专题02菱形的综合问题七类题型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

**基本信息** 聚焦菱形七类核心模型，通过典例+变式构建从性质应用到综合创新的解题体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |折叠问题|1典3变|折叠性质与菱形性质综合|轴对称→全等证明→面积计算| |含60°角模型|1典4变|特殊角引发的等边三角形构造|菱形性质→等边三角形判定→规律探究| |半角模型|1典3变|60°背景下的角含半角问题|旋转思想→全等转化→线段关系推导| |一线三等角|1典2变|60°角的一线三等角构造|相似/全等判定→角转化→线段关系| |动点最值|1典3变|菱形中将军饮马模型应用|对称性质→三点共线→最短路径计算| |坐标系综合|1典3变|菱形顶点坐标与几何性质结合|坐标表示→菱形性质→图形变换| |函数综合|1典3变|菱形与一次函数图像综合|函数解析式→图形性质→动态问题分析|

专题02 菱形的综合题七类题型 典例详解 类型一、菱形的折叠问题 类型二、含60度角的菱形模型 类型三、菱形上的半角模型 类型四、菱形上的一线三等角模型 类型五、菱形上动点最值问题 类型六、菱形与坐标系综合 类型七、菱形与函数问题综合 压轴专练 类型一、菱形的折叠问题 【典例1】（24-25九年级上·广东清远·期中）综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； (1)以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 (2)如果，请求出菱形的面积 【答案】(1)小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形；理由见解析 (2) 【分析】此题考查了菱形的判定和性质、勾股定理、矩形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是关键． （1）根据菱形的判定和性质、折叠的性质进行证明即可； （2）求出，得到，根据菱形的面积进行解答即可． 【详解】（1）小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形；理由如下： ∵四边形是矩形 ∴     ∴， 由折叠知：， ∴    ∴∥, ∴四边形是平行四边形 ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， 故时，四边形为菱形，甲成立， 而由小华折叠方法可知， 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 所以，故四边形不可能为菱形． 综上所述：小明能够折叠出菱形，小华不能够折叠出菱形； （2）求菱形的面积如下： 在中，， ∴， ∴， 即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1-1】（2026·湖南娄底·二模）【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图，连接． (1)_____________；（直接写出结果） (2)若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； (3)【问题探究】 若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 【答案】(1) (2)位置关系：，数量关系： (3)补图见解析，的值为或 【分析】（）根据菱形的性质解答即可求解； （）由翻折可知，，即得，进而得到，又由已知得，过点作于，由等腰三角形的性质得，利用直角三角形的性质和勾股定理得，即得 ，即得到，即可求解； （）分点在对角线上和点在对角线上两种情况，分别画出图形，利用菱形和折叠的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形纸片中，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：位置关系：，数量关系：，理由如下： ∵， ∴， 由翻折可知， ，， 在菱形中，，， ∴，   ∴ ，   ∴， ∵， ∴， 过点作于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点在对角线上时，如图，，，， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点在对角线上时，如图，作，，，垂足分别为点， 不妨设， ∵， ∴， ∴ ，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 在 中，， ∴， 解得， ∴，， ∴； 综上，的值为或． 【变式1-2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【答案】[操作判断]见解析；[类比探究]1；[问题解决]2 【分析】[操作判断]根据折叠的性质得，结合平行四边形的性质可得四边形是菱形，即有； [类比探究]根据平行四边形的性质得和，则，有折叠得，，由结合等腰三角形的性质有，则有，即可得； [问题解决]延长交的延长线于点，由（2）得，设，由平行四边形，，则有和，进一步证明，有和，根据列方程求解即可． 【详解】解： [操作判断]∵将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴． [类比探究]∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵沿着折叠点A的对称点恰好落在对角线上， ∴，， ∴， ∴， ∵点与点C，E共线， ∴， 即， [问题解决]延长交的延长线于点， 由（2）得， ∵沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处， 设， ∵四边形是平行四边形 ∴， ∴， ∵恰好落在的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，解得， ∴． 【点睛】本题主要考查折叠的性质、平行四边形的性质、菱形的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握折叠的性质和特殊四边形的性质． 【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)． 【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，直角三角形和等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （）先推出是的平分线，进而得出，推出，再根据即可证明结论； （）根据折叠的性质，结合推出四边形是菱形，结合得出，然后根据勾股定理求出与的数量关系即可； （）根据菱形的性质，结合求出及的数量关系，然后由折叠的性质求出和的数量关系，再通过勾股定理求出和的长度，最后由勾股定理求出的长度． 【详解】（1）证明: 由折叠性质可知， ∵， ∴， ∴是的平分线， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， 根据折叠的性质，， ∴， ∵， ∴； （2）解：根据折叠的性质，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 连接交于点，如图， 根据菱形的性质，线段和互相垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， 根据勾股定理，，， ∴； （3）解：如图，连接交于点， 根据菱形的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得：， ∴为等腰直角三角形，， 设，则，， 根据勾股定理得：， ∴， ∴，，，， 在中，． 类型二、含60度角的菱形模型 【典例2】（2022·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识．根据菱形的性质可得：，，推出、是等边三角形，得到，，证明，得到，即可求解． 【详解】解：四边形是菱形， ，， 、是等边三角形， ，， ， ，即， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-1】（2026·甘肃临夏·一模）如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的边长为________． 【答案】 【详解】解：如图，连接，与交于点M， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得，…， 故按此规律所作的第n个菱形的边长为， ∴第2027个菱形的边长为． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则_____，_____． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小亮在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），连接，以为边向左侧作菱形，且，连接． ①求证：． ②随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，直接写出的长． 【答案】（1）；；（2）①见解析；②不变，；（3） 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质证得为等边三角形，即可求解； （2）①根据菱形的性质可得，，再由以及平行线的性质可得，从而得到，即可求证；②根据全等三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，交于点，过点作于点，则，证明四边形是矩形，可得，即可解答． 【详解】解：（1）如图，连接，交于点O， ∵四边形是菱形，且边长为， ∴， ∴平分， ∴， ∵， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）①证明：四边形，四边形都是菱形， ，，，， ，． ， ， ， ． ，， ． ②的度数不变．理由如下： 四边形是菱形，， ． ， ， ， 故的度数不变，． （3）如图，连接，交于点，过点作于点，则． 四边形，四边形都是菱形，，， ，，，，， ， ． ，， ， ∵， ， ∴． ， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行线的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【变式2-3】（24-25八年级下·吉林·期中）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）不变，，理由见解析． 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，平行线的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练以上知识点是解题的关键． （1）根据菱形的对角线平分对角，计算，利用菱形的对角线互相垂直且平分，勾股定理计算即可． （2）根据菱形的性质，结合，，得到，继而得到，证明即可． （3）根据菱形的性质，得到，根据，得到，计算得． 【详解】解：（1）连接交于点，如图所示： 菱形的边长为，， ，，，， ， ， ， 故答案为：，； （2）证明：四边形，是菱形， ，，，， ，， ，， ， ， ， ； （3）解：的大小不变，且，理由如下： 四边形是菱形，， ， ， ， ， ． 故的大小不变，且． 类型三、菱形上的半角模型 【典例3】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质；连接，由菱形性质得是等边三角形，则可证明，有，则得是等边三角形，则可对各选项作出判断． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选项A正确； ∵， ∴， ∴， 故选项B正确； ∵， 故选项C正确； ∵， ∴， 故选项D错误； 故选：D．    【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， ∴， ∵点为中点， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴． （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴； 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或． 【变式3-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）①；②． 【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论； （2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证； （3）①过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q，则四边形和四边形、四边形都是平行四边形，得出，，，，，由（1）可知，则，即可求解； ②过点B作于点N，利用含的直角三角形的性质求出，利用勾股定理求出，根据可求，然后在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）如图1，连接， ∵菱形、， ，，，， 和都是等边三角形， ，， ， ， ， ； （2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q 则，四边形和四边形都是平行四边形， ，， 由（1）可知， （3）①如图3，过点B作交于点M，过点D作交于点P，交于点Q， 则四边形和四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ∵点E为的中点，， ， ， ，， ，， 由（1）可知， ， ，， ， ， ②过点B作于点N， ， ， ，， ，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，二次根式的化简等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 【变式3-3】（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)当点为上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析；点为射线上任意一点时，（1）中的结论仍然成立，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，分别讨论即可． 【详解】（1）解：线段与之间的数量关系：． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，， ∵点是边的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）当点为上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点为射线上任意一点时，仍然成立． 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）如图，过点作于，连接， ∵四边形是菱形，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 当点在点的左侧时，， 当点在点的右侧（图中处）时，， ∴或， 由（2）知：， ∴， ∴或， ∴线段的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． 类型四、菱形上的一线三等角模型 【典例4】（21-22八年级下·河南新乡·阶段检测）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点． (2)如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数． 【答案】(1)见解析； (2)20° 【分析】（1）证明△ABC等边三角形．得到E是BC的中点，再证明EC＝CF．利用，即可证明， （2）连接AC．证明△ABE≌△ACF（AAS）．得到AE＝AF．利用∠EAF＝60°，证明△AEF是等边三角形．即可得到∠AEF=60°，再利用∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE，即可证明∠FEC＝20°． 【详解】（1）证明：如图1所示：连接AC． ∵在菱形ABCD中，∠B＝60°， ∴AB＝BC＝CD，∠C＝180°﹣∠B＝120°，∠D=∠B=60°． ∴△ABC等边三角形． ∵E是BC的中点， ∴AE⊥BC． ∵∠AEF＝60°， ∴∠FEC＝90°﹣∠AEF＝30°． ∴∠CFE＝180°﹣∠FEC﹣∠ECF＝180°﹣30°﹣120°＝30°． ∴∠FEC＝∠CFE． ∴EC＝CF． ∵， ∴， ∴F是CD的中点； （2）解：如图2所示：连接AC． ∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝60°． ∴∠B＝∠ACF＝60°． ∵AD∥BC， ∴∠AEB＝∠EAD＝∠EAF+∠FAD＝60°+∠FAD，∠AFC＝∠D+∠FAD＝60°+∠FAD． ∴∠AEB＝∠AFC． 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（AAS）． ∴AE＝AF． ∵∠EAF＝60°， ∴△AEF是等边三角形． ∴∠AEF=60°， ∵∠AEF+∠FEC＝∠B+∠BAE， ∴∠FEC＝∠BAE=20°． 【点睛】本题考查菱形的性质，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定及性质． 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 【答案】(1)见解析 (2)①，② 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． （2）①点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． ②点在延长线上时，先根据菱形的性质，等边三角形的性质和判定，推出，，，即可证明，进而求出． 【详解】（1）解：∵四边形为菱形， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：①点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． ②点在延长线上时， 由上可得：， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式4-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题． 今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论， 【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积． 【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度． 【答案】（1）证明过程见详解；（2）；（3） 【分析】(1)证，，由证明即可； (2)连接，交于，由菱形的性质得，同(1)得，得，，由三角形面积公式求出，即可得出答案； (3)过E作的延长线于M，过点G作于，同(1)得，，得，证，得，证，由勾股定理求出，，再由直角三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解： ， 设，则， ， ， ，，， ，即， ， 连接，交于， 如图所示： 四边形是菱形， ， ， 同（1）得：，，， ； （3）解：过作的延长线于，过点作于， 如图③所示： ， 四边形和四边形都是正方形，，，，，， 同（1）得：，， ， 在和中，， ， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 是的中点， 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键． 类型五、菱形上动点最值问题 【典例5】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【答案】B 【分析】作关于的对称点，连接，．当三点共线，且垂直于，最小，求出菱形的面积，再利用等面积法进行求解． 【详解】解：作关于的对称点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴四边形关于对称， ∴点的对称点在上， ∴，且当时，最小，即最小， ∴当点三点共线，且时，取得最小值， ∵四边形是菱形， ∴， ，， ， ， ， ∴， 解得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的三边关系，垂线段最短以及轴对称的性质，熟练掌握知识点，正确找到最小时是解题的关键． 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，此时的值最小，最小值为的长．证明四边形是平行四边形，可得，再利用勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：设与交于点，作点关于的对称点，连接，， ∴，则的最小值为的长， 四边形是菱形， 关于对称，， 点在上，且， 点是的中点， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形，， ， 在中，由勾股定理得：， ， 即的最小值为3． 【变式5-2】（23-24七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】（1）在上截取，如图1，先根据菱形的性质得到，，则，再证明得到，利用两点之间线段最短得到（当且仅当A、M、E共线时取等号），据此求解即可； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2，利用菱形的性质和角平分线的性质得到，所以，根据垂线段最短可得到的最小值为的长，然后由（1）得到即可． 【详解】解：（1）在上截取，如图1， ∵四边形是边长为8的菱形， ∴，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵（当且仅当A、M、E共线时取等号）， ∴的最小值为的长， 即最小值为的长， 过A点作于H点，如图1， 在中，∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； 故答案为：； （2）过A点作于H点，交于M点，过M点作于N点，如图2， ∵四边形为菱形， ∴平分， ∴， ∴， 即的最小值为的长， 由（1）得到， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和勾股定理． 【变式5-3】（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，垂线段最短，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积，由四边形为菱形可得，可知当时，取最小值， 即点重合，的值最小，即可求出的最小值；延长相交于点，过点作的延长线于点，可得，进而证明，得到，由此可知当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值，即当取最大时，点重合，求出，得到，进而得到，再根据三角形面积公式即可求解；正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， 当时，取最小值， ∵四边形为矩形， ∴， ∴点重合，的值最小，即为的长， ∴的最小值为为， ∴的最小值为； 延长相交于点，过点作的延长线于点，则，    ∵四边形为矩形，四边形为菱形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当取最大时，取最大值，此时取最小，的面积取最小值， 当取最大时，点重合，此时， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，． 类型六、菱形与坐标系综合 【典例6】（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交x轴于点M，根据菱形的性质得出，点A、的横坐标为：，再由菱形的面积得出，确定，即可求解 【详解】解：连接交x轴于点M，如图所示： ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴点A、的横坐标为：，， ∵四边形是面积为12， ∴， ∴， ∴， ∴的坐标为 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质和坐标几何的知识，通过坐标确定菱形的边长是解题的关键． 首先根据A、B两点坐标求出菱形的边长，再通过菱形的性质即可求出点C的坐标． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】（20-21八年级下·重庆江津·阶段检测）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【答案】 【分析】先根据勾股定理求出菱形的边长，再根据点的运动速度求出沿所需的时间，进而可得出结论． 【详解】解：∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴点P每运动8秒回到点A位置， ∵， ∴点P移动到第2022秒时，落在点D，即点． 【变式6-3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标________． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，求关于原点对称的点的坐标，掌握菱形的性质是解题的关键．由菱形的性质可知点A和点C关于原点对称，结合题意即可求出结果． 【详解】解：四边形为菱形， ， 点O为坐标原点， 点A和点C关于原点对称， 点A的坐标为， 点坐标为， 故答案为：． 类型七、菱形与函数问题综合 【典例7】（21-22八年级下·北京顺义·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3, 0），点B是函数(0<x＜4)的图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图像于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．所有正确结论的序号是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】A 【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD＝BC，得到四边形ABCD是平行四边形，可作判断； ②根据BC＝AB列方程，方程有解在0～4之间，由此可作判断； ③当A与B的横坐标相等时，四边形ABCD是矩形，此种情况存在，可作判断； ④在矩形的基础上，计算AD与AB不相等，可作判断． 【详解】解：①如图1，∵BC⊥y轴， ∴AD∥BC， 又∵AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， 故①正确； ②设B（m，），则C（ ，）， BC＝m﹣（）， 当BC＝AB时，四边形ABCD是菱形， ∴， 89m2+1032m﹣432＝0， （m+12）（89m﹣36）＝0， 解得：m1＝﹣12（不符合题意），， ∴存在BC＝AB的情况， 即四边形ABCD可能是菱形， 故②正确； ③如图2，点B是函数y＝x+2（0＜x＜4）的图像上的一个动点， ∴存在点B的横坐标为3，此时四边形ABCD是矩形， 故③正确； ④当时，， 此时AD＞AB，如图2所示， ∴四边形ABCD不为正方形， 故④错误，不符合题意； 本题正确的结论有：①②③． 故选：A． 【点睛】本题反比例函数与四边形的综合题，考查了一次函数图像上点的坐标特征，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正方形的判定，解题的关键是熟知特殊四边形的判定． 【变式7-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为 ，则对角线的长度为（   ） A． B．8 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，先求出和坐标，再在中利用勾股定理列方程求解，得到点的坐标即可解答． 【详解】解：∵直线的函数解析式为， ∴当时，，则； 当时，，解得，则； ∴， ∵菱形， ∴，， ∴点 C的纵坐标为， 设，则，点 C的坐标为， ∵在中， ∴， 解得， ∴点 C的坐标为，点 A的坐标为， ∴， 故选：C． 【变式7-2】（2022八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的函数解析式； (2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标； (3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)y＝﹣x+6， (2)（2，0）或（10，0）； (3)存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）． 【分析】（1）通过函数y＝−2x＋12求出A、B两点坐标，又由点M为线段OB的中点，即可求得点M的坐标，然后由待定系数法求得直线AM的函数解析式； （2）设出C点坐标，可求得AC的长，根据S△ABM＝BM•OA，S△AMCAC•OM，由S△AMC＝S△ABM，可得方程，解方程即可求得答案； （3）分两种情况讨论：①BM是菱形的边时；②BM是菱形的对角线时，分别根据菱形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵直线AB的函数解析式为y＝﹣2x+12， ∴A（6，0），B（0，12）， 又∵M为线段OB的中点， ∴M（0，6）， 设直线AM的解析式为：y＝kx+b， ∴， 解得：， 故直线AM的解析式为y＝﹣x+6； （2）设点C的坐标为：（x，0）， ∴AC＝|x﹣6|， ∵B（0，12），M（0，6）， ∴BM＝6， ∴S△ABMBM•OA6×6＝18， ∵S△AMCS△ABM， ∴S△AMCAC•OM6×|x﹣6|18， ∴3×|x﹣6|＝12， 解得：x＝2或10， 故点C的坐标为：（2，0）或（10，0）； （3）设P（x，﹣2x+12）， ①如图所示：BM是菱形的边时． 过P2作P2C⊥y轴于C， ∴P2C＝x，BC＝12﹣（﹣2x+12）＝2x， ∵四边形BP2Q2M是菱形， ∴P2B＝BM＝6， 在Rt△BP2C中，P2C2+BC2＝P2B2， ∴x2+（2x）2＝62，解得x＝±， ∴点P的坐标为（，12）或（，12）； 过P3作P3D⊥y轴于D， ∴P3D＝x，MD＝6﹣（﹣2x+12）＝2x﹣6， ∵四边形BQ3P3M是菱形， ∴P3M＝BM＝6， 在Rt△MP3D中，P3D2+MD2＝P3M2， ∴x2+（2x﹣6）2＝62，解得x或0（舍去），   ∴点P的坐标为（，）； ②如图所示：BM是菱形的对角线时， 连接PQ交y轴于N， ∵四边形BQMP是菱形， ∴PQ⊥BM，BN＝MN， ∴点N的坐标为（0，9）． ∴点P的纵坐标是9， ∴﹣2x+12＝9，解得x， ∴点P的坐标为（，9）． 综上所述，存在，点P的坐标（，12）或（，12）或（，）或（，9）． 【点睛】本题为一次函数综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积、菱形的性质等．解题的关键是掌握数形结合思想与方程思想的应用． 【变式7-3】（19-20九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：交轴于点、交轴于点， （1）求直线的函数表达式； （2）设点是轴上的一点 ①在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若是线段的中点，点与点关于轴对称，点在直线上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 【答案】（1）；（2）  ， ，     ；（3）或 【分析】（1）将点A的坐标代入直线：中即可求出直线的解析式； （2）①先假设存在点Q，则以A,P,B,Q为顶点的四边形是菱形，再利用菱形的性质求点Q的坐标即可，如果能求出来，说明存在，反之则不存在； ②要求DM的直线必须知道点M的坐标，求点M的坐标必须把它放到直角三角形中去求.利用关于y轴对称的点的特点和等边三角形的性质，结合全等三角形及锐角三角函数解题即可. 【详解】解：（1）将代入得， ， 解得    所以，直线的函数表达式为； （2）①直线l中，令x=0,y=,∴OB= 由勾股定理得 若AP为对角线时，有两种情况： ∵BP∥AQ ∴Q点与A点横坐标相同 ∵四边形ABPQ是菱形 ∴AQ=AB=8 若点P在点B上端，则Q的坐标为（4,8） 若点P在点B下端，则Q的坐标为（4,-8） 若AB为对角线 ∵四边形APBQ为菱形 设AB,PQ交于点D ∴AB⊥PQ， ∴tan∠OBA= ∴∠OBA=30° ∵PB∥AQ ∴∠BAQ=30° 在Rt△ADQ中， ∴ ∴Q的坐标为 若BP为对角线 ∵四边形ABQP为菱形 ∴BP⊥AQ,AO=OQ ∴Q的坐标为 综上所述，这样的Q点有4个，分别是   ， ，      ②点D与C点关于y轴对称，所以D的坐标为（-2,0） 如图，当点在轴上方时， 将及CD边绕点逆时针旋转至点与点重合，设与重合，则，，作MQ⊥AD于点Q ∵CD=CE, ∴为等边三角形 ∴点在的中垂线上，即在轴上，于是 ∵∠MCP=∠DCE=60° ∴∠MCP+∠PCD=∠DCE+∠PCD ∴∠MCD=∠PCE 在△MCD和△PCE中 ∴△MCD≌△PCE（SAS） ∴ 在Rt△AMQ中， ∵∠BAO=60° ∴tan60°= 设AQ=x,则MQ= 在Rt△DMQ中， 解得 ∴      ∴ 设DM的直线方程为 将D（-2,0），代入直线方程中 解得 所以，直线DM的函数表达式为 当点在轴下方时，同理可得直线的函数表达式为 【点睛】本题主要考查了已知点的坐标用待定系数法求一次函数或直线的解析式，菱形的性质，点关于y轴对称的特点，全等三角形的判定及性质，锐角三角函数等知识，综合性较强，难度较大，要求学生对各部分知识熟练掌握的基础上能够灵活运用. 1.（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识． 如图①，菱形纸片中，．    (1)活动一： 如图②，折叠菱形纸片，使点落在点处，则折痕的长为_________；菱形纸片的面积是_________； (2)活动二： 如图③，分别是菱形纸片各边的中点，分别沿着折叠并展开．猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想； (3)活动三：如图④，先将菱形纸片沿折叠再展开，点分别在边上且，再分别沿着折叠再展开，若四边形是正方形，则_________； (4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片，使点落在边的中点处，则折痕的长为_________． 【答案】(1)， (2)矩形，证明见解析． (3) (4) 【分析】（1）根据折叠的性质可推知，然后用解直角三角形的方法求得菱形的高，最后再算出菱形的面积． （2）分别连接对角线，然后根据三角形的中位线定理，并结合菱形对角线互相垂直的性质证明四边形是矩形． （3）充分利用含角的菱形与其内接正方形的条件，将已知与待求的量通过相似三角形的成比例线段联系在一起，从而使问题求解． （4）充分利用直角三角形的性质和折叠的对称性质，将待求的量与已知量联系在一起，从而解得待求的量． 【详解】（1）如图2， 根据折叠的性质，， ∴． 所以 ． 在直角中，，，， ∴，， 因此折痕的长为． 菱形的面积为： ． （2）如下图，连接．    ∵E、F、G、H分别是的中点， ∴由三角形中位线定理得，， ∴，同理，． 则是平行四边形． 又∵菱形的对角线与相互垂直，，， 则，， ∴四边形是矩形． （3）连接，与交于点O、点Q．设相交于点P．    ∵菱形对角线互相垂直，且平分内角， ∴． 由得， 故与为含角的直角三角形． 由得， 又，则Q为的中点，同理，P为中点． 所以均为正方形连长的一半，且四边形为正方形． 可设． 在直角三角形中， ∵， ∴，． ∴． 由得，， 即． 解得：． ∴． （4）如下图，过点F作线段延长线的垂线，垂足为点H，过点M作的垂线，垂足为点G．    由知，，在直角中， ∴，由勾股定理得， ． 根据折痕的性质，设，则． 在直角中，，即． 解得：． 在直角中，，则，． 连结，因F为的中点，则为等边三角形边的高， ，则， 在直角三角形中，设，则，． 由勾股定理得，，即， 解得：，即． ∴ ． 在直角三角形中，． 【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠的轴对称性质、勾股定理的应用、含30°角的直角三角形的性质等相关知识点，应用勾股定理列出待求未知数的方程，并求解是解本题的关键． 2.（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3) 【分析】（1）根据菱形的性质可知，，，，利用勾股定理得到，再结合菱形的面积等于对角线乘积的一半求解即可； （2）由菱形的性质得出，由折叠的性质可知，，从而得到，再根据等角与等边求解即可； （3）过点作于点，过点作于点，由已知条件可得，，根据菱形和折叠的性质得到，再结合等腰三角形三线合一的性质，求出，进而得出，证明四边形是矩形，得到，，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在菱形中，，， ，，， ， ， 菱形的面积； （2）证明：四边形是菱形， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， ， ， ； （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， 由折叠的性质可知，， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ． 3.（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 【答案】(1)，等边三角形； (2)同意，理由见解析 (3)或 【分析】（1）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，根据点是边的中点，可得，等量代换可得，故，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （2）连接，根据菱形的性质，可得，根据可得，根据等边三角形的判定和性质可得，等量代换可得，根据全等三角形的判定和性质可得，是等边三角形； （3）过点作于，连接，根据菱形的性质，可得，根据等边三角形的判定可得是等边三角形，根据勾股定理可得，即可求得的值，计算面积即可． 【详解】（1）解：，是等边三角形； 理由：如图，连接， ∵四边形是菱形，且， ， ∴和都是等边三角形， ， ∵点是边的中点， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∵， ∴是等边三角形． （2）解：同意． 理由如下：连接， ∵四边形是菱形，且， ∴，， ∴和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． （3）解：或（写成，也对） 同（2）可证， 过点A作于E，连接， ∵四边形是菱形，且，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， ∴， 当时，（或）， 当时，（或）． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积公式等，解题的关键是构造等边三角形以及全等三角形． 4.（23-24八年级下·广东云浮·期末）综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，详见解析；（3）或 【分析】本题考查菱形，全等三角形，勾股定理的知识，解题的关键是掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用． （1）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则，即；根据，求出；根据全等三角形的判定和性质，，即可； （2）连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，根据，等量代换则，根据全等三角形的判定和性质，即可； （3）过点作交于点，连接，根据菱形的性质，等边三角形的判定和性质，则和是等边三角形，求出， ；根据勾股定理求出，；根据全等三角形的判定和性质，，；分类讨论：当点在点的右侧；当点在点的左侧，即可． 【详解】解：（1），理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 ∴， ∴和是等边三角形 ∵是边的中点 ∴，即 ∴ ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （2）仍然成立，理由如下： 连接， ∵四边形是菱形 （3）过点作交于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 当点在点的右侧， ∴， 当点在点的左侧， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的值为或． 5.（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)、两点间的距离最小值为；、两点间的距离最大值为 【分析】（1）连接，交于，当点在处时，最小； （2）作于，交于，此时最小，最小值是的值，由（1）知，是的中点，，根据四边形是菱形得出，从而得出是等边三角形，进一步得出结果； （3）作于，以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上），进一步得出结果． 【详解】（1）解：如图， 连接，交于， 当点在处时，最小； （2）解：如图， 作于，交于，此时最小，最小值是的值， 由（1）知， 是的中点， ， 四边形是菱形， ， 是等边三角形， ， ； 菱形的边长为； （3）解：如图， 作于， 以为圆心，和为半径画圆，则在圆环内运动（包括在大圆和小圆上）， 由（2）知， ， ， 当点在处时，、两点间的距离最小，距离为：， 当点在点处时，、两点间的距离最大，最大为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 6.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在， 【分析】（1）先证明是等边三角形，可得，，进而求出，结合，利用即可证明结论； （2）由（1）知，可得，推出，过点作于点，根据是等边三角形，求出，即可解答； （3）先证明是等边三角形，过点作于点，求出，求出，当时，有最小值，此时的面积最小，同理（2）求出此时即可解答． 【详解】（1）证明：在菱形中，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴， 过点作于点， 由（1）知是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为； （3）解：存在， 由（1）知是等边三角形，， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， 当时，有最小值，此时的面积最小， 同理（2）得此时， ∴． 7.（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）【问题原型】如图①，在菱形中，，．点是边上一点，点是对角线上一点，，试求的最小值． 【问题探究】如图②，小芳首先过点作，使，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点位置的问题． 以下是小芳证明的部分过程： 证明：过点作，使，连结 四边形是菱形，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中点的位置，使的值最小，此时的最小值是_________（保留作图痕迹） 【答案】【问题探究】见解析，【问题解决】图见解析，最小值 【分析】问题探究：由题意补全证明过程即可； 解决问题：连接交于点，根据两点间线段最短可知即为的最小值，然后连接，由菱形的性质和勾股定理即可得出答案． 【详解】解：问题探究： 证明过程补全如下： 过点C作，使，连结， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ； 解决问题: 由【问题探究】可知， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴连接交于点，如图， 点即为所求： 连接，如图， ∵四边形是菱形，， ∴，， 又∵ 是等边三角形， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，两点间线段最短，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 8.（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          【答案】（1）24；（2）4；（3）①；② 【分析】（1）连接，交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，最后求出结果即可； （2）连接，交于点O，过点E作于点K，证明，得出，即可得出，求出结果即可； （3）①过点A作于点，根据垂线段最短，得出的最小值为的长，根据菱形面积求出结果即可； ②在的延长线上截取，连接，．证明，得出，根据当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值，即的最小值为的长，过点A作于点T，根据勾股定理求出． 【详解】解：（1）连接，交于点O，如图所示： ∵四边形为菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图1，连接，交于点O，过点E作于点K． ∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴的值为4． （3）①如图2，过点A作于点， ∵垂线段最短， ∴的最小值为的长， 由（1）可知菱形的面积为24， ∴， 即， 解得： ， ∴的最小值为． ②如图3，在的延长线上截取，连接，． ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即． 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当点A，点P，点R在同一条直线上时，有最小值， 即的最小值为的长， ∴的最小值为的长 过点A作于点T， 由①易知， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，菱形的性质，三角形全等的判定和性质，垂线段最短，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 9.（2026·广西贺州·二模）如图，某景区规划建设大小相同的两个菱形观景台和，为方便规划布局，现将其平面示意图绘制到平面直角坐标系中，两个菱形的对角线均分别平行于轴、轴，已知点在轴上，点在轴上，，，连接，． (1)直接写出、两点的坐标； (2)将菱形平移可得到菱形，若点的对应点的坐标是，请写出菱形的一种沿坐标轴方向的平移方式，并写出点的对应点的坐标； (3)求两个菱形的面积之和． 【答案】(1)， (2)菱形先向左平移9个单位，再向上平移1个单位到菱形（或先向上平移1个单位，再向左平移9个单位）； (3)24 【分析】（1）根据菱形的性质求解即可； （2）根据点B和点B的对应点的坐标确定点的平移方式，即可确定图形的平移方式，再由该平移方式求解点的对应点坐标； （3）由平移可得平移前后的菱形面积不变，再由菱形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵菱形的对角线均分别平行于轴、轴， ∴四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形是矩形 ∴ ∴ ∴，； （2）解：由题意得点，而点的坐标是 ∴可知点向左平移了9个单位，向上平移了1个单位得到点 ∴菱形向左平移9个单位，向上平移1个单位到菱形； ∴点的对应点的坐标为，即； （3）解：由平移可得平移前后的菱形面积不变 ∴面积之和为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 菱形的综合题七类题型 典例详解 类型一、菱形的折叠问题 类型二、含60度角的菱形模型 类型三、菱形上的半角模型 类型四、菱形上的一线三等角模型 类型五、菱形上动点最值问题 类型六、菱形与坐标系综合 类型七、菱形与函数问题综合 压轴专练 类型一、菱形的折叠问题 【典例1】（24-25九年级上·广东清远·期中）综合与实践课上，老师让同学们以一张矩形纸“如何折出菱形”为主题开展数学活动．小明做法：沿折叠使得点A落在上，沿折叠使得点C落在上，当时，得到的四边形为菱形； 小华做法：沿折叠使得与重合，再折出，当时，得到的四边形为菱形； (1)以上哪种方法能够折叠出菱形？请结合数学知识进行说明 (2)如果，请求出菱形的面积 【变式1-1】（2026·湖南娄底·二模）【问题背景与动手操作】 如图，在菱形纸片中，，点在边上，且，点在边上，连接，把菱形纸片沿着折叠，点的对应点为点． 【初步感知】 如图，连接． (1)_____________；（直接写出结果） (2)若折叠后满足，请探究线段与之间的位置关系和数量关系； (3)【问题探究】 若折叠后点恰好位于菱形纸片的对角线上，请在备用图中补全图形，并求出的值． 【变式1-2】（23-24八年级下·浙江杭州·阶段检测）综合与探究 【问题情境】圆圆与方方运用折叠纸片研究平行四边形． 【操作判断】如图1，将沿着对角线折叠，若此时点A与点C恰好重合，证明：． 【类比探究】如图2，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在对角线上，若点与点C，E共线，，求的长． 【问题解决】如图3，在的一边上取一点E，沿着折叠，点A的对称点恰好落在的中点处，若，求的长． 【变式1-3】（24-25八年级下·辽宁大连·期末）在八年一班数学课上，数学老师让每人准备一张菱形纸片，要求同学们在对角线上取一点，连接，将沿折叠，得到． (1)同学甲发现（图），通过探索发现点落在线段上，从而可证明．请你完整证明：； (2)同学乙取，折叠后发现（图），通过探索可得出为常数，请求出的值； (3)同学丙通过折叠发现，测得，，连接，发现的长度可求，求出此时的长度． 类型二、含60度角的菱形模型 【典例2】（2022·陕西西安·二模）如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2026·甘肃临夏·一模）如图，作出边长为1的菱形，，连接对角线，以为边作第二个菱形，使，连接，再以为边作第三个菱形，使；……，按此规律所作的第个菱形的边长为________． 【变式2-2】（24-25八年级下·河南商丘·期末）【问题情境】 （1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质．如图1，菱形的边长为，，则_____，_____． 【操作发现】 （2）如图2，在图1的基础上，小亮在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），连接，以为边向左侧作菱形，且，连接． ①求证：． ②随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． 【拓展延伸】 （3）在（2）中，连接，若，直接写出的长． 【变式2-3】（24-25八年级下·吉林·期中）【问题情境】（1）数学探究课上，某兴趣小组探究含角的菱形的性质，如图①，菱形的边长为，，则______，______； 【操作发现】（2）如图②，在图①的基础上，小贤在菱形的对角线上任取一点（点不与点重合），以为边向右侧作菱形，且，连接．求证：； 【拓展延伸】（3）在（2）中，随着点位置的改变，的度数是否发生变化？若不变，直接写出的度数；若变化，请说明理由． 类型三、菱形上的半角模型 【典例3】（23-24九年级上·重庆渝中·期末）菱形，，E，F分别是上两点，连接，且，如果，则下列说法错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26八年级下·辽宁盘锦·开学考试）综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【变式3-2】（23-24八年级下·广东湛江·期中）在菱形中，，点E，F分别是边，上的点． 【尝试初探】 （1）如图1，若，求证：； 【深入探究】 （2）如图2，点G，H分别是边，上的点，连接与相交于点O且，求证： 【拓展延伸】 （3）如图3，若点E为的中点，，，． ①设，，请用关于x的代数式表示y； ②若，求的长． 【变式3-3】（23-24八年级下·山西大同·期末）给合与实践 数学课上，小组同学对含角的菱形进行了探究． 【背景】在菱形中，，作，、分别交边、于点、． (1)【感知】 如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为__________． (2)【探究】 如图2，说“点为上任意一点时，（1）中的结论是否仍然成立”，你同意吗？请说明理由． 如图3，若点为射线上任意一点时，作，交边所在射线于．则（1）中结论是否仍然成立？回答并说明理由． (3)【应用】 取出如图2所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 类型四、菱形上的一线三等角模型 【典例4】（21-22八年级下·河南新乡·阶段检测）菱形ABCD中，∠B＝60°，点E在边BC上，点F在边CD上． (1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：F是CD的中点． (2)如图2，若∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，求∠FEC的度数． 【变式4-1】（2025·黑龙江哈尔滨·二模）菱形中，，点在上，点直线上，连接、、，． (1)如图1，求证：； (2)①如图2，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________； ②如图3，点在延长线上时，三条线段之间的数量关系为：_________． 【变式4-2】（23-24八年级下·云南红河·期末）【方法感悟】在解决几何问题中，我们会接触很多典型的基本图形，例如“一线三等角．形全等”，我们把它称之为“三垂直模型”，掌握好该模型及其变形，有助于我们解决一些复杂的几何数学题． 今天，我们就来认识它：（1）如图①，中，，，直线经过点直线直线，垂足分别为，那么我们可以得到结论．请你用所学习过的数学知识证明该结论， 【方法迁移】（2）如图②，中，，，点在同一条直线上，，，．求菱形的面积． 【问题拓展】（3）如图③，分别以的直角边向外作正方形和正方形，连接是的高，延长交于点，若，，求的长度． 类型五、菱形上动点最值问题 【典例5】（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，在菱形中，对角线，，点M、N分别是边、边上的动点，点P在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是（    ） A．2.4 B．4.8 C．5 D．9.6 【变式5-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在菱形中，对角线，，点、分别是边、的中点，点在上运动，在运动过程中，存在的最小值，则这个最小值是_______． 【变式5-2】（23-24七年级下·贵州毕节·阶段检测）如图，四边形是边长为8的菱形，，M是对角线上的一个动点． （1）若N是边上一点，，连结，则的最小值为_______； （2）变式：若 N是边上一个动点，连结，则的最小值为_______． 【变式5-3】（23-24八年级下·北京·期中）矩形中，点是上一点，，，，点是边上的动点，以为一边作菱形，使顶点落在上，连接，则的最小值为______，面积的最小值为_____．    类型六、菱形与坐标系综合 【典例6】（2026·河北唐山·二模）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段平移到线段，若点的坐标为，四边形是面积为12的菱形，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为______． 【变式6-2】（20-21八年级下·重庆江津·阶段检测）菱形在直角坐标系中的位置如图所示，其中点A的坐标为，点B的坐标为，动点P从点A出发，沿…的路径，在菱形的边上以每秒1个单位长度的速度移动，移动到第2022秒时，点P的坐标为___________． 【变式6-3】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，已知点A的坐标为，点B的坐标为，菱形的对角线交于坐标原点O． 则点C的坐标________． 类型七、菱形与函数问题综合 【典例7】（21-22八年级下·北京顺义·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（3, 0），点B是函数(0<x＜4)的图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数的图像于点C，点D在x轴上（点D在点A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论： ①四边形ABCD一定是平行四边形；②四边形ABCD可能是菱形；③四边形ABCD可能是矩形；④四边形ABCD可能是正方形．所有正确结论的序号是（  ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【变式7-1】（24-25八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，B均在x轴上，点D 在y轴上，已知直线的函数解析式为 ，则对角线的长度为（   ） A． B．8 C． D．9 【变式7-2】（2022八年级下·上海·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，函数y＝﹣2x+12的图像分别交x轴、y轴于A、B两点，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点． (1)求直线AM的函数解析式； (2)若点C是x轴上一点，且S△AMCS△ABM，求点C的坐标； (3)点P在直线AB上，在坐标平面内是否存在点Q，使四边形BPMQ是菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式7-3】（19-20九年级上·四川成都·期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线：交轴于点、交轴于点， （1）求直线的函数表达式； （2）设点是轴上的一点 ①在坐标平面内是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． ②若是线段的中点，点与点关于轴对称，点在直线上，当为等边三角形时，求直线的函数表达式. 1.（2023·黑龙江齐齐哈尔·三模）折纸是一项有趣的活动，有的同学玩过折纸，可能折过小动物、飞机、小船等．在折纸过程中，不仅可以得到一些美丽的图形，而且其中还蕴含着丰富的数学知识． 如图①，菱形纸片中，．    (1)活动一： 如图②，折叠菱形纸片，使点落在点处，则折痕的长为_________；菱形纸片的面积是_________； (2)活动二： 如图③，分别是菱形纸片各边的中点，分别沿着折叠并展开．猜想四边形是什么特殊四边形，并证明你的猜想； (3)活动三：如图④，先将菱形纸片沿折叠再展开，点分别在边上且，再分别沿着折叠再展开，若四边形是正方形，则_________； (4)活动四：如图⑤，折叠菱形纸片，使点落在边的中点处，则折痕的长为_________． 2.（25-26八年级下·山东菏泽·期中）在菱形中，对角线与相交于点． (1)如图1，若，求菱形的面积． (2)如图2，在上取点，连接，将沿折叠，点的对应点为．若点落在的延长线上，求证：． (3)如图3，将沿折叠，点的对应点落在上，连接，若，求的长． 3.（24-25八年级下·河南新乡·期末）综合与实践课上，腾飞小组三位同学对含角的菱形进行了探究： 【背景】在菱形中，，作，分别交边于点P、Q． (1)【感知】如图1，若点P是边的中点，小腾经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你写出这个关系式______，此时的形状是______． (2)【探究】如图2，小飞说“点P为上任意一点时，（1）中的两个结论仍然成立”，你同意吗？请说明理由． (3)【应用】小宛取出如图3所示的菱形纸片，测得，，在边上取一点P，连接，在菱形内部作，交于点Q，当时，请直接写出的面积． 4.（23-24八年级下·广东云浮·期末）综合与实践课上，智慧星小组三名同学对含角的菱形进行了以下探究． 【背景】 在菱形中，，作，，分别交，于点，． 【感知】 （1）如图1，若是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系：____________________． 【探究】 （2）如图2，当为边上任意一点时，判断（1）中的结论是否仍然成立，并说明理由． 【应用】 （3）如图3，在菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点．当时，求线段的长． 5.（24-25八年级下·福建·期中）如图，在菱形中，、交于点． (1)若为对角线上一动点，是的中点，请在图中画出当取得最小值时的点，简单写出点的做法，不需要证明； (2)如图，为对角线上一动点，为边上一动点，若的最小值为，这个值恰好与（1）中的最小值相等，求菱形的边长要求画出必要的图形； (3)在（2）的条件下，如图所示，若点是的中点，点为线段上的动点，在绕着点旋转过程中，点的对应点是，直接写出、两点间的距离的最大值和最小值． 6.（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在菱形中，，，点，分别在边，上，．连接，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积； (3)当点，分别在边，上运动时，的面积是否存在最小值，若存在，请直接写出面积的最小值；若不存在，请说明理由． 7.（25-26九年级上·吉林长春·开学考试）【问题原型】如图①，在菱形中，，．点是边上一点，点是对角线上一点，，试求的最小值． 【问题探究】如图②，小芳首先过点作，使，利用平行线的性质可得到，进而可利用，将转化为，这样就将问题转化为寻找点位置的问题． 以下是小芳证明的部分过程： 证明：过点作，使，连结 四边形是菱形，． 证明过程缺失 请你补全缺失的证明过程 【问题解决】结合上述探究过程，用无刻度的直尺，在图③中作出【问题原型】中点的位置，使的值最小，此时的最小值是_________（保留作图痕迹） 8.（2025·陕西咸阳·三模）综合与实践 问题背景 如图，在菱形中，连接，，． 初步探究 （1）菱形的面积为 ． （2）如图1，若E，F分别是，上的动点，且，过点E作，过点F作，垂足分别为点G，点H，求的值． 拓展延伸 （3）如图2，P是上的动点，连接． ①的最小值为 ； ②如图3，Q是上的动点，连接，且，求的最小值．          9.（2026·广西贺州·二模）如图，某景区规划建设大小相同的两个菱形观景台和，为方便规划布局，现将其平面示意图绘制到平面直角坐标系中，两个菱形的对角线均分别平行于轴、轴，已知点在轴上，点在轴上，，，连接，． (1)直接写出、两点的坐标； (2)将菱形平移可得到菱形，若点的对应点的坐标是，请写出菱形的一种沿坐标轴方向的平移方式，并写出点的对应点的坐标； (3)求两个菱形的面积之和． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $