江西赣州市赣县中学2025-2026学年高二数学下学期小作业A5

赣县中学2026年春学期高二数学课后巩固小作业A5 一、单选题 1．记为等比数列的前n项和，若，，则（    ）． A．120 B．85 C． D． 2．，则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 3．已知等差数列 与等差数列 的前 项和分别为 与 , 且, 则（    ） A． B． C． D． 4．已知数列的前项和为，且满足，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．设和分别为数列和的前项和.已知，则（    ） A．是等比数列 B．是递减数列 C． D． 6．斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用．斐波那契数列满足：，，则下列结论正确的是（    ） A．是偶数 B． C． D． 三、填空题 7．用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是__________ 8．设无穷数列的前项和为，且对于任意，（且），给出下列四个结论： ①存在，使得是常数列； ②任意，不是递增数列； ③存在，使得是周期数列（即存在，对任意，）； ④任意，既有最大值，又有最小值. 其中正确结论的序号是______. 四、解答题 9．已知数列满足． (1)证明：数列为等差数列； (2)设，记数列的前n项和为． （i）求； （ii）若成立，求m的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年4月2日高中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C C D A ABC BD 1．C 【分析】方法一：根据等比数列的前n项和公式求出公比，再根据的关系即可解出； 方法二：根据等比数列的前n项和的性质求解． 【详解】方法一：设等比数列的公比为，首项为， 若，则，与题意不符，所以； 若，则，与题意不符，所以； 由，可得，，①， 由①可得，，解得：， 所以． 故选：C． 方法二：设等比数列的公比为， 因为，，所以，否则， 从而，成等比数列， 所以有，，解得：或， 当时，，即为， 易知，，即； 当时，， 与矛盾，舍去． 故选：C． 【点睛】本题主要考查等比数列的前n项和公式的应用，以及整体思想的应用，解题关键是把握的关系，从而减少相关量的求解，简化运算． 2．C 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 3．D 【分析】由等差数列性质可得，由等差数列前项和公式可得、，即可令，代入计算即可得. 【详解】因为数列、都是等差数列, 所以, 又，， 故，，即有, 在中，令，得， 故. 故选：D. 4．A 【分析】根据与的关系，当时，将已知等式转化为，结合等差数列的定义与通项公式即可求得，作差求解判断的单调性，从而得的最值，即可求得实数的取值范围. 【详解】已知数列的前n项和为，且满足， 则当时，，整理得， 所以， 又当时，， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故， 所以， 当时，，则， 当时，，所以， 综上可得：， 若对任意，恒成立，则，故实数的取值范围是. 故选：A. 5．ABC 【分析】利用求出即可判断AC，利用错位相减法求，进而判断D，利用解出即可判断B. 【详解】由，当时，，所以， 当时，， 所以， 所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以，所以， 由，解得，所以当时，是递减数列， 又，所以，所以是递减数列，故B正确； 由有：，所以，故C正确； 由①， 所以②， 由①②有： ， 解得，所以， 当时，当时，， 所以，故D错误. 6．BD 【分析】判断数列的项的奇偶性的规律，判断A；利用递推关系判断B；举出反例判断C；利用数学归纳法可判断D. 【详解】对于A，由于斐波那契数列满足：为奇数，， 则为偶数，为奇数，为奇数，为偶数， 依次类推，即数列的项按“奇数奇数偶数”的规律循环出现， 即所有序号为3的倍数的项为偶数，其余项为奇数， 而，故为奇数，A错误； 对于B， ，B正确； 对于C，取，此时，C错误； 对于D，首先用数学归纳法证明一个结论：当n为奇数时，； 当时，，结论成立； 假设当（k为奇数）时，， 则时， ， 即时，结论也成立， 故当n为奇数时，，故，D正确， 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题考查了数列新定义即斐波那契数列的性质问题，解答的难点在于要能根据数列的规律明确相关的性质，特别是D的判断，要先用数学归纳法证明相关的结论，继而即可判断. 7． 【分析】分别写出和时不等式的左边的式子，比较即可求得答案. 【详解】由题意知时，左边式子为， 时，左边式子为， 故增加的项数为 ， 故答案为： 8．②③ 【分析】根据给定条件，利用前项和与第项的关系求出通项公式，再逐一判断各个结论即可. 【详解】在无穷数列中，，，当时，， 两式相减得，而，即， 当时，数列是首项为，公比为的等比数列，， 当时，，当时，， 对于①，当时，不是常数列；当时，若是常数列，则， 即，解得，此方程无解，因此不是常数列，①错误； 对于②，当时，，不是递增数列， 当时，， 若，则恒成立；若，则随的增大，正负相间变化， 即不可能恒大于0，因此数列不是递增数列，②正确； 对于③，当时，，数列是周期为的周期数列，③正确； 对于④，取，则，正项趋向，负项趋向， 数列没有最大值和最小值，④错误. 9．(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）等式两边同时除以可得； （2）（ii）由错位相减法求和即可； （ii）构造数列，由不等式组求数列的最值大即可. 【详解】（1）因为，即， 所以数列是以为首项，3为公差的等差数列. （2）（i）由（1）知， 所以， 所以， 所以， ， 所以 ， 所以. （ii）因为， 所以， 令， 不妨设的第项取得最大值， 所以，解得， 所以的最大值为， 所以，即m的取值范围是. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $