专题03平行四边形期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题03平行四边形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.记死定义：牢抓 “两组对边分别平行”，吃透平行四边形判定核心依据 2.吃透性质：精准掌握边（平行且相等）、角（对角等 / 邻角补）、对角线（互相平分）、对称性（中心对称）4 大核心，条件结论无偏差 3.规范表达：熟练掌握平行四边形性质的几何符号语言，文字 / 符号互转零失误 1.直接用性质解边长、角度、对角线计算 + 简单证明 2.融合平行线、三角形全等，完成多步逻辑推理 3.拆解复杂图形，快速识别平行四边形基本模型 4.按标书写解题过程，条理清晰、有据可依 1.秒杀基础题，该板块基础分零失分 2.攻克中档综合题，搞定含参计算、性质 + 全等证明 3.精准避坑（角性质混淆 / 对角线误用 / 语言不规范等） 4.高效解题控时间，稳拿该板块全部分数 题型01.数平行四边形的个数 题型02.平行四边形的性质计算 题型03.平行四边形的性质证明 题型04.平行四边形的判定证明 题型05.平行四边形的判定条件辨析 题型06.三点构造平行四边形的点的个数 题型07.平行四边形判定与性质计算 题型08.平行四边形判定与性质的应用 题型09.平行四边形动点存在性问题 题型10.平行四边形与平面直角坐标系 题型11.平行四边形折叠变换综合 题型12.平行四边形与全等三角形综合 题型13.平行四边形最值问题 解答题5题 .. 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 解题核心思路（一招破题，直击要害） 见平行四边形，必想三件事： 1 对边平行且相等（边的关系优先用） 2 对角相等 / 邻角互补（角度计算直接套） 3 对角线互相平分（遇对角线交点，立刻标相等线段） 题型01.数平行四边形的个数 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，根据平行四边形的定义即可得到平行四边形有：平行四边形，平行四边形，平行四边形．解题的关键是掌握：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 【详解】解：∵，，， ∴四边形，四边形和四边形都是平行四边形， ∴图中平行四边形共有个． 故选：C． 【跟踪专练1】如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有______个；    【答案】2 【分析】根据等边三角形的性质，求出四边形角和边的关系，即可知道哪些四边形是平行四边形． 【详解】解：∵、、都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【答案】 3 ，， 【分析】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是掌握有两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 根据平行四边形的判定数出平行四边形的个数即可． 【详解】解：，， ∴四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形， 则图中共有个平行四边形，它们分别是，，， 故答案为：；，，． 【跟踪专练3】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，掌握根据两组对边分别平行的判定条件是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理逐一分析． 【详解】解：∵在平行四边形中，， ∵ ∴可以通过选择两条平行于的线段和两条平行于的线段来构成新的平行四边形 ∴图中的平行四边形有： 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 ∴共有个平行四边形． 故选：D． 题型02.平行四边形的性质计算 【典例】在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对角相等求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 【跟踪专练1】在平行四边形中，，则________． 【答案】/120度 【分析】根据平行四边形的性质，得，继而得到，解答即可． 【详解】解：∵平行四边形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． 【跟踪专练2】如图，点、是的边、上的点，且，，相交于，连接，且恰好平分，若，，则点到的距离为______． 【答案】3 【分析】过点C作于点E，于点F，由角平分线的性质可得；可证明，则可推出，由三线合一定理得到的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】如图所示，过点C作于点E，于点F， ∵平分，，， ∴； ∵四边形是平行四边形，且点P、Q是平行四边形的边上的点， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点C到的距离为． 【跟踪专练3】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】A 【分析】由作图可得，则为等腰三角形，由等腰三角形的性质可得，，结合勾股定理可得，由平行四边形的性质可得，结合平行线的性质得出，从而可得，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得：， ∴为等腰三角形， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． \题型03.平行四边形的性质证明 【典例】如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行四边形的对角线的性质，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴B选项正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的对角线的性质，熟记平行四边形的性质是解题关键． 【跟踪专练1】如图，在中，，则的长为___________．    【答案】4 【分析】由平行四边形性质，得，，可证，故． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∴． 故答案为：4． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，等角对等边；掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，解答本题的关键是根据平行线的性质和角平分线的定义得出．根据四边形平行四边形可得，根据平行线的性质和角平分线的定义可得出，继而可得，同理得：，然后根据已知可求得的长度． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 同理得：， ∴． 故答案为：2． 【跟踪专练3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②. D．①②④ 【答案】B 【分析】延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出 ，得出对应线段之间关系进而得出答案． 【详解】解：∵F是AD的中点， ∴ AF=FD， ∵在中，AD＝2AB， ∴AF=FD=CD，AD∥BC， ∴∠DFC＝∠DCF，∠DFC＝∠FCB， ∴ ∠DCF＝∠BCF， ∴∠DCF=，故①正确； 如图，延长EF，交CD延长线于M， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠A＝∠MDF，∠BEC=∠DCE， ∵F为AD中点， ∴ AF＝FD， 在和中 ∵， ∴， ∴FE=MF，∠AEF=∠M， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠BEC＝∠ECD＝90°， ∵FM＝EF， ∴FC=EM＝FE，故②正确； ∵EF=FM， ∴，即 ， ∵， ∴， ∴， ∵， 故：S△BEC<2S△CEF，故③成立； 设∠FEC=x，则∠FCE=x， ∴∠DCF=∠DFC＝90°-x， ∴∠EFC＝180°—2x， ∴∠EFD=90°-x+180°-2x＝270° -3x， ∵∠AEF＝90°-x， ∴∠DFE＝3∠AEF，故④错误． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等知识，得出是解题关键． 题型04.平行四边形的判定证明. 【典例】下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．一组对边平行且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定方法：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形进行分析即可． 【详解】解：A．对角线互相垂直不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； B．两条对角线相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； C．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故此选项符合题意； D．一组对边平行，另一组对边相等不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 【跟踪专练1】如图，作一个两条对角线互相平分的四边形．步骤如下： ①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取与、与，使，；③顺次连结所得的四点，则四边形是一个平行四边形．判定依据___________________________________． 【答案】对角线互相平分的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【答案】甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【分析】根据平行四边形的判定解决问题即可． 【详解】甲，两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 乙，对角线互相平分的四边形是平行四边形. 由甲图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 由乙图可知：，， ∴四边形是平行四边形. 我喜欢甲的作法．作图理由：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故答案为：甲；两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【跟踪专练3】已知四边形的四条边的长分别是m，n，p，q，且满足，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 E．以上答案都不正确 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，平行四边形的判定，中垂线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用完全平方公式将方程变形，分析四边形边的关系，结合几何性质判断形状． 【详解】解：原式变形为， 故且， 若是对边，是对边，则此四边形为平行四边形，如图， 若是邻边，是邻边，根据垂直平分线的判定可知此四边形对角线垂直，如图， ∴四边形是平行四边形或对角线互相垂直的四边形． 故选：C． 题型05.平行四边形的判定条件辨析 【典例】如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定以及平行线的判定等知识，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键，根据题意先证明，，再由平行四边形的判定，即可得出结论． 【详解】解：∵要使四边形为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为，，，，理由如下： ∵，， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【答案】3 【分析】已知，当时，四边形是平行四边形，据此即可解答． 【详解】解：当时， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【答案】①② 【分析】①根据平行四边形的性质结合已知条件，证明，，可得，，根据两组对边相等的四边形是平行四边形，即可判断①，②根据平行四边形是中心对称图形，即可判断②，根据已知条件不能判断③． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，,． ①， ∴， ∴． ， ， 又， ， ， 四边形是平行四边形． 故①正确； ②∵， ∴， ， ∴， ∴． 同理可得： ∵， 四边形是平行四边形． 故②正确； ③经过点O，，的位置未知，不能判断四边形是平行四边形， 故③不正确； 故答案为：①②． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．当，时，四边形可能为等腰梯形， 所以不能证明四边形为平行四边形，故此选项符合题意； D．∵，， ∴四边形为平行四边形，故此选项不符合题意． 题型06.三点构造平行四边形的点的个数 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【答案】3 【分析】连接三点，分别以三边作为平行四边形的对角线，作图即可得3个平行四边形． 【详解】解：如图， 以点，，能做三个平行四边形：，，． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 【跟踪专练2】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【答案】 【分析】连接、、，分别以、、为对角线，作出以、、、为顶点的平行四边形，可知符合条件的点有个，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接、、， 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出； 若以为对角线，可作出， 符合条件的点有个． 【跟踪专练3】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形解答即可求解，掌握平行四边形的判定是解题的关键． 【详解】解：当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： 当为平行四边形的对角线时，点的位置如图所示： ∴符合要求的点有个， 故选：． 题型07.平行四边形判定与性质计算 【典例】如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的知识点是平行四边形的判定与性质、平移的性质，解题关键是熟练掌握平移不改变图形的形状和大小． 根据平移性质可得四边形是平行四边形后，即可根据所给的条件求出平移距离． 【详解】解：将沿向右平移得到， 且， ∴四边形是平行四边形， 又四边形的面积等于，， 平移距离． 故选：． 【跟踪专练1】如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 【答案】5 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握平行四边形的判定和性质．证明四边形是平行四边形可得结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形的周长． 故答案为：5． 【跟踪专练2】如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【答案】 【分析】证明，，推出，再证明是等腰直角三角形可得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ． 【跟踪专练3】如图，，，分别是边，上的点，且，连接与相交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据平行四边形的判定和性质，分别求出，的面积即可． 【详解】解：如图，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ，， ∴的面积的面积的面积的面积， 四边形的面积为， 四边形的面积， ∵，， ， ∵， 四边形是平行四边形， 的面积， 阴影部分的面积的面积的面积． 题型08.平行四边形判定与性质的应用 【典例】如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画________个平行四边形． 【答案】4 【分析】根据平行四边形的判定画出图形即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD即为所求． 共能作出4个平行四边形． 故答案为：4． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定和性质，属于中考常考题型． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键． 根据平行四边形的性质得出，分情况讨论，再列出方程，求出方程的解即可． 【详解】解：设经过t秒，以点，，，为顶点组成平行四边形， ∵在边上运动， ∴， ∵以点，，，为顶点组成平行四边形， ∴， 分以下情况：①点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不符合题意． ②点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；符合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：；不合题意． 点Q的运动路线是 由题意得：， 解得：，不合题意． 故选：B． 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【答案】 12 【分析】（1）先证四边形是平行四边形，推出，再根据勾股定理解即可； （2）当窗户开到最大时，，根据勾股定理解求出；当关闭状态下，，由此可解． 【详解】解：（1），， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ． 故答案为：； （2）当窗户开到最大时，，， ， ， ，， ； 当关闭状态下，， 窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为， 故答案为：12． 【点睛】本题考查平行四边形的实际应用、勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形的性质，从根据实际情况构建数学模型． 【跟踪专练3】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A．甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 【答案】B 【分析】根据平行四边形为中心对称图形，得到过对称中心的任意一条直线平分平行四边形的面积，进行判断即可． 【详解】解：∵平行四边形为中心对称图形， ∴过对称中心的任意一条直线平分四边形的面积， 甲方案：直线既平分的面积，也平分的面积，符合题意；正确； 乙方案：直线平分的面积，所以下面阴影部分的面积大于上面的阴影部分的面，不符合题意；错误； 丙方案：直线既平分的面积，也平分，所以直线上方和下方的阴影部分面积也相等，符合题意；正确． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质．熟练掌握过平行四边形的中心的直线平分四边形的面积，是解题的关键． 题型09.平行四边形动点存在性问题 【典例】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题主要考查了直角梯形的性质，平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 由题意已知，，要使P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形，则只需要让即可，列出等式可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， 当P从B运动到C时，且P在上， ，， ， 解得， ∴当秒时，四边形是平行四边形； 当点P在延长线上时， 如图：   ， 解得， 秒或秒时，P、Q、D、C为顶点的四边形为平行四边形． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为_____时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【答案】或 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，等边三角形的性质，利用平行四边形的判定和等边三角形的性质求得相关线段的长度，然后列方程求解是解题的关键． 分三种情况讨论，由平行四边形的性质和等边三角形的性质可列方程，即可求解． 【详解】解：当点在线段上，点在线段上时，如图①． 四边形为平行四边形， ，． 是等边三角形， 和是等边三角形， ， ， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图②． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ； 当点在线段上，点在线段上时，如图③． 同理可得和是等边三角形，． ，， ， ． 当停止运动时，，且， （不合题意，舍去）． 综上所述，当的值为或时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 故答案为：或． 【点睛】 【跟踪专练3】如图，是等边三角形，，于D．点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点P由B点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的动直线，交于点Q，设运动时间为，解答下列问题： (1)线段 ． (2)求证：． (3)是否存在以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)存在，或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，平行四边形的性质，一元一次方程的应用． （1）由等边三角形的性质计算即可得出结果； （2）由等边三角形的性质并结合平行线的性质可得，即可得证； （3）分两种情况：当时，当时，分别结合平行四边形的性质，列出一元一次方程，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵是等边三角形，，于D． ∴； （2）证明：∵是等边三角形， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：存在以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： ①当时，如图1所示： 根据题意得：∵，，， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：， ②当时，如图2所示： ， 根据题意得：，，， ∴， ∵， ∴， 当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形． 题型10.平行四边形与平面直角坐标系 【典例】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点A，B的坐标分别为， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到 ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即 【跟踪专练1】如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 【答案】 【分析】本题重点考查​平面直角坐标系中平行四边形的性质​，​理解平行四边形对角线互相平分且利用对称求解点是解题的关键． 根据平行四边形性质，得点是的中点，根据关于原点对称求出坐标即可． 【详解】 平行四边形的对角线和互相平分， 已知点和点在轴上，且，因此点是的中点，也是的中点， 所以关于原点对称， 因为，所以， 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，中心对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题及平移的性质，先求出两点的坐标，得到，进而求出，即可求出C点的坐标，设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，由平移的性质得到，结合平行四边形的性质，当直线过的中点时，面积恰好被直线平分，即可求解． 【详解】解：根据题意当时，则， 当时，则， 解得：， ∴， ∴， ∵， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， 设沿x轴正方向平移m个单位长度后，得到，连接， 则， ∵四边形是平行四边形，即平行四边形是中心对称图形， ∴当直线过的中点时，面积恰好被直线平分， ∵的中点为，即， ∴， 解得：． 故选B． 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 【答案】(1) (2)或或或或 ； (3)12秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质得，再结合C点的坐标即可求出点B的坐标； （2）设，分，，这三种情况求出点D的坐标； （3）先求出平行四边形对角线交点的坐标，设平移后解析式为，再把交点坐标代入求解即可． 【详解】（1）解：点坐标是，， ，   四边形是平行四边形，   ，，   点坐标是，   ； （2）解：点是直线上一个动点，   设，   ①当时，三角形是等腰三角形，   或，   或，   ②当时，三角形是等腰三角形，   则点在的垂直平分线上，   ，   ③时，， 或， 或， 综上所述，点D的坐标为或或或或 ； （3）解：∵，， ∴平行四边形对角线交点的坐标为，即， ∵该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分， ∴平移后的直线经过平行四边形对角线交点， 设平移t秒，直线向下平移t个单位，平移后解析式为， 将代入得：，解得． 答：经过12秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分． 【点睛】若直线平分平行四边形的面积，则该直线一定过对角线的交点． 题型11.平行四边形折叠变换综合 【典例】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找到图形的变化规律，可得每次轴对称变换重复一轮，据此即可求解． 【详解】解：将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，点的坐标为， 所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，点的坐标为， 第三次轴对称变换，点的坐标为， 第四次轴对称变换，点的坐标为， 每次轴对称变换重复一轮， ， 经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查四边形中的翻折问题，涉及勾股定理及应用，平行四边形的判定与性质，三角形面积等，解题的关键是掌握翻折的性质． 过D作于F，证明四边形是平行四边形，可得，，即可得，求出，，故，设点E到边的距离为h，即可得，解得． 【详解】解：过D作于F，如图： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵将沿折叠，点C恰好落在边上的点处， ∴， 设点E到边的距离为h，由可知点到边的距离为h， ∴， ∴， 解得， ∴点E到边的距离为； 故选：B． 【跟踪专练2】如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则________． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，能够熟练运用相关图形的性质是解题的关键．先求出，，设与交于点，，由，可得，，根据对应边成比例可以得到，，再证，利用对应边成比例可求出，从而解决问题． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， 四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点， ，，， ， 设与交于点，如图， 设， ， ，， ，， ，，， ，， ， 又， ， ，即， 解得（负值已舍）， ． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由折叠得，，由四边形是平行四边形得，，即可得，，结合对顶角即可证明； （2）由得，由平行四边形的对角线与的交点为点得为中点，由等腰三角形三线合一可得为中边上的高，即可证明． 【详解】（1）证明：由折叠得，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵平行四边形的对角线与的交点为点， ∴为中点， ∴为中边上的高， ∴． 【点睛】折叠的本质是轴对称变换，折叠前后的图形关于折痕成轴对称，因此对应边相等、对应角相等，这一性质是解决此类折叠问题的核心依据． 题型12.平行四边形与全等三角形综合 【典例】如图，在平行四边形中，四个内角的角平分线，，，交于，两点，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】先利用平行四边形性质与角平分线证明为直角三角形，求出的长度；再证明、，通过证明得，最后证明四边形是平行四边形，从而求出的长度． 【详解】解：如图，延长交于， ∵ 四边形是平行四边形， ∴ ，，，． ∵ 平分，平分， ∴ ，， ∴ ， ∴ ． ∴， 在中，，， ， ∵ ，平分， ∴ ， ∴ ． ∵ ，平分， ∴ ． ∵ 平分，平分，， ∴ ． ∴， 在和中， ， ∴ （）， ∴ ． ∵ ， ∴ ． ∵ ，， ∴ ，， ∴ 四边形是平行四边形， ∴ ． 【跟踪专练1】如图，中，，边，过点A作于点G，点E是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，若点F为中点，则线段_______________ ，边____________________ ． 【答案】 【分析】首先根据题意可得在中可得，根据“直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，然后由勾股定理解得的长度；过点作，交延长线于点，根据点F为中点，可知，再证明，进而可得在中，，即可确定，的长度，结合旋转的性质证明，由全等三角形的性质可得，然后确定的长度，即可由获得答案． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 过点作，交延长线于点， ∵点F为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵将绕点E逆时针旋转得到， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【跟踪专练2】如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为________． 【答案】24 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质，掌握利用平行四边形对角线互相平分及对边平行的性质证明三角形全等，进而转化线段求周长是解题的关键． 先证；再由平行四边形周长得；最后转化四边形的周长表达式，代入数值计算． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴． 在和中： ∴， ∴，， ∴． ∵的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 题型13.平行四边形最值问题 【典例】如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设交于点，由，，求得，因为，所以，则，由平行四边形的性质得，，所以，当时，的值最小，此时的值最小，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ∵，， ， ∵， ， ， ∵四边形是平行四边形， ，， ， 如图，当时，的值最小，此时的值最小， ，， ， ， ∴长度的最小值为． 【跟踪专练1】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可知，当时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ∵为边上的一动点， ∴时有最小值，即有最小值， 此时在中，，， ， 即最小值为． 【跟踪专练2】如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形性质，垂线段最短，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解题的关键在于根据题意找出长度最小时所在位置． 过点作于点，根据平行四边形性质和垂线段最短，推出当与重合时， 的长度最小，再利用勾股定理，以及直角三角形性质求解，即可解题． 【详解】解：点D在边上，四边形为平行四边形， 为的中点，， ， 要使的长度最小，即的长度最小， 过点作于点， 当与重合时，据垂线段最短可知，此时的长度最小， ，， ， ， ， ， ， ， 长度的最小值是； 故答案为：． 【跟踪专练3】【问题探究】 （1）如图1，在中，是的中线，M是上的动点，E是边上一点，，连接交于点F，连接． ①求证：； ②求的最小值； 【拓展应用】 （2）如图2，是某地的“农业试验基地”，由土壤与环境监测区域、智能灌溉设备区域、智能农机集群区域和油菜试验田四部分组成（点分别在边上），已知均为基地道路，且于点于点于点M，点N为无人机起飞和降落充电站点，现科研人员计划在道路上再建立一个无人机充电站点Q以满足无人机往返播种的电量需要，且点Q到起飞和降落充电站点N的距离最短，请你找出无人机充电站点Q的位置，并求出的最短长度．（道路宽度忽略不计，写明验证过程） 【答案】（1）①见解析；②   （2）图见解析， 【分析】（1）①先证明是等边三角形，再根据垂直平分线的性质即可得证； ②连接，根据垂直平分线的性质可得，进而可知当点三点共线时，最小，即当动点M与点F重合时，的值最小．再根据等边三角形的性质和勾股定理求出即可得解． （2）过点C作于点F，过点N作于点Q，则Q为无人机充电站点的位置．根据平行四边形的性质可得，根据平行线间的距离处处相等可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理可得，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理即可得解． 【详解】（1）①证明：， 是等边三角形， ． 是的中线， 是的垂直平分线， ． ②解：如图1，连接， 是的垂直平分线， ， ， 当点三点共线时，最小，即当动点M与点F重合时，的值最小． 是等边三角形， ， ， ， ， ， 的最小值为． （2）解：如图2，过点C作于点F，过点N作于点Q，则Q为无人机充电站点的位置， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ∴点Q为无人机充电站点的位置，的最短长度是． 【点睛】本题考查了勾股定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质等知识点，解题的关键是综合运用以上知识点，正确作出辅助线． 【解答题】 1.．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 2．如图，梯形中，，，，点和同时从、出发，由向运动，速度为每秒，点由向运动，速度为每秒，试求几秒时，、和梯形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？ 【答案】或或 【分析】因为梯形中，所以要使、和梯形两个顶点构成平行四边形，需分三种情况讨论：四边形为平行四边形，利用列方程求解；四边形为平行四边形，利用列方程求解；四边形为平行四边形，利用列方程求解． 【详解】解：设运动时间为秒． ，， ，， 情况一：四边形为平行四边形， ， ， ∴ 解得； 情况二：四边形为平行四边形， ， ， ， 解得； 情况三：四边形为平行四边形， ， ， ∴， 解得； 故秒或秒或秒时，P、Q和梯形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形。 3．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】只要证明，即可． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，，即， 又， ，即， 四边形是平行四边形． 4．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，而，则，所以，，则四边形 为平行四边形； （2）作于点，由，得，由，得，可根据“”证明，得，因为，所以，即可得解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，分别为，上两点，且， ， ，， 四边形 为平行四边形． （2）解：作于点，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点到的距离是2． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半，点到直线的距离等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 5．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查网格中作图、平行四边形的判定与性质，熟知平行四边形的判定是解答的关键． （1）利用网格特点，作一个底是1，高是3的平行四边形即可； （2）利用网格特点，作一个底是3，高是3的平行四边形即可； （3）利用网格特点和平行四边形的判定与性质，结合要求画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作； （2）解：如图，四边形即为所求作； （3）解：如图，四边形即为所求作． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03平行四边形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.记死定义：牢抓 “两组对边分别平行”，吃透平行四边形判定核心依据 2.吃透性质：精准掌握边（平行且相等）、角（对角等 / 邻角补）、对角线（互相平分）、对称性（中心对称）4 大核心，条件结论无偏差 3.规范表达：熟练掌握平行四边形性质的几何符号语言，文字 / 符号互转零失误 1.直接用性质解边长、角度、对角线计算 + 简单证明 2.融合平行线、三角形全等，完成多步逻辑推理 3.拆解复杂图形，快速识别平行四边形基本模型 4.按标书写解题过程，条理清晰、有据可依 1.秒杀基础题，该板块基础分零失分 2.攻克中档综合题，搞定含参计算、性质 + 全等证明 3.精准避坑（角性质混淆 / 对角线误用 / 语言不规范等） 4.高效解题控时间，稳拿该板块全部分数 题型01.数平行四边形的个数 题型02.平行四边形的性质计算 题型03.平行四边形的性质证明 题型04.平行四边形的判定证明 题型05.平行四边形的判定条件辨析 题型06.三点构造平行四边形的点的个数 题型07.平行四边形判定与性质计算 题型08.平行四边形判定与性质的应用 题型09.平行四边形动点存在性问题 题型10.平行四边形与平面直角坐标系 题型11.平行四边形折叠变换综合 题型12.平行四边形与全等三角形综合 题型13.平行四边形最值问题 解答题5题 .. 知识点 01. 平行四边形的定义及表示 定义：两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形。 表示：用符号□表示，平行四边形ABCD记作□ABCD，读作 “平行四边形ABCD”。 平行四边形基本元素：边、角、对角线。 知识点02:平行四边形核心性质(必考.知平行四边形推边角特征) 维度 性质 几何语言 边 对边平行且相等 AB∥CD，AB=CD；AD∥BC，AD=BC 角 对角相等，邻角互补 ∠A=∠C，∠B=∠D；∠A+∠B=180∘ 对角线 互相平分 AO=OC，BO=OD 面积 S=底×对应高（S=ah） 同底等高的平行四边形面积相等 知识点03:平行四边形的判定定理（核心，知边角特征推平行四边形） 判定方法 文字条件 几何语言 定义法 两组对边分别平行 ∵AB∥CD, AD∥BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 两组对边分别相等 两组对边分别相等 ∵AB=CD, AD=BC ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 一组对边平行且相等 一组对边平行且相等 ∵AB∥CD 且 AB=CD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 对角线互相平分 对角线互相平分 ∵OA=OC, OB=OD ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形 高频雷区（避坑 = 提分，一眼避开） 1.混淆性质：平行四边形对角线互相平分≠相等（矩形才具备对角线相等） 2.对称性误区：是中心对称，不是轴对称，无对称轴 3.书写漏洞：用性质前必须先写 “四边形 ABCD 是平行四边形”，做到有据可依 4.计算陷阱：求边长 / 对角线时，结合 “三角形三边关系” 验证，避免取值无效 解题核心思路（一招破题，直击要害） 见平行四边形，必想三件事： 1 对边平行且相等（边的关系优先用） 2 对角相等 / 邻角互补（角度计算直接套） 3 对角线互相平分（遇对角线交点，立刻标相等线段） 题型01.数平行四边形的个数 【典例】如图所示，在中，，，分别是，，上的点，且，，，则图中平行四边形共有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【跟踪专练1】如图，、、都是等边三角形，则图中的平行四边形有______个；    【跟踪专练2】如图，在四边形中，，，则图中共有____个平行四边形，它们分别是_________________（有符号表示）． 【跟踪专练3】如图，在中，，则图中平行四边形的个数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型02.平行四边形的性质计算 【典例】在平行四边形中，，则度数为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】在平行四边形中，，则________． 【跟踪专练2】如图，点、是的边、上的点，且，，相交于，连接，且恰好平分，若，，则点到的距离为______． 【跟踪专练3】如图，在中，用直尺和圆规作的平分线交于点E，若，，则的长为（    ） A．8 B．6 C．5 D．4 \题型03.平行四边形的性质证明 【典例】如图所示，在中，对角线交于点O，下列式子中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，在中，，则的长为___________．    【跟踪专练2】如图，平行四边形中，分别平分交于点E、点F，已知，则的长为_________ 【跟踪专练3】如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：①；②EF＝CF；③；④∠DFE＝4∠AEF．其中一定成立的是（    ） A．①②③④ B．①②③ C．①②. D．①②④ 题型04.平行四边形的判定证明. 【典例】下列条件中，可以判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ） A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．一组对边平行且相等 D．一组对边平行，另一组对边相等 【跟踪专练1】如图，作一个两条对角线互相平分的四边形．步骤如下： ①任意画两条相交直线m，n，记交点为O；②以点O为中心，分别在直线m，n上截取与、与，使，；③顺次连结所得的四点，则四边形是一个平行四边形．判定依据___________________________________． 【跟踪专练2】已知：线段，，求作：平行四边形，以下是甲、乙两同学的作业．    甲：①以点为圆心，长为半径作弧； ②以点为圆心，长为半径作弧； ③两弧在上方交于点，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图1） 乙：①连接，作线段的垂直平分线，交于点； ②连接并延长，在延长线上取一点，使，连接，． 四边形即为所求平行四边形．（如图2） 老师说甲、乙同学的作图都正确，你更喜欢__________的作法，他的作图依据是：_________． 【跟踪专练3】已知四边形的四条边的长分别是m，n，p，q，且满足，则四边形是（   ） A．平行四边形 B．对角线互相垂直的四边形 C．平行四边形或对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形 E．以上答案都不正确 题型05.平行四边形的判定条件辨析 【典例】如图，已知，要使四边形为平行四边形，则四边形的各内角度数依次为（   ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【跟踪专练1】如图，在四边形中，两条对角线交于点，已知，，则当__________时，四边形是平行四边形． 【跟踪专练2】如图，的对角线交于点O，点M，N，P，Q分别是四条边上不重合的点．下列条件：①，；②MP，NQ均经过点O；③NQ经过点O，．能判定四边形MNPQ是平行四边形的有____________（填序号）． 【跟踪专练3】如图，在四边形中，，要使为平行四边形，下列添加的条件不能是（ ） A． B． C． D． 题型06.三点构造平行四边形的点的个数 【典例】以不在同一直线上的三点为顶点作平行四边形，最多能作____个不同的平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【跟踪专练2】点、、是平面内不在同一条直线上的三个定点，点是平面内任意一点，若、、、四点恰能构成一个平行四边形，则在平面内符合这样条件的点有___________个 【跟踪专练3】在下面的网格图中有三个点，其中点和点在网格线的交点处，点在网格线上．请在本网格图中找出点，使得以为顶点的四边形是平行四边形，符合要求的点有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 题型07.平行四边形判定与性质计算 【典例】如图，在中，，，将沿向右平移得到，若四边形的面积等于，则平移的距离等于（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，的对角线，相交于点O，，．如果，，那么四边形的周长是________． 【跟踪专练2】如图，，在的延长线上，在上，， ，已知，则的长是______． 【跟踪专练3】如图，，，分别是边，上的点，且，连接与相交于点，连接与相交于点，若，，则阴影部分的面积为（   ） A． B． C． D． 题型08.平行四边形判定与性质的应用 【典例】如图是由边长为1的小等边三角形构成的“草莓”状网格，每个小等边三角形的顶点为格点．线段的端点在格点上，要求以为边画一个平行四边形，且另外两个顶点在格点上，则最多可画________个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，在平行四边形中，cm，cm，点在边上以的速度从点向点运动，点在边上，以的速度从点出发，在上运动到点后返回点，其中一点到达终点时，两点同时停止运动，在运动过程中，当以，，，四点为顶点的四边形为平行四边形时，点运动的时间为（   ） A．2s B．s C．4s D．5s 【跟踪专练2】图1是四连杆开平窗铰链，其示意图如图2所示，为滑轨，为固定长度的连杆．支点A固定在上，支点B固定在连杆上，支点D固定在连杆上．支点P可以在上滑动，点P的滑动带动点的运动．已知，，，，．窗户在关闭状态下，点B、C、D、E都在滑轨MN上．当窗户开到最大时，． （1）若，则支点P与支点A的距离为______cm； （2）窗户从关闭状态到开到最大的过程中，支点P移动的距离为______cm．    【跟踪专练3】嘉嘉和淇淇在研究平行四边形的性质时，想到这样一个问题：如图，已知，G为CD边上一点，E为BC延长线上一点，以CG，CE为边作，请用一条直线平分与组合的图形面积．他们延长EF，AD交于点H，分别作出，，，对角线的交点P，Q，M，N，得出甲、乙、丙三种方案．下列说法正确的是（    ）    A． 甲对，乙、丙错 B．甲、丙对，乙错 C．甲、乙对，丙错 D．乙、丙对，甲错 题型09.平行四边形动点存在性问题 【典例】如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，动点P从点B出发，沿射线以每秒3个单位的速度运动，同时动点Q从点D出发，在线段上以每秒1个单位的速度向终点A运动，当动点Q到达点A时，动点P也同时停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．以点P、C、D、Q为顶点的四边形是平行四边形时，t的值为（   ）    A． B．或 C． D．或 【跟踪专练2】如图，等边三角形的边长为，动点从点出发，沿的路径以的速度运动；动点从点出发，沿的路径以的速度运动．若动点同时出发，且其中一点到达终点时，另一点立即停止运动．设运动时间为，则当的值为_____时，点，，以及的边上一点恰好能构成一个平行四边形． 【跟踪专练3】如图，是等边三角形，，于D．点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时点P由B点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点P的动直线，交于点Q，设运动时间为，解答下列问题： (1)线段 ． (2)求证：． (3)是否存在以P、Q、D、M为顶点的四边形为平行四边形？如存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由． 题型10.平行四边形与平面直角坐标系 【典例】如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【跟踪专练1】如图，平面直角坐标系中，的顶点、在轴上，已知点，则点的坐标是_________． 【跟踪专练2】如图，直线与轴交于点，与轴交于点边在轴上，且，将沿轴正方向平移个单位长度后，面积恰好被直线平分，则的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【跟踪专练3】如图，四边形是平行四边形，其中点A的坐标是，点O的坐标是，点C的坐标是． (1)请求出点B的坐标； (2)已知点D是直线上一个动点，若三角形是等腰三角形，请求出所有符合要求的点D的坐标； (3)已知直线以每秒1个单位长度的速度沿y轴向下平移，经过多少秒该直线恰好将平行四边形分成面积相等的两部分？ 题型11.平行四边形折叠变换综合 【典例】如图，已知平行四边形的顶点为，若将平行四边形先沿着轴进行第一次轴对称变换，所得图形再沿着轴进行第二次轴对称变换，轴对称变换的对称轴遵循轴 、轴 、轴、轴、 ……的规律进行，则经过第次变换后，平行四边形的顶点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，四边形中，，，，边上一点E满足，连接D，E．现将沿折叠，点C恰好落在边上的点处．若，，则点E到边的距离为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，中，、分别为，上两点，若四边形沿折叠，、分别落在上的点和上的点，连接交于点，且，若已知，，则________． 【跟踪专练3】如图，将平行四边形沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，与交于点． (1)求证：； (2)若平行四边形的对角线与的交点为点，连接，求证：． 题型12.平行四边形与全等三角形综合 【典例】如图，在平行四边形中，四个内角的角平分线，，，交于，两点，，，，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，中，，边，过点A作于点G，点E是边上一点，连接，将绕点E逆时针旋转得到，若点F为中点，则线段_______________ ，边____________________ ． 【跟踪专练2】如图，EF过对角线的交点O，交AD于点E，交BC于点F．若的周长是36，，则四边形ABFE的周长为________． 【跟踪专练3】如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 题型13.平行四边形最值问题 【典例】如图，在中，，，，为边上的动点，以，为邻边作，连接，则长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，中，，，为边上的一动点，以，为边作平行四边形，则线段长度的最小值为（   ） A．6 B．8 C． D． 【跟踪专练2】如图，中，，，点D在边上，以，为邻边作，则长度的最小值是______． 【跟踪专练3】【问题探究】 （1）如图1，在中，是的中线，M是上的动点，E是边上一点，，连接交于点F，连接． ①求证：； ②求的最小值； 【拓展应用】 （2）如图2，是某地的“农业试验基地”，由土壤与环境监测区域、智能灌溉设备区域、智能农机集群区域和油菜试验田四部分组成（点分别在边上），已知均为基地道路，且于点于点于点M，点N为无人机起飞和降落充电站点，现科研人员计划在道路上再建立一个无人机充电站点Q以满足无人机往返播种的电量需要，且点Q到起飞和降落充电站点N的距离最短，请你找出无人机充电站点Q的位置，并求出的最短长度．（道路宽度忽略不计，写明验证过程） 【解答题】 1.．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 2．如图，梯形中，，，，点和同时从、出发，由向运动，速度为每秒，点由向运动，速度为每秒，试求几秒时，、和梯形的两个顶点所形成的四边形是平行四边形？ 3．如图，在平行四边形中，E，F分别是，边上的点，且，求证：四边形是平行四边形． 4．如图，在中，E，F分别为，上两点，且，连接，分别与对角线交于点G，H． (1)求证：四边形为平行四边形： (2)若，，求点G到的距离． 5．图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段的端点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，在给定的网1格中按要求画图，所画图形的顶点均在格点上，不要求写画法，保留作图痕迹． (1)在图①中以线段为边画一个面积为3的． (2)在图②中以线段为对角线画一个面积为9的 (3)在图③中以线段为对角线画一个面积最大的． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $