二次函数图像平移与函数性质综合、以二次函数为背景的材料阅读类问题 专项训练-2026年中考数学二轮复习

二次函数图像平移与函数性质综合、以二次函数为背景的材料阅读类问题专项训练 二次函数图像平移与函数性质综合、以二次函数为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 二次函数图像平移与函数性质综合 以二次函数为背景的材料阅读类问题 考点一 二次函数图像平移与函数性质综合 例1．（25-26九年级上·山东德州·月考）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 【答案】（），（）；（）， 【分析】（）根据平移的规律解答即可求解； （）设反比例函数上的任意一点，将函数图象按平移后，的对应点为，进而推出与，与之间的关系，再根据在反比例函数上即可求出． （）根据抛物线的顶点，可得按平移以后的抛物线顶点坐标为，进而得出平移后的解析式为，联立一次函数解析式，利用一元二次方程根和系数的关系求得，，再根据，可求出，设平移后的路径长为，即，然后利用二次函数的性质解答即可求解； 本题考查了二次函数的图象和性质，反比例函数的图象的性质，函数图象的平移等知识，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（）解：∵向下平移个单位长度， ∴， ∵向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴平移后对应点坐标为，即 故答案为：，； （）设点是反比例函数图象上的任意一点， 将函数图象按平移后，的对应点为， 则， ，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴ 即点在函数上， ∴平移后的函数解析式为； （）由题可知，抛物线的顶点， 按平移后，抛物线顶点坐标为， 设平移后的解析式为，与直线的两个交点分别为，， 联立①②得，， 整理得，， ∴，， 由勾股定理得，， ，， 代入上式，再两边平方，整理得， ， 将③代入，得， 整理得，， ∴， 设平移后的路径长为，由已知可得， 将代入上式，得， ， ∴当时，最小，即最小， 此时 ∴当平移路径最短时，，． 例2．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 【答案】(1) (2)直线的函数表达式为或 (3) 【分析】（1）根据平移的规律求出平移后点的坐标，再根据距离公式求解即可； （2）先确定平移方向，再结合平移距离求出平移的单位长度，最后根据直线平移规律求函数表达式； （3）设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位，确定平移后抛物线的顶点，进而得到平移后抛物线的解析式，最后利用抛物线上的点到轴的距离都小于列不等式求解. 【详解】（1）解：∵点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点， ∴， ∴； （2）解：∵直线平行于第二、四象限的角平分线， ∴点沿直线的方向平移， ∴设点沿轴平移个单位，沿轴平移个单位， ∵， ∴， ∴直线沿直线方向平移个单位，相当于向左平移个单位，向上平移个单位，或向右平移个单位，向下平移个单位， ∴直线的函数表达式：或， 即：直线的函数表达式为或； （3）解：∵ ∴平移前顶点 设沿射线平移的距离为，可看成沿轴向右平移个单位，沿轴向上平移个单位， ∴， 解得：， ∴平移后顶点为， ∴平移后解析式：， ∵， ∴， 当时， ∴当时，抛物线的顶点始终满足到轴的距离小于， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，最大， ∵， ∴解得， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴综上：. 例3．（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)1 (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）根据题意，抛物线顶点沿直线：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为，故的顶点D坐标为，结合与原点重合条件，解答即可； （3）根据题意，得，当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为1． （4）分点，分别在抛物线和上解答即可． 本题考查了待定系数法，抛物线的平移，二次函数的最值，根据交点求范围，熟练掌握待定系数法，抛物线的平移，交点的意义是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线：经过，两点， 故， 解得， 故抛物线：的表达式为． （2）解：根据题意，抛物线，顶点沿直线l：向左上方平移，设抛物线向上平移了n个单位长度，则抛物线向左平移了个单位长度，新抛物线的表达式为， 故的顶点D坐标为， 由的顶点D与原点重合时平移停止， 故， 解得， 抛物线停止平移后的表达式． （3）解：设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n． 根据顶点沿着平移，故顶点D的纵坐标为， 新抛物线的表达式为， 故点， 故， 当时，取得最大值，此时点C与原点两点之间的最大距离，且最大距离为． （4）解：根据（2）得到抛物线停止平移后的表达式， 直线的表达式为，抛物线的表达式为， 由轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m， 则，， 由平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G， 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 当在时，与图象G有交点N， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时； 当在时，与图象G有交点M， 故，整理，得，解得或，根据， 故舍去，此时， 故m的取值范围为； 综上所述，当线段与图象G有交点时，m的取值范围是或． 变式1．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)，对称轴为直线 (2)①平移次数为3；② (3) 【分析】（1）利用待定系数法求出b，进而可求解； （2）①由题意，设平移后的抛物线的解析式为，当时，平移后的抛物线的顶点坐标为，进而可求得，求出平移后的抛物线与x轴的交点坐标即可求解； ②根据题意，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为，则平移后的抛物线的解析式为，求出时的函数值即可求解； （3）先求出抛物线的解析式，抛物线Q的解析式，进而得到新函数L，可画出草图，然后利用二次函数的性质，结合图象求解即可． 【详解】（1）解：将代入中，得， 解得， ∴ ∴P的解析式为，对称轴为直线； （2）解：①由题意，设平移后的抛物线的解析式为， 当时，平移后的抛物线的顶点坐标为， ∴将代入中，得， 解得， ∴， 当时，由得，， ∴平移后的图象与x轴的交点坐标为和，又， 故平移的次数为3； ②由得，，则抛物线P与坐标轴的交点为和 根据题意，当平移第n次后，平移后的抛物线与x轴的左交点坐标为，右交点坐标为， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，， 故； （3）解：由题意，平移一次后的抛物线与x轴的左、右交点坐标为，， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∵抛物线Q恰好经过抛物线与x轴的左交点， ∴，解得， ∴抛物线Q的解析式为， ∴抛物线Q的开口向上，对称轴为直线， 对于抛物线与抛物线组成新函数L，如图， 当时，，此时L取得最小值， ∵对于当时，L的最小值为，最大值为， ∴，解得，则最大值为， 由得， ∴，（不合题意，舍去）， ∴，解得． 变式2．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1 (2)2 (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，将代入中，解方程即可求解； （2）根据题意得函数的“对称平移函数”的表达式为，由，得，进而可得，，对于，当时，当时， ，当时，，根据题意得方程，求解即可； （3）写出函数的“对称平移函数”的表达式，函数的“对称平移函数”的表达式，对于函数，当时，可得点的坐标为，①当时，设点的坐标为，建立方程得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程得点的坐标为；②当时，过点作轴的垂线，垂足为，证明，得，设点的坐标为，同法建立方程可得点的坐标为，将点的坐标代入中，解方程即可求解；③当时，可证明不存在． 【详解】（1）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 经过原点， 将代入中， 即， 解得； （2）解：， 函数的“对称平移函数”的表达式为， ， ， 解得； ，， ， 当时，随的增大而增大， 当时，取最小值， 当时，取最大值，， ， 解得，（舍）， ； （3）解：函数的“对称平移函数”的表达式为， 函数的“对称平移函数”的表达式为， 对于函数， 当时， 点的坐标为， ①如图1， 当时， 设点的坐标为， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， ， 解得，（舍）， 点的坐标为； ②如图2， 当时，过点作轴的垂线，垂足为， ， ， ， ， 即， 设点的坐标为， ，， ， ， 解得， 点的坐标为， 将点的坐标代入中， 即， 解得，（舍）， 点的坐标为， 当时， 设点的坐标为， 此时A与D的纵坐标相同， 即， 解得 即A在y轴上，不成立； 综上所述，点的坐标为或． 变式3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间 ②存在或使得直线平分矩形面积，理由见详解 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，矩形的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，二次函数图象的性质得到，顶点的坐标为，运用待定系数法即可求解； （2）①根据题意得到，由二次函数图象平移的性质，图形结合分析即可求解； ②由题意得到平移后的抛物线的顶点在抛物线上，再求出它与的交点，由数形结合思想可得将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积，从而得解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵点的坐标为，点在轴上，且位于第一象限， ∴， ∵抛物线的顶点在线段上， ∴顶点的横坐标为，纵坐标为，即顶点坐标为， ∴设抛物线， 把点代入得，， 解得，， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①由题意可得，抛物线的顶点坐标为，， ∴， ∵矩形与矩形关于原点对称， ∴，如图所示， ∴线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， 线段的中点的横坐标为，纵坐标为，即， ∴， ∴当抛物线向左平移个单位得到，再向下平移个单位得到， 抛物线向下平移个单位得到，使得平移后抛物线经过点， 设抛物线，把点代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为，顶点坐标， ∴向下平移的范围是之间， ∴若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，则抛物线向左平移个单位，向下平移的范围是之间； ②存在，理由如下， ∵， ∴， 当抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴得到解析式为：， ∴， ∴平移后的抛物线的顶点为， 令 则平移后的抛物线的顶点在抛物线上， 令，解得，， ∴，， 则，是靠近其端点的两个四等分点， 因此，只需将原抛物线的顶点平移到，即可使得矩形的左半边或右半边平移到矩形的中间，点A或点D平移后的点即为对应的点和从而符合条件，也即是直线经过矩形对角线的交点，从而平分矩形的面积， 如图所示， ∵，，原抛物线的顶点是 ∴当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； 当抛物线向左平移个单位，向下平移个单位后，与矩形的一组对边分别相交于点，直线平分矩形面积，如图所示的位置； ∴或 ∴存在或使得直线平分矩形面积． 考点二 以二次函数为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）提出概念 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：如图，平面内有一点P，点Q在的延长线上，且满足则称点Q是点P的“k变换点” 【概念理解】 (1)若，则点的“变换点”的坐标是_______ ； 【灵活运用】 (2)若的“变换点”在反比例函数上，求的值； 【拓展提升】 (3)已知点在直线上，设其横坐标为，点是点的“变换点”，且点落在抛物线上． 当点恰好是抛物线的顶点时，求的值； 当，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】（1）根据定义和相似三角形的判定与性质解答即可； （2）根据（1）中的结论可知的“k变换点”Q为，代入反比例函数解析式解答即可； （3）①先求得抛物线的顶点坐标，由的坐标可知点Q坐标为，据此即可解答； ②由题意知，则，将点代入抛物线整理得 ，设，则，结合t的取值和二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，过点作轴， 则， ∴， ∴ ∵，点是点的“变换点”， ∴，，， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知，的“k变换点”Q为， ∵点Q在反比例函数的图像上， ∴，即， 解得，， ∵， ∴； （3）解：①由题意知， ∴抛物线顶点坐标为， ，且点Q是点P的k变换点， ∴点Q坐标为 ∵点Q恰好是抛物线的顶点 ，， ； ②由题意知，则， 将点Q坐标代入抛物线表达式，得 整理得，， ∴， 设，则， ， ， ∴当时，； 当时，； ． 例2．（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 【答案】(1)①，②，顶点坐标为 (2)成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）①运用待定系数法求解即可； ②根据二次积点函数定义得，配方后可得顶点坐标； （2）求出二次积点函数为，与一次函数联立方程，整理后求得可得结论； （3）求出的二次积点函数为，联立方程，求出交点A，B坐标分别为，，结合得为直角三角形，且，求得，根据题意可得b的取值范围． 【详解】（1）解：①一次函数的图象经过点，， 根据题意得， 解得 ∴y的解析式为． ②二次积点函数为， ． ∴顶点坐标为． （2）解：∵二次积点函数为， 由，整理得， ， ． ∴该方程总有实数根． ∴y与其二次积点函数的图象必有交点． （3）解：的二次积点函数为， 由，解得，， ∴交点A，B坐标分别为，； 又C为， 为直角三角形． ； ∴的长为外接圆的直径d， ， 当时，或， 当时，或， ， ∴抛物线开口向上， 又抛物线的对称轴为， ①当时，随b的增大而增大， ∴当，即时，， ②当时，随b的增大而减小， ∴当，即时，， 综上，或． 例3．（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)的值为，，或 【分析】（1）将二次函数配方成顶点式，然后得到对称轴为直线，即可证明； （2）由（1）可设，，，根据求出，然后将代入求解即可； （3）首先求出函数的表达式为，然后求出图像和图像的交点坐标，然后根据题意分4种情况讨论，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数 ∴由二次函数的图像可得，图像为轴对称图形，对称轴为直线 ∴当时，两个函数值相等， ∴函数图像上总存在“等值点”； （2）解：由（1）可设，， ∵ ∴ ∴ ∴ 将代入得， 解得； （3）解：∵二次函数的顶点坐标为 ∴关于经过且平行于轴的直线对称的点的坐标为 ∴翻折后新函数的表达式为 联立函数和函数得， 解得， 将代入得， 将代入得， ∴图像和图像的交点坐标为和 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像经过点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴将代入得， 解得； 如图所示，当函数的图像与函数图像有1个公共点时，函数的图像与函数图像和有三个公共点， ∴联立函数和函数得， 整理得， ∴ 解得； 综上所述，当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，的值为，，或． 变式1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）按照要求解答： (1)【建立模型】如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C、B、D，．求证：； (2)【类比迁移】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到，直线交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线的解析式； (3)【拓展延伸】如图3，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得三角形是以为腰的等腰三角形，若存在，写出点M的横坐标． 【答案】(1)见解析 (2)①；②； (3)2或或 【分析】（1）根据同角的余角相等，得出，再利用“”证明全等即可； （2）①过点作轴于点，求出、两点的坐标，由旋转的性质可知，，，同（1）理可证，，从而得出，，即可得解；②利用待定系数法求解即可； （3）根据二次函数的性质求出，设，分两种情况讨论：①当时；②当时，利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）证明：，，， ， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：①如图，过点作轴于点， 令，则； 令，则，解得； ，， ，， 由旋转的性质可知，，， 同（1）可证，， ，， ， 点C的坐标为； ②设直线的解析式为， 将点、代入，得， 解得， 直线的解析式为； （3）解：令，则， 解得：，， ，， ， ， 设， ，， 分两种情况讨论： ①当时，如图， ， ， 整理得：， ， ， ， ， ， 或或， 解得：或（舍去）或或； 点M的横坐标为2或； ②当时，如图， ， ， 整理得：， 解得：或 点M的横坐标为； 综上，点M的横坐标为2或或． 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 【答案】(1)是，否，是； (2)见解析； (3)四边形为矩形，． 【分析】（1）根据反比例函数以及一次函数，二次函数的性质结合新定义，即可求解； （2）分情况讨论，①当时，②当时，分别画出图形，根据二次函数与一元二次方程的解的关系，得出； （3）根据解析式得出A，B，C，D的坐标，进而根据图形，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：①关于直线对称，是“长榆函数”； ②其函数图象不关于直线对称，不是“长榆函数”； ③，对称轴为直线，是“长榆函数”； （2）解：①当时，，如图： 依题意，函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”， 且其“振万直线”为同一直线， 根据抛物线的对称性可得， ②当时， ∵的“振万直线”为同一直线， ， 设， 如图所示，过E，G分别作x轴的平行线，过点F，H分别作y轴的平行线，交于点P，Q，则，， ， 联立， ， ，同理可得， ， 即， 即， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ∵关于x的“长榆函数”，的“振万直线”为，与x轴交于点A、B（点A在点B的右边）， 当，即， ， 令，即， 解得：，， ∴， 当时，，则，， 函数的图象与x轴交于点C、D（点C在点D的右边），其顶点为N， ， 令，即， 解得：，，则对称轴为直线， ，， 当时，，则， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵在x轴上， ∴不可能垂直于， ∴四边形不可能是菱形， 当四边形为矩形时， ， 即， 解得：． 变式3．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线顶点纵坐标为． (1)求c的值． (2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）与；（ⅱ）且 【分析】（1）求出顶点横坐标，代入函数解析式得到顶点纵坐标，根据顶点纵坐标为即可求出c的值； （2）（ⅰ）根据非负数的性质得到，，根据，在函数上得到，进而得到，代入①得：，求解并检验是否符合即可； （ⅱ）同（ⅰ）得，根据根的判别式及作答即可． 【详解】（1）解：根据题意可得抛物线对称轴为直线， 即顶点横坐标为， 将代入抛物线得：， ∵抛物线顶点纵坐标为， ∴， ∴； （2）解：（ⅰ）当时，， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵函数对偶点为，， ∴， ∵，， ∴②可化为③ 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 解得或， ∴或， 经检验都满足， 此时或， ∴函数的对偶点为与； （ⅱ）∵是“对偶函数”， ∴且， ∵，， ∴②可化为③， 得：， ∴， ∵， ∴， 即， 代入①得：， 化简得：， ∵方程有解， ∴， ∴， 当时，原方程可化为， 解得， ∴， 此时，不符合题意， ∴， 综上所述，且． 2 学科网（北京）股份有限公司 $二次函数图像平移与函数性质综合、以二次函数为背景的材料阅读类问题专项训练 二次函数图像平移与函数性质综合、以二次函数为背景的材料阅读类问题专项训练 考点目录 二次函数图像平移与函数性质综合 以二次函数为背景的材料阅读类问题 考点一 二次函数图像平移与函数性质综合 例1．（25-26九年级上·山东德州·月考）综合与实践 【问题初探】数学小组先以抛物线为例，对函数图象的平移变换做了以下研究： （）的值为____________，若在抛物线上，则平移后对应的点为坐标为____________； 【探究归纳】同学们对函数图象向左平移个单位，解析式中的反而变为产生了疑惑，这与点的坐标平移规律不一样，从而展开深入研究，以下是他们的部分相关研究笔记： 定义：函数图象按平移是指沿轴方向向右平移个单位或向左平移个单位；再沿轴向上平移个单位或向下平移个单位． 设抛物线为上的任意一点为，将抛物线按平移后，的对应点， 【拓展应用】同学们发现，这种方法同样适用于一次函数以及反比例函数等函数图象的平移前后解析式的研究． （）若反比例函数按平移，求平移后的函数解析式； （）若抛物线按平移，规定平移路径长为．将抛物线平移后交直线于两点，，当平移路径最短时，求的值． 例2．（2026·浙江金华·一模）我们知道，对于平移前后的两个图形，连结对应点所得线段的长度即为原图形的平移距离．已知点为平面直角坐标系内一点． (1)若将点先向左平移个单位，再向上平移个单位得到点，求点的平移距离的长度； (2)将直线平移得直线，设直线上任意一点平移后的对应点为．若直线的平移距离，且直线平行于第二、四象限的角平分线，求直线的函数表达式； (3)将抛物线沿着射线方向平移得到抛物线，当时，抛物线上的点到轴的距离都小于，求抛物线的平移距离的取值范围． 例3．（25-26九年级上·河北·期末）如图，抛物线：经过，两点，其顶点沿直线：向左上方平移，抛物线也随之平移，平移后的抛物线记为，当顶点D与原点重合时平移停止． (1)求抛物线表达式； (2)请直接写出抛物线停止平移后的表达式； (3)设抛物线在平移过程中与y轴交于点C，其顶点D的横坐标为n．求点C与原点两点之间的最大距离； (4)如图所示，平移停止后取图象部分以及图象部分组成新的函数图象G，并将直线向上平移3个单位长度得到直线，点M是直线上一动点，过点M作线段轴，点N在点M下方，且．设点M的横坐标为m，当线段与图象G有交点时，直接写出m的取值范围． 变式1．（2026·河北唐山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线P：（b是常数）经过点，抛物线Q：． (1)求P的解析式及对称轴； (2)将P向上平移，使每次平移后的图象与x轴的左、右交点分别向左、右平移1个单位长度，设平移后抛物线的最高点与x轴的距离为d． ①当时，求平移的次数； ②当平移第n次后，求d（用含n的式子表示）． (3)将P按照（2）中的平移方式向上平移一次得到抛物线，Q恰好经过与x轴的左交点，与组成新函数L，当时，L的最小值为，最大值为，直接写出t的取值范围． 变式2．（2025·辽宁锦州·二模）定义：在平面直角坐标系中，关于与的函数图象，当时，将函数对应的图象向上平移个单位长度，当时，将函数对应的图象向下平移个单位长度，变化后的图象所对应的函数表达式为，我们称函数为函数的“对称平移函数”，为函数的“对称平移距离”．若函数的“对称平移函数”经过原点． (1)求函数的“对称平移距离”； (2)若函数的“对称平移函数”在范围内的最大值比最小值大，求的值； (3)函数的“对称平移距离”为，它的“对称平移函数”与函数的“对称平移函数”的交点为（点在点的左侧），与轴交点为轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25九年级上·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，矩形的一边长为，且位于第一象限，点的坐标为，点在轴上．抛物线经过点和点，且抛物线的顶点在线段上， (1)求抛物线的解析式； (2)矩形与矩形关于原点对称，平移抛物线， ①若平移后的抛物线在矩形内的部分是轴对称图形，请探究抛物线如何平移？ ②将抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，．若平移后的抛物线与矩形的一组对边分别相交于点，是否存在直线平分矩形面积的情形？若存在，请求出和的值；若不存在，请说明理由． 考点二 以二次函数为背景的材料阅读类问题 例1．（25-26九年级下·江苏盐城·期中）提出概念 在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：如图，平面内有一点P，点Q在的延长线上，且满足则称点Q是点P的“k变换点” 【概念理解】 (1)若，则点的“变换点”的坐标是_______ ； 【灵活运用】 (2)若的“变换点”在反比例函数上，求的值； 【拓展提升】 (3)已知点在直线上，设其横坐标为，点是点的“变换点”，且点落在抛物线上． 当点恰好是抛物线的顶点时，求的值； 当，求的取值范围． 例2．（2026·广西南宁·一模）【研究内容】二次积点函数 将一次函数图象上的任意点的坐标作以下变换：横坐标x不变，纵坐标变为x与y的乘积，得到新的点．点所组成的图象记为新函数的图象，则新函数叫作y的二次积点函数，例如：若一次函数，则其二次积点函数为． 【特殊感知】 (1)一次函数的图象经过点，，完成下列问题： ①求y的解析式； ②求y的二次积点函数的解析式及其顶点坐标； 【探索求证】 (2)猜想：一次函数的图象与其二次积点函数的图象必有交点，请判断猜想是否成立，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)一次函数的图象与其二次积点函数的图象有两个交点分别为A，B，点C为，设外接圆的直径为d，若，求b的取值范围． 例3．（2026·江苏无锡·一模）定义：若一个函数图像上存在纵坐标相等的两个点，则称这两点为该函数的一对“等值点”． 已知二次函数（为常数），设其函数图像为． (1)求证：函数图像上总存在“等值点”； (2)设函数图像上一对“等值点”的坐标分别为和，（），若，求的值； (3)将函数图像沿经过且平行于轴的直线翻折得到新图像．当函数的图像与函数图像和有三个公共点时，请直接写出的值． 变式1．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·月考）按照要求解答： (1)【建立模型】如图1，点B是线段上的一点，，，，垂足分别为C、B、D，．求证：； (2)【类比迁移】如图2，一次函数的图象与y轴交于点A、与x轴交于点B，将线段绕点B逆时针旋转得到，直线交x轴于点D． ①求点C的坐标； ②求直线的解析式； (3)【拓展延伸】如图3，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于C点，已知点，连接，抛物线上是否存在点M，使得三角形是以为腰的等腰三角形，若存在，写出点M的横坐标． 变式2．（2026·福建泉州·模拟预测）规定：如果某函数的图象关于直线（为常数）对称，则称该函数为“长榆函数”，直线叫做“振万直线”． (1)下列函数，是否为“长榆函数”？若是，请在横线上填写“是”，若不是，请在横线上填写“否”． ①______；②______；③______． (2)函数和（其中、、、为常数，）均为“长榆函数”，且其“振万直线”为同一直线．若直线与、的图象相交于、、、，其中．求证：． (3)若关于的“长榆函数”的“振万直线”为，其函数图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为；函数的图象与轴交于点、（点在点的右边），其顶点为，以、、、为顶点的四边形能否为矩形或菱形，若能请求出的值，若不能请说明理由． 变式3．（2026·安徽合肥·一模）已知抛物线顶点纵坐标为． (1)求c的值． (2)约定：若函数图象上存在点，满足，且时，则称点与为一对“对偶点”，并称该函数为“对偶函数”． （ⅰ）发现时，上述二次函数是“对偶函数”，求出该函数的“对偶点”． （ⅱ）若二次函数是“对偶函数”，直接写出实数a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $