专题09二次根式期中复习(17大题型+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题09二次根式复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二次根式定义与有意义条件 2.熟记并理解二次根式核心性质 3.明确最简二次根式、同类二次根式 4.掌握二次根式加减乘除运算法则 1.化简能力：能灵活运用性质，将复杂根式精准化简为最简二次根式。 2.运算能力：能独立完成加、减、乘、除及混合运算，保证结果最简、无误。 3.应用能力：能进行化简求值、大小比较，并能用根式知识解决基础实际问题。 1.必拿分（基础）： 秒杀：有意义条件求解、简单的性质化简。 满分：乘除运算、最简二次根式判断与化简。 2.稳拿分（中档）： 通杀：混合运算（含分母有理化）、化简求值题。 3.抢分点（拓展）： 巧解：二次根式大小比较、复合根式化简、实际应用 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.分母有理化 题型10.最简二次根式判断与求参 题型11.化为最简二次根式 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.二次根式的化简求值 题型16.二次根式的大小比较 题型17.二次根式的应用 解答题7题 知识点01.核心概念（基础前提） 二次根式：形如(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数 / 因式 知识点02.核心性质（化简关键） 1.双重非负性：≥0 且 a≥0（a≥0），（常考求参数，如+=0⇒a=b=0） 2.()2=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） 3.=∣a∣=（平方先开根号，必带绝对值，结合数轴 / 条件去绝对值） 4.积的算术平方根:=(a≥0,b≥0)（拆根号化简） 5.商的算术平方根：(a≥0,b>0)（拆根号 + 分母有理化基础） 6.易混点直击：()2 vs 对比表 对比维度 ()2 ​ 成立条件 a≥0（被开方数非负，根式才有意义） a为任意实数（任何数平方后均非负） 运算顺序 先开二次方，再进行平方运算 先进行平方运算，再开二次方运算 计算结果 直接等于a 先得∣a∣，再根据a的正负去绝对值 本质特征 非负数的开方与平方互逆，结果唯一 任意数平方后开方，结果为非负数 （去绝对值后确定） 知识点03.核心运算（必考重点） （1）乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：=（a≥0，b≥0）推广：mn=mn（a≥0,b≥0） 法则：（a≥0,b>0）；推广：m÷n=（a≥0,b>0） (2）加减运算：一化、二找、三合并 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） （3）混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (+)(−)=a−b； (±)2=a+b±2​。 1.忽略二次根式有意义的条件（a≥0），求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆 ()2 与 ，后者结果必须加绝对值； 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误； 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 （4）分母有理化：消去分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式为​，−​的为+​） 常见类型及方法 题型01.二次根式的识别 【典例】下列式子中，是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：式子根指数为2，被开方数，符合二次根式定义. 【跟踪专练1】下列式子中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子是二次根式，本题要求“一定是”二次根式，即被开方数对任意实数都必须是非负数，据此判断各选项即可． 【详解】解：对于选项A，当时，的被开方数为负数，不是二次根式，不符合要求； 对于选项B，当时，，的被开方数为负数，不是二次根式，不符合要求； 对于选项C，∵对任意实数，都有， ∴，且根指数为，满足二次根式定义，一定是二次根式，符合要求； 对于选项D，该式根指数为，是三次根式，不是二次根式，不符合要求． 【跟踪专练2】.下列式子中，二次根式的个数为（   ） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义（形如且的式子），逐一判断每个式子是否符合二次根式的条件，统计符合的个数即可． 【详解】解：根据二次根式的定义是形如（）的式子，需满足根指数为2且被开方数非负， ①：被开方数，根指数为2，是二次根式， ②：被开方数，无意义，不是二次根式， ③：，，根指数为2，是二次根式， ④：根指数为3，是三次根式，不是二次根式， ⑤：被开方数，根指数为2，是二次根式， ⑥：被开方数的取值随变化，可能小于0，不满足被开方数非负的确定性，不是二次根式， ⑦：，，，根指数为2，是二次根式， ∴符合条件的二次根式有①③⑤⑦，共4个． 故选：C． 题型02.求二次根式的值 【典例】当时，二次根式的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的计算，掌握算理是解决问题的关键．将代入计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：B． 【跟踪专练1】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 【跟踪专练2】下列各式是二次根式的有（    ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据形如的式子是二次根式，可得答案． 【详解】解：二次根式有（1），（3）， 故选：C． 题型03.求二次根式中的参数 【典例】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 【跟踪专练1】若是整数，且n是正整数，则n的最小值是（   ） A．16 B．21 C．27 D．32 【答案】B 【分析】把189分解成平方数与另一个因数相乘的形式即可解答． 【详解】解：， ∵是整数，且n是正整数， ∴正整数的最小值是21． 【跟踪专练2】已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 题型04.二次根式有意义的条件 【典例】使二次根式有意义的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数必须为非负数，列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴． 【跟踪专练1】若x，y为实数，且，则的值为（   ） A．7 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式有意义的条件，即被开方数是非负数，先求出x的值，再代入等式求出y的值，最后计算即可． 【详解】解：∵二次根式的被开方数必须是非负数 ∴ 解不等式组得且 ∴ 将代入原式，得 解得 ∴． 【跟踪专练2】代数式中的取值范围在数轴上表示如图所示，则的值为（    ） A．4 B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】根据有意义得出，，再由数轴可得，即可得，即可求解． 【详解】解：根据有意义可得，解得， 根据有意义可得，解得， 由数轴可得， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型05.利用二次根式的性质化简. 【典例】（    ） A．5 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】利用性质直接计算即可得出结果． 【详解】解：根据二次根式的性质，得． 【跟踪专练1】若，化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用完全平方公式对根号内的多项式变形，再根据二次根式的性质，结合的条件去掉绝对值符号，得到化简结果 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 【跟踪专练2】把式子中根号外的移到根号内得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简即可． 【详解】解：∵二次根式中被开方数非负且分母不为， ∴， 得， ∴． 题型06.二次根式的乘法 【典例】长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握二次根式乘法法则． 根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 【跟踪专练1】下列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算性质，按照二次根式运算法则分别计算各选项，即可判断对错． 【详解】解：A、，，，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、故，故该选项不符合题意； 【跟踪专练2】估算的值在（    ） A．和之间 B．和之间 C．和0之间 D．0和1之间 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再估算无理数的范围，推导得出原式的取值区间． 【详解】解： ， ∵， ∴，即， ∴，即， ∴估计的值在和0之间． 题型07.二次根式的除法 【典例】把化简后，正确结果（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的意义，二次根式的运算，根据二次根式有意义的条件得出，然后根据二次根式的除法法则以及分母有理化化简即可． 【详解】解：根据题意，得， ∴ ， 故选：B． 【跟踪专练1】若，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的除法运算法则，分别对系数和被开方数计算，再化简即可得到结果． 【详解】解：∵，， ∴ ． 【跟踪专练2】下列各式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 原式各项利用二次根式的乘除法则计算得到结果，即可做出判断． 【详解】解：∵ 在实数范围内，平方根的被开方数必须大于等于0. A、，成立，符合题意； B、，但右边无意义，不成立，不符合题意； C、和无意义，不成立，不符合题意； D、，不成立，不符合题意； 故选：A. 题型08.二次根式的乘除混合运算 【典例】计算：的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：原式为同级运算，从左到右依次计算， ∵， ∴ 原式． 【跟踪专练1】在中，，若的面积为，则边上的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】已知三角形底边长和面积，直接代入三角形面积公式即可求出对应底边上的高． 【详解】解：设边上的高为h， ∵，， ∴， 解得． 【跟踪专练2】计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 题型09.分母有理化 【典例】“分母有理化”是常用的一种化简方法，如：．根据这种方法，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分母有理化，掌握二次根式的混合运算法则是关键． 分子、分母同时乘以，结合二次根式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：， 故选：A ． 【跟踪专练1】下列分母有理化过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的二次根式，去掉分母中的根号，即可判断正误． 【详解】解：A选项：，该选项不符合题意； B选项：，该选项符合题意； C选项：，该选项不符合题意； D选项：，该选项不符合题意． 【跟踪专练2】已知的整数部分为，小数部分为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简二次根式，根据结果求出的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 题型10.最简二次根式判断与求参 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简二次根式的定义，即满足被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，逐个判断选项即可得到答案． 【详解】解：A．的被开方数含分母，不是最简二次根式，不合题意； B． 满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式，符合题意； C．的被开方数是能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不合题意； D．，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不合题意． 【跟踪专练1】若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 【跟踪专练2】若，则“（   ）”内的最简二次根式是________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算，最简二次根式，用除以即可求解． 【详解】解：， 即“（   ）”内的最简二次根式是， 故答案为：． 【跟踪专练3】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________． 【答案】2 【分析】根据最简二次根式、同类二次根式的性质计算，即可得到a和b的值；再将a和b的值代入到代数式，通过计算即可得到答案． 【详解】根据题意得： ∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式 ∴ ∴ ∴ 故答案为：2． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握最简二次根式、同类二次根式、代数式的性质，从而完成求解． 题型11.化为最简二次根式 【典例】已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 【跟踪专练1】下列根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题根据最简二次根式的定义判断各选项即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵最简二次根式需满足：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 对选项A：∵ = = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项B：∵ = ，被开方数含分母，∴不是最简二次根式． 对选项C：∵的被开方数是3，不含分母，也不含能开得尽方的因数，∴是最简二次根式． 对选项D：∵ = = ，被开方数含能开得尽方的因数4，∴不是最简二次根式． 综上，答案选C． 【跟踪专练2】仔细观察下列式子：，，，… （1）请写出如上面的第4个同类型式子 __________________． （2）类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子__________________． 【答案】 （n为正整数） 【分析】（1）根据所给的式子进行解答即可； （2）把所给的等式进行整理，然后再归纳其中的规律即可． 【详解】解：（1）根据题意，第4个式子是：， 故答案为：； （2）∵，整理得：， ，整理得：， ，整理得： … 则第n个式子为：． 故答案为：（n为正整数）． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质与化简，规律型，数字的变化类，解答的关键是分析清楚等式左右两边的规律． 【跟踪专练3】二次根式，，，，中是最简二次根式的是______． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，，，， 二次根式，，，，中是最简二次根式的是． 题型12.同类二次根式 【典例】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类二次根式的定义解题，先将每个选项化为最简二次根式，再比较最简二次根式的被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：对各选项逐一化简判断： A选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A错误； B选项：，与的被开方数相同，是同类二次根式，故B正确； C选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C错误； D选项：，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故D错误． 【跟踪专练1】最简二次根式与是同类二次根式，则（     ） A．2 B．3 C．0 D．4 【答案】A 【分析】本题根据同类二次根式的定义求解，最简同类二次根式的被开方数相等，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：∵ 最简二次根式与是同类二次根式 ∴ 两个二次根式的被开方数相等，可得方程，解得． 【跟踪专练2】若最简二次根式与能够合并，那么的值为（ 　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】能合并的最简二次根式的被开方数相等，据此列一元一次方程求解即可得到a的值． 【详解】解：∵最简二次根式与能够合并， ∴两个二次根式的被开方数相等， 即， 移项得， 解得， 检验：当时，且，符合题意． 题型13.二次根式的加减运算 【典例】计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】用同类二次根式的合并法则，即合并同类二次根式时，系数相加减，被开方数不变，直接计算即可． 【详解】解：∵ 与 是同类二次根式，合并时系数相减，被开方数不变， ∴ ． 【跟踪专练1】下列计算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式加减乘除运算法则，逐个计算选项即可判断正误． 【详解】解：、与不是同类二次根式，无法合并，，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算错误，不符合题意； 、，故该选项计算正确，符合题意． 【跟踪专练2】已知整数、满足，那么能满足条件的整数的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的加法运算，根据题意，分，，以及化简后为被开方数为2的同类二次根式，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或化简后为被开方数为2的同类二次根式， 当时，此时不是整数，不符合题意； 当时，此时，符合题意； 当化简后为被开方数为2的同类二次根式时：设， ∴， ∴， 当时，，符合题意，此时，故； 当时，，符合题意，此时，故； 综上：； 故选D． 题型14.二次根式的混合运算 【典例】在边长为的正方形的内部挖去一个长为，宽为的长方形，则剩余部分图形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】剩余部分面积等于正方形面积减去长方形面积，利用正方形、长方形面积公式结合完全平方公式，二次根式的运算法则计算即可． 【详解】∵ 剩余部分面积 = 正方形面积 - 长方形面积 正方形边长为 ∴ 正方形面积 ∵ 长方形长为，宽为 ∴ 长方形面积 ∴ 剩余部分面积． 【跟踪专练1】下列计算过程正确个数（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的运算等知识点，能正确根据二次根式的性质和二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 根据二次根式的运算法则和性质逐个判断式子正误，统计正确个数即可． 【详解】解：① ，，，①正确． ② ，，，②错误． ③ 原式有意义，可得且，即，或，；当，时，不成立，③错误． ④ ，，④错误． 综上，正确的式子共1个． 故选：A． 【跟踪专练2】计算结果的整数部分是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对分式的分母有理化，再展开计算得到的表达式，结合无理数的估算，求出原式的近似值，即可得到整数部分． 【详解】解：， ， 原式， ， ， 原式， 计算结果的整数部分是． 题型15.二次根式的化简求值 【典例】已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【跟踪专练1】已知，则代数式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对二次代数式配方变形，简化代入计算即可求解． 【详解】解： 又∵ ∴ 将代入变形后的式子得原式． 【跟踪专练2】已知，，则_____． 【答案】10 【分析】根据二次根式的运算，先求的值，再由进行计算即可． 【详解】解：∵，， ， ， ． 【跟踪专练3】已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 题型16.二次根式的大小比较 【典例】已知： ，比较m、 n 的大小（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】解：， ∵， ∴， ∴. 【跟踪专练1】下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方法将三个二次根式转化为同分母分数，比较平方后的大小，从而得到原数的大小关系． 【详解】解：，，， ， ． 【跟踪专练2】已知：，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的大小比较，将各数变形为，，，再结合即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，，， ∵， ∴， 故选：D． 题型17.二次根式的应用 【典例】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（　　） A． B． C． D．12s 【答案】C 【分析】直接将代入公式，化简二次根式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 【跟踪专练1】已知某物体的质量，其体积，则它的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据密度公式是解题关键，代入数值化简二次根式即可得到结果. 【详解】解∵密度公式为，已知，， ∴． 【跟踪专练2】口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动场地．为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山已建成口袋公园超300个，占全省总量的，为“绿美广东”建设贡献了力量．佛山市园林部门计划将三块小绿地整合成一个如图所示的长方形口袋公园．已知正方形和正方形的面积分别为，则该口袋公园的总面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的实际应用，因为已知两个正方形的面积，所以可利用正方形面积公式求出两个正方形的边长，再确定大长方形的长和宽，最后利用长方形面积公式求总面积． 【详解】解：∵正方形面积为， ∴； ∵正方形面积为， ∴． ∴， ∴ ． 故选：B ． 解答题 1．已知是实数，且满足． (1)求和的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件以及二次根式的求值，根据二次根式有意义的条件求得是解题关键． （1）根据二次根式有意义的条件可得x的值，进而得出y的值； （2）将x，y的值代入计算即可 【详解】（1）是实数，且满足， 解得 ∴； （2）当，时， ； 2．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．先化简，再求值：，其中； 【答案】， 【分析】先根据分式的加减法计算括号内的，再将除法变为乘法，并化到最简，然后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 4．二次根式与最简二次根式是同类二次根式，是8的立方根． (1)求的平方根： (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，平方根及立方根的意义，完全平方公式，掌握知识点是解题的关键． （1）根据同类二次根式的被开方数相同列式求解即可； （2）把变形为，由已知求得，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． ∵是8的立方根， ∴， ∴， ∴的平方根； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 5．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先算括号里面的，再算除法即可； （2）先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 6．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：_____． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2)2026 (3)10 【分析】（1）根据分母有理化的方法，进行求解即可； （2）先分母有理化，然后根据实数混合运算法则，进行计算即可； （3）先变形为，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：∵，， ∴ ． 7．已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦-秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，求△的面积； (2)计算（1）中△的边上的高； (3)在一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2) (3)该草地的面积为 【分析】本题考查了二次根式的应用，二次根式的乘法运算，勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据公式求得，然后将和p的值代入公式即可求解； （2）设的边上的高为h，根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解． （3）连接，运用勾股定理以及勾股逆定理得出是直角三角形，再分别求出两个三角形的面积，即可得出该草地的面积． 【详解】（1）解：， ， 答：的面积是； （2）解：设的边上的高为h， ， ， 答：边的高是． （3）解：连接，如图所示： ， ∴在中，， ， ，， 即， ∴ 是直角三角形， 则， ∴ ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $专题09二次根式复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二次根式定义与有 1.化简能力：能灵活运用性 1.必拿分（基础）： 意义条件 质，将复杂根式精准化简为 秒杀：有意义条件求解、简 2.熟记并理解二次根式核 最简二次根式。 单的性质化简。 心性质 2.运算能力：能独立完成加、 满分：乘除运算、最简二次 3.明确最简二次根式、同类 减、乘、除及混合运算，保 根式判断与化简。 二次根式 证结果最简、无误。 2.稳拿分（中档）： 4.掌握二次根式加减乘除 3应用能力：能进行化简求通杀：混合运算（含分母有 运算法则 值、大小比较，并能用根式理化)、化简求值题。 知识解决基础实际问题。 3.抢分点（拓展）： 巧解：二次根式大小比较、 复合根式化简、实际应用 ☆ 题型梳理 题型01.二次根式的识别 题型02.求二次根式的值 题型03.求二次根式中的参数 题型04.二次根式有意义的条件 题型05.利用二次根式的性质化简 题型06.二次根式的乘法 题型07.二次根式的除法 题型08.二次根式的乘除混合运算 题型09.分母有理化 题型10.最简二次根式判断与求参 题型11.化为最简二次根式 题型12.同类二次根式 题型13.二次根式的加减运算 题型14.二次根式的混合运算 题型15.二次根式的化简求值 题型16.二次根式的大小比较 题型17.二次根试的应用 解答题7题 ☆ 知识梳理 知识点01核心概念（基础前提） 试卷第1页，共3页 二次根式：形如ya(a≥0)的式子，被开方数非负是前提 最简二次根式：①被开方数无分母；②被开方数无开得尽方的因数/因式 知识点02核心性质（化简关键） 1.双重非负性：Va≥0且a≥0(a≥0)，（常考求参数，如y+Vb0→ab-0) 2.(√a)2=a(a≥0)（根号先平方，直接去根号） a(a≥0) 3.V2-lal-1-da<o) (平方先开根号，必带绝对值，结合数轴/条件去绝对 值) 4.积的算术平方根：VbV反·V历(a≥0，b≥0)（拆根号化简） 5商的算术平方限：-层0b0,拆根号+分母有理化基础) 6.易混点直击：Va2vsVa2对此表 对比维度 Wa)P 2 a≥0（被开方数非负，根式 成立条件 a为任意实数（任何数平方后均非负） 才有意义) 先开二次方，再进行平方运 运算顺序 先进行平方运算，再开二次方运算 算 计算结果 直接等于a 先得|a|,再根据a的正负去绝对值 非负数的开方与平方互 任意数平方后开方，结果为非负数 本质特征 逆，结果唯 (去绝对值后确定) 知识点03.核心运算（必考重点） (1)乘除运算：根不变，被开方数相加减 法则：VaVb√ab(a≥0，b≥0)推广：mya·nyb=mnyab(a≥0，b0) 法则：号=层(0b0:推广：mvan6器层 (a≥0，b>0) (2)加减运算：化、二找、三合并 试卷第1页，共3页 化：将所有二次根式化为最简二次根式 找：找出其中的同类二次根式 合：合并同类二次根式（系数相加减，被开方数不变） (3)混合运算：遵循整式运算顺序 顺序：先乘除，后加减；有括号先算括号内； 技巧：灵活运用乘法公式（平方差、完全平方）简化计算： (Va+VBXVa-B)-a-b: (Wa±yb)2=a+b-2Wab 1.忽略二次根式有意义的条件(a≥0)，求字母取值范围时遗漏限制； 2.混淆()2与2，后者结果必须加绝对值： 3.运算时未先化简就直接合并，导致错误： 4.分母有理化时漏乘、符号出错； 5.忽略运算结果需化为最简二次根式。 (4)分母有理化：消法分母中的根号 核心：分子分母同乘分母的有理化因式（如的有理化因式为√，Va√b的为 a+B) 常见类型及方法 分母类型 有理化方法 举例 1 1×V2√② 单根式(v@) 分子分母同乘√ā √2 √2×√2 2 根式倍数(n√a) v3 √3×√5 分子分母同乘√a V15 2W5 2v5×V5 10 ☆ 题型精析 题型01.二次根式的识别 试卷第1页，共3页 【典例】下列式子中，是二次根式的是() A.√4 B.阿 C.√6 D.√3-元 【跟踪专练1】下列式子中，一定是二次根式的是() A. B.√2-1 C.x2+2 D.沉 【跟踪专练2】.下列式子中，二次根式的个数为() ②3：③-+1；④8 ⑥61-x;⑦Vx2+2x+3 A.2 B.3 C.4 D.5 题型02.求二次根式的值 【典例】当x=5时，二次根式√9-x的值是() A.1 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练1】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的 时间(s和高度h(m)近似满足公式t= 5 (不考虑阻力的影响).物体从60m的高空落到地 面的时间是() A.25s B.3√2s C.6√2s D.12s 【跟踪专练2】下列各式是二次根式的有() (1)V21;(2)√-19；(3)Vx2+1;(4)9;(5)√-2x-2 A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 题型03.求二次根式中的参数 【典例】已知√2025-a是正整数，则整数a的最大值为() A.2025 B.2024 C.2 D.1 【跟踪专练1】若√89n是整数，且n是正整数，则n的最小值是() A.16 B.21 C.27 D.32 【跟踪专练2】已知a是正整数，且二次根式√10-a的值是整数，则正整数a所有可能的值 的和为(). A.24 B.26 C.28 D.30 试卷第1页，共3页 题型04.二次根式有意义的条件 【典例】使二次根式√x-3有意义的实数x的取值范围是() A.x23 B.x≤3 C.x>3 D.x<3 【跟踪专练1】若x,y为实数，且Vx+4+√-x-4+3-y=0,则x+y的值为() A.7 B.1 C.-7 D.-1 【跟踪专练2】代数式了中。+6了申的取能箱制在数维上表示知图所示，则。+6的值 为() 内4京32012345> A.4 B.3 C.1 D.-5 题型05.利用二次根式的性质化简： 【典例】(5=() A.5 B.2W5 C.10 D.V10 【跟踪专练1】若a>1,化简V1-2a+a2的结果是(） A.a-1 B.-a-1 C.1-a D.a+1 【跟踪专练2】把式子mm ,1中根号外的m移到根号内得（） A.m B.-√m C.-√m D.√m 题型06.二次根式的乘法 【典例】长方形的长和宽如图所示，则该长方形的面积为() √⑧ A.4 B.6 C.8 D.16 【跟踪专练1】下列正确的是() A.V4+9=2+3B.√4×9=2x3 C.V94=32 D.V4.9=0.9 【跟踪专练2】估算V25-2√2)的值在() 试卷第1页，共3页 A.-3和-2之间 B.-2和-1之间 C.-1和0之间 D.0和1之间 题型07.二次根式的除法 【奥例】把(a-o小。6化简后，正确结果《） A.b-a B.√a-b C.-/b-a D.-a-b 【跟踪专练1】若a>0,b>0, 等于(） A.avab B C.aab D. ab 【跟踪专练2】下列各式成立的是() A. -33 55 B. 77 V6=6 2V2 C.9 题型08.二次根式的乘除混合运算 【奥例】计算：55×店的值为(） A.1 B.5 C.5 D.25 【跟踪专练1】在ABC中，BC=√5，若ABC的面积为5√2，则BC边上的高为() A.10 B.2V10 C.√5 D.25 【跟踪专练2】计算： 1 等于() ab A. B. c. D.bab 题型09.分母有理化 【典例分母有理化”是常用的一种化简方法，如： 2-V5 可2：2-5.根据这种方法，化简万25的结果为（） 2 2+5(2+52-54-3 A.√7+5 B.7-V5 C.√7+25 D.√7-25 【跟踪专练1】下列分母有理化过程正确的是() 试卷第1页，共3页 1 A万5 B.1=3 c.5-6 22 53 D.55 2-后的整数部分为a,小数部分为b,则a2+(5+1b=() 1 【跟踪专练2】己 A.10 B.11 C.12 D.13 题型10.最简二次根式判断与求参 【典例】下列二次根式是最简二次根式的是() 1 A. B.万 C.4 D.√18 【跟踪专练1】若最简二次根式√a能与√8合并，则a的值为() A.2 B.3 C.4 D.6 【跟踪专练2】若√3×(）=√5，则()”内的最简二次根式是 【跟踪专练3】最简二次根式√b+2与-2b是同类最简二次根式，则a-b= 题型11.化为最简二次根式 【典例】已知a<0,则化简√ab的结果是() A.-a√-ab B.a-ab C.-avab D.a√-ab 【跟踪专练1】下列根式中，属于最简二次根式的是() A.√0.5 B. C.-5 D.√⑧ 【跟踪专练2】仔细观察下列式子： (1)请写出如上面的第4个同类型式子 (2)类比上述式子，你能看出其中的规律吗，请写出第n个式子 【跟踪专练3】二次根式√24，√25，√26，√27，√28中是最简二次根式的是 题型12.同类二次根式 【典例】下列二次根式中，与√3是同类二次根式的是() A.√18 B.√12 D.9 【跟踪专练1】最简二次根式√5与√7-b是同类二次根式，则b=() 试卷第1页，共3页 A.2 B.3 C.0 D.4 【跟踪专练2】若最简二次根式√2a-3与√a+1能够合并，那么a的值为() A.2 B.3 C.4 D.5 题型13.二次根式的劬加减运算 【典例】计算4√5-3√5的结果是() A.5 B.2√5 C.3V5 D.45 【跟踪专练1】下列计算正确的是() A.5+2=5 B.2V5-V5=2 C.2√5×3√5=65 D.V8÷√2=2 【跟踪专练2】已知整数x、y满足√F+2√下=√50，那么能满足条件的整数x的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 题型14.二次根式的混合运算 【典例】在边长为5+2cm的正方形的内部挖去一个长为√0cm,宽为√⑧cm的长方形， 则剩余部分图形的面积为() A.9cm2 B.7cm2 c.(9-2W5)cm2D.(7-2V5cm 【跟踪专练1】下列计算过程正确个数() 6a-i6,④(5+25-2=3 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【跟踪专练2】计算(2+V5)+、1 2-5结果的整数部分是() A.727 B.728 C.783 D.784 题型15.二次根式的化简求值 【典例】已知m=√2+1，n=√2-1，则m2+2mm+n2的值() A.4 B.8 C.6 D.2W2 【跟踪专练1】已知x=√5-2，则代数式x2+4x-6的值为() 试卷第1页，共3页 A.5-2 B.6 C.-5 D.5 【跟踪专练2】已知a=V5-V2,b=5+√2，则+= a b 【跟踪专练3】已知a+b=5,ab=3, 的值为 a 题型16.二次根式的大小比较 【奥例]已：a=9中。a=而-1，比较m、n的大小() A.m>n B.m<n C.m=n D.无法确定 【跟踪专练1】下列结论正确的是() A. 5、53 5>5> c.53、B 5>5V5 【跟踪专练2】已知：a=√万-√6，b=2√2-√万，c=3-2√2，则a,b,c的大小关系是 () A.a<b<c B.c<a<b C.b<c<a D.c<b<a 题型17.二次根式的应用 【典例】高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间 t(S)和高度h(m)近似满足公式t= h (不考虑阻力的影响).物体从60m的高空落到地面的 V5 时间是() A.43s B.3√2s C.23s D.12s 【跟踪专练1】已知某物体的质量m=5V6g,其体积V=√3cm3,则它的密度P为() A.10g/cm3 B.5v2g/cm3 C.103g/cm' D.152g/cm' 【跟踪专练2】口袋公园是指面向公众开放、规模较小、具有一定游憩功能的公园绿化活动 场地.为了满足市民对“推窗见绿、出门入园”美好生活的向往，佛山己建成口袋公园超300 个，占全省总量的15%，为“绿美广东”建设贡献了力量.佛山市园林部门计划将三块小绿地 整合成一个如图所示的长方形口袋公园.已知正方形ABFE和正方形GFCH的面积分别为 250m2,90m2,则该口袋公园的总面积为() 试卷第1页，共3页 D G H A.390m2 B.400m2 C.410m2 D.420m2 解答题 1.已知，y是实数，且满足y=√x-6+V6-x+1. (1)求x和y的值； (2)求Vx+2y的值. 2.计算： 5vE (2)6v8x-32): 6厚辰： ④厢5x 3.先化简，再求值： 小 其中x=√2+2； 4.二次根式√28与最简二次根式V2a+1是同类二次根式，b是8的立方根. (1)求a+3b的平方根： (2)若x=√b-a,求x2+6x+9的值. 5.计算： (32-5x6)÷v8: (2)√9a-√25a. 321 6.在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如 5'3+1'5-2这样一类的式子，其 实可以指建出化：方要 试卷第1页，共3页