，高为3分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为10分米，宽为3分米，高为4分米， 此时最多可以容纳工具盒（个）； 当时，长为8分米，宽为1分米，高为5分米，将工具盒以边长为和的面作为底，平放上一层，如图所示： 此时最多可以容纳工具盒个， 综上，可以设计一个容纳32个工具盒的铁盒，此时铁盒的长为14分米，宽为7分米，高为2分米，先将工具盒以边长为和的面作为底，平放上两层，这样放个，再将工具盒以边长为和的面作为底，放上一层，这样放4个． 变式1．（2026·云南曲靖·模拟预测）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 【答案】(1)每件商品的售价应定为40元 (2)商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元 【分析】（1）利用待定系数法求出y关于x的关系式，再根据总利润（售价进价）销售量建立方程求解即可； （2）根据总利润（售价进价）销售量列出w关于x的关系式，再利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设与之间函数关系式为， 把和代入中得： 解得， 与之间函数关系式为； 根据题意，得，即， 整理得， 解得，（舍去）． 答：每件商品的售价应定为40元． （2）解：由题意得：． ， ∴当时，w有最大值，最大值为800， 答：商场应将吉祥物的销售单价定为50元时，每天获得的总利润最大，最大利润为800元． 变式2．（25-26九年级下·广东广州·月考）无人机灯光秀中的数学探究： 2026年2月17日（大年初一）晚，广州白鹅潭举行春节烟花汇演，2026架无人机与超15万发烟花共同点亮珠江夜空．无人机表演团队在江面浮台腾空而起，先后变幻出“喜洋洋乐融融”“木棉花”等造型，其中一朵巨大的木棉花凌空盛放，成为当晚亮点．某数学兴趣小组对此展开探究，请根据以下素材，思考并完成任务： 素材一 无人机单次飞行任务时间为10秒．高度h（米）随时间t（秒）变化分两阶段： （1）匀速上升：前a秒（）内，从浮台垂直起飞，初高0米，速度3米/秒； （2）变速段：a秒后，高度满足二次函数，且时降落到浮台（高度0米）． 素材二 如图，江边观演区有一位摄影师，眼睛距地面1.6米（图中），他的正前方点B（浮台边缘B）是无人机起飞点．木棉花造型由多架无人机组成，其最下端位于B点正上方． (1)构建高度函数，当时，求二次函数解析式中的m和n的值； (2)测量木棉花造型的高度，摄影师在点C处测得木棉花最下端的仰角为．为了更准确测量，他向前走到点E（E在上，且米），此时测得仰角为，已知，． ①求木棉花最下端的高度h； ②当时，根据任务一得到的飞行高度与时间的关系，这个高度是否可能是无人机在飞行过程中（即从起飞到降落的10秒内）某一时刻达到的高度？如果可能，求此时对应的时刻t（精确到0.1秒）；若不可能，请说明理由． (3)调整飞行参数，若无人机要求在高度不低于6米的地方正好可以拍摄10秒的视频，则需要调整无人机匀速上升的时间，假设无人机匀速上升的时间为秒，速度还是3米/秒，a秒后，无人机先上升再下降，再次上升时间与秒时再次上升时间相同，其高度随时间的变化可用二次函数描述，求a的值． 【答案】(1)， (2)①；②不可能，具体见解析 (3) 【分析】（1）先计算出前4秒的路程为12，再把和分别代入二次函数解析式求解即可； （2）①根据，列出关系式，求解即可； ②当时，由（1）可确定二次函数解析式，然后求最值，并与进行比较大小，即可得出结论； （3）对于一般，上升段为从到对称轴，得出m与a的关系，并代入到中化简，再把代入到中，化简求解，即可求出a的值． 【详解】（1）当时，， ∴， 当时，， 联立方程， 解得． （2）①∵，即， ∴， ∵，即， ∴，即， ∴， 解得． ②当时，二次函数， 当时，（米）， ∵木棉花高度， ∴无人机在飞行过程中无法达到该高度． （3）∵再次上升时间与时相同， ∴当时，二次函数对称轴为， ∴上升段历时秒． 对于一般，上升段为从到对称轴，历时， ∴，即， ∴ 得． ∵无人机要求在高度不低于6米的地方正好可以拍摄10秒的视频，， ∴点在二次函数图象上， 无人机飞行高度h与时间t（秒）的函数图象如下： ∴ 即， 解得， ∴或． ∵， ∴． 变式3．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 【答案】(1)该款迷你无人机的月平均增长率为； (2)每架迷你无人机的售价应降低20元． 【分析】（1）设月平均增长率为，根据2025年11月的销售量2026年1月份的销售量建立方程，解方程即可得； （2）设每架迷你无人机降价y元，根据利润每架的利润销售量建立方程，解方程可得y的值，再根据商家要求尽量减少库存即可得． 【详解】（1）解：设该款迷你无人机的月平均增长率为x， 由题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该款迷你无人机的月平均增长率为； （2）解：设每架迷你无人机降价y元，则每天能销售架， 由题意得， 整理得， 解得，． 需要尽量减少库存， ． 答：每架迷你无人机的售价应降低20元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $一元二次方程的实际应用4种高频考点专项训练 一元二次方程的实际应用4种高频考点专项训练 考点目录 增长率问题 销售问题 几何问题 材料阅读类问题 考点一 增长率问题 例1．（25-26八年级下·山东东营·月考）某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 例2．（25-26九年级下·河南安阳·月考）某农业园区采用“智慧水稻”系统，在可控制环境的温室中进行多批次、高密度、连续栽培试验．十二月初水稻采收产量为吨，二月初水稻采收产量增至吨．假设技术稳定，每月产量的增长率相同． (1)求在该栽培模式下，每月产量的平均增长率． (2)按此增长率，预计三月初水稻采收的产量将达到多少吨？ 例3．（25-26九年级下·安徽安庆·开学考试）随着AI智能机器人的不断普及，一些工厂的流水线逐步用智能机器人取代人工进行操作服务．为了提高企业智能化操作水平，某企业提出到2027年底实现全产业链智能机器人工作岗位率达到的目标． (1)已知截至2025年底，该企业智能机器人工作岗位率只有，要实现这个目标，从2026年起该企业智能机器人工作岗位率的年平均增长率应达到多少？（参考数据：） (2)照此速度增长，2029年底该企业智能机器人工作岗位率可否超过？请说明理由． 变式1．（25-26九年级上·广西河池·月考）因新冠病毒的不断变异，市场对口罩的需求增大，某工厂引进了一条口罩生产线，开工第一天生产50万个口罩，第三天生产72万个，调查发现，1条生产线最大产能是150万个/天，若每增加1条生产线，则每条生产线的最大产能将减小5万个/天． (1)若每天生产口罩增长的百分率相同，求每天增长的百分率； (2)若增加2条生产线，则每天生产口罩最多为 万个；是否能增加生产线，使得每天生产口罩1500万个，若能，应增加几条？若不能，请说明理由． 变式2．（25-26九年级上·湖北十堰·月考）根据以下素材，探索完成任务： 如何计算工厂生产线数量？ 素材1：近期居民接种流感疫苗迎来高峰期，导致相应医疗物资匮乏．某工厂及时引进了一条生产线生产一次性注射器．开工第一天日生产量400万个． 素材2：经调查发现，1条生产线的日最大生产量与生产线数量有关，若每增加一条生产线，每条生产线的最大日生产量将减少20万个/天． 问题解决： 任务1：1条生产线的日生产量从开工第一天起，按日平均增长率增加，到开工第三天达到最大日生产量，求1条生产线的最大日产量． 任务2：达到1条生产线最大日生产量后，工厂计划增加一定数量生产线，同时又要节省投入（生产线越多，投入越大）．现该厂要保证每天生产一次性注射器4100万个，求增加的生产线数量 任务3：该厂想使每天生产一次性注射器达到10900万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由． 变式3．（25-26九年级上·湖南岳阳·期末）“电商”改变了传统的购物模式，直播带货成了当下最火爆的销售手段．电商平台上某网红店中A商品的标价为200元/件，连续两次降价后的直销价为162元/件，若两次降价率相同． (1)求A商品每次降价的百分率； (2)该网红店A商品的进价为150元/件，两次降价共出售1000件A商品，若该店预计两次降价销售的总利润不低于17400元．请问第一次降价后至少要销售A商品多少件? 考点二 销售问题 例1．（2026·四川广元·一模）某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价50元，全部售出后可获利36000元，若每个定价60元，全部售出后可获利48000元，在对5个门店调查时发现此玩具的日销售量（个）仅与销售单价（元）有关，具体记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价 60 59 58 57 56 日销售量 20 22 24 26 28 (1)此玩具的进价是多少元？ (2)从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； (3)如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出200元，该门店要通过销售该玩具每天获得600元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？ 例2．（2026·山东菏泽·一模）某商店经销甲、乙两种商品，已知甲、乙两种商品的进货单价之和是元，甲商品零售单价比进货单价多元，乙商品零售单价比进货单价的倍少元；按零售单价购买甲商品件和乙商品件，共付了元． (1)甲、乙两种商品的零售单价分别为______元和______元；（直接写出答案） (2)该商店平均每天卖出甲乙两种商品各件，经调查发现，甲种商品零售单价每降元，甲种商品每天可多销售件，商店决定把甲种商品的零售单价下降（）元．在不考虑其他因素的条件下，当为多少时，商店每天销售甲、乙两种商品获取的总利润为元？ 例3．（25-26九年级上·江苏扬州·月考）中秋节来临之际某商场经销一种月饼，原价每盒元，连续两次降价后每盒元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率． (2)若每盒盈利元，每天可售出盒，经市场调查发现，在进货价不变的情况下商场决定采取适当的涨价措施若每盒涨价1元，日销售量将减少盒，现该商场要保证每天盈利元，且要尽快减少库存，那么每盒应涨价多少元？ 变式1．（25-26九年级上·广东河源·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探索广东龙川桂林茶的日销售利润问题 素材1 龙川桂林茶是历史悠久的绿茶，产自河源市龙川县义都镇，具有抗氧化、清凉解毒等功效，深受茶友喜爱． 素材2 某款龙川桂林茶的成本价为80元/盒．经销商销售龙川桂林茶时发现：日销售量（盒）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，如图所示． 问题解决 任务一 求与之间的函数关系式（不考虑亏本出售的情况）； 任务二 市场规定：该茶叶获利不得高于，若该经销商要想每天获得1500元的销售利润，销售单价应定为多少元？ 变式2．（2026·辽宁抚顺·一模）某文具店销售一款定制帆布包．当每个帆布包售价为50元时，每天可以售出300个．该店为了提高利润，决定采取涨价措施．市场部门分析发现，每个帆布包售价每上涨1元，日销售量就会减少5个．已知每个帆布包的成本是30元． (1)若设每个帆布包的售价上涨x元，请用含x的代数式表示： ①每个帆布包的销售利润为 元； ②每天的销售量为 个． (2)当单价定为多少元时，该文具店每天的销售利润能够达到7920元？ 变式3．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）某电商平台销售神舟十三号飞船模型，进价每个80元．物价部门规定其销售单价不低于进价，且销售利润不高于进价的．经试销发现，每天的销售量（个）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)请直接写出每天的销量（个）与销售单价（元）之间的函数关系式； (2)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润为3750元？ (3)当销售单价为多少元时，该电商平台每天销售飞船模型的利润最大，最大利润是多少元？ 考点三 几何问题 例1．（2026·江苏无锡·一模）某农场拟用总长为的篱笆围成一个一面靠墙（墙的长度为）的矩形养殖区（如图1），篱笆全部用于养殖区围挡． (1)若养殖区的面积计划为，请给出设计方案； (2)为方便喂养，需要在养殖区内用部分篱笆再围出一个一面靠墙的小正方形区域（如图2），且．此时整个养殖区（大矩形）的面积能否仍然达到？若能，请给出设计方案；若不能，请说明理由． 例2．（2026·广东梅州·模拟预测）某公园举办美食节，利用一块矩形空地搭建美食摊位，布局如图所示．已知米，米，阴影部分为美食摊位，需要铺上防污地毯，其余部分均为宽度为米的道路．已知铺地毯防污的面积为675平方米． (1)求道路的宽是多少米？ (2)该美食节共有摊位60个，据调查分析，当每个摊位的日租金为200元时，可全部租出；若每个摊位的日租金每上涨5元，就会少租出1个摊位．当每个摊位的日租金上涨多少元时，美食节的日租金收入最多，最大收入是多少元？ 例3．（2026·安徽宣城·二模）综合与实践如何利用闲置纸板箱制作储物盒根据以下素材，完成探索任务． [素材1]小翼想把家中一个长，宽的区域作为自己的储物空间，用于放置自己的私人物品． [素材2]如图是利用闲置纸板箱拆解出的①，②两种宽均为的长方形纸板．    [素材3]小翼分别将长方形纸板①和②以不同的方式制作成储物盒． 纸板①的制作方式：在四个角上裁去4个相同的小正方形，折成一个无盖长方体储物盒，如图①；纸板②的制作方式：将纸片四个角裁去4个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体储物盒，如图②．    [任务1]熟悉材料 (1)按照长方形纸板①的制作方式制成的储物盒能够无缝隙的放入储物区域，且恰好没有延伸到过道，则长方形纸板宽a的值为________． 利用任务1计算所得的数据a，进行进一步的探究 [任务2]初步应用 (2)按照长方形纸板①的制作方式，为了更方便地放入或取出储物盒，盒子四周需要留出一定的空间，当储物盒的底面积是，求储物盒的容积． [任务3]储物收纳 (3)按照长方形纸板②的制作方式制作储物盒，若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为．如图是家里一个玩具机械狗的实物图和尺寸大小，请通过计算判断玩具机械狗能否完全放入该储物盒． (4) 变式1．（2026·北京·模拟预测）某商业区内矩形停车场（平面图如图所示）有A、B、C三个矩形停车区域和南北方向，东西方向各两条行车道．停车区域的东西方向宽度相同，南北方向宽度分别为a米、米、a米，行车道宽度相同．所有停车区域进行地面刷漆施工，面积为1000平方米，在停车区域内划完全相同的矩形车位（不留间隙），车位南北方向边长为a米，东西方向边长为2.5米． (1)①求行车道的宽度； ②直接写出a的值是______：车位数量为______个； (2)在试营业期间停车场实行按天收费，调查发现，按照每个车位每天收费12元的标准实施时，车位全部被租完，当停车费每上涨1元时，出租车位的数量将减少5个．设停车费上涨x元（x为正整数），停车场当天收费总金额为w元，求停车场当天收费总金额的最大值． 变式2．（2026·广东深圳·一模）新型科技广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进1台智能机器人采摘某种水果． (1)已知这台智能机器人采摘的效率是一个工人的5倍，智能机器人采摘4000千克水果比4个工人同时采摘同样质量的水果所需的天数少1天．求这台智能机器人每天可采摘多少千克该种水果？ (2)如图，为了方便智能机器人和工人采摘水果，计划在一块长、宽的矩形果园上修建三条道路，道路的宽度都相等，道路将果园分成面积均为的6个小矩形．求道路的宽度． 变式3．（2025·山东菏泽·三模）框中是小明对一道题目的解答以及老师的批注： 题目：某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1，在温室内，沿前面内墙保留宽的空地，其他三面内墙各保留宽的通道．当温室的长与宽各是多少时，矩形蔬菜种植区域的面积是？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽度为，则长为． 根据题意，得 解这个方程，得（不合题意，舍去）， 所以温室的长为，宽为 答：当温室的长为，宽为时，矩形蔬菜种植区域的面积是． 老师批改时在他的解答中划了一条横线，并打了一个“？” (1)请指出小明解答中存在的问题，并给出正确的解答过程． (2)如图，矩形在矩形的内部， ，，且．设与，与，与，与之间的距离分别为，要使矩形矩形，应满足什么条件？请说明理由． 考点四 材料阅读类问题 例1．（25-26九年级下·安徽合肥·月考）项目式学习主题：用几何方法解一元二次方程 项目 背景 八年级上册我们用等面积法验证了平方差公式和完全平方公式，我国古代数学家赵爽和阿拉伯数学家阿尔·花拉子米用不同的构图方法解一元二次方程．下面以解一元二次方程即的两种几何解法为例： 材料1 赵爽构图 可以看成是一个长为，宽为，面积为39的矩形．他用4个这样的矩形构造出图1形状的大正方形． 材料2 阿尔·花拉子米构图 用一个边长为的正方形和两个边长分别为，5的矩形构造出图2的形状，并把它补成一个图3的大正方形．通过不同的方式表达大正方形面积，可以得到方程：． 【问题解决】 (1)任务1：在材料一中，大正方形面积可以表示为_________（用含的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形面积，即等于__________，故可得到方程_______． (2)任务2：根据材料二中的构图方法，画图说明的几何解法（在图上标上相关数据），并求出方程的解． 【拓展应用】 (3)任务3：一般地，对于形如：的一元二次方程可以通过构图方法来解．已知图4是由4个面积为6的相同矩形构造出的大正方形，中间围成的小正方形面积为25．请直接写出_______，_______． 例2．（2026·安徽淮南·一模）综合与实践 【项目主题】 班级劳动实践小组拟用正方形和圆形代表两种花卉为某单位设计花卉展览图案． 【项目准备】 正方形和圆形分别代表盆景和花卉，同学们已经知道数学公式：（n为正整数）． 【项目分析】 第1个图案中盆景的盆数为6，花卉的盆数为2； 第2个图案中盆景的盆数为10，花卉的盆数为7； 第3个图案中盆景的盆数为14，花卉的盆数为14； 第4个图案中盆景的盆数为18，花卉的盆数为23； ．．． 【项目实施】 按照以上规律，解答下列问题： (1)第5个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (2)第（为正整数）个图案中盆景的盆数为___________，花卉的盆数为___________； (3)已知该单位实施的花卉展览图案中花卉比盆景多77盆，求该单位购买盆景和花卉的盆数． 例3．（25-26九年级上·浙江温州·期中）学校手工坊的成员们想利用一张长18分米，宽11分米的矩形铁皮，制作长方体铁盒，用于存放工具盒（工具盒尺寸为3分米分米分米，任意面均可作为底面）． 原始方案   设计思路：将铁皮剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体铁盒 改进方案   设计思路：将铁皮剪去四个全等的正方形，剩余部分（阴影部分）用来制作长方体无顶盖铁盒 (1)原始方案中，设小正方形的边长为分米，若该铁盒的底面积为30平方分米，求的值，并求出这个铁盒最多能容纳工具盒的个数． (2)为了增加长方体铁盒的容积，社团成员小伟提出，能否用该铁皮设计一款无顶盖的铁盒的改进方案，使其能容纳尽量多的工具盒【说明：铁片剪去的部分不再拼接使用，工具盒存放时不可高出铁盒】是否有可能放下32个工具盒？如果可以，请求出此时铁盒高度，并说明摆放方法（允许画草图说明）；如果不能，请写出你最多能放几个？ 变式1．（2026·云南曲靖·模拟预测）根据下列素材，按要求完成任务： 如何为商家设计利润最大化的销售方案 素材1 某商场以每件30元的价格购进一种吉祥物，物价部门规定这种吉祥物的销售单价不高于55元． 素材2 市场调查分析（y是的一次函数）： 销售单价（元） … 34 38 42 46 50 … 每天的销售量（件） … 72 64 56 48 40 … (1)若商场销售这种吉祥物每天想获得600元的总利润，每件商品的售价应定为多少元？ (2)设商场每天获得的总利润为w元，请探究商场应将吉祥物的销售单价定为多少元时，使每天获得的总利润最大，最大利润为多少？ 变式2．（25-26九年级下·广东广州·月考）无人机灯光秀中的数学探究： 2026年2月17日（大年初一）晚，广州白鹅潭举行春节烟花汇演，2026架无人机与超15万发烟花共同点亮珠江夜空．无人机表演团队在江面浮台腾空而起，先后变幻出“喜洋洋乐融融”“木棉花”等造型，其中一朵巨大的木棉花凌空盛放，成为当晚亮点．某数学兴趣小组对此展开探究，请根据以下素材，思考并完成任务： 素材一 无人机单次飞行任务时间为10秒．高度h（米）随时间t（秒）变化分两阶段： （1）匀速上升：前a秒（）内，从浮台垂直起飞，初高0米，速度3米/秒； （2）变速段：a秒后，高度满足二次函数，且时降落到浮台（高度0米）． 素材二 如图，江边观演区有一位摄影师，眼睛距地面1.6米（图中），他的正前方点B（浮台边缘B）是无人机起飞点．木棉花造型由多架无人机组成，其最下端位于B点正上方． (1)构建高度函数，当时，求二次函数解析式中的m和n的值； (2)测量木棉花造型的高度，摄影师在点C处测得木棉花最下端的仰角为．为了更准确测量，他向前走到点E（E在上，且米），此时测得仰角为，已知，． ①求木棉花最下端的高度h； ②当时，根据任务一得到的飞行高度与时间的关系，这个高度是否可能是无人机在飞行过程中（即从起飞到降落的10秒内）某一时刻达到的高度？如果可能，求此时对应的时刻t（精确到0.1秒）；若不可能，请说明理由． (3)调整飞行参数，若无人机要求在高度不低于6米的地方正好可以拍摄10秒的视频，则需要调整无人机匀速上升的时间，假设无人机匀速上升的时间为秒，速度还是3米/秒，a秒后，无人机先上升再下降，再次上升时间与秒时再次上升时间相同，其高度随时间的变化可用二次函数描述，求a的值． 变式3．（2026·安徽阜阳·一模）综合与实践 【项目主题】 探究新款迷你无人机校园营销方案 【项目背景】 某校科技实践小组计划引入一批符合国家微型无人机标准、具备简易编程模块的新款迷你无人机，作为教育实践器材，并希望通过校园营销活动筹集社团活动经费．为制定科学的销售方案，小组对某线上旗舰店的销售数据展开了调研，旨在通过数学建模方法优化无人机定价策略． 【项目准备】 数据调研：收集该线上旗舰店2025年11月至2026年1月的月销售数据，梳理该款迷你无人机进价、售价与销量之间的动态关系，记录不同定价下的日销售情况． 知识复习：复习一元二次方程及其应用，熟练掌握增长率计算模型与利润计算公式． 工具准备：数据记录表、图表绘制工具、决策分析表格． 【项目实施】 阶段一：销售增长趋势分析 任务1：从线上旗舰店调研数据可知，2025年11月该款迷你无人机的销量为1125架，2026年1月份该款迷你无人机的销量为1620架，若2025年12月与2026年1月这两个月该款迷你无人机的月平均增长率相同，求该款迷你无人机的月平均增长率． 阶段二：校园促销方案设计 任务2：调查发现该旗舰店迷你无人机的进价为每架60元且售价定为每架100元时，每天能销售20架，且售价每降低1元，每天可多销售2架．若需要尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，则每架迷你无人机的售价应降低多少元？ 【项目成果】 科技实践小组以线上旗舰店的数据为参考设计出最佳校园营销方案． (1)解决任务1． (2)解决任务2． 2 学科网（北京）股份有限公司 $