2025年中考数学专题突破系列：实际问题与一元二次方程

2025年中考数学专题突破系列：实际问题与一元二次方程 1．每年6月的第三个星期日即为父亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在父亲节为父亲送礼物，感恩父亲，祝福父亲．节日前夕，某店采购了一批礼盒，成本价为60元每件，分析上一年父亲节的礼盒销售情况，得到了如下数据，同时发现每天的销售量（件）是销售单价（元/件）的一次函数． 销售单价（元/件） … 90 95 100 110 … 每天销售量（件） … 50 45 40 30 … (1)求出与的函数关系； (2)物价局要求，销售该礼盒获得的利润不得高于成本价的； ①当销售单价取何值时，该店销售礼盒每天获得的利润为1479元？ ②试确定销售单价取何值时，店里销售该礼盒每天获得的利润（元）最大？并求出该店销售该礼盒每天获得的最大利润． 2．某公司通过甲、乙两个直播间促销商品，成本为每件元，售价为每件元．调查发现：若每件商品提成元，甲主播可以销售件，并且在此基础上，每件商品每多提成元，可以多售出件，乙主播每件商品可固定提成元，销售量比甲主播少卖件．设甲主播每件商品提成元． (1)甲主播可以销售________件，乙主播可以销售________件（用含的代数式表示）； (2)当为多少时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大？并求出此时的最大利润； (3)当甲主播的提成比乙主播的提成多元时，直接写出的值为________． 3．春节期间，《哪吒2》热映，某文创公司设计了一款成本价为每卷4元的哪吒贴纸投放到市场，公司以不低于成本价且不超过每卷7元的价格销售，当每卷售价为5元时，每天售出贴纸950卷；当每卷售价为6元时，每天售出贴纸900卷，通过分析销售数据发现：每天销售贴纸的数量y(卷)与每卷售价x(元)满足一次函数关系． (1)请直接写出y与x的函数关系式： ； (2)公司将该贴纸每卷售价定为多少元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元？ (3)当每卷售价定为多少元时，每天获利最大？最大利润为多少？ 4．某购物商场的地面停车场为矩形，其面积为，共设计了如图所示的56个停车位，每个停车位的尺寸都一样，且长比宽多，通车道的宽度都相等，求停车位的宽． 5．为了发展乡镇经济，助力农民致富，某县县长在抖音平台上直播带货，销售一种当地的农特产品，成本价为50元/件，直播后，按每件70元销售，第一天卖出了80件． (1)若第三天的销售利润为2500元，求第二天、第三天日销售利润的平均增长率； (2)若直播后，通过市场调查发现，售价每降低1元，日销售量增加10件，求当售价定为多少时，日销售利润为1950元？ 6．如图，有一面墙长为25米，现在要用长为48米的铁丝，一面用墙，围成中间有一道铁丝的长方形 (1)当的长是多少时，围成的长方形的面积为？ (2)能围成总面积为的长方形吗？请说明原因 7．春节过后，某店铺销售黄油年糕特别火爆，经市场调查发现，销售单价定为17元/盒时，日销售量为100盒．销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒．已知销售单价不低于成本价．当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元． (1)当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是多少？（用含的代数式表示） (2)求黄油年糕每盒的成本价； (3)端午节，为了尽可能让利顾客，扩大销售，店铺采用了降价促销的方式，当销售单价（元/盒）定为多少时，日销售利润为1050元？ 8．学校开展社会实践活动，下表是“遇数临风”小组的记录表，请根据相关信息解决表中的两个问题． 外国语学校社会实践记录表 团队名称 遇数临风 活动时间 2025．3．1 班级人员 第三小组8名同学 地点 旺鲜生蔬菜超市 实践内容 调查青菜行情，帮超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠． 调研信息 青菜的进价为2元/千克． 青菜售价为2．5元/千克时，每天可销售125千克． 每千克每涨价1元，每天少销售50千克． 解决问题 问题1 超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为多少元/千克？ 问题2 超市一天销售青菜能否获利150元？若能，请求出青菜的售价为多少元/千克；若不能，请说明理由． 9．重庆某建筑公司承包了一项某网红景点的改造工程，聘请了甲队和乙队共同参与．已知乙队的工作效率是甲队的 ，甲队先单独做了天，之后甲队和乙队又合作了天，刚好如期完成了整项工程的改造． (1)求甲队单独完成整项工程需要多少天？ (2)改造工程结束后，该景点负责人为提升景点人气，立即发售代表该景点的特色套装纪念品，每套纪念品进价元，为合理定价，发售前进行市场调查，售价元时，每天可卖套，而售价每涨元，日销售量就减少套，若想每天获利元，且售价不超过元，那么该纪念品的售价应为多少元？ 10．郯城木版年画是一种具有浓郁地方特色的传统民间艺术，于2013年被列入山东省第四批省级非物质文化遗产代表性项目名录，也是临沂著名的非物质文化遗产之一．现有一张长方形木板准备用于雕刻刻版制作年画，木板的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形木板的周长； (2)木版年画制作师傅想利用这块木板改制成一张面积为的完整圆形木板来雕刻花鸟图，他能够做出来吗？请说明理由．（π取3） 11．某小区有一块长为a米，宽为b米的矩形场地，计划在该场地上修筑宽都为2米的两条互相垂直的道路，余下的四块矩形小场地建成草坪． (1)如图，请写出道路的面积（用含a、b的代数式表示）； (2)已知，并且四块草坪的面积之和为，试求原来矩形场地的长与宽各为多少米？ 12．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 13．为提高市民的宜居环境，某区规划修建一个文化广场（平面图形如图所示），其中四边形是矩形，分别以边为直径向外作半圆，若整个广场的周长为，矩形的边长．（注：取） (1)试用含x的代数式表示y； (2)现计划在矩形区域上种植花草和铺设鹅卵石等，平均每平方米造价为428元，在四个半圆的区域上种植草坪及铺设花岗岩，平均每平方米造价为400元； ①设该工程的总造价为W元，求W关于x的函数关系式； ②该工程要求矩形的边的长不超过长的，政府计划投入万元，问能否完成该工程的建设任务？若能，请列出设计方案；若不能，请说明理由？ 14．昆明公园1903是一处融合了古典与现代，东方与西方的绝佳地点：这里不仅是购物的天堂，更是摄影爱好者的梦幻胜地．公园1903在2024年10月1日国庆节一天共接待游客达2万人次，预计到10月3日这天将接待游客万人次． (1)求公园1903在2024年10月1日至2024年10月3日这三天时间内接待游客人次的平均增长率； (2)公园1903的网红打卡地—凯旋门将举行咖啡节活动．每杯咖啡成本价为3元，根据销售经验，若每杯定价13元，则平均每天可销售400杯，若每杯价格降低1元，则平均每天可多销售100杯．2024年国庆期问，店家决定进行咖啡降价促销活动．则当每杯售价定为多少元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是多少？ 15．综合与实践 【主题】利用闲置硬纸板制作收纳盒收纳玩具 【素材】两张长为，宽为的硬纸板 【任务】 (1)把如图1所示的长方形硬纸板的四角沿虚线剪去四个相同的小正方形，得到如图2的纸板，然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，即可做成一个无盖的长方体收纳盒．若该无盖收纳盒的底面积为，求剪去的小正方形的边长； (2)把长方形硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，折成一个有盖的长方体收纳盒，如图3所示．若和两边恰好重合且无重叠部分，盒子的底面积为，问能否把家里一个机械狗玩具收纳入内？机械狗的实物图和尺寸大小如图4，请通过计算判断机械狗玩具能否完全放入该收纳盒． 16．如图1是一条平直道路，道路限速路口停车线和路口停车线之间相距两路口各有一个红绿灯．在停车线后面停着一辆汽车，该汽车的车头恰好与停车线平齐，已知汽车启动后开始加速，加速后汽车行驶的路程、速度与时间的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图2、3所示，某时刻路口绿灯亮起，该汽车立即启动．（车身长忽略不计） (1)求该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间以及最快需要多少时间可以通过停车线． (2)若路口绿灯亮起后路口绿灯亮起，且路口绿灯的持续时间为．该汽车先加速行驶，然后一直匀速行驶若该汽车在路口绿灯期间能顺利通过停车线．该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学专题突破系列：实际问题与一元二次方程》参考答案 1．(1) (2)①当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元；②当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）利用待定系数法求一次函数解析式． （2）①根据题意列出关于x的一元二次方程，求解并结合利润不得高于成本价的得出合适的解即可． ②根据题意列出W关于x的一次函数，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将和 分别代入得： 解得：， 所以，与的函数关系式为； （2）解：①据题意得： 解得：， 又因为不合题意，舍去， 当销售单价时，该花店销售鲜花礼盒每天获得的利润为1479元． ②据题意得，， 即 即当时，有最大值1600，但， 因为，抛物线开口向下， 在对称轴的左边，随的增大而增大， 所以，当销售单价时，花店销该鲜花礼盒每天获得的利润（元）最大， 最大利润元． 2．(1)，； (2)，元； (3) 【分析】本题考查了列代数式，二次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列二次函数解析式和方程是解题的关键． （1）根据题意列代数式即可； （2）根据题意得到关于的解析式，再根据二次函数的性质确定最值，即可得到答案； （3）根据题意列方程，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意可知，甲主播可以销售件， 乙主播可以销售件， 故答案为：，； （2）解：由题意得，甲直播间的利润为元， 乙直播间的利润为元， ， ， 当时，甲、乙两个直播间的利润总和达到最大，最大利润为元； （3）解：根据题意得：， 解得或（舍去）， 故答案为：． 3．(1)() (2)将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元 (3)当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤，正确理解题意，根据题意找出等量关系，列出方程和函数关系式． （1）根据题意可得，该函数经过点，y与x的函数关系式为，将代入，求出k和b的值，即可得出y与x的函数关系式； （2）根据总利润=每卷利润×销售量，列出方程求解即可； （3）设利润为w元，根据总利润=每卷利润×销售量，列出w关于x的函数表达式，再根据二次函数的性质， 即可解答． 【详解】（1）解：根据题意可得，该函数经过点， 设y与x的函数关系式为， 将代入得： ，解得：， ∴y与x的函数关系式为()， 故答案为：()； （2）解；根据题意可得：， ∴， 整理得：， 解得：， ∵售价不低于成本价且不超过每千克7元， ∴公司将该贴纸每卷售价定为6元时，每天销售该贴纸的利润可达到1800元； （3）解：设利润为w元， ， ∵，函数开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w有最大值，此时， 当每卷售价定为7元时，每天获利最大，最大利润为2550元． 4．停车位的宽为 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为，根据题意得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设停车位的宽为，则停车位的长为，车道宽为， 根据题意得，， 解得或（舍去）， 答：停车位的宽为． 5．(1)第二天、第三天日销售利润的平均增长率为； (2)售价应定为65元或63元． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用： （1）设第二天、第三天日销售利润的平均增长率，根据第三天的销售利润为2500元，列出一元二次方程求解即可； （2）设应降价元，根据售价每降低1元，日销售量增加10件，日销售利润为1950元列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设第二天、第三天日销售利润的平均增长率， 则， 解得：， （舍去）， 答：第二天、第三天日销售利润的平均增长率为25%； （2）解：设应降价元， 则， 解得：，， 答：售价应定为65元或63元． 6．(1)10米 (2)不能，见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系正确列出方程是解题的关键． （1）设的长是米，则的长是米，根据长方形的面积为列出方程，解出的值，再判断的长是否超过墙的长即可得出答案； （2）设的长是米，则的长是米，根据题意列出方程，再利用判别式判断方程根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 答：当的长是10米时，围成的长方形的面积为． （2）解：不能，原因如下： 设的长是米，则的长是米， 由题意得，， 整理得：， ， 方程没有实数根， 不能围成总面积为的长方形． 7．(1)盒 (2)黄油年糕每盒的成本价为8元 (3)销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元 【分析】本题考查列代数式，一元一次方程和一元二次方程的实际应用，正确的列出代数式和方程是解题的关键： （1）根据销售单价每降低1元，日销售量将增加25盒，列出代数式即可； （2）设成本为元，根据当店铺将销售单价降低1元时，日销售利润为1000元，列出方程进行求解即可； （3）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：当销售单价降低为元/盒时，黄油年糕的日销售量是盒； （2）设成本为元，由题意，得：， 解得：； 答：黄油年糕每盒的成本价为8元； （3）由题意，得：， 解得：或， ∵为了尽可能让利顾客，扩大销售， ∴， 此时售价为：元； 答：销售单价（元/盒）定为14时，日销售利润为1050元． 8．问题1：3元/千克；问题2：不能，理由见解析 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到相等关系列出方程是解题的关键． 问题1：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜获利100元”列出方程求解即可； 问题2：设青菜的售价为元/千克，根据“一天销售青菜能否获利150元”列出方程，再根据一元二次方程根的判别式进行判断即可． 【详解】解：问题1：设青菜的售价为元/千克， 由题意得：， 解得：，． ∵超市解决销售问题的同时为顾客谋实惠， ∴青菜的售价为3元/千克， 答：超市想一天销售青菜获利100元，青菜的售价为3元/千克． 问题2：超市一天销售青菜不能获利150元，理由如下： 设青菜的售价为元/千克， 整理得：， ∵ ∴方程没有实数根，故超市一天销售青菜不能获利150元． 9．(1)天 (2)元 【分析】本题考查了分式方程和一元二次方程：（1）工程问题，设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是，利用工作量之和等于总工程量列方程；（2）利润问题，设该纪念品的售价为元，根据题意，利用总利润公式列方程． 【详解】（1）解：设甲队单独完成整项工程需要天，则甲队的工作效率是，乙队的工作效率是 由题意得：． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：甲队单独完成整项工程需要天． （2）解：设该纪念品的售价为元，由题意得： 整理得： 解得：， ∵ ∴ 答：该纪念品的售价为元． 10．(1) (2)不能够做出来，理由见详解 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解几何问题，无理数大小的比较等知识点，解题的关键是假设出未知数，找准等量关系列出方程． （1）设木板的长为，则宽为，根据面积公式列出方程求解即可； （2）假设圆的半径为，根据圆的面积公式列出方程求出半径，再利用无理数大小的比较进行判定即可． 【详解】（1）解：设木板的长为，则宽为， 根据题意得 解得（舍去）， ∴木板的长为，则宽为， ∴长方形木板的周长为； （2）解：假设圆的半径为， 根据题意得， 解得（舍去）， ，， ，长方形木板的宽是，， 不能够做出来． 11．(1)这两条道路的面积分别是和； (2)原来矩形的长为28米，宽为14米． 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解题意并根据题意列方程求解是解题的关键． （1）由题意矩形场地的长为a米，宽为b米以及道路宽为2米即可得出每条道路的面积； （2）根据题意四块草坪的面积之和为这一等量关系建立方程进行分析计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知这两条道路的面积分别是和； （2）解：∵， ∴， 根据题意得：， 整理得， 解得：，（舍去）， ∴（米） 答：原来矩形的长为28米，宽为14米． 12．(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【分析】本题考查的了勾股定理，列代数式，一元二次方程的应用． （1）设运动时间为，则，，，利用勾股定理得出关于t的方程，解方程即可； （2）根据题意得，解方程即可； （3）当的面积会等于面积的一半时，则，再根据的值可得结论． 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 13．(1) (2)；能，设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆 【分析】本题主要考查了列函数关系式，一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确列出对应的函数关系式和方程是解题的关键． （1）整个广场的周长为两个圆的周长，据此根据圆周长计算公式求解即可； （2）①分别表示出矩形和两个圆的面积，二者求和即可得到答案；②先根据题意求出x的取值范围，再根据①所求令费用为万元建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，， ∵， ∴， ∴； （2）解：①由题意得， ； ②∵矩形的边的长不超过长的， ∴， 解得， 当时，则， 解得（舍去）， ∴． ∴设计的方案是：长为，长为，再分别以各边为直径向外作半圆． 14．(1) (2)当每杯售价定为10元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是4900元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）设这三天时间内接待游客人次的平均增长率为，根据题意可得：，然后进行计算即可解答； （2）设每杯售价为元，总利润为元，根据总利润单个利润总数量进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设这三天时间内接待游客人次的平均增长率为， 由题意得：， 解得：，（舍去）， 这三天时间内接待游客人次的平均增长率为； （2）解：设每杯售价为元，总利润为元， 由题意得： ， ， 当时，元， 当每杯售价定为10元时，店家每天卖此款咖啡的利润最大，最大利润是4900元． 15．(1)剪去的小正方形的边长为； (2)玩具机械狗不能完全放入该收纳盒，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二元一次方程组的应用，合理将实际问题转化成方程（组）是解题的关键． （1）设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，列出方程求解即可； （2）设小长方形的宽为，长，列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设剪去的小正方形的边长，则无盖收纳盒的长为，宽为，依题意得： ， 整理得： 解得：，（舍去）， ∴剪去的小正方形的边长． （2）解：设小长方形的宽为，长，由题意得： ， 解得：， ∴小长方形的宽为， 当和两边恰好重合且无重叠部分，收纳盒的高为， ∴玩具机械狗不能完全放入该收纳盒． 16．(1)该汽车从停车线出发加速到限速所需的时间为，最快需要可以通过停车线． (2) 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合，解分式方程，解一元二次方程，理解题意出关系式或方程是解题的关键． （1）先将限速单位化为，根据图3求得，代入求解即可；进而求得加速时间，根据题意求得运算时间，分别求得两段时间内的路程，进而即可求得答案； （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,根据题意根据（2）的方法求得两段路程所用时间，结合题意中绿灯等亮起期间所用时间，分别列出方程，即可该汽车匀速行驶过程中速度的取值范围． 【详解】（1）解：∵限速为 由图3可知当时，，设，解得 s 由图2可知当时，，且，设 解得， ∵汽车从停车线出发加速到限速所需的时间s 则 以行驶的时间为 该汽车最快需要可以通过停车线 （2）设该汽车匀速行驶过程中速度的为,即汽车加速到． 由（1）可得汽车加速到所用的时间为， 则汽车从停车线出发加速到的路程为，匀速所用时间为， 根据题意可得当路口绿灯亮起时通过则， 整理得： 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 可得当路口绿灯熄灭时候通过， 解得：（舍），经检验,是原方程的解, 综上所述，该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答：该汽车匀速行驶过程中速度的为的范围为： 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$