专题04矩形期中复习讲义(13大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题04矩形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透矩形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：直角+对角线相等，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：直角三角形斜边中线=斜边一半 1.会用性质算边长、角度，快速解题 2.规范书写推理，证明判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形使矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形的存在性问题 题型11.矩形与动点问题 题型12.矩形与多结论问题的判断 题型13.矩形与规律探究 解答题6题 知识点01:矩形的定义 定义 图示 数学表达式 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 在□ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 易错警示（避坑指南） ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形。 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 ❌ 错误：矩形的对角线互相垂直。（×，菱形才是） ✅ 正确：矩形的对角线相等。 题型01.矩形的性质及应用 【典例】如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    【跟踪专练4】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____．    【跟踪专练5】在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【跟踪专练6】如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________．    题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 【跟踪专练3】如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 题型03.矩形与折叠问题 【典例】如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在上的，折痕为，则的长为______． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【跟踪专练2】在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为____ 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A． B．5 C． D． 题型04.证明四边形是矩形 【典例】在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 【跟踪专练1】如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是_____． 【跟踪专练3】如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③ ；④；上述结论中，正确的有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型05.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是______（填一个即可）． 【跟踪专练2】如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【跟踪专练3】如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【跟踪专练1】在中，，，当的面积最大时，下列结论：①；②；③；④，其中①正确，还有______也正确（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【跟踪专练2】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____． 【跟踪专练3】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ________________．    【跟踪专练1】如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【跟踪专练3】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 【典例】,如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【跟踪专练2】中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 【跟踪专练3】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 题型09.矩形与最值问题 【典例】如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ____． 【跟踪专练1】如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【跟踪专练2】如图，面积为8的矩形纸片，连接对角线，，在边上取点F，连接，再以为折痕，将矩形纸片翻折，翻折后点C的对应点为点E，与交于点G，若点P为折痕上一点，连接、，则下列结论正确的序号为______． ①  ②  ③  ④的最小值为 【跟踪专练3】如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为__________，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为__________． 【跟踪专练4】如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 题型10.矩形的存在性问题 【典例】如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 【跟踪专练1】如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【跟踪专练2】在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【跟踪专练3】如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 题型11.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________． 【跟踪专练3】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 题型12.矩形与多结论问题的判断 【典例】如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练1】如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是_________． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 题型13.矩形与规律探究 【典例】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形；……；依此类推，则平行四边形的面积为_______________． 【跟踪专练1】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练3】如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【解答题】 1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 2．如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 3．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 4．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04矩形期中复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.吃透矩形定义，分清与平行四边形的区别 2.牢记性质：直角+对角线相等，对称性记牢 3.掌握3种判定方法，不丢前提条件 4.熟记衍生结论：直角三角形斜边中线=斜边一半 1.会用性质算边长、角度，快速解题 2.规范书写推理，证明判定不踩坑 3.搞定折叠、对角线夹角等期中高频模型 4.综合运用知识，应对中档+简单压轴题 1.基础题不丢分，选择填空秒搞定 2.中档题不踩坑，规范步骤拿满分 3.规避高频易错点，减少不必要失分 4.轻松应对压轴基础问，高效提分 题型01.矩形的性质及应用 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 题型03.矩形与折叠问题 题型04.证明四边形是矩形 题型05.添条件使四边形使矩形 题型06.由矩形的性质与判定求角度 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 题型08.由矩形的性质与判定求面积 题型09.矩形与最值问题 题型10.矩形的存在性问题 题型11.矩形与动点问题 题型12.矩形与多结论问题的判断 题型13.矩形与规律探究 解答题6题 知识点01:矩形的定义 定义 图示 数学表达式 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。 在□ABCD 中，∵∠A=90∘ ∴ 矩形 ABCD 知识点02:矩形的性质（必考） 文字语言 几何语言 图示 对边平行且相等 在矩形 ABCD 中：AB∥CD，AD∥BC；AB=CD，AD=BC 四个角都是直角 ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 互相平分且相等 对角线交于 O：OA=OC，OB=OD；AC=BD 中心对称 + 轴对称 中心对称图形，有 2 条对称轴 知识点03.常用衍生结论（解题神器！） 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 若 Rt△ABC 中，∠B=90°，D为 AC 中点，则BD=AC=AD=DC。 知识点04:矩形的判定（满足任一条件 ⇒ 矩形） 易错警示（避坑指南） ❌ 错误：对角线相等的四边形是矩形。 ✅ 正确：对角线相等的平行四边形是矩形。 ❌ 错误：矩形的对角线互相垂直。（×，菱形才是） ✅ 正确：矩形的对角线相等。 题型01.矩形的性质及应用 【典例】如图，在矩形中，对角线，交于点O，，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质得出，，，推出，根据等边对等角得出，再根据三角形的外角即可得出答案． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，三角形的外角，等边对等角，正确理解题意是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，矩形的周长为，对角线相交于点O，若比的周长多2，则该矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，由题意得：，根据比的周长多2，得；根据矩形的周长为，得；即可求解； 【详解】解：由题意得：， ∵比的周长多2， ∴，即； ∵矩形的周长为， ∴； ∴， ∴该矩形的面积为：， 故选：A 【跟踪专练2】如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积的计算，掌握矩形的性质是解题的关键，根据图示可得，根据矩形的性质可得，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形，四边形是矩形， ∴，，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 故选：A ． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，对角线、相交于点O，若，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，掌握矩形的对角线互相平分且相等是解题的关键．根据矩形的性质可得，，从而可得为等腰三角形，，即可求得的度数． 【详解】解：四边形为矩形，对角线、相交于点O， ， 为等腰三角形， ， ， ， 故答案为：． 【跟踪专练4】如图，矩形的对角线和相交于点O，过点O的直线分别交和于点E、F，，，则图中阴影部分的面积为_____．    【答案】4 【分析】本题考查了矩形性质，全等三角形的性质和判定的应用，关键是求出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半． 根据矩形性质得出，，，推出，证出和的面积相等，同理可证：和的面积相等，和的面积相等，即可得出阴影部分的面积等于矩形的面积的一半，求出即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∴， 即和的面积相等， 同理可证：和的面积相等，和的面积相等， 即阴影部分的面积等于矩形的面积的一半， ∵矩形面积是， ∴阴影部分的面积是4， 故答案为：4． 【跟踪专练5】在矩形中，，点在上，点在上，且，连接，则的最小值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．17 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，将军饮马河原理，熟练掌握性质和原理是解题的关键．连接，证明转化得到，利用将军饮马原理，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵矩形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点，使得， 连接交于点F， ∴当点P与点F重合时，取得最小值，且最小值为的长， ∵ ∴， ∴， 故选：B． 【跟踪专练6】如图，在矩形ABCD中，，，是边上任意一点，过点A、C、D作射线的垂线，垂足分别是E、F、G，若，则m的最小值是__________．    【答案】 【分析】连接、，由矩形的性质得，，，再由勾股定理得，然后求出，则，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接、    ∵四边形是矩形 ∴，， 由勾股定理得： ∵ ∴ ∵和的边上的高 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴m随着的增大而减小 ∴时，m最小， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积以及最小值等知识，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 题型02.求矩形在坐标系中的坐标 【典例】如图，矩形OABC的顶点B的坐标为（4，3），则对角线AC的长等于____． 【答案】5 【分析】连接OB，利用勾股定理求出OB的长，即为AC的长． 【详解】如图，连接OB， ∵B的坐标为（4，3）， ∴ ∵四边形OABC是矩形 ∴AC=OB=5 故答案为：5． 【点睛】此题主要考查求矩形对角线的长，解题的关键是熟知矩形对角线相等． 【跟踪专练1】如图，四边形OABC为矩形，点A，C分别在x轴和y轴上，连接AC，点B的坐标为，∠CAO的平分线与y轴相交于点D，则点D的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意可知AD平分∠CAO，过D点作DE⊥AC于点E，利用角平分线的性质可知OD=OE，利用等面积法即可求出结果． 【详解】解：过D点作DE⊥AC于点E，如图所示， ∵AD平分∠CAO， ∴DO=DE， ∵点B的坐标为， ∴OA=4，OC=3， ∴， ∴， ∴， ∴OD=， ∴D点坐标为（0，）， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，角平分线性质，勾股定理的应用，利用等面积法进行求值是解题的关键． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径作弧交于点，分别以点，为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，若点是的中点，，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了作图——作角平分线，矩形的性质，建立平面直角坐标系等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，由矩形性质可知，，由作图可知，，，则有，则，，，然后根据中点坐标，两点间的距离即可求解． 【详解】解：如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， ∵四边形是矩形， ∴，， 由作图可知，，， ∴， ∴， ∴，，， ∵若点是的中点， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使，分别落在轴、轴上，连接，将矩形沿折叠，使点落在点的位置，与轴相交于点，若，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质以及坐标与图形，勾股定理，熟练掌握矩形的性质，再利用勾股定理列出等式进行求解即可．根据矩形的性质和折叠的性质证明，设，则，利用勾股定理可得进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ，， ∵将纸片矩形沿折叠，使点B落在点D的位置， , , ， ∵点B的坐标为， ，， 设，则， 在中，， 解得， ∴点E的坐标为， 故选：C． 题型03.矩形与折叠问题 【典例】如图，矩形纸片中，，，折叠纸片使边落在上的，折痕为，则的长为______． 【答案】 【分析】由折叠的性质得，,，由勾股定理得，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果． 本题考查了翻折变换折叠问题，勾股定理，菱形的性质，熟练掌握折叠的性质、勾股定理是解题的关键． 【详解】解：矩形折叠后边落在上， ，,, 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， 设，则， 由勾股定理得：， 解得：， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，将矩形沿折叠，使点D落在点B处，点C落在点处，P为折痕上的任意一点，过点P作，，垂足分别为G，H，若，，则的值为（    ） A．6 B．8 C．10 D．16 【答案】B 【分析】过点E作于Q，连接，根据矩形的性质可得，，，从而得出，，，求出，利用勾股定理求出，证明四边形为矩形，得出，然后根据即可求出结论． 本题主要考查的是矩形与折叠问题，掌握矩形的性质和判断、折叠的性质、勾股定理和等角对等边是解决此题的关键． 【详解】解：如图，过点E作于Q，连接， ∵四边形是长方形， ∴，，， ∴， 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【跟踪专练2】在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为____ 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质、角平分线的性质、矩形的性质、勾股定理是解答本题的关键． 过点作于点，由翻折可得，根据勾股定理可得．由角平分线的性质可得．设，则．由，可得，求出的值即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 由翻折可得， 四边形为长方形， ， 为的平分线，， ． 在中，，， 由勾股定理得，． 设，则． ， 即， ． 的长度为． 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】先由折叠性质得到，，再由矩形性质得到，，结合全等三角形的判定与性质得到，设，则，在中，由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】解：由折叠性质可得，， 在矩形中，，， 在和中， ， ， ， 设，则， 在中，，则由勾股定理可得， 即， ，则， 则重叠部分的面积为， 故选：C． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及折叠性质、矩形性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、解方程等知识，熟练掌握相关几何性质，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键． 题型04.证明四边形是矩形 【典例】在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是________形． 【答案】矩 【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可． 【详解】解：四边形为平行四边形，， 这个平行四边形是矩形， 故答案为：矩． 【跟踪专练1】如图，在中，过点D作于点E，点F在边上，，连接．则四边形一定是（    ） A．菱形 B．正方形 C．矩形 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定．根据平行四边形的性质，可得与的关系，根据平行四边形的判定，可得是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， 四边形是平行四边形， ∵， ∴， 四边形是矩形． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，四边形为平行四边形，延长至，使，连接，，，若添加一个条件后，使四边形成为矩形，则添加的条件是_____． 【答案】AB=BE（答案不唯一） 【分析】先证明四边形BCDE为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴，AD=BC，AB=DC， 又∵AD=DE， ∴，且DE=BC， ∴四边形BCED为平行四边形， 添加AB=BE，则DC=BE， ∴▱DBCE为矩形； 添加∠ADB=90°， ∴∠EDB=90°， ∴▱DBCE为矩形； 添加CE⊥DE， ∴∠CED=90°， ∴▱DBCE为矩形． 故答案为：AB=BE或∠ADB=90°或CE⊥DE． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定，首先判定四边形BCDE为平行四边形是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线同侧，，，，设，，，给出下面四个结论：①；②；③ ；④；上述结论中，正确的有（　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，过作于, 则四边形是矩形，即可判断①；根据可以证明，即可判断③；根据全等三角形得到，然后利用勾股定理判断②；根据勾股定理判断④即可解题． 【详解】如图, 过作于, 则四边形是矩形, ∴, ∵, ∴, ①正确； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故③正确； ∴， 由勾股定理得，， ∵, ②正确； 由勾股定理得，即 ∴，故④错误； 正确的为①②③， 故选C． 题型05.添条件使四边形是矩形 【典例】如图，在四边形中，给出部分数据，若添加一个数据后，四边形是矩形，则添加的数据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形即可得到答案． 【详解】解：当时，由题意可知， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵, ∴四边形是矩形， 故选：D 【点睛】此题考查了矩形的判定，熟练掌握矩形的判定方法是解题的关键． 【跟踪专练1】如图，已知中对角线，相交于点，请你添加一个适当的条件，使成为一个矩形．你添加的条件是______（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一）． 【分析】根据矩形的判定定理（对角线相等的平行四边形是矩形）推出即可．此题主要考查了矩形的判定，关键是熟练掌握矩形的判定定理，难度不大． 【详解】解：添加的条件是（答案不唯一）， 理由是：，四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：（答案不唯一）． 【跟踪专练2】如图，是的边的中点，现有以下三个选项：①；②；③．从中选择一个合适的选项作为已知条件，使为矩形． (1)你添加的条件是________（填序号）． (2)添加条件后，请证明为矩形． 【答案】(1)①或②（选一项即可） (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定，由矩形的性质和全等三角形的判定证得，并熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键． （1）根据矩形的判定定理选择条件即可； （2）选择①：过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点，证明，进而即可得到结论； 选择②：根据平行四边形的性质得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，根据矩形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）解：①或②（选一项即可）； （2）选择①：证明：如图，过点作的平行线，交于点，过点作的垂线段交于点， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ，即， ， ， 为矩形； 选择②：证明：四边形是平行四边形， ，， ， 是的边的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 为矩形． 【跟踪专练3】如图，已知的对角线相交于点O，下列条件能使成为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形，有一个角时直角的平行四边形为矩形，对角线相等的平行四边形为矩形，进行作答即可． 【详解】解：A、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； B、，不能判定是矩形，故不符合题意； C、，四边形是矩形，故符合题意； D、，四边形是菱形，不能判定是矩形，故不符合题意； 故选：C． 题型06.由矩形的性质与判定求角度 【典例】如图，在中，为边上一点，以为边作矩形．若，，则的大小为______度．    【答案】60 【分析】想办法求出，利用平行四边形的性质即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， 故答案为：60． 【点睛】本题考查矩形的性质、平行四边形的性质、三角形内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题． 【跟踪专练1】在中，，，当的面积最大时，下列结论：①；②；③；④，其中①正确，还有______也正确（    ） A．②③ B．②④ C．②③④ D．③④ 【答案】B 【分析】当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形，得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AC=BD，根据勾股定理求出AC，即可得出结论． 【详解】解：根据题意得：当▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形， ∴∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°，AC=BD， ∴∠BAD+∠BCD=180° ，AC==5， ①正确，②正确，④正确；③不正确； 故选B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的性质以及勾股定理；得出▱ABCD的面积最大时，四边形ABCD为矩形是解决问题的关键． 【跟踪专练2】在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，点E为AB上一动点，DE交AC于F，当∠CFE＝2∠ACB时，线段DF的长为____． 【答案】5 【分析】连接BD交AC于点O，由矩形的性质可知，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，OA＝OB＝OC＝OD＝5，∠AOB＝2∠ACB；所以∠AOB＝∠CFE，所以∠DFO＝∠DOF，由“等角对等边”可知DF＝DO＝5． 【详解】解：如图，连接BD交AC于点O， 在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6， ∴AC＝BD＝10， ∴OA＝OB＝OC＝OD＝5， ∴∠ACB＝∠OBC， ∴∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝2∠ACB， ∵∠CFE＝2∠ACB， ∴∠AOB＝∠CFE， ∵∠AOB+∠DOF＝∠CFE+∠DFO＝180°， ∴∠DFO＝∠DOF， ∴DF＝DO＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等腰三角形的性质与判定等相关知识，熟知矩形的性质，由此作出辅助线是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，直线平分，且平移恰好到．下列结论中：①平分；②；③平分；④．一定正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，矩形的判定和性质，角平分线的计算，根据题意得到，，可判定①正确；根据平行四边形，矩形的判定方法得到四边形是矩形，由此可判定②③④，由此即可求解． 【详解】解：∵，即， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴平分，故①正确； ∵平移到， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是矩形， ∴，故②正确； ∵四边形是矩形， ∴，，故④正确， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵平分，即， ∴， ∴平分，故③正确； 综上所述，正确的有4个， 故选：D ． 题型07.由矩形的性质与判定求线段长 【典例】如图，在梯形中，，如果，那么边的长是 ________________．    【答案】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，勾股定理，过点D作于点E，根据矩形的性质分别求出，再根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点D作于点E， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得：， 故答案为：．    【跟踪专练1】如图，在中，，在线段上有一动点，作于，于，连接．在点从点运动到点的过程中（不与、重合），下列关于线段长度变化的描述中，正确的是（   ） A．先变长后变短 B．先变短后变长 C．一直变短 D．始终保持不变 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质．连接，先判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，据此即可判断． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得当时，最短，则线段的值最小， ∴动点从点运动到点的过程中，则线段的值大小变化情况是先变短后变长． 故选：B． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，，点是上一个动点（点与点，不重合），过点分别作于点，交于点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理求出，判断出四边形是矩形；根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可． 【详解】如图，连接． ∵矩形中，，，， ∴， ∵于点E， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段最短，即的值最小， 此时，， 即， 解得， ∴， 即的最小值为． 【跟踪专练3】如图，把一张矩形纸片按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形，若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的性质可知，根据等腰直角三角形的性质可知，由折叠的性质推出，，设，由勾股定理可知，列出方程即可求出，根据即可求出结果． 【详解】解：如图， 四边形是矩形， ， 是等腰直角三角形， ， 由折叠可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 设， 则， ， 解得 ， ． 题型08.由矩形的性质与判定求面积 【典例】,如图，△ABC的边BC长为4cm．将△ABC平移2cm得到△A′B′C′，且BB′⊥BC，则阴影部分的面积为______． 【答案】8 【分析】根据平移的性质即可求解． 【详解】解：由平移的性质S△A′B′C′=S△ABC，BC=B′C′，BC∥B′C′， ∴四边形B′C′CB为平行四边形， ∵BB′⊥BC， ∴四边形B′C′CB为矩形， ∵阴影部分的面积=S△A′B′C′+S矩形B′C′CB-S△ABC =S矩形B′C′CB =4×2 =8(cm2)． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了矩形的判定和平移的性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 【跟踪专练1】如图，在四边形中，，，，四边形对角线交于点O，，，四边形的面积为（     ） A．60 B．90 C．120 D．150 【答案】C 【分析】此题考查了矩形的判定，勾股定理等知识，首先证明出四边形是矩形，然后利用勾股定理求出，然后利用矩形面积公式求解即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形 又∵ ∴四边形是矩形 ∵ ∴ ∴ ∴四边形的面积为． 故选：C． 【跟踪专练2】中国北宋数学家贾宪提出一个定理“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的 直线，则所容两长方形面积相等（如图①中）”．问题解决：如图②，点 M是矩形的对角线上一点，过点M 作分别交于点．连接，若， 则________． 【答案】 【分析】过点作，交于点，得到四边形、是矩形，根据题意，即可求解． 本题考查了矩形的性质，三角形的面积等知识，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作，交于点，如图： ∵四边形是矩形，，， ∴四边形、是矩形， ∴， ∵点 M是矩形的对角线上一点，，， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形，则阴影部分的面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平移的性质、矩形的性质，根据平移的性质求出空白部分的长和宽，根据矩形的面积公式计算，得到答案．解题的关键是掌握平移的性质：平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置；图形上的每个点都平移了相同的距离，对应点之间的距离就是平移的距离；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等． 【详解】解：∵将长为，宽为的长方形先向右平移，再向下平移，得到长方形， ∴，， ∴空白部分是平行四边形， ∵， ∴空白部分是矩形，且长为：，宽为：， ∴阴影部分的面积为：， 即阴影部分的面积为． 故选：D． 题型09.矩形与最值问题 【典例】如图，矩形中，，，，分别是直线，上的两个动点，，沿翻折形成，连接，，则的最小值为 ____． 【答案】11 【分析】本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理等知识，作点关于的对称点，连接，．由，推出，根据是定值，即可推出当、、、共线时，定值最小，最小值，解题的关键是运用轴对称，根据两点之间线段最短解决线路最短问题，属于中考常考题型． 【详解】解：如图作点关于的对称点，连接，． 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中， 点与点关于对称， ， ， ， ， 是定值， 当、、、共线时，定值最小，最小值， 的最小值为11． 【跟踪专练1】如图，把矩形沿对折，使点B与点D重合，折痕交于G，P为上一个动点，若，则的最小值为___________． 【答案】6 【分析】本题考查了轴对称的性质，矩形与折叠，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识，得出点P的位置是解答本题的关键． 连接交于点P，由轴对称的性质可知此时的值最小．证明得，先由勾股定理求出，再由勾股定理求出，即可求出的最小值． 【详解】解：如图， 连接交于点P， 由折叠知，点E与点F关于对称， ∴， ∴，即此时的值最小． ∵矩形中，， ∴， ∴． 由折叠知，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故答案为：． 