第15讲 三角形的基本性质及全等三角形-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第15讲 三角形的基本性质及全等三角形（近三年2~4分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一 三角形的稳定性(10年1考) 5.(2021河北13题)定理：三角形的一个外角 1.(2018河北1题)下列图形具有稳定性的是 等于与它不相邻的两个内角的和. 已知：如图，∠ACD是△ABC的外角. 求证：∠ACD=∠A+∠B. 证法1：如图， B ,∠A+∠B+∠ACB=180°（三角形 考点二三角形的三边关系(10年2考) 内角和定理) 2.(2023河北5题)四边形ABCD B ∠ACD+∠ACB=180°（平角定义）， 的边长如图所示，对角线AC ∴.∠ACD+∠ACB=∠A+∠B+ 的长度随四边形形状的改变而 ∠ACB(等量代换)， 2 ∴.∠ACD=∠A十∠B(等式性质). 变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线AC 的长为… ( ) 证法2：如图， A.2 B.3 C.4 D.5 ∠A=76°，∠B=59°， 3.（2021河北12题)如图，直 .P m 且∠ACD=135°（量角器测量所得）， 线l,m相交于点O.P为这 又：135°=76°+59（计算所得）， 两直线外一点，且OP= 2.8.若点P关于直线l,m P, .∠ACD=∠A+∠B(等量代换). 的对称点分别是点P1,P2,则P,P2之间的 下列说法正确的是… ( 距离可能是… ( ) A.证法1还需证明其他形状的三角形，该 A.0 B.5 C.6 D.7 定理的证明才完整 考点三三角形的内外角关系(10年9考) B.证法1用严谨的推理证明了该定理 C.证法2用特殊到一般法证明了该定理 4.如图，平面上直线a,b分别过线段OK的两 D.证法2只要测量够一百个三角形进行验 端点（数据如图），则a,b相交所成的锐角是 证，就能证明该定理 ……………………………………( 6.(2021河北18题)如图 A.20° B.30° C.70° D.80 是可调躺椅示意图（数 20° 据如图)，AE与BD的 50° 609 A 100°y 交点为C,且∠A,∠B, 人70° ∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大 小，使∠EFD=110°，则图中∠D应 第4题图 第5题图 (填“增加”或“减少”) 度 77 中考冲刺数学 考点四三角形中的重要线段(10年11考) 11.(2025河北19题)如图，四边形ABCD的 7.(2022河北2题)如图，将△ABC折叠，使 对角线AC,BD相交于点E,AC=AD, ∠ACB=∠ADB,点F在ED上，∠BAF= AC边落在AB边上，展开后得到折痕l,则L 是△ABC的 …( ∠EAD. (1)求证：△ABC≌△AFD; A.中线 B.中位线 (2)若BE=FE,求证：AC⊥BD. C.高线 D.角平分线 8.如图，A,B为定点，定直线l∥AB,P是L上 的动点，M,N分别为PA,PB的中点，对下 列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN,AB之间的距离； ⑤∠APB的大小 其中会随点P的移动而变化的是…( A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤ 9.(2017河北17题)如图，A,B两点被池塘隔 开，不能直接测量其距离.于是，小明在岸边 12.(2016河北21题)如图，点B,F,C,E在直 选一点C,连接CA,CB,分别延长到点M, 线1上（点F,C之间不能直接测量），点A, N,使AM=AC,BN=BC,测得MN= D在I异侧，测得AB=DE,AC=DF, BF=EC. 200m,则A,B间的距离为 m, (1)求证：△ABC≌△DEF; M A (2)指出图中所有平行的线段，并说明 理由. B N 考点五 三角形全等的性质和判定(10年 11考，2025最新考查) 10.(2023河北13题)在△ABC和△A'B'C 中，∠B=∠B=30°，AB=A'B'=6,AC= A'C=4,已知∠C=n°，则∠C=…() A.30° B.n° C.n°或180°-n D.30°或150° 78 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 全国视野分层练 —一基础过关练 1.(2025江苏连云港)下列长度（单位：cm)的3 根小木棒能搭成三角形的是…() A.1,2,3 B.2,3,4 第4题图 第5题图 C.3,5,8 D.4,5,10 5.(2025广东)如图，D,E,F分别是△ABC各 2.（2025四川南充)如图，把含有60°的直角 边的中点，∠A=70°，则∠EDF=…() 三角板斜边放在直线1上，则∠α的度 A.20°B.40° C.70° D.110° 数是( ) 6.（真实情境)(2025河北邮郸丛台四模)如图 是手机支架的侧面示意图，若调整支撑杆的 角度，使得∠ACB=50°，∠DAC=115°，则直 60° 线DE与BC所夹锐角的大小为 A.120°B.130°C.140° D.150° D 3.(2025青海)工人师傅常用角尺平分一个任 意角.做法如下：如图，∠AOB是一个任意 E 角，在边OA,OB上分别取OM=ON,移动 B 角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M, 7.(2025河北石家庄长安一模)如图，为估计池 N重合，即CM=CN,过角尺顶点C的射线 塘两岸A,B两点间的距离，小奇在池塘一侧 OC便是∠AOB的平分线，这种做法的依 选取了一点P.分别测得PA=7m,PB= 据是……( 5m,若A,B间的距离长度为偶数（单位：m), 那么A,B间的最大距离是 m, A.AAS B.SAS C.SSS D.ASA 4.(2025山西)如图，小谊将两根长度不等的 8.(2024四川凉山州)如图，在△ABC中， 木条AC,BD的中点连在一起，记中点为O, ∠BCD=30°，∠ACB=80°，CD是边AB上 即AO=CO,BO=DO.测得C,D两点之间 的高，AE是∠CAB的平分线，则∠AEB的 的距离后，利用全等三角形的性质，可得花 度数是 瓶内壁上A,B两点之间的距离.图中 △AOB与△COD全等的依据是·() A.SSS B.SAS C.ASA D.HL 79 中考冲刺数学 9.（2025四川有贡)如图，∠ABE=∠BAF, 一素养提升练 CE=CF.求证：AE=BF. 1.(2025河北唐山玉田三摸)如图是三个叠在 E 一起的三角形（三角形I,Ⅱ，Ⅲ），部分图 形被遮盖，要作出与图中三角形I, Ⅱ，Ⅲ完全相同的三角形，下列说法正确 的是…( A.只有I可以 B.只有I,Ⅱ可以 C.作出三角形Ⅱ的依据是AAS D.作出三角形Ⅲ的依据是SAS 10.(2025四川内江)如图，点B,F,C,E在同 一条直线上，AC=DF,∠A=∠D, 第1题图 第2题图 AB∥DE. 2.(2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB= (1)求证：△ABC≌△DEF; 90°，∠A=20°，CD为AB边上的中线，DE⊥ (2)若BF=4,FC=3,求BE的长. AC,则图中与∠A互余的角共有·() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(跨学科融合·物理)(2025河北石家庄四十 中三模)一只杯子静止在斜面上，其受力分析 如图所示，重力G的方向竖直向下，支持力 F的方向与斜面垂直，摩擦力F2的方向与斜 面平行.若斜面的坡角α=30°，则摩擦力F2与 重力G方向的夹角β的度数为…() a G A.150° B.130° C.120 D.70° 80 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 4.(2025河北邯郸武安三模)如图，Rt△ABC≌ 6.(一题练透)(2024河北廊坊广阳期末)在直 Rt△BAD,BC,AD交于点E,M为斜边AB 线m上依次取互不重合的三个点D,A,E, 的中点，若∠CMD=a,∠AEB=B.对于a 在直线m上方有AB=AC,且满足∠BDA= 和β之间的数量关系，三位同学给出了不同 ∠AEC=∠BAC=a. 的猜测：甲：23-a=180°，乙：B-a=60°，丙： B=a,其中正确的是 E m D A E E 图1 图2 公 A甲 B.乙 图3 C.丙 D.甲和丙都有可能 【积累经验】 5.(2025四川南充)如图，在五边形ABCDE (1)如图1，当α=90°时，猜想线段DE,BD, 中，AB=AE,AC=AD,∠BAD=∠EAC. CE之间的数量关系是 ,请说明理由； (1)求证：△ABC≌△AED: 【类比迁移】 (2)求证：∠BCD=∠EDC. (2)如图2，当0<a<180°时，问题(1)中结论 是否仍然成立？请说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，∠BAC是钝角， AB=AC,∠BAD<∠CAE,∠BDA= ∠AEC=∠BAC,直线m与CB的延长线交 于点F,若BC=3FB,△ABC的面积是12， 直接写出△BDF与△ACE的面积之和. 81 中考冲刺数学 微专题 关于中点的问题(10年7考) 类型一 遇到中点，考虑构造中线 4.如图1，在锐角三角形ABC中，CD,BE分 ”方法指导 别是AB,AC边上的高，M,N分别是线段 (1)遇直角三角形斜边上的中点时，考虑作 BC,DE的中点 斜边上的中线； (1)求证：MN⊥DE; (2)遇等腰三角形底边上的中点时，考虑作 (2)连接DM,ME,猜想∠A与∠DME之间 底边上的中线. 的关系，并证明你的猜想 (3)当∠BAC变为钝角时，如图2，上述(1) 1.如图，在△ABC中，AB= (2)中的结论是否都成立？若成立，直接回 AC,∠BAC=120°，BC= D 答，不需证明；若不成立，请说明理由， 2√5，D为BC的中点，则 AB的长度为… A号 B.2 c D.3 2.如图，有一架梯子斜靠在与 地面OM垂直的墙ON上， 在墙角点O处有一只猫紧 M 紧盯住位于梯子AB正中 间点P处的老鼠，等待与老鼠距离最小时捕 捉，把梯子、猫和老鼠都理想化为同一平面 类型二遇到中点，考虑构造中位线 内的线或点，模型如图.若梯子A端沿墙下 方法指导 滑，且梯子B端沿地面向右滑行，在此滑动 (1)图形中出现两个及以上的中点时，考虑 过程中，猫与老鼠的距离将 (填“变 连接两个中点构造中位线； 大”“变小”或“不变”). (2)图形中出现中，点时： 3.如图，在△ABC中，∠B=∠C,过BC的 ①考虑过中点作另一边的平行线构造中位线； 中点D作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别 ②考虑过顶，点作过中点线段的平行线构造 为E,F. 中位线； (1)求证：DE=DF; ③四边形中一边上出现中点，可考虑连接 (2)若∠BDE=55°，求∠BAC的度数. 对角线构造中位线， 5.如图，在四边形ABCD 中，P是对角线BD的 中点，E,F分别是AB, CD的中点，AD=BC, ∠FPE=120°，则∠PFE的度数是…( A.45° B.40° C.30° D.60° 82 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 6.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,E是 点，MN=12cm,求梯形BCED的面积 BC的中点，AD⊥BD,AC=7,AB=3,则 D M DE的长为… ( ) B A.1 C.2 G 类型三遇到中点，考虑构造倍长中线 方法指导 E 第6题图 第7题图 通过“倍长中线”这种方法构造全等三 7.如图，在等边三角形ABC中，AB=6,AD⊥ 角形，能有效转移线段、角的位置，将分散 BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E.G为AD的 的条件集中，从而解决线段相等、角相等、 中点，H为BE的中点.连接GH,则GH的 线段和差或不等关系等问题， 长为……( 9.如图，在△ABC中，AD为中线，点E在AC A.1 B.1.5C.2 D.3 边上，AE=AB,AD=CE,若∠BAD=60°， 8.我们学习了三角形中位线定理：三角形中位 AB=3,则线段BC的长度为 线平行于第三边并且等于第三边的一半， 如图，在△ABC中，D,E分别是AB,AC的 中点，通过延长DE至点F,使DE=FE,连 接CF,易证：DE∥BC且DE=BC. 10.如图，在△ABC中，AB=AC,点D在AB 上，点E在AC的延长线上，DE交BC于 D 点F,且DF=EF,求证：BD=CE. 【探究学习】 如图，如果将△ADE截去，剩下梯形BCED 且DE∥BC,取BD,CE的中点M,N,连接 MN,则MN叫梯形BCED的中位线，探索 11.如图，已知CD=AB,∠BAD=∠BDA, MN与BC和DE的关系.写出结论 AE是△ABD的中线 请证明你的结论； (1)若AB=5,AD=3,则AE的取值范围 为 (2)求证：AC=2AE B 【学以致用】 如图，在梯形BCED中，DE∥BC,∠B= 30°，BD=8cm,M,N分别是BD,CE的中 83 中考冲刺数学 微专题 关于角平分线的问题(10年5考) 类型一 遇角平分线联想翻折造对称 交BC于点D,若有AB=AC+CD.求证： 方法指导 ∠C-2∠B.(提示：可以在线段AB上截取 角平分线所在直线是角的对称轴，因 AC的等长线段) 此，“翻折造对称”是“角平分线”条件运用 的重要思想，主要有三种常见情况： 图2 B ① ② ③ (1)△OAP为直角三角形，且斜边在角平分 线上，多见于角平分线性质的运用； (2)△OAP为直角三角形，且直角边在角平 4.如图，∠ABC和∠ACD的平分线交于点E, 分线上，多见于等腰三角形性质的运用； (3)△OAP为任意三角形，多见于“截长补 过点E作EG⊥BA交BA的延长线于点G, EF⊥AC交AC于点F. 短”法的运用. (1)求证：EG=EF; 1.如图，点P在∠AOB的平分线上，过点P (2)连接AE,求证：∠AEG=∠AEF. 作PC⊥OA,交OA于点C,且PC=8,则P 到OB的距离为…（ A.4 B.6 C.8 D.10 B D 第1题图 第2题图 类型二 同时出现角平分线和平行线联想等 2.如图，AB∥CD,BP和CP分别平分∠ABC 腰三角形 和∠BCD,AD过点P,且与AB垂直，若 方法指导 BP=5,CP=12,则AD的长为·( 当题中同时出现角平分线和平行线 A.12 B.13 C. n 时，注意找等腰三角形.一般地，角平分线、 平行线、等腰三角形中任意两个条件存在， 3.(1)如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°， 可得第三个条件.如图，OP平分∠MON, ∠B=45°，AD平分∠BAC,交BC于点D. PQ∥ON,则△OPQ为等腰三角形. 如果作辅助线DE⊥AB于点E,则可以得 到AC,CD,AB三条线段之间的数量关系 0 为 (2)如图2，在△ABC中，AD平分∠BAC, 84 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 5.如图，AD平分∠BAC,DE∥AB交AC于 类型三三角形的两条内角平分线同时出现 点E,DF⊥AB于点F,若∠BAC=30°， 联想三角形的内心 AE=2,则DF的长为…( 8.如图，已知△ABC的周长是 A. B.1 C.3 2 D.2 42,BO,CO分别平分∠ABC 和∠ACB,OD⊥BC于点D, C 且OD=1,则△ABC的面积是 B E D B DE 9.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平 第5题图 第6题图 分线相交于点P,且PE⊥AB,PF⊥AC,垂 6.如图，已知O是△ABC中∠ABC,∠ACB 足分别为E,F,连接AP. 的平分线的交点，OD∥AB交BC于点D, (1)求证：PE=PF; OE∥AC交BC于点E,若BC=10cm,则 (2)若∠BAC=60°，求∠BPC的度数. △ODE的周长为 cm. 7.(1)如图1，在△ABC中，EF∥BC,点D在 EF上，BD,CD分别平分∠ABC,∠ACB, 若BE=5,CF=3,求EF的长度； (2)如图2，点B,C,G在同一直线上，BD平 分∠ABC,CD平分∠ACG,DE∥BC交AB 于点E,交AC于点F,直接写出线段EF与 BE,CF的数量关系. 图 图2 85 中考冲刺数学 微专题 全等三角形中的模型(10年11考) 类型一旋转模型 补全图形，用等式表示α与B之间的数量关 1.(2025四川凉山州)如图，AB=AC,AE= 系，并证明. AD,点E在BD上，∠EAD=∠BAC, ∠BDC=56°，则∠ABC的度数为…() A.56 B.609 C.62 D.64° 图2 A M B 第1题图 第2题图 2.如图，P为定角∠AOB的平分线上的一个 定点，且∠MPN与∠AOB互补，若∠MPN 在绕点P旋转的过程中，其两边分别与 OA,OB相交于M,N两点，则以下结论： (1)PM=-PN恒成立；(2)OM+ON的值不 变；(3)四边形PMON的面积不变；(4)MN 的长不变.其中正确的个数为…() A.4 B.3 类型二倍长中线模型 C.2 D.1 4.如图，在△ABC中，AB=4,AC=2,D为 3.在△ABC中，AB=AC,D是直线BC上一 BC的中点，则AD的长可能是…() 动点（不与B,C重合），将线段AD绕点A A.1 B.2 C.3 D.4 逆时针旋转∠BAC的度数，得到线段AE, 连接CE,设∠BAC=a,∠BCE=B. (1)如图1，当点D在线段BC上时， D 第4题图 第5题图 ①判断∠E与∠ADC的数量关系，并写出 5.如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC=4, 证明过程； D为AB的中点，DC⊥BC,则点A到直线 ②用等式表示α与B之间的数量关系 CD的距离是 (2)如图2，当点D在线段CB延长线上时， 86.直线NO平分∠AOC. (2)分两种情况： A R 图1 图2 ①如图1，.∠BOC=112°，.∠AOC=68° 当直线ON恰好平分锐角∠AOC时，∠AOD=∠COD 34°，∴.∠BON=34°，∠BOM=56°， 即逆时针旋转的角度为56°， 由题意，得4t=56°，解得t=14; ②如图2，当NO平分∠AOC时，∠NOA=34°， .∠AOM=56°， 即逆时针旋转的角度为180°十56°=236°， 由题意，得4t=236°，解得t=59, 综上所述，第14s或59s时，直线ON恰好平分锐 角∠AOC. (3)∠AOM-∠NOC=22°，理由如下： :∠AOM=90°-∠AON,∠NOC=68°-∠AON, '.∠AOM-∠NOC=(90°-∠AON)-(68°-∠AON)=22°. 第15讲三角形的基本性质及全等三角形 【河北十年真题练】 1.A2.B3.B4.B5.B6.减少10 7.D8.B9.10010.C 11.证明：(1)AC,BD相交于点E,∠ACB=∠ADB,点F 在ED上， ∠ACB=∠ADF. ∠BAF=∠EAD, ∴.∠BAF-∠CAF=∠EAD-∠CAF, ∴.∠BAC=∠FAD 在△ABC和△AFD中， 「∠BAC=∠FAD, AC=AD, ∠ACB=∠ADF, ∴.△ABC≌△AFD(ASA). (2)由(1)得△ABC≌△AFD,.AB=AF BE=FE,.AC⊥BF,即AC⊥BD 12.(1)证明：，BF=EC, ∴.BF+FC=EC+FC 即BC=EF 又'AB=DE,AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(SSS) (2)解：AB∥DE,AC∥DF 理由如下： ,△ABC≌△DEF, ∴.∠ABC=∠DEF,∠ACB=∠DFE, .AB∥DE,AC∥DF. 【全国视野分层练】 基础过关练 1.B2.D3.C4.B5.C 6.65°7.108.100 9.证明：'∠ABE=∠BAF,.CB=CA. CE=CF, ..CB+CE=CA+CF,BE=AF. 在△ABE和△BAF中， (BE=AF, ∠ABE=∠BAF, AB-BA, ∴.△ABE≌△BAF(SAS), ..AE-BF. 10.(1)证明：AB∥DE,∴∠B=∠E. ∠B=∠E, 在△ABC和△DEF中，{∠A=∠D, AC-DF, .△ABC≌△DEF(AAS) (2)解：由(1)可知：△ABC≌△DEF, ∴.BC=EF, ∴.BF+CF=EC+CF, ∴.BF=EC. :BF=4,FC=3, .EC=4, .BE=BF+FC+EC=4+3+4=11. 素养提升练 1.B2.C3.C4.A 5.证明：(1)，∠BAD=∠EAC, ∠BAD-∠CAD=∠EAC-∠CAD, ∴.∠BAC=∠EAD AB-AE, 在△ABC与△AED中，∠BAC=∠EAD, LAC=AD, .△ABC≌△AED(SAS). (2).AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC, 由(1)可知：△ABC≌△AED, .∠ACB=∠ADE, .∠ACB+∠ACD=∠ADE+∠ADC, ∠BCD=∠EDC. 6.解：(1)DE=BD+CE.理由如下， ∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°， .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=9O°， ∠DBA=∠EAC. AB=AC,∴.△DBA≌△EAC(AAS), ..AD-CE,BD-AE,.'.DE-AE+AD-BD+CE, 故答案为DE=BD十CE. (2)DE=BD十CE仍然成立，理由如下： :∠BDA=∠BAC=∠AEC=a, .∠BAD+∠EAC=∠BAD+∠DBA=180°-a, .∠DBA=∠EAC. ,'AB=AC,.△DBA≌△EAC(AAS), .'BD=AE,AD=CE, ∴.DE=AE+AD=BD+CE. (3).'∠BAD<∠CAE,∠BDA=∠AEC=∠BAC, ∴.∠CAE=∠ABD ∠BDA=∠AEC, 在△ABD和△CAE中， ∠ABD=∠CAE, AB-CA, .△ABD≌△CAE(AAS),∴.SAABD=SACAE· 设△ABC的底边BC上的高为h,则△ABF的底边BF上 的高为h, Sae=7BC.A=12,Sam=号BF·k ,BC=3BF,∴.SAABF=4. :S△ABF=SABDF十SAABD=S△BDF十S△ACE=4, .△BDF与△ACE的面积之和为4. 微专题关于中点的问题 1.B2.不变 3.(1)证明：如图，连接AD, ,∠B=∠C,∴.AB=AC D是BC的中点， .AD平分∠BAC. DE⊥AB,DF⊥AC,.DE=DF (2)解：，DE⊥AB,∴.∠BED=90° ∠BDE=55°，.∠B=35°，.∠C=35°， ∠BAC=110. 4.(1)证明：连接DM,ME(图略)， ,'CD,BE分别是AB,AC边上的高，M是BC的中，点， ∴DM=号BC,ME-合BC, ∴.DM=ME 又N为DE的中点， ∴.MN⊥DE. (2)解：∠DME=180°一2∠A,证明如下： 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠A DM-ME=BM=MC, '.∠BMD+∠CME =(180°-2∠ABC)+(180°-2∠ACB) =360°-2（∠ABC+∠ACB) =360°-2(180°-∠A) =2∠A, .∠DME=180°-2∠A. (3)解：结论(1)成立，结论(2)不成立， 理由如下：连接DM,ME(图略)， 在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-∠BAC, .DM=ME=BM=MC, .∠BME+∠CMD=2∠ACB+2∠ABC =2(180°-∠BAC) =360°-2∠BAC, ,.∠DME=180°-(360°-2∠BAC)=2∠BAC-180°. 5.C6.C7.B 8.解：【探究学习】 如图，连接DN并延长，交BC的延长线于点F, E M B G C :四边形BCED为梯形且DE∥BC, ∠DEN=∠NCF. N是CE的中点， :NE=NC. 又：∠DNE=∠FNC, .△DEN≌△FCN(ASA), .DN=FN. 又，M是BD的中点， .MN是△DBF的中位线 AMN/BF且MN=合BF, MN∥DE∥BC且MN=合(BC+DE). 故结论为：MN,∥DE∥BC且MN=号(BC+DE). 【学以致用】 ,M,N分别是BD,CE的中点，MN=12cm, ∴.DE+BC=24cm. 如图，过点D作DG⊥BC于点G, D B ∠B=30°，BD=8cm, ∴.DG=4cm, ∴S#wm=合(BC+DBD）·DG=号×24X4=48(cem). 9.213 10.证明：如图，过点D作DG∥AE,交BC于点G, E 则△DGF≌△ECF,∴.DG=EC. ,AB=AC,∠B=∠ACB. .DG∥AE,∴.∠DGB=∠ACB, .∠B=∠DGB,∴.DG=BD,∴.BD=CE. 11.(1)解：1<AE<4[解析]延长AE到点F,使EF=AE, 连接BF,如图所示： 则AF=2AE, ,AE是△ABD的中线， .BE=DE. BE=DE, 在△BEF和△DEA中，∠BEF=∠DEA, EF=EA, ∴.△BEF≌△DEA(SAS), ..BF-AD=3. 在△ABF中，AB-BF<AF<AB+BF, .5-3<2AE<5+3, ∴.1<AE<4, .AE的取值范围为1<AE<4. (2)证明：由(1)知：△BEF≌△DEA,BF=AD, ∴∠EBF=∠EDA, BF∥AD,.∠DAB+∠ABF=180. 又∠BAD=∠BDA, .∠EDA+∠ABF=180° 又：∠EDA+∠ADC=180°， .∠ABF=∠ADC. 在△ABF和△CDA中， AB=CD, ∠ABF=∠CDA, BF=DA, ∴.△ABF≌△CDA(SAS), ..AF=AC, ∴.AC=2AE 微专题关于角平分线的问题 1.C2.D 3.(1)解：AB=AC+CD[解析]，DE⊥AB,∠C=90°， ∴.∠C=∠AED=90°.又，AD是△ABC的角平分线， .'.CD=DE. (CD=DE, 在Rt△ACD和Rt△AED中， AD-AD, ,'.Rt△ACD≌Rt△AED(HL), ∴.AC=AE 又∠B=45°， .∠BDE=45°， .'DE=EB, ..AB=AE+EB=AC+CD,E AB=AC+CD. (2)证明：如图，在AB上截取AE=AC,连接DE C D .'AB=AC+CD,AB=AE+BE, .'.CD=BE. :AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠EAD. AC=AE, 在△ACD和△AED中，∠CAD=∠EAD, (AD=AD, '.△ACD≌△AED(SAS), .'.CD=ED,..ED=BE, ∴.∠EDB=∠B,∴.∠AED=2∠B. 又.△ACD≌△AED, ∠C=∠AED,∴∠C=2∠B. 4.证明：(1)如图，过点E作EH⊥BD于，点H, G B CHD .BE平分∠ABC,EG⊥BA,EH⊥BD,.EG=EH ,'CE平分∠ACD,EF⊥AC,EH⊥CD, ,.EF=EH,∴.EG=EF. (2):EG⊥BA,EF⊥AC,.∠AGE=∠AFE=90. 在R△ABG和R△AEF中，AE=AE, (EG=EF, .Rt△AEG≌Rt△AEF(HL),.∠AEG=∠AEF. 5.B6.10 7.解：(1)BD平分∠ABC,∴.∠EBD=∠CBD 又.EF∥BC,.∠EDB=∠CBD, ∠EBD=∠EDB,∴ED=EB=5,同理FD=FC=3. 又EF=ED十DF,.EF=EB+FC=8. (2)EF=BE-CF.理由如下： :BD平分∠ABC,CD平分∠ACG, ∴.∠DBE=∠CBD,∠DCF=∠DCG. DE∥BC,∴.∠BDE=∠CBD,∠CDF=∠DCG .BE=DE,CF=DF, .EF=DE-DF=BE-CF】 8.21 9.(1)证明：如图，过点P作PD⊥BC于点D, B∈ D ,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点P,且PE⊥AB, PF⊥AC, .'PD=PE,PD=PF,.'.PE=PF. (2)解：PE=PF,PE⊥AB,PF⊥AC, .AP平分∠BAC. ∠BAC=60°，∠ABC+∠ACB=120°， ·∠PBD+∠PCD=合∠ABC+合∠ACB= 合（∠ABC+∠ACB)=号×120°=60， .∠BPC=180°-60°=120° 微专题全等三角形中的模型 1.C2.B 3.解：(1)①∠E+∠ADC=180° 证明：∠BAC=∠DAE=a, ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC,即∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,AD=AE,∴.△ABD≌△ACE(SAS), .∠ADB=∠E. .'∠ADB+∠ADC=180°，.∠E+∠ADC=180. ②a十P=180°[解析]：△ABD≌△ACE, .∠B=∠ACE,.∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB, ∴.∠B+∠ACB=B. a十∠B+∠ACB=180°，a十B=180° (2)补全图形如图，当点D在线段CB延长线上时，a=B. D B 证明：类似(1)可证△DAB≌△EAC,∴∠DBA=∠ECA. 又由三角形外角性质有∠DBA=a十∠DCA, 而∠ACE=B+∠DCA,a=B. 4.B5.4 6.(1)解：AD为BC边上的中线，∴.CD=BD CD=BD, 在△ADC和△EDB中 ∠CDA=∠BDE, AD-ED, .△ADC≌△EDB(SAS),.AC=BE=6. 在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE,即10一6< 2AD<10+6, .2<AD8 (2)解：如图，延长AD到点M,使AD=DM,连接BM, M .AE-EF,EF-5,EC-3,..AC-AE+EC-5+3-8. AD是△ABC的中线，.CD=BD (DC=DB, 在△ADC和△MDB中，3∠ADC=∠MDB, DA-=DM, '.△ADC≌△MDB(SAS), ∴.BM=AC,∠CAD=∠M. .AE=EF,.∠CAD=∠AFE :∠AFE=∠BFD, ∴.∠BFD=∠CAD=∠M,.BF=BM=AC=8. (3)证明：延长ED到点G,使DG=ED,连接GF,GC,如图 所示： ED⊥DF, ∴.EF=GF D是BC的中点， .BD-CD. 在△BDE和△CDG中， ED-GD, {∠BDE=∠CDG, BD=CD, .△BDE≌△CDG(SAS), ∴.BE=CG. 在△CGF中，CG+CF>GF, ∴.BE+CF>EF 7.B 8.解：(1)①CD=BE [解析]AD⊥CM,BE⊥CM, .∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， .∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， ∴.∠ACD=∠B. 在△ACD和△CBE中， I∠ADC=∠CEB, ∠ACD=∠B, AC=CB, .△ACD≌△CBE(AAS), .CD=BE. ②AD=BE+DE. 证明：，'△ACD≌△CBE, .'.AD=CE,CD=BE. CE=CD+DE=BE+DE, ∴.AD=BE+DE. (2)②中的结论不成立，DE=AD十BE. 提示：AD⊥CM,BE⊥CM, ∠ACB=∠BEC=∠ADC=90°， ∴.∠ACD+∠BCE=90°，∠BCE+∠B=90°， .∠ACD=∠B. ∠ADC=∠CEB, 在△ACD和△CBE中， ∠ACD=∠B, AC=CB. ∴.△ACD≌△CBE(AAS),∴.AD=CE,CD=BE. .'DE=CD十CE=BE+AD, .'DE=AD+BE. 9.解：(1)题图1：BE=DF十EF;题图2：BE=DF一EF;题图 3:BE=EF-DF. (2)选择题图1证明如下： :BE⊥AP,DF⊥AP, ,∠BEA=∠AFD=90°， .∠ABE+∠BAE=90°. ∠DAF+∠BAE=90°，·∠ABE=∠DAF, 又.在正方形ABCD中，AB=AD, ∴，△ABE≌△DAF(AAS),∴.DF=AE,BE=AF, ∴.BE=AF=AE十EF=DF+EF.(答案不唯一) 10.C 11.(1)证明：如图1，把△ABE绕点A逆时针旋转90° 至△ADG G 图1 则△ADG≌△ABE, ∴.AG=AE,∠DAG=∠BAE,DG=BE 又：∠EAF=45°，∴.∠DAF+∠BAE=∠DAF+ ∠DAG=∠GAF=45°， ∴∠GAF=∠FAE. (AG-AE. 在△GAF和△EAF中，∠GAF=∠EAF, AF=AF, .△GAF≌△EAF(SAS),.GF=EF. 又：DG=BE, ∴GF=BE+DF,∴BE+DF=EF. (2)解：当∠BAD=2∠EAF时，仍有EF=BE+FD. 理由如下：如图2，延长CB至，点M,使BM=DF,连接AM, MB 图2 ,'∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠ABM=180°， ∴.∠D=∠ABM. (AB=AD, 在△ABM和△ADF中， ∠ABM=∠D, BM=DF, .△ABM≌△ADF(SAS). ∴.AF=AM,∠DAF=∠BAM. ∠BAD=2∠EAF,.∠DAF+∠BAE=∠EAF, .∠EAB+∠BAM=∠EAM=∠EAF (AE-AE, 在△FAE和△MAE中，∠FAE=∠MAE, AF-AM, .△FAE≌△MAE(SAS), .'EF-EM-BE+BM=BE+DF,EF=BE+DF. 第16讲相似三角形 【河北十年真题练】 1.C2.A3.D4.C5.D6.C 7.(1)1(2)78.(1)是(2)4y5 9.(1)证明：'AD∥BC,∠ABC=90°，DH⊥BC, .DH=AB=2√3，∠DHB=∠DHC=90°， 在Rt△PQM中，∠Q=90°，∠QPM=30°，PM=4√3， ∴QM=2PM=2E,QM=DH ∠QPM=∠C, 在△PQM和△CHD中，∠PQM=∠CHD, QM-HD, ,.△PQM≌△CHD(AAS). (2)解：①如图1中，PQ扫过的面积=平行四边形AQQD 的面积十扇形DQQ”的面积. 设QQ交AM于点T. .AQ=3QM=6,QT⊥AM, ∴.AT=AQ·c0s30°=3√3， :PQ扫过的面积=3X3V5+50XπX6=95+5元 360 A(P)D D(P) H BL 图1 图2 ②如图2中，当DM运动到与DH重合时，连接DK, 在Rt△CDH中，DH=2√3，∠C=30°， .CH=√3DH=6, .BH=AD=3,BK=9-4√3， .KH=3-(9-4√3)=4√3-6， .CK=4√3-6+6=43 ,CD=2DH=4√3，∴.CD=CK