相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练-2026年中考数学二轮复习

相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 考点目录 相似三角形的性质与圆综合 全等三角形的性质与圆综合 考点一 相似三角形的性质与圆综合 例1．（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在中，点C是边上的一点， (1)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边上作一点D，使得（保留作图痕迹，不写作法）． (2)若，． ①求证：． ②当时，求的值． 例2．（2026·云南玉溪·一模）如图，四边形内接于，是的直径，连接，点是外一点，且，过点作，垂足为点． (1)若，直接写出的长； (2)求证：直线是的切线； (3)探究，发现与证明：已知，，是否存在常数，使等式成立？若存在，请直接写出的值，并证明你写出的的值，使等式成立；若不存在，请说明理由． 例3．（2026·江苏南京·模拟预测）如图①－③，是的外接圆，G，I分别是的重心与内心，延长分别交，于E，D． (1)如图①，的值是______； (2)如图②，求证：； (3)如图③，若，，求的长． 变式1．（2026·云南红河·一模）自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一．如图，是四边形的外接圆，半径为，过点作交的延长线于点平分． (1)在图1中，若是的直径．求证：是的切线； (2)在（1）的条件下，若，求线段的长； (3)在图2中，若、，求的最大值． 变式2．（2026·四川广元·一模）如图，是的直径，点在上，的平分线交弦于，交于，过点作的切线交射线于． (1)求证：； (2)若的半径为4，，求的长． 变式3．（2026·广东惠州·一模）如图，四边形内接于，为直径，点在的延长线上，且是的切线． (1)求证：； (2)若，，的半径为5，求的长． 考点二 全等三角形的性质与圆综合 例1．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）内接于，直径交于点E，连接，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F在弧上，连接，若，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，过点A作于点G，交半径于点H，若，，求线段的长． 例2．（25-26九年级下·吉林长春·月考）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上，且都在上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． (1)在图①的上，作点M使，点M在格点上且不与点B重合； (2)在图②的上，作点N使，点N在格点上； (3)在图③的上，作点D使． 例3．（2026·四川绵阳·二模）如图，是的弦，，垂足为为的直径，，与分别交于． (1)证明：； (2)求的值； (3)求的长度． 变式1．（2026·江苏宿迁·二模）如图，菱形的边长为，，点、分别在边、上，且，，点从点出发，沿折线以的速度向点匀速运动(不与点重合)，的外接圆交边于点，连接、．设点运动时间为． (1)当点在边．上运动时，证明：； (2)当点在边上运动时，试判断的形状，并说明理由； (3)在运动过程中，若点在内部，求的取值范围． 变式2．（25-26九年级下·黑龙江大庆·月考）如图，在三角形中，，以为直径的交于点，过点作的垂线，交于点，连接交于点，连接并延长交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)当， 时， 求的值． 变式3．（25-26九年级下·湖南长沙·期中）已知：内接于，，点E是上的一个动点． (1)如图1，若，的半径为2，求的长； (2)如图2，点E在劣弧上（不与点A、C重合），连接．若，求的度数； (3)如图3，已知，，点E在劣弧上（不与点B、C重合），与交于点D，在延长线上取一点G，连接，交于点H，．请判断的结果是否为定值，若是请求出其定值，若不是请说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 考点目录 相似三角形的性质与圆综合 全等三角形的性质与圆综合 考点一 相似三角形的性质与圆综合 例1.(2026江苏连云港模拟预测)如图，在△ABF中，点C是边BF上的一点， 图1 图2 (I)请你在图1中用无刻度的直尺和圆规，在边AF上作一点D,使得∠ADB=∠ACB(保留作图痕迹，不写作法). (2)若AB=AC,BD⊥AC. ①求证：∠BAC=2LCAF. ②当tan∠ABC=3时， S△cDE的值. SABF 【答案】(1)见解析 20见解折：2号 【分析】(1)根据三角形外角的性质得出∠FBD=∠FAC,然后作图即可： (2)①根据等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB,确定∠ADB=∠ABC,再由垂直得出∠CAF=90°-∠ADB,利 用三角形内角和得出∠BAC=180°-2∠ABC,即可证明；②过点A作AH⊥BC,得出BH=CH,设BH=3a,则 AH=9a,BH=CH=3a,BC=6a,确定AB=AC=3V10a,由(1)得LABC=LACB=∠ADB,利用正切函数及 勾股定理确定CD=√CE2+DE2=√0a，再由圆内接四边形的性质及相似三角形的判定和性质即可求解。 【详解】(I)解：如图所示，作∠FBD=LFAC,BD交AF于点D,即为所求； LACB=∠F+∠FAC,∠ADB=∠F+∠FBD, ∠ADB=∠ACB; 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 (2)证明：AB=AC, ∠ABC=∠ACB, ∠ADB=∠ACB, ∠ADB=∠ABC, BD⊥AC, ∠ADB+∠CAF=90°， ·∠CAF=90°-∠ADB, ∠ABC+∠BAC=180°-∠ACB=180°-∠ABC, ∠BAC=180°-2∠ABC, ·∠BAC=2LCAF; ②过点A作AH⊥BC,如图所示， B AB=AC, ∴BH=CH, 设BH=CH=3a,则BC=BH+CH=6a, tan∠ABC= AH=3, BH :.AH =3BH =9a, AB=AC=AH2+BH2=310a, 由(1)得∠ABC=∠ACB=∠ADB, tan∠ABC=tan∠ACB=tan∠ADB=3, BD⊥AC, tan∠ACB= BE=3, CE 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 .BE =3CE, BC=6a,且CE2+BE2=BC2, ∴CE2+(3CE)2=(6a2, ∴CE 3v10 a, 5 AE=AC-CE=120。 5a, :an∠ADB=E-3, DE “DE=AE40 3 54, 六CD=VCE2+DE2=V10a, ~四边形ABCD为圆内接四边形， .LABC+∠ADC=180°， ∠FDC+∠ADC=180°， ∴.∠ABC=∠FDC, ∠F=LF, △FDC∽△FBA, DC 10a 1 BA 3W10a31 .S.CDE S.ABF BA =9 例2.(2026·云南玉溪·一模)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AC是⊙0的直径，连接BD,点E是⊙0外一点， 且∠DBE=∠DAB,过点B作BF⊥AC,垂足为点F. D B E (I)若AF·AC=9,直接写出AB的长； (2)求证：直线BE是⊙0的切线： (3)探究，发现与证明：已知AB=BD,∠ABD=2LBDC,是否存在常数n,使等式AB2-BC2=mAC.OF成立？若 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 存在，请直接写出m的值，并证明你写出的n的值，使等式AB2-BC2=mAC,OF成立；若不存在，请说明理由. 【答案】(I)AB=3 (2)见解析 (3)存在，m=2 【分析】(1)由AC是OO的直径可得∠ABC=90°，由BF⊥AC得LAFB=90°，又∠BAC=∠FAB,可证明 △ABC∽△AFB,得AB2=AF·AC,即可求出AB; (2)连接OB,可以证得∠OAB+∠OBC=90°，再证明∠BAC=∠CBE,即可得出OB⊥BE,从而可判断BE是 ⊙0的切线； (3)设⊙0的半径为R,则AC=2R,OA=OC=R,证明AB2=AF,AC,BC2=CF,AC,得 AB2-BC2=AC(AF-CF),设OF=x,则AF=R+x,CF=R-,得AF-CF=2OF,代入 AB2-BC2=AC.2OF=2AC.OF即可. 【详解】(1)解：AC是⊙0的直径， ∠ABC=90°， BF⊥AC, ∠AFB=90°， 又∠BAC=∠FAB, △ABC△AFB, .AB AC AFAB' AB2=AF.AC, AF.AC=9, AB2=9 AB=3(负值舍去)； (2)证明：连接OB,如图， B 0A=0B, ∠0AB=LOBA, 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 ∠ABC=90°， .∠0BA+∠0BC=90°， ∠0AB+∠0BC=90°， DC=DC, ∠DAC=∠DBC, ∠DBE=∠DAB, ∠DAC+∠BAC=∠DBC+∠CBE, ∠BAC=∠CBE, .LCBE+L0BC=90°，即∠0BE=90°， OB⊥BE, OB是00的半径， .BE是OO的切线； (3)解：存在，m=2,理由如下： 设⊙0的半径为R,则AC=2R,OA=OC=R, 由(1)得AB2=AF·AC, 同理可证△BCF∽△ACB, 2.BC_CF AC BC' ∴BC2=CF.AC, .AB2-BC2=AC(AF-CF), 设OF=x,则AF=OA+OF=R+x,CF=0C-OF=R-x, .AF-CF=(R+x)-(R-x)=2x=20F, :..AB2-BC2 AC.20F =2AC.OF, 当m=2时，等式恒成立. 例3.(2026江苏南京模拟预测)如图①-③，⊙O是ABC的外接圆，G,I分别是ABC的重心与内心，延长 A1分别交BC,⊙O于E,D. .0 O G B B D D 图① 图② 图③ 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 0)如图O,4C的值是： AF (2)如图②，求证：BD=ID; ③)如图③，若1G∥BC,ED=5 ，求BD的长 【容】0号 (2)见解析 (3)5 【分析】(I)连接CG并延长交AB于点D,连接DF,根据重心的性质得出D为AB的中点，确定DF为ABC的 中位线，再由相似三角形的判定和性质即可求解： (2)连接BI,根据内心的性质，得出∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI,利用圆周角定理得出∠CBD=∠CAD,结 合三角形外角的定义及等量代换确定∠BD=∠IBD,即可证明； 3)根据相似三角形的判定和性质得出△A1 GAEF，E=F=2,设41=2x,则E=x,AE=3五 D=AE+ED=3x士，确定BD=x+再由相似三角形的判定和性质得出△ABDABED, ,82盼即 BD2=DE·AD,代入计算即可. 【详解】(1)解：连接CG并延长交AB于点D,连接DF,如图所示： G B F G是ABC的重心， D为AB的中点， F为AB中点， DF为ABC的中位线， ÷DF∥CA,DF=AC, 2 aDGF∽△CGA, GF DF 1 AGAC2’ AG 22 AF1+23: (2)连接B1, 6 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 I是△ABC的内心， ∠BAD=∠CAD,∠ABI=∠CBI, ∠CBD=∠CAD, ∠BAD=∠CBD,.∠BID=∠ABI+∠BAD,∠IBD=∠CBI+∠CBD, '∠ABI=∠CBI,∠BAD=∠CBD, .∠BID=∠IBD, :BD ID (3)解：~IG∥BC, AAIG∽△AEF, 业=1G=2, IE GF 设AI=2x,则IE=x,AE=3x, 六AD=AE+ED=3x+ 由（2)得BD=ID, 5) :.BD=ID=AD-AI=3x+ 2 -2x=x+7 2 ∠D=∠D,∠DBE=∠DAB, ∴△ABD∽△BED, DE -BD. BD DA 即BD2=DE·AD, 5 (x+3)2=5(3x+) 2 解得：x= (舍去x=0), 2 BD=x+。=5. 2 变式1.(2026·云南红河一模)自然界是几何的宝库，几何之美是生活中最无声却又最动人的旋律，让我们的世界 充满了惊喜与奇迹，圆是几何中最美的图形之一·如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，半径为r=3,过点D作 DE⊥AB交BA的延长线于点E,AD平分∠EAC, 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 D D E 0 B B 图1 图2 (1)在图1中，若AC是O0的直径.求证：ED是O0的切线； (2)在(1)的条件下，若ED=3EA,求线段AD的长： (3)在图2中，若BC=CD、m=AB+AD,求m的最大值. 【答案】(1)见解析 230 5 (3)6 【分析】(1)连接OD,证明∠EAD=∠ODA,根据∠EAD+∠ADE=90°可得∠ODE=90°，故可得ED是O0的切 线 D记，代入相关 C2)设EA=a,由ED=3EA得ED=3a,由勾股定理得AD=V0a.证明C4DoaD4E,得EA-D 数据进行计算即可得出结论； (3)延长AB至点F,使得BF=AD,连接CF,BD,证明LCAB=∠CAD=∠DAE=60°.∠ADC=∠FBC.根据 SAS证明aADC≌△FBC,得CA=CF,再证明CAF是等边三角形，得AF=AC,根据AC≤2r=6可得结论. 【详解】(1)证明：连接OD, D E 0A=0D, :Z0AD Z0DA :AD平分∠EAC, ∴∠OAD=∠EAD, .∠EAD=∠ODA. :DE⊥AB, ∠AED=90°， .∠EAD+∠ADE=90°. P 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 LODA+LADE=90°，即∠0DE=90°. OD⊥DE, 又：0D是⊙0的半径. DE是OO的切线. (2)解：：ED=3EA, ∴设EA=a,则ED=3a, 由勾股定理得AD=√AE2+DE2=√a2+(3a)2=10a. :AC是⊙0的直径， .∠ADC=90°， .LADC=∠AED. 又：∠CAD=∠DAE, △CAD∽△DAE, EA AD AD AC a 10a 3 10a 6 ,解得a=5 4D=v10a=310 (3)解：如图所示，延长AB至点F,使得BF=AD,连接CF,BD. D 0 ·BC=CD, F ∠CBD=∠CDB. :∠CBD=∠CAD,∠CDB=∠CAB,AD平分∠EAC, LCAB=∠CAD=∠DAE=60°. ∠ADC+∠ABC=180°，∠FBC+∠ABC=180°， ∠ADC=LFBC. 在△ADC和△FBC中， 0 相似三角形的性质与圆综合、全等三角形的性质与圆综合专项训练 AD=FB ∠ADC=∠FBC. BC=DC △ADC≌△FBC(SAS). :CA=CF, :∠CAF=60° 又.△CAF是等边三角形. :AF=AC. :m=AB+AD AB+BF AF AC 2r=6. .m的最大值为6. 变式2.(2026四川广元一模)如图，AB是⊙0的直径，点C在O0上，∠CAB的平分线交弦BC于E,交⊙0于 D,过点B作OO的切线交射线AE于F. D E B (I)求证：BE=BF; (2)若00的半径为4， ED子求CE的长 AE 2 【答案】(1)见解析 225 5 【分析】(1)由直径所对的圆周角是直角和切线的性质可得∠ACB=90°=∠ABF,由直角三角形两锐角互余可证明 ∠CAE+∠CEA=90°，∠BAF+∠BFE=90°，再由对顶角相等和角平分线的定义得到∠CEA=∠BEF,∠CAE=∠BAF 据此可证明∠BEF=∠BFE,则BE=BF; (2)连接BD,如图，设AE=2x、ED=3x,根据圆周角定理得到∠ADB=90°，则根据等腰三角形的性质得到 DE=DF=3,所以4P=8x,再证明ACBO4BP,则F-A-仁--所以BP=4CE,4C=1,则 BC=5CE,利用勾股定理计算出BC的长，即可得到CE的长. 【详解】(1)证明：~AB是⊙0的直径， ∴∠ACB=90°， 10