【跟踪专练2】如图，面积为8的矩形纸片，连接对角线，，在边上取点F，连接，再以为折痕，将矩形纸片翻折，翻折后点C的对应点为点E，与交于点G，若点P为折痕上一点，连接、，则下列结论正确的序号为______． ①  ②  ③  ④的最小值为 【答案】①②③④ 【分析】首先根据设，则，由矩形面积求出，即可判断①；根据平行线和折叠的性质得到，推出，即可判断②；如图所示，过点F作交于点H，证明出四边形是矩形，然后证明出，得到，然后等量代换即可判断③；连接，，由折叠得，，得出当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度，然后利用勾股定理求出，即可判断④． 【详解】∵四边形是矩形 ∴， ∴ 设，则 ∵矩形的面积为8 ∴ ∴或（舍去） ∴，故①正确； ∵ ∴ 由折叠得， ∴ ∴，故②正确； 如图所示，过点F作交于点H 由折叠得，，，， ∴四边形是矩形 ∴，. ∵， ∴ ∴ ∴，故③正确； 如图所示，连接， 由折叠得， ∴ ∴当点A，P，C三点共线时，取得最小值，即的长度 ∵，， ∴ ∴的最小值为，故④正确． 综上所述，结论正确的序号为①②③④． 故答案为：①②③④． 【点睛】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，解直角三角形，轴对称性质，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 【跟踪专练3】如图，有一张矩形纸条，，，点N在边上，，动点M从点A向点B运动，将四边形沿折叠，点B，C的对应点分别为点，，线段与边交于点E，则的最小值为__________，此时点E离开初始位置（指点M从点A出发时，点E的位置）的距离为__________． 【答案】 4 1 【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理与折叠，完全平方式的应用．由折叠的性质得，又，有，求得，，过作于，设，则，设，在中，，有，故，根据线段与边相交，即可得，从而求得的最小值和最大值；设，在中，可得，即可求得点E的初始位置据此计算，即可得到答案． 【详解】（1）解：由折叠的性质得， ∵， ， ， ， 为等腰三角形； 过作于，如图： 设，则， 设， ， 四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 化简整理得， 线段与边相交， ， ， ，， ， ，即的最小值为4； 故答案为：4； ， 最大为4； 设， ，，， ， 当点M从点A出发时 由（1）知， 在中，， ， ， 即； ∴当从开始，运动到最大时，的路径长为； 故答案为：1． 【跟踪专练4】如图，在矩形中，，点为对角线上一动点，于点交于点，求线段长的最小值． 【答案】的最小值为． 【分析】此题重点考查矩形的性质、垂线段最短、根据面积等式求线段的长度等知识．作于点G，连接，可证明四边形是矩形，所以，则，，，求得，由，求得，由，得，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作于点G，连接， ∵四边形是矩形，于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为． 题型10.矩形的存在性问题 【典例】如图，的对角线与相交于点，点在上，点在上，且，连接、、、，要使四边形为矩形，则可以添加的条件是___________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】利用对角线相互平分的四边形是平行四边形证得四边形是平行四边形，再根据对角线相等的平行四边形是矩形即可得到需要添加的条件． 【详解】解：添加使得四边形是矩形． 四边形是平行四边形， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 添加， 四边形是矩形． 【跟踪专练1】如图，在中，对角线与相交于点O，点E，F分别为，的中点，延长至，使，连接． (1)求证：； (2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当时，四边形是矩形，理由见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，，，由平行线的性质得出，证出，由证明即可； （2）证出，由等腰三角形的性质得出，，同理：，得出，由三角形中位线定理得出，，得出四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，，，， ， 点，分别为，的中点， ，， ， 在和中， ， ； （2）解：当时，四边形是矩形；理由如下： ，， ， 是的中点， ， ， 同理：， ， ， ，， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形． 【跟踪专练2】在平行四边形中，连接、交于点O，点E为的中点，连接并延长交的延长线于点F． (1)求证：A为的中点； (2)若添加一个条件_________，，连接，试判断四边形是矩形，请填空，并说明理由． 【答案】(1)详见解析 (2)，详见解析 【分析】（1）证明，得出，从而证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得出，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵点E为的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 即A为的中点． （2）解：； 理由如下：由（1）得，且， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形是矩形． 【跟踪专练3】如图，点E，F是平行四边形的对角线上两点，且． (1)求证：； (2)连接，．请添加一个条件，使四边形为矩形（不需要说明理由）． 【答案】(1)见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，矩形的判定，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相关的知识是解题的关键． （1）利用平行四边形的对边平行且相等准备条件，利用平行线的性质准备条件，根据证明； （2）根据全等三角形的性质可得，根据一组对边平行且相等证四边形为平行四边形，再添加矩形的特殊条件即可． 【详解】（1）∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴， （2）填加的条件：，证明如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 题型11.矩形与动点问题 【典例】如图，在矩形中，，，和分别是线段和上的动点，且，则的最小值是__________． 【答案】 【分析】设，则，利用勾股定理列出与的函数关系式，进而求最值即可. 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵矩形中， ∴， ∵， ∴开口向上， ∵， ∴当时，最小，此时最小，最小值为. 【跟踪专练1】如图，在矩形中，，点E，F分别为边上的动点，且，点为的中点，点为上一动点，则的最小值为（   ） A．16 B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了轴对称-最短路线问题、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质等知识点，熟练运用勾股定理解决问题是解题的关键． 如图，连接，由直角三角形斜边上的中线性质得到，作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长；勾股定理求出，减去即可解答． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点为的中点， ∴， 作点A关于的对称点，连接，交于点P，当点、点P、点G、点D共线时，的值最小，最小值为的长； ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴的最小值为． 故选：C． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接、．若，则线段的长为____________． 【答案】 【分析】先确定是等腰直角三角形，再作点关于直线的对称点，利用对称性得到，进而推出在的中点处，再结合等腰直角三角形的性质计算． 【详解】， 是等腰直角三角形， 如图，作点关于直线的对称点，则点在直线上，连接， ， ， ， 此时、、三点共线且， ， ， 在的中点处， ， ． 【跟踪专练3】在矩形中，点是上的一个动点（点不与端点重合），点为的中点，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，若，，当线段的长为整数时，直接写出线段的长． 【答案】(1)见详解 (2)或或或 【分析】（1）过点作交于，延长交于，结合矩形的判定及性质，由判定，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）由点的运动路径得，设，由直角三角形的特征得，可求，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：过点作交于，延长交于， ， 四边形是矩形， ，，， 四边形是矩形，， ， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ； （2）解：连接， 四边形是矩形， ， ， 点是上的一个动点（点不与端点重合）， ， ， 设， 是的中点， ， ， 解得， ， 线段的长为整数， 为或或或， 为或或或， 当时， ， 同理可求时，， 时，， 时，， 综上，的长为或或或． 题型12.矩形与多结论问题的判断 【典例】如图，在四边形中，，，点P从点D出发，以的速度向点A运动，点M从点B同时出发，以相同的速度向点C运动，当其中一个动点到达端点时，两个动点同时停止运动．设点P的运动时间为t（单位：s），下列结论中： ①当时，四边形为矩形； ②当时，四边形为平行四边形； ③当时，或； ④当时，或． 正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】用含t的式子表示出，的长度，当四边形为矩形时，根据列方程；当四边形为平行四边形时，根据列方程；当时分两种情况：一是四边形为平行四边形，二是四边形为等腰梯形，分别列方程求解即可． 【详解】解：由题意得， ， ， 当四边形为矩形时，， 即， 解得，故①错误； 当四边形为平行四边形时，， 即， 解得，故②错误； 当时分两种情况： 当四边形为平行四边形时，； 当四边形为等腰梯形时，过点M作于点G，过点C作于点H，如图所示， 则， ，， ， ， ， ，， 四边形为矩形， ， ， 解得， 综上可得，当时，或， 故③错误，④正确， ∴正确的结论有1个． 【跟踪专练1】如图，矩形周长为8，且．连接，将沿折叠得，交于点P，作，交于点G．下列说法中正确的有_____． ①；②的周长为定值4；③一定是等边三角形；④当变大时，也变大． 【答案】①②④ 【分析】本题考查矩形与折叠问题，勾股定理，等腰三角形的判定．根据矩形的性质可得，再结合，可得，进而判断①正确，连接，令与交于点，再证，可证得的周长，进而判断②正确，无法证明是等边三角形，进而判断③错误；由题意得，，则在中，，整理得，进而判断④正确． 【详解】解：在矩形中，，，， ∵矩形周长为8， ∴，则， ∵， ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； 由折叠可知，， ∵ ∴，则 ∴， 则的周长，故②正确； 无法证明为等边三角形，故③错误； ∵，， 在中，， 整理得：， ∴当变大时，也变大，故④正确， 综上，正确的有①②④， 故答案为：①②④． 【跟踪专练2】如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且，将矩形沿直线折叠，点B恰好落在边上的点P处，连接交于点Q，对于下列结论：①；②；③；④是等边三角形．其中正确的是_________． 【答案】①③④ 【分析】由翻折的性质得：，，取中点M，连接，根据直角三角形斜边中线的性质，可得，进而可得是等边三角形，根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半，可得，可判断①正确；根据，可判断②错误；由翻折可知，推出，可得， ，可判断③正确；证明，可判断④正确． 【详解】解：， ， 由翻折的性质得：，， 取中点M，连接， 在矩形中，， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ，故②错误； 由翻折可知， ， ，， ，故③正确； 由翻折的性质，， 则， ， ， 是等边三角形，故④正确． 综上可知，正确的有①③④， 故答案为：①③④． 【点睛】本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定等知识，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 【跟踪专练3】如图，在矩形中，的平分线交于点，垂足为H，连接并延长，交于点交于点O．有下列结论：①；②；③；④；其中正确的是_______．（只需填序号） 【答案】 【分析】根据角平分线的定义可得，然后求出，是等腰直角三角形，然后利用角角边证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，然后证明出，即可判断①；再根据等腰三角形两底角相等求出，根据平角等于求出，从而判断出②；求出，然后根据等角对等边可得，即可判断③；连接，利用全等三角形的性质证明，再证明，可得结论． 【详解】解：四边形是矩形， ， 平分， ， ，是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 又∵， ∴，故①正确； ， ， ∴，， ， ，故②错误； ∴， ， ， ，故③正确； 连接．   ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定与性质；熟记各性质并仔细分析题目条件，根据相等的度数求出相等的角，从而得到三角形全等的条件或判断出等腰三角形是解题的关键． 题型13.矩形与规律探究 【典例】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形；……；依此类推，则平行四边形的面积为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的性质，三角形的面积的应用，解此题的关键是能根据求出的结果得出规律；分别求出各四边形的面积，找到规律求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，……， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】如图，矩形的顶点在轴的负半轴上，顶点在第二象限内，对角线与的交点为．将矩形沿轴正方向滚动（无滑动），使其一边保持落在轴上，点的对应点分别为，则的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质、旋转的性质、点的坐标规律问题，先求出的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为，根据此规律写出的坐标即可． 【详解】解：矩形的顶点，顶点， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为， 的坐标为． 故选：D． 【跟踪专练2】如图，矩形的面积为，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形，对角线交于点；以、为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质以及面积的计算，由矩形的性质和面积公式得出：平行四边形的面积，平行四边形的面积，…，根据规律代入计算，即可得出结论． 【详解】解：设矩形的面积为， 根据题意得：平行四边形的面积矩形的面积， 平行四边形的面积平行四边形的面积，…， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积， ∴平行四边形的面积为， 故选：B． 【跟踪专练3】如图，矩形的面积为，它的两条对角线交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线交于点，同样以，为邻边作平行四边形……依此类推，则平行四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了矩形及平行四边形的性质，审清题意、找出面积之间的关系是解答本题的关键． 根据矩形和平行四边形的性质得到平行四边形的面积，据此即可求解． 【详解】解：如图，分别交于，连接， ∵矩形， ∴，， ∵平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 又∵矩形的宽和平行四边形的底相等，平行四边形的高为， ∴平行四边形的面积， 同理：∵，，平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 平行四边形的面积是平行四边形的的面积的一半， ∴平行四边形的面积， 以此类推，可得的面积为 ， 故选：B． 【解答题】 1．如图，在矩形中，，，，是对角线上的两个动点，分别从，同时出发相向而行，速度均为，运动时间为秒，当点到达点时停止运动（同时点也停止运动） (1)若，分别是，的中点，求证：四边形始终是平行四边形； (2)在（1）的条件下，当为何值时，四边形为矩形？ (3)若，分别是折线，上的动点，与，相同的速度同时出发，当为何值时，四边形为菱形？ 【答案】(1)见解析 (2)t为或 (3)t为时，四边形为菱形 【分析】（1）由矩形的性质得出，，证明，得出，同理得出，即可得出结论； （2）由勾股定理求出，证明四边形是平行四边形，得出，当对角线时，平行四边形是矩形，分两种情况：①，得出，解方程即可；②，得出，解方程即可； （3）连接、，由菱形的性质得出，，，得出，，证出四边形是菱形，得出，设，则，由勾股定理得出方程，解方程求出，得出，即可得出t的值． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵G，H分别是，中点， ∴，， ∴， 根据题意得：， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 同理：， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， 连接，如图， 由（1）得：，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，平行四边形是矩形， 分两种情况： ①当E、F相交前，，， 解得：； ②当E、F相交后，，， 解得：； 综上所述：当t为或时，四边形为矩形． （3）解：连接、，连接交于O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，. ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 设，则， 由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴t为时，四边形为菱形． 2．如图，动点E从矩形的点B沿线段向点C运动，连接，以为边作矩形，使过点D． (1)求证：矩形与矩形的面积相等； (2)若，直接写出为何值时，为等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)2或3或4 【分析】（1）连接，根据矩形的性质和三角形的面积公式可得，结合，，可证明结论； （2）分三种情况：、、，讨论求解即可． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵四边形和四边形都是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵四边形是矩形， ∴， 当时，则； 当时，又∵，则， ∴； 当时，同理可得， ∴； 综上所述，当的值为2或3或4时，为等腰三角形． 3．如图，在平行四边形中，过点作于点，点在边上，，连接，． (1)求证：四边形是矩形； (2)若平分，，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的判定，平行四边形的性质，角平分线的性质，熟练掌握这些判定和性质是解此题的关键． （1）由在平行四边形中，得到由可得根据矩形的判定即可求证． （2）根据平行线的性质和角平分线的性质可得由勾股定理可求出即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， 又 ∴四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平分 ∴矩形的面积是： 4．如图，做如下操作：对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点落在上的点处，得到折痕与交于点，若直线交直线于点． (1)猜想的度数，并说明理由； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，角直角三角形性质，等边三角形的判定与性质等知识点． （1）连接，根据两次对折得到为等边三角形，即可求解； （2）在中，由角直角三角形性质以及勾股定理得到，由折叠得，证明，则在中，，设，，再由勾股定理建立方程求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 连接，由对折矩形可知： ， ， 由第二次折叠可知：， ， 为等边三角形， ， ； （2）解：在中，， ， ∵矩形， ∴，，， ∵沿着对折， ， ∴四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， 在中，，设， ， ， 解得（舍去负值）， 即，故． 5．如图，点E是对角线上的点（不与A，C重合），连接，过点E作交于点F．连接交于点G，，． (1)求证：是矩形； (2)若点E为的中点，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由平行四边形的性质得到，则，由等边对等角得到，则可证明，进而可证明平行四边形是矩形； （2）由矩形的性质得到，则可证明是等边三角形，得到，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2）解：∵四边形是矩形，点E为的中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，平行四边形的性质等等，熟知矩形的性质与判定定理是解题的关键： 6．如图，在菱形中，对角线、相交于点，过点作，且，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，证得四边形是矩形，根据矩形的性质即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据矩形的性质得到，，根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，，， ，， ，， 四边形是平行四边形，， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，，， ，，， 四边形是矩形， ，，，， ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $