重难点专题01 平行四边形的性质与判定综合（专项训练）数学新教材浙教版八年级下册

重难点专题 平行四边形的性质与判定综合 重难点一 利用平行四边形的性质与判定求长度 1）先判定（若未明确是平行四边形）：根据题干条件，选用合适的判定定理，证明四边形是平行四边形， 再用性质求长度。 1．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（    ） A． B． C．8 D．12 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级下·上海·月考）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 4．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 5．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 6．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 7．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 9．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 重难点二 利用平行四边形的性质与判定求角度 1）先判定（若需）平行四边形，再利用平行四边形的角度性质求解； 2）关键：结合平行线性质（内错角、同位角），辅助角度转化。 10．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，点E，F在的对角线上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 13．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 14．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 重难点三 利用平行四边形的性质与判定求面积 1）平行四边形面积 = 底 × 高（S=ah），关键是找到“对应的底和高”（高是底边上的垂线，不是任意线段）； 2）可将平行四边形转化为两个全等三角形（对角线分割），利用三角形面积求和。 16．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 19．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 20．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 重难点四 平行四边形的证明题 1）常见证明目标：证明四边形是平行四边形、证明线段相等/平行、证明角度相等； 2）有平行关系：优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”； 3）有相等关系：优先用“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”； 4）有对角线：优先用“对角线互相平分”。 22．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 23．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 24．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 25．（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 28．（2026·江苏宿迁·三模）如图，已知在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 29．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 重难点五 平行四边形的动点存在性问题 1）设动点：设动点移动时间为t，用t表示动点坐标（或线段长度）； 2）定判定：根据题意，确定用哪条平行四边形判定定理（优先“一组对边平行且相等”）； 3）列方程：结合坐标（或线段）关系，列方程求解t的值； 4）验合理性：验证t的值是否符合题意（如动点不超出线段范围），确定存在性。 30．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 31．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 32．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 33．（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动同时Q点也停止，若，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长． 34．（24-25八年级下·山东·期末）已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 重难点六 平行四边形中折叠问题 1）核心性质：折叠前后，对应边相等、对应角相等（折叠全等），折痕是对应点连线的垂直平分线； 2）找折叠对应关系：确定折叠前后的对应边、对应角、对应点； 3）结合平行四边形性质：利用“对边平行且相等”“对角相等”，转化线段和角度； 4）辅助手段：连接对应点，利用垂直平分线性质（如折痕垂直平分对应点连线），结合勾股定理求解。 35．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 37．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 38．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 39．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 40．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么______． 41．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 42．（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 43．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 44．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 重难点七 直角坐标系中的平行四边形 1）平行四边形的对边平行且相等，转化为坐标关系（平行→斜率相等，相等→横坐标差、纵坐标差相等）； 2）已知三点求第四点：设第四点坐标（x，y），根据“对边平行且相等”，列横坐标、纵坐标的等式，求解x、y； 3）已知顶点坐标求面积：先求底边长（利用两点间距离公式），再求对应高（结合坐标垂直关系），代入面积公式； 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 46．（25-26九年级下·辽宁大连·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 47．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 48．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 49．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 50．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 重难点八 平行四边形中数量关系的探究 1）常见探究类型：线段的倍比关系、线段的和差关系、角度的数量关系； 2）核心思路：结合平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形、三角形中位线等知识，通过推导得出数量关系。 51．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 53．（2026八年级下·重庆·专题练习）在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 54．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 55．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 56．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若 ，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专题 平行四边形的性质与判定综合 重难点一 利用平行四边形的性质与判定求长度 1）先判定（若未明确是平行四边形）：根据题干条件，选用合适的判定定理，证明四边形是平行四边形， 再用性质求长度。 1．（25-26九年级下·辽宁盘锦·月考）如图，的对角线与相交于点，若，则的长是（    ） A． B． C．8 D．12 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，平行四边形的性质，利用平行四边形的性质求解，再利用勾股定理求解，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 2．（2026·陕西西安·三模）如图，在中，的平分线交的延长线于点．若平行四边形的周长为16，且，则的长度为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定和性质求解即可． 【详解】解：如图，设，相交于点, 在中，，，，， ，， 平分， ， ， , ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 3．（25-26八年级下·上海·月考）我们规定：在四边形中，是边上一点，如果与全等（对应关系不确定），那么点叫做该四边形的“等形点”．在四边形中，，，，，如果该四边形的“等形点”在边上，那么四边形的周长是__________． 【答案】 8或 【分析】根据平行线的性质可得，结合“等形点”对应关系不确定的条件，分两种全等对应情况讨论，利用全等三角形的性质、勾股定理求出四边形各边长，进而计算周长． 【详解】解：，， ， 四边形的“等形点”在边上， 如图1，当时，可得，， ，，， 四边形是平行四边形， ， 四边形的周长为； 如图2，当时，可得，，，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得， ， 在中，由勾股定理得， 四边形的周长为， 综上所述，四边形的周长为或． 4．（25-26八年级下·全国·课前预习）如图，在梯形中，，则_____． 【答案】11 【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、平行线的性质、等腰三角形的判定等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．因为，所以四边形是平行四边形，则，由，，得，所以，推导出，则，所以，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵， ∴四边形是平行四边形，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（25-26八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点，分别是，的中点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求的周长． 【答案】(1)见解析； (2)36． 【分析】（）由平行四边形的性质和中点的性质可得，即可得结论； （）由角平分线的定义和平行线的性质可证，即可求解； 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵点，分别是，的中点， ∴，， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为． 6．（2026·贵州六盘水·一模）如图，在平行四边形中，、分别在边、上，且满足． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，连接，并求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得出，，再证，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质和勾股定理解答即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ∴，， ， ， 即， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·重庆·月考）如图，在平行四边形中，连接，分别过点、作于点，于点，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)已知，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.2 【分析】（1）根据平行四边形得，根据垂线性质得，得，得，即得结论； （2）由勾股定理求出，由，即得结果． 【详解】（1）证明：∵在平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． （2）解：∵，， ∴， 由（1）知，， ∵， ∴， ∴． 8．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）已知：如图，在四边形中，，垂足分别为E，F，延长，分别交于点H，交于点G，若，． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）证明，可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可解决问题； （2）根据平行四边形的性质证明，然后根据勾股定理可得，进而可以解决问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， ∴． ∴． 9．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在平行四边形中，对角线，交于点，点，分别为，的中点，连接，，，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质得到，，再根据点，分别为，的中点，得到四边形的对角线互相平分，从而得证； （2）运用勾股定理求出，再根据斜边上的中线等于斜边的一半求出即可． 【详解】（1）证明：在平行四边形中，对角线，交于点， ，， 点，分别为，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形； （2） ，， ， ， 点为的中点，， ． 【点睛】掌握平行四边形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 重难点二 利用平行四边形的性质与判定求角度 1）先判定（若需）平行四边形，再利用平行四边形的角度性质求解； 2）关键：结合平行线性质（内错角、同位角），辅助角度转化。 10．（24-25八年级下·重庆·期中）在中，连接，过点作交于点．若且，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据于点，可证得，再根据求出，进而根据平行四边形的性质求出的度数． 【详解】解：∵于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴． 11．（25-26八年级下·浙江杭州·月考）如图，点E，F在的对角线上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】等边对等角，结合三角形的外角的性质，以及三角形的内角和定理求出的度数，再根据平行四边形的性质和平行线的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．（25-26九年级上·山西晋中·期中）如图，在矩形中，对角线、相交于点O．延长至点E，使．已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是矩形的性质，平行四边形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，掌握其性质定理是解决此题的关键． 证明出四边形是平行四边形，得到，，求出，然后得到，求出，进而求解即可． 【详解】四边形是矩形， ，． ， 四边形是平行四边形． ，． ． ，， ． ， ． 故选：A． 13．（25-26八年级下·上海松江·月考）如图，点A、B在的对角线所在的直线上且．若，则_________． 【答案】/35度 【分析】利用平行四边形的性质证明即可． 【详解】解：∵中， ∴， ∵， ∴， ∴． 14．（24-25八年级下·重庆永川·月考）如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 15．（25-26八年级下·江苏泰州·月考）如图，在四边形中，，对角线，相交于点，且． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)过点作，交于点，交于点，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据“角角边”证明，可得，再根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出答案； （2）先根据平行线的性质得，再说明是的垂直平分线，即可得，然后根据三角形内角和定理求出，进而得，最后根据三角形内角和定理得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 重难点三 利用平行四边形的性质与判定求面积 1）平行四边形面积 = 底 × 高（S=ah），关键是找到“对应的底和高”（高是底边上的垂线，不是任意线段）； 2）可将平行四边形转化为两个全等三角形（对角线分割），利用三角形面积求和。 16．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，在中，，是的中点，过点，分别作，．若，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．22 C．24 D．48 【答案】C 【分析】由，，可得出四边形为平行四边形，故， 由中点的性质，可得出，故求出即可得出最后结果． 【详解】解：∵，， ∴四边形为平行四边形， 又∵为对角线， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴，，， ∴， ∴． 17．（2026·安徽合肥·一模）如图，在中，点是对角线上一点，过点作分别交于点，连接、，若，则下列面积一定可以求得结果的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】证明四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴四边形是平行四边形， ∵点在上， ∴， 故选：D． 18．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，，，，，的面积为6，则四边形的面积为_____． 【答案】20 【分析】本题考查了平行四边形的判定与面积计算，以及三角形面积公式的应用，掌握利用平行线间的距离相等，通过三角形面积求出平行四边形的高是解题的关键． 先判定四边形为平行四边形，求出的长度，再通过的面积求出平行线间的高，最后计算平行四边形的面积． 【详解】解：∵ 且 ∴ 四边形是平行四边形 ∴ ∵ ∴ 设点到直线的距离为 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 故答案为：． 19．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，是内一点，连接，，，，过点作，过点作，与交于点．若的面积为18，则四边形的面积为________． 【答案】9 【分析】如图，连接，证明出，，得到，得到，，证明出四边形，是平行四边形，然后利用平行四边形的性质得到，然后利用四边形的面积等量代换求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得，， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形，是平行四边形， 设点E到的距离为，点E到的距离为，与间的距离为h，则， ∴， ∴，， ∴四边形的面积． 20．（25-26八年级下·北京·课后作业）如图，在平行四边形中，与相交于点O，延长至点E，使，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)的面积是． 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，因为延长至点E，使，所以，，则四边形是平行四边形； （2）连接，由的对角线与相交于点O，得，由平分，得，由，得，则，所以，则，所以，求得，则． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵延长至点E，使， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：连接， ∵的对角线与相交于点O，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积是． 21．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，在中，边的垂直平分线分别交边于点，点是线段的中点，过点作，交的延长线于点，连接． (1)求证：． (2)若，，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质．灵活运用各知识点是解答本题的关键． （1）证明，推出，由垂直平分线的性质求得，证明四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可得证； （2）在，由勾股定理求得的长，利用三角形面积公式求得，再利用等高的两个三角形面积的比等于底的比即可求解． 【详解】（1）证明：点F是的中点， ， ， ，， ∴， ， 垂直平分， ，， ， 又，即， 四边形是平行四边形， ； （2）解：连接． 由（1）得，， ，， 在，由勾股定理得，， ， ，， ， ， ． 重难点四 平行四边形的证明题 1）常见证明目标：证明四边形是平行四边形、证明线段相等/平行、证明角度相等； 2）有平行关系：优先用“一组对边平行且相等”或“两组对边分别平行”； 3）有相等关系：优先用“两组对边分别相等”或“一组对边平行且相等”； 4）有对角线：优先用“对角线互相平分”。 22．（25-26八年级上·山东青岛·期末）已知：如图，在中，分别是边和上的点，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的性质证明，得到，，再根据平行四边形的判定即可证明． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴四边形是平行四边形． 23．（25-26八年级·上海·假期作业）如图，，，均为等边三角形，且两两共用一个顶点．求证：与互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等边三角形的性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 由等边三角形的性质得，，再证明，得，进而得，再证明，然后证明四边形是平行四边形，即可得出结论． 【详解】证明：∵，，均为等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分． 24．（25-26八年级下·江苏南通·月考）如图，在四边形中，，对角线，交于点，且，点为上一点，延长交于点． (1)求证：； (2)四边形为平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线的性质结合证明即可； （2）证明得到，再由即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形． 25．（25-26八年级下·广东东莞·月考）如图，在四边形中，连接，点，是上的两点，连接，，，，，求证： (1)； (2) 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由，可得到，再利用证明全等即可，得到，证出后，可推出四边形为平行四边形，即可求解； （2）由（1）可得四边形为平行四边形，即可求解. 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴； （2）证明：由（1）可得：四边形为平行四边形， ∴． 26．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，已知是等边三角形，点分别在线段、上，，，连接、、、． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)连接，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质． （1）根据等边三角形的性质，通过内错角相等得到，继而得证四边形是平行四边形． （2）通过证明是等边三角形，得到，继而证明，根据对应边相等得到． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形； （2）解：如图，连接， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 27．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，的对角线、交于点，在、的延长线上分别取、两点，使． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，再由平行线的性质得，则，然后由证明即可； （2）由平行四边形的性质得，，再由全等三角形的性质得，进而得，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 又， ； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， 由（1）可知，， ， ＋＋， 即， 四边形是平行四边形． 28．（2026·江苏宿迁·三模）如图，已知在中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得出，根据线段的和差关系得出，再证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质即可得出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，． ， ，即． 又， 四边形是平行四边形， ∴． 29．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平行四边形中，点是对角线的中点，点在边上，的延长线与边交于点，连接，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，过点作的垂线，与分别交于点，如图． ①求证：；②已知，直接写出的长_________． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】（1）通过证明，得，又，即可证明四边形是平行四边形； （2）①根据，，得，，则有，再证，得出，然后证明，得，进而根据等腰直角三角形的性质即可解决问题； ②根据题意设，勾股定理求得，得出，进而得出的长，再根据等面积法，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形，点是对角线的中点， ，， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形； （2）①证明：如图2，过点作于点，过点作于点， ，， ，， ， ，， ， ， ，， ， ， 又，， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 又， ． ②∵ 设 ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴是等腰直角三角形， ∴ ， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴ 重难点五 平行四边形的动点存在性问题 1）设动点：设动点移动时间为t，用t表示动点坐标（或线段长度）； 2）定判定：根据题意，确定用哪条平行四边形判定定理（优先“一组对边平行且相等”）； 3）列方程：结合坐标（或线段）关系，列方程求解t的值； 4）验合理性：验证t的值是否符合题意（如动点不超出线段范围），确定存在性。 30．（25-26八年级下·湖南衡阳·月考）如图1，已知动点在的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒个单位．连结，记点的运动时间为秒，的面积为．如图是关于的函数图象，则下列说法中错误的是（    ） A．的值13 B．的周长为16 C．秒时，线段最短 D．的面积为12 【答案】C 【分析】根据函数图象分析点的运动过程：时，随增大而增大，对应在上运动，得出长度及面积；时，不变，对应在上运动，得出长度；时，减小至0，对应在上运动，得出的值； 结合平行四边形性质计算周长、面积及最短时的时间，逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知：当时，点在上运动， ， 当时，，即， ，其中为边上的高， ． 当时，点在上运动，保持6不变， ， 四边形是平行四边形， ，． 当时，点在上运动， 运动时间为秒， ，故A选项正确； 的周长，故B选项正确； 的面积，故D选项正确； 当时，线段最短，此时， 在中，，， ， 秒， 即秒时，最短，故C选项错误． 31．（25-26八年级下·上海·月考）如图，在四边形中，，且，，，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以的速度由点A向点D运动，点Q以的速度由点C向点B运动，__________后直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】4或6 【分析】设秒时，直线将四边形截出一个平行四边形，，根据平行四边形的性质，可得或，列方程并解方程即可求出t值． 【详解】解：设t秒时，直线将四边形截出一个平行四边形， 根据题意得：， ∵直线将四边形截出一个平行四边形，， ∴或， ∴ 或 解得或， 即4或后直线将四边形截出一个平行四边形． 32．（25-26八年级下·江苏盐城·月考）如图，在四边形中，，厘米，厘米，分别从同时出发，以1厘米/秒的速度由向运动，以2厘米/秒的速度由向运动．当一个点运动到终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为秒，则当_________时，直线将四边形截出一个平行四边形． 【答案】2或3 【分析】分两种情况讨论：①设t秒后四边形是平行四边形；根据题意得：厘米，厘米，由得出方程，解方程即可；②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米，由得出方程，解方程即可． 【详解】解：①设经过t秒四边形是平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， 解得， 即经过2秒四边形为平行四边形； ②设经过x秒直线将四边形截出另一个平行四边形， 根据题意，得厘米，厘米， 则厘米， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴ 解得． 综上，经过2秒或3秒直线将四边形截出一个平行四边形． 【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解． 33．（24-25八年级下·吉林长春·期中）已知在平行四边形中，动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图1，在运动过程中，若，平分，求的度数； (2)如图2，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在之间往返运动，P，Q两点同时出发，当点P到达点D时停止运动同时Q点也停止，若，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形时，直接写出t的值； (3)如图3，连结并延长与的延长线交于点F，平分交于E点，当，时，求的长． 【答案】(1) (2)t的值为或8或 (3) 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的性质与判定，掌握平行四边形的性质和判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质、角平分线的定义得到，得到，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质解答； （2）分、、、四种情况，根据平行四边形的性质定理列方程，解方程得到答案； （3）延长交于点，证明，可得，，再证明，得，然后利用线段的和差即可解决问题． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）四边形是平行四边形， ， ． 要使四边形是平行四边形，则， 设运动时间为秒，根据题意可知：，， ①当时，， ， 解得，不合题意； ②当时，， ， 解得，； ③当时，， ， 解得，； ④当时，， ， 解得，； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，，，四点组成的四边形是平行四边形； 故答案为：秒或秒或秒； （3）如图3，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 的长为． 34．（24-25八年级下·山东·期末）已知，在平行四边形中，，，，动点从点出发沿方向匀速运动，速度为，动点同时从点出发沿方向匀速运动，速度为，当点到达点时，点同时停止运动．连接，设运动时间为，解答下列问题： (1)当四边形为平行四边形时，求的值； (2)在运动过程中，是否存在某一时刻，使点关于直线的对称点在直线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由； (3)设四边形的面积为，求与的函数关系式； (4)连接，当以三点为顶点的三角形是等腰三角形时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)不存在，见解析 (3) (4)或或 【分析】（1）由题意得，根据平行四边形的性质列方程即可得到结论； （2）由点关于直线的对称点在直线上，得到为的角平分线，即，根据平行线的性质得到，求得，得到，于是得到结论； （3）过点作，根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式即可得到结论； （4）根据平行四边形 到现在得到，得到，①当时，②当时，③当时，根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵点关于直线的对称点在直线上， ∴为的角平分线， 即， 又 ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴不存在合题意的的值； （3）解：过点作， ， ， ， ； （4）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵以三点为顶点的三角形是等腰三角形， ①当时，即， ∴， ②当时， 过作于， 则， ， ∴； ③当时， ， ， ， ， ． 综上所述，的值为 2 或或． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 重难点六 平行四边形中折叠问题 1）核心性质：折叠前后，对应边相等、对应角相等（折叠全等），折痕是对应点连线的垂直平分线； 2）找折叠对应关系：确定折叠前后的对应边、对应角、对应点； 3）结合平行四边形性质：利用“对边平行且相等”“对角相等”，转化线段和角度； 4）辅助手段：连接对应点，利用垂直平分线性质（如折痕垂直平分对应点连线），结合勾股定理求解。 35．（25-26八年级上·山东烟台·期末）如图，将沿对角线折叠，点落在点处，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质及四边形内角和；由折叠的性质及平行四边形的性质，，，由四边形内角和即可求解． 【详解】解：由折叠知，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， 在四边形中，， ∴， ∴， 故选：A． 36．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，将沿AC所在直线折叠，点B恰好落在BA延长线上的点处，交AD于点E．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，平行线的性质，掌握翻折前和翻折后对应角相等是解题的关键． 由平行四边形的性质可得，，再由，可得，再由折叠的性质和平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵， ∴． 故选：A． 37．（25-26八年级上·山东潍坊·期末）如图，将沿对角线折叠，使点落在点处，交于点．若的周长为12，则的周长是（   ） A．3 B．6 C．8 D．12 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，图形的周长，熟练掌握性质是解题的关键．根据平行四边形的性质，得，结合折叠的性质，得，继而证明，根据图形的周长定义计算即可． 【详解】解：， ， ， 根据折叠的性质，得， ， ， 又的周长是， 故的周长是， 的周长为12， ， 故的周长是6， 故选：B． 38．（2026·河南驻马店·模拟预测）如图，平行四边形的面积为28，于点，，将沿折叠到处，连接．若，则的长为（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】作于点，根据平行四边形的性质，求出，进而得到，易得为等腰直角三角形，得到，进而求出，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作于点， ∵平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵平行四边形的面积为28， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴. 39．（2026·河南洛阳·一模）如图，中，，将沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处，交于点E，若，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，先根据轴对称的性质得出，，然后结合平行四边形的性质，求得，进而求出，再证明四边形是平行四边形，即可求得答案． 【详解】解：连接， 沿对角线折叠，点D恰好落在延长线上的点处， ，，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， 四边形是平行四边形， ． 40．（24-25八年级下·山东泰安·期末）如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由垂直的定义和平行线的性质可得，由折叠的性质得，，，利用平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，设，表示出，，则有，推出，求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 41．（24-25八年级下·吉林长春·月考）如图，在中，点E为边AD上一点，连结BE，将沿AE折叠，使点C的对称点落在BA的延长线的点G处，点D的对称点为点F．给出下列四个结论： ①四边形AEFG是平行四边形； ②； ③四边形AEFG的周长为； ④四边形AEFG的面积为四边形BCDE的面积的2倍与的面积差． 其中，以上结论正确的序号有_________． 【答案】①②④ 【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，平行四边形的判定和性质．②由折叠的性质得，根据得，由此可对结论②进行判断；①由折叠的性质得，，根据平行四边形性质得，，进而得，，由此得，，由此可对结论①正确；③由折叠的性质得，则，进而得四边形的周长为，由此可对结论③进行判断；④延长交于H，证明四边形是平行四边形，设，，由折叠性质得，则，，进而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：②由折叠的性质得：， 在平行四边形中，， ∴， ∴， ∴，故结论②正确； 由折叠的性质得：，， 在平行四边形中，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论①正确； 由折叠的性质得：， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形的周长为：， 当时，四边形的周长为， 即四边形是菱形时，四边形的周长为， 故结论③不正确； 延长交于点H，如图所示： ∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 设，， 由折叠性质得：， ∴，， ∴， ∴，故结论④正确， 综上所述：结论正确的序号有①②④． 故答案为：①②④． 42．（2025·甘肃兰州·一模）综合与实践：数学中的折纸与作图 折纸的过程蕴含了大量的对称知识，我们可以获得很多相等的量，而利用尺规作图可以作出几何中的基本图形，构造出相等的量．某数学兴趣小组探究数学中的折纸与作图，认为可以利用尺规作图还原折纸过程，为此开展以下探究活动． 探究主题 平行四边形中的折纸与作图 探究素材 如图1，一张平行四边形纸片 折纸过程 如图2，将平行四边形纸片折叠，使得点与点重合，折痕交于点，交于点，点的对应点为． 探究问题 （1）在折纸过程中，图2中折痕与的位置关系是_____； （2）在折纸过程中，图2中与的数量关系是_____； （3）根据折纸过程，请你在图3中用无刻度的直尺和圆规还原整个折叠过程，即在平行四边形中画出折痕，以及四边形折叠后的四边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）垂直；（2）；（3）见解析 【分析】本题主要考查轴对称，折叠的性质，尺规作垂线的方法，掌握轴对称，折叠的性质是关键． （1）根据折叠，轴对称图形的性质即可求解； （2）根据折叠得到，根据平行四边形的性质得到，则，由此即可求解； （3）根据尺规作垂直的方法作图即可． 【详解】解：（1）∵折叠，点重合，即成轴对称图形， ∴线段与折痕相互垂直， 故答案为：垂直； （2）∵折叠， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）根据（1），（2）可得，，且平分， ∵折叠， ∴，， ∴，且平分，折痕所在直线， ∴如图所示， 连接，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点， 连接交于点， 以点为圆心，以任意长为半径画弧交于点，分别以点为圆心，以大于为半径画弧，交于点，连接， ∴四边形即为四边形关于折痕折叠后的图形． 43．（24-25八年级下·广东河源·期末）综合与实践 折纸操作简单，富有数学趣味，同学们可以通过折纸开展数学探究．“乐学小组”以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展了数学活动：在平行四边形纸片中，E为边上任意一点，将沿折叠，点B的对应点为． (1)【感知】如图①，若点恰好落在边上时，求证：四边形是平行四边形； (2)【探究】如图②，若点三点在同一条直线上，求证：； (3)【应用】如图③，若，连接并延长，交于点F．若平行四边形纸片的面积为6，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】（1）由折叠的性质结合平行四边形的性质得到，推出，即可证明四边形是平行四边形； （2）由折叠的性质结合平行四边形的性质证明是等腰三角形，即可得出结论； （3）延长交于点H，由折叠的性质先证明是等腰三角形，得到，根据平行四边形的性质得到，易证是等腰三角形，用平行四边形的面积公式即可求出，进而得到，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下： 由折叠的性质可得：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （2）证明：由折叠的性质可得：， 四边形是平行四边形， ， ， ， 点三点在同一条直线上 是等腰三角形， ； （3）解：如图，延长交于点H， 由折叠的性质可得：， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形，， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查平行四边形的判定及性质，翻折的性质，等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理是解决问题的关键． 44．（24-25八年级下·山西太原·月考）问题情境：为了探究折纸过程中蕴含的数学知识，数学活动课上，老师发给每位同学完全相同的一张四边形纸片，如图． 探究实践1： 老师引导同学操作：把纸片沿过点A的直线折叠，使得点B落在上的点Q处．折痕为，再将，分别沿折叠，此时点C，D落在上的同一点R处，如图．老师让同学们探究： （1）的度数是 ． 探究实践2： 完成探究实践1后，老师发给每位同学完全相同的一张平行四边形的纸片，如图，在探究实践1的启发下，让同学自己动手折叠，看有什么发现，能提出什么问题．经过折叠、思考和讨论，小虎和小倩分享了自己的发现： （2）小虎发现：“如图，将平行四边形沿着BF（F为的中点）所在直线折叠，点C的对应点为，连接并延长交于点G，则与相等．” 请你判断小虎的结论是否正确，并说明理由． 【答案】（1）；（2）小虎的结论正确，见解析 【分析】本题主要考查折叠的性质，平行四边形的判定和性质，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． （1）根据折叠的性质得到 ，再由平角的定义即可求解； （2）根据折叠的性质得出，再由平行四边形的判定和性质得出四边形为平行四边形，，即可证明； 【详解】（1）解：由折叠得： ∴故答案为： （2）小虎的结论正确，理由如下： ∵将沿着所在直线折叠，点C的对应点为， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴． 重难点七 直角坐标系中的平行四边形 1）平行四边形的对边平行且相等，转化为坐标关系（平行→斜率相等，相等→横坐标差、纵坐标差相等）； 2）已知三点求第四点：设第四点坐标（x，y），根据“对边平行且相等”，列横坐标、纵坐标的等式，求解x、y； 3）已知顶点坐标求面积：先求底边长（利用两点间距离公式），再求对应高（结合坐标垂直关系），代入面积公式； 45．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在轴负半轴上，，，连接，已知点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及平面直角坐标系中点的坐标，解题的关键是利用平行四边形的性质确定点的坐标． 先根据两组对边分别平行判定四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质以及点、的坐标确定点的坐标． 【详解】解：因为，， 所以四边形是平行四边形， 在平行四边形中，，， 已知点，所以， 又因为轴，点， 所以点的纵坐标与点的纵坐标相同，为3， 因为，点的横坐标为2， 所以点的横坐标为， 所以点的坐标为． 故选：B． 46．（25-26九年级下·辽宁大连·月考）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 47．（25-26八年级下·江苏扬州·月考）如图，四边形是平行四边形，点A，B的坐标分别为，，则点C的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得，，先求得到的平移方式，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵点A，B的坐标分别为， ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到 ∴将向左平移1个单位，向上平移1个单位得到，即 48．（25-26九年级上·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，．若平移点到点，使四边形是平行四边形，则点的坐标是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定得到需将点向右平移的长度得到点． 【详解】解：∵， ∴， ∴要使四边形是平行四边形，需将点向右平移的长度得到点， ∴点的坐标是． 49．（25-26八年级下·海南省直辖县级单位·月考）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点落在轴上，点的坐标为，点分别是线段和上的两个动点，满足，记，连接． (1)点坐标：______；点坐标：______． (2)若是以为腰的等腰三角形，求的值． (3)连接交于点，连接，记四边形的面积为，的面积为．当时，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）根据平行四边形的性质和坐标与图形性质得到，，，即可求解； （2）过Q作轴于H，先根据坐标与图形，结合已知得到，，，分：当时和当时两种情况分别求解即可； （3）过Q作轴于H，过C作轴于T，先证明是等腰直角三角形得到，再证明为等腰直角三角形得到，进而列方程求得，则，根据等底等高的三角形的面积相等得到，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴，，则； ∵，则， ∴； （2）解：如图，过Q作轴于H，则，，， ∵，， ∴，，， 若是以为腰的等腰三角形，则分两种情况： 当时，，又， ∴，解得； 当时，则，整理，得， 解得（负值舍去）， 综上，满足条件的x值为或； （3）解：过Q作轴于H，过C作轴于T，则，，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∵轴， ∴，则， ∴， ∴． 50．（2026·湖北襄阳·一模）如图1，已知正比例函数与一次函数的图象交于点． (1)求点的坐标； (2)设轴上有一点，过点作轴的垂线（垂线位于点的右侧），分别交函数和的图象于点、，连接，若，求的面积； (3)在（2）的条件下，如图2，若一次函数的图象与轴交于点，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)四边形是平行四边形，理由见解析 【分析】（1）联立与解方程组即可求解； （2）过点作轴的垂线，在中，由勾股定理求得的长，再由 求得的长，用点的横坐标表示出点、的坐标，利用的长求得值，根据即可求得的面积； （3）先求得点的坐标，得出，又，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解： ， 解得， ∴． （2）过点作轴的垂线，垂足为， 在中，由勾股定理得， ， ，， ， ， 解得， ； （3）四边形是平行四边形，理由如下， 当时， ∴ ∴ 由（2）可得， ， ∴ ∴四边形是平行四边形． 重难点八 平行四边形中数量关系的探究 1）常见探究类型：线段的倍比关系、线段的和差关系、角度的数量关系； 2）核心思路：结合平行四边形的性质、全等三角形、等腰三角形、三角形中位线等知识，通过推导得出数量关系。 51．（25-26八年级上·山东淄博·期末）在学习了《平行四边形》之后，小颖同学和小慧同学对平行四边形进行了更为深入的探究． 【初步探究】 如图1，小颖同学连接了的对角线，并发现当时，与之间存在一定的数量关系，请直接写出这个数量关系； 【深入探究】 在小颖同学发现的基础上，小慧同学大胆提出一个猜想：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．如图2，是（）斜边上的中线，请根据小慧同学的猜想写出中线与斜边的数量关系，并证明这个数量关系； 【拓展延伸】 如图3，小颖同学和小慧同学在图2中的基础上又作了，使（点在斜边所在直线的同侧），且平分．连接，请帮助小颖同学和小慧同学判断与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】【初步探究】：；【深入探究】：；【拓展延伸】，理由见解析． 【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边中线的性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质；解题的关键是熟练掌握判定全等三角形的条件与直角三角形斜边中线的性质，结合角平分线的性质推导角的关系． [初步探究]由 ,结合平行四边形的性质可证，从而得到； [深入探究]延长至点，使，连接、，先证四边形是平行四边形，仿照[初步探究]证明，从而得到，进而推出； [拓展延伸]根据深入探究的结论，得到，，故，结合平分，推出． 【详解】[初步探究]数量关系： 解： 四边形是平行四边形， ∴, ∴, ∵， ∴, ∴, 又, ， ． [深入探究]数量关系： 证明：如图，延长到点，使，即，连接， 是斜边上的中线， ． 四边形为平行四边形． ， 又， ，在和中， ， ． [拓展延伸] 解：理由如下：取和的斜边的中点，连接 交于点， 由[深入探究]得， ， ， ， 平分， ， ，即， ， ， ， 所在的直线是线段的垂直平分线， ， ． 52．（25-26八年级下·全国·课后作业）【阅读与思考】下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 如图①，在四边形中，点E，F，G，H分别是边，，，的中点，顺次连接E，F，G，H，得到的四边形是平行四边形，此结论可借助图②证明如下： 证明：如图②，连接，， ∵点H，G分别为，的中点，∴． ∵点E，F分别为，的中点，∴． ∴．同理：． ∴四边形是平行四边形． 我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度有一定关系． 【任务】 (1)如图②，猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线，长度的关系，并证明你的结论； (2)已知四边形的对角线与及它的瓦里尼翁平行四边形，若四边形的对角线与的夹角为，请直接写出瓦里尼翁平行四边形中的度数． 【答案】(1)瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．见解析 (2)或 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得，，由此即可得； （2）先根据三角形的中位线定理可得，，再根据平行线的性质求解即可得． 【详解】（1）解：瓦里尼翁平行四边形的周长等于对角线与长度之和．证明如下： 分别为的中点， ∴． 分别为的中点， ∴． ∴， 同理：， ∴瓦里尼翁平行四边形的周长为 ． （2）解：由题意，画出图形如下： ①如图1，当时， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； ②如图2，当时，则， 分别为的中点， ∴， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴； 综上，瓦里尼翁平行四边形中的度数为或． 53．（2026八年级下·重庆·专题练习）在中，． (1)如图1，，连接和交于点，，求的面积； (2)如图2，，点为上一点，连接，点为上一点，连接交于点，连接，若点为的中点，连接，且，猜想与的数量关系，并证明； (3)如图3，已知，，点与点分别为线段与上的动点，满足，连接和，当最小时，直接写出此时的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）中由平行四边形性质及判定为等边三角形，为菱形，利用菱形对角线性质求面积; （2）中连接交于点，由对顶角及得平分，证，再证，得，由直角三角形斜边中线性质得; （3）中过点作,由角得，作点关于的对称点，证为等边三角形，当共线时取最小值，为等边三角形的高，再求，得,根据的面积等于与边高的积的一半即可解题． 【详解】（1）解：, 为等边三角形， 四边形为平行四边形， ， ， 平行四边形为菱形， ， 在中，， ∴， ∵，即 解得， ， ； （2）解：猜想，． 证明：连接交于点，连接， ，四边形为平行四边形， ， 又 ， 为等腰直角三角形，， 为中点， 平分，即，而（是等腰直角三角形）， ， ，， ，即平分， 在和中， ， ， 又， 为等腰直角三角形， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ∴， ∵， ，即为直角三角形， 又为中点， ， ∵为等腰直角三角形，， ． （3）解：四边形为平行四边形，， ， ， 过点作于点， 在中， ， ， ， ， 作点关于的对称点， 连接， ， ， 为等边三角形， 由对称性，， ， 当三点共线且时，取得最小值， 为等边三角形，边长为6， 由三线合一，为等边三角形的高， ， 即的最小值为， 此时为的中点（三线合一），， 中，， ， ∴， ， ∵的边的高 ， 当最小时，的面积为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质、将军饮马模型（最短路径问题）及三角形面积的计算．解题的关键是利用角构造垂直关系将转化为，再通过对称构造将军饮马模型求最值． 54．（25-26八年级下·江苏宿迁·月考）在中，，点在边所在的直线上，过点作交直线于点，交直线于点． (1)当点在边上时，如图，求证：； (2)当点在边的延长线上时，请直接写出图中，，之间的数量关系______； (3)若，，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （2）证明四边形是平行四边形， 由平行四边形的性质得到，根据等腰三角形的性质和判定结合平行线的性质，证明， 等量代换即可得结论； （3）分三种情况讨论，当点在边上时，当点在边的延长线上时，当点在边的反向延长线上时，结合所证结论即可求解． 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：当点在边上时，由（1）可知：， ，， ； 当点在边的延长线上时，由（2）可知：， ； 当点在边的反向延长线上时，如图， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， 此情况不存在； 综上，或． 55．（25-26八年级下·湖北武汉·月考）在平面直角坐标系中，为坐标原点，两点坐标分别为，且． (1)求两点坐标； (2)点是x轴上两动点（在左侧），且使四边形为平行四边形． ①如图，当点分别在原点两侧时，连接，过点作交于点，连接，取中点，在上截取，使，若，求的长． ②当点在原点左侧时，过点的直线，分别交于试探究三条线段之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得到不等式组，求出，进而得到，即可得出A、D两点坐标； （2）①连接，延长交于点，根据平行四边形的性质，证明，得到，，再根据等腰直角三角形的性质，证明，，，从而推出是等腰直角三角形，然后证明，得到，即可求解． ②分两种情况讨论：当点在原点右侧时，过点作交延长线于点，先证明四边形是平行四边形，得到，，再证明，得到，即可得出数量关系；当点在原点左侧时，过点作交于点，同理求证即可． 【详解】（1）解：， ，解得：， ， ， ； （2）解：①如图，连接，延长交于点， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ，， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ∵ ∴， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 在和中， ， ， ， ∴ ②当点在原点右侧时，过点作交延长线于点， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； 当点在原点左侧时，过点作交于点， 同理可证，四边形是平行四边形，， ，， ， ， 即， 综上可知，、、三条线段之间的数量关系为或． 56．（25-26九年级下·陕西西安·月考）如图，在中，，，点E为上一动点，与相交于点G，，垂足为H，的延长线与相交于点F． (1)若 ，求的长； (2)当时，求的度数； (3)当点E在线段上运动时，试探究三者之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质以及角度计算，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出，得到是等腰直角三角形，求出，即可得到答案； （2）利用等腰直角三角形以及平行四边形的性质求出，根据求出，再根据算出，最后由算出答案即可； （3）延长交的延长线于点P，根据得到，证明，根据全等三角形的性质证明，证明，得到，再根据即可得到结论； 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ； （2）解：， 是等腰直角三角形， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，延长交的延长线于点P， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又， ， ， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $