专题01圆的基本性质及直线与圆的位置关系10大考点（专项训练）（浙江专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

第七章 圆 专题01 圆的基本性质及直线与圆的位置关系 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：点与圆的位置关系 易｜混｜易｜错 1） 点与圆的位置关系： 若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内； 2） 点的圆的位置关系，经常和勾股定理的计算结合，所以，要多注意与之结合的几何图形的性质； 1．（2025•余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 2．（2024•浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 考点二：垂径定理及其应用 易｜混｜易｜错 1）圆中长度模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角； 3）圆中的长度计算口诀：圆中求长度，垂径加勾股【即圆中牵涉到长度计算时，首选垂径定理，然后在由半径、弦长一半、弦心距组成的直角三角形中用勾股定理列方程】 1．（2025•杭州二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　 　 ． 2．（2025•宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 3．（2025•萧山区校级模拟）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 ． 4．（2025•西湖区校级三模）已知⊙O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（　　） A．一定等于10 B．可能大于10 C．不可能大于10 D．不可能等于8 5．（2025•衢州模拟）车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高AB＝9cm，长BC＝27cm，求货车轮胎半径为 　 　 cm． 6．（2024•西湖区校级模拟）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线的长为 　 ． 考点三：圆周角定理及其推论 易｜混｜易｜错 1）圆中角度模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。 2）圆中的角度计算口诀：圆中求角度，同弧或等弧【即圆中牵涉到角度计算或证明时，首先想同弧（或等弧）所对的圆周角相等】 1．（2025•金东区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝50°，∠D的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 2．（2025•宁波模拟）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD，点E是的中点，弦CE交AB于点F，连接BD．若∠ABD＝70°，则∠CFB＝（　　） A．70° B．65° C．55° D．35° 3．（2026•长兴县校级模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝24°，则∠AOC度数是　 　 ． 4．（2026•长兴县校级模拟）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则AD的长为　 ． 5．（2025•绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•上城区校级一模）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 7．（2025•乐清市校级模拟）如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为 　 ． 8．（2025•宁波模拟）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，点D在CB的延长线上．若∠DAB＝30°，DB：BC＝4：3，则tan∠ACB＝　 ． 考点四：圆内接四边形的性质 易｜混｜易｜错 1）性质：圆内接四边形对角互补； 2）推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 1．（2026•定海区模拟）如图，四边形BCEF为⊙O圆内接四边形，AB为⊙O直径，连接OE，若∠BOE＝80°，则∠C＝　 　 ． 2．（2026•西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC＝CD，∠ADC＝100°，则∠AOD＝　 　 ． 3．（2025•钱塘区二模）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，CD∥AB交⊙O于点D，连结AD．若∠B＝70°，则∠CAD的大小为 　 　 ． 4．（2025•浙江模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 5．（2025•浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝74°，∠ABC＝58°，∠AOB＝138°，若AB＝m，BC＝n，CD＝p，DA＝q，则四边形ABCD的面积为（　　） A．mq+np B．（mq+np） C．mp+nq D．（mp+nq） 6．（2025•温州模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC，BD交于点E．若AC⊥BD，． （1）求∠ABC的大小（用含a的代数式表示）． （2）若，CD＝5，求AB的长． 考点五：正多边形与圆 易｜混｜易｜错 1）必记几个正多边形：正五边形、正六边形、正八边形； 2）若圆的半径为r，边长为a的正n边形的边心距为， 中心角为； 1．（2026•浙江模拟）如图，在正十边形中，∠BAC的度数是（　　） A．10° B．18° C．22.5° D．36° 2．（2025•钱塘区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6π B．8π C．12π D．16π 3．（2025•上城区校级一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝ 　 °． 4．（2025•义乌市二模）如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC．若S△PEF＝3，sPBC，则AB的长为　 　 ． 5．（2026•定海区一模）如图，正五边形OABCD的边长为2，⊙O经过点A，D，则阴影部分扇形的的长为　 ． 考点六：弧长、扇形面积、圆锥相关计算 易｜混｜易｜错 1）弧长、扇形面积等识记公式: ； ； 2）公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径; 1．（2026•浙江一模）如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若与的长之比为1：2，则的长为（　　） A．π B． C． D． 2．（2025•西湖区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝2AC＝6，则长为（　　） A． B．π C．2π D．4π 3．（2025•余杭区校级模拟）一个扇形的弧长是13πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 　 　 度． 4．（2026•定海区一模）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　） A． B． C．27π D．9π 5．（2026•黄石一模）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 6．（2025•钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）． 7．（2025•滨江区校级三模）已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　 　 cm2． 8．（2025•义乌市校级模拟）已知一个圆锥的母线长为4，且侧面展开图是圆心角为90°的扇形，则该圆锥底面圆的半径为　 　 ． 9．（2025•鹿城区校级三模）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　 　 ． 考点七：直线与圆的位置关系 易｜混｜易｜错 1）直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离记为d，圆的半径记为r，则： ①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2）距离计算通常需要和直角三角形勾股定理、相似三角形的相似比、特殊三角形的性质等结合考察； 1．（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 2．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　 　 ． 3．（2025•浙江二模）如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 考点八：切线的性质 易｜混｜易｜错 1）切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 2）延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线 3）常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！ 4）切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 5）切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 6）切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2025•金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　） A．63° B．44° C．54° D．64° 2．（2025•婺城区二模）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，点D在⊙O上，连结CD，BD，∠D＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．45° 3．（2026•宁波校级一模）如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　 　 °． 4．（2026•西湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD切⊙O于点D．连结OD、BD．若∠BDC＝30°，OA＝3，则的长等于　 　 ． 5．（2026•柯城区一模）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　 ． 6．（2026•宁波模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，以AB，BC为边作▱ABCD． （1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数． （2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求▱ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积． 考点九：三角形的内切圆与内心 易｜混｜易｜错 1）三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 3）直角三角形内切圆半径公式：若a、b为直角边，c为斜边，r为内切圆半径 则 1．（2025•临平区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 2．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 3．（2025•浙江模拟）如图，点P，A，Q在同一条直线上，AB，AD分别是∠PAC与∠QAC的平分线，CB⊥AB，CD⊥AD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BAC＝60°，矩形ABCD的面积为，求△ABC内切圆的半径． 考点十：圆的综合压轴题 易｜混｜易｜错 1）圆中的特殊角对应关系： ①当圆周角=30°时，圆心角=60°→等边三角形 ②当圆周角=45°时，圆心角=90°→等腰直角三角形 ③当圆周角=60°时，圆心角=120°→三边比为1:1：的等腰三角形 ④当圆周角=90°时，→弧为半圆 2）圆的综合证明问题常见结合考点 ①知2得1： ②三角形相似： ③Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！ ④三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ ⑤特殊角：常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150° 1．（2026•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径的半圆交BC边于点E，与AC相切于点F，连接BF，EF． （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AB＝4，AF＝3，求该圆的直径． 2．（2025•丽水一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD交于点P，AB＝AC，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求证：BD•CE＝AB2； （3）若AC⊥BD，AD＝6，BC＝8，求CE的长． 3．（2026•平阳县校级模拟）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，以线段BC为直径的⊙O交AC于点D，连结OA，作BE⊥OA，垂足为E，线段CE的延长线交于点F，连结BF． （1）探究∠ECO＝∠CAO的过程，小聪完成一部分证明，如下，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成∠ECO＝∠CAO的证明． ∵∠ABC＝90°，BE⊥AO ∴∠ABC＝∠BEO ∵∠AOB＝∠BOE ∴△AOB∽△BOE ∴ ∵OB＝OC （2）如图2，连结BD，当D为AC中点，求证：BF＝EF． （3）如图3，当，求的值（用含k的式子表示）． 1．（2025•浙江模拟）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2025•拱墅区校级三模）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝7，EF＝1，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则AG的值为（　　） A．2 B． C． D．4 3．（2025•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记∠POA＝θ（0＜θ＜90°），若5OB＝6BC＝30，那么的最大值是（　　） A． B． C．1 D． 4．（2025•浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，∠BAD＝90°，，若CB、CD的长为方程的两个实数根，则线段AC的长为（　　） A． B． C．4 D． 5．（2025•浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 6．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 7．（2025•宁波模拟）已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，则OI的值为（　　） A． B． C． D． 8．（2025•西湖区校级一模）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 9．（2025•浙江模拟）某同学通过观察家中的蜀绣饰品，发现其是由圆形的蜀绣面和一段劣弧支架组成，如图，蜀绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知，支点A，B之间的距离为9.6cm，蜀绣面（圆）最高点E到AB的距离EN为20.6cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17cm，则劣弧支架AB所在圆的半径是 　 　 cm． 10．（2026•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　 　 ． 11．（2025•临平区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一点，AD＝2AE，以E为圆心，DE为半径的圆弧交CD于点G，交BC于点F．若G是的中点，则的值为 　 ． 12．（2026•定海区一模）周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮⊙O于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若MN为摩天轮⊙O的直径，请解决以下问题． （1）求证：MA平分∠BMN； （2）若摩天轮的直径MN为80m，且小明到地面的高度MB为45m，求小亮与小明之间的距离是多少？ 13．（2025•温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG． （1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数． （2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时． ①求证：四边形BEGD是平行四边形． ②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG． 1．（2025•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点（不与点A，点B，点C重合），且DE＝BC，F为DE的中点，分别连结OF，AF，若AB＝3，BC＝4，则AF的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 2．（2025•杭州二模）点A，B在半径为2的⊙O上，∠AOB＝120°，AC⊥BO，垂足为C．∠ACB绕点C顺时针旋转，分别交⊙O于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN． （1）如图1，当∠ACM＝180°时，MN＝ 　 　 ； （2）如图2，当∠ACN＝∠BCN时，MN＝ 　 ． 3．（2025•宁波一模）已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，交BC于点E，M是AD上一点． （1）若AB＝AC，　 　 ，求∠BDC的度数． ①AM＝2ME＝2DE；②∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解∠BDC的度数．） （2）若AB＝c，AE＝m，AC＝b，求DE的长． （3）若∠MBC＝∠MCA＝∠MAB，求证：BC2＝AB•AC． 4．（2025•舟山三模）已知△DBC内接于圆O，作外角∠EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，AC． （1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形． （2）如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB＝5，DF＝3，求BC． （3）如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且，AB，求圆O的半径． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 圆 专题01 圆的基本性质及直线与圆的位置关系 目 录 刷考点 精准巩固，扫清盲区 提能力 聚焦过程，优化策略 测综合 跨界融合，挑战创新 考点一：点与圆的位置关系 易｜混｜易｜错 1） 点与圆的位置关系： 若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内； 2） 点的圆的位置关系，经常和勾股定理的计算结合，所以，要多注意与之结合的几何图形的性质； 1．（2025•余姚市一模）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为2，点A（1，）与⊙O的位置关系是（　　） A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．不能确定 【分析】根据两点间的距离公式求出AO的长，然后与⊙O的半径比较，即可确定点A的位置． 【解答】解：∵点A（1，）， ∴AO2， ∵⊙O的半径为2， ∴点A在⊙O上， 故选：A． 【点评】此题主要考查了点与圆的位置关系，关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内． 2．（2024•浙江模拟）如图，X，Y，Z是某社区的三栋楼，XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m．若在XZ中点M处建一个5G网络基站，该基站的覆盖半径为26m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（　　） A．X，Y，Z B．X，Z C．Y，Z D．Y 【分析】根据勾股定理的逆定理证得△XYZ是直角三角形，可以根据直角三角形斜边中线的性质求得YM的长，然后与26m比较大小，即可解答本题． 【解答】解：∵XY＝40m，YZ＝30m，XZ＝50m． ∴XY2+YZ2＝XZ2， ∴△XYZ是直角三角形， ∴∠XYZ＝90°， ∵点N是斜边XZ的中点， ∴XM＝MZ＝25m， ∵△XYZ是直角三角形，YM是斜边XZ的中线， ∴YMXZ＝25m， ∵26＞25， ∴点X、Y、Z都在圆内， ∴这三栋楼都不该5G基站覆盖范围内． 故选：A． 【点评】本题考查点和圆的位置关系，勾股定理的逆定理，解题的关键是求出三角形三个顶点到M点的距离． 考点二：垂径定理及其应用 易｜混｜易｜错 1）圆中长度模型“知2得3” 由图可得以下5点： ①AB⊥CD；②AE=EB；③AD过圆心O；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意2个，剩余的3个都可以作为结论使用。 2）常做辅助线：连半径、作弦心距、见直接连弦长得直径所对圆周角； 3）圆中的长度计算口诀：圆中求长度，垂径加勾股【即圆中牵涉到长度计算时，首选垂径定理，然后在由半径、弦长一半、弦心距组成的直角三角形中用勾股定理列方程】 1．（2025•杭州二模）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E，若DE＝25，AB＝10，则该圆的半径为 　 　 ． 【分析】首先根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧”可得，再在Rt△OAE中，利用勾股定理列式计算，即可获得答案． 【解答】解：设该圆的半径为x， ∵AB⊥CD，AB＝10， ∴， ∵DE＝25， ∴OE＝25﹣x， ∴在Rt△OAE中，OA2＝OE2+AE2， 即x2＝（25﹣x）2+52， 解得x＝13， 故答案为：13． 【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键． 2．（2025•宁波一模）已知矩形ABCD的顶点B，C在半径为5的半圆O上，顶点A，D在直径EF上．若ED＝2，则矩形ABCD的面积等于（　　） A．22 B．23 C．24 D．25 【分析】连接OC，OB，可由勾股定理求得，再证明Rt△CDO≌Rt△BAO，则AO＝DO＝3，那么AD＝6，即可求解矩形面积． 【解答】解：连接OC，OB， ∵点C在半径为5的半圆O上， ∴OC＝OE＝5， ∵ED＝2， ∴OD＝3， ∵矩形ABCD， ∴∠CDO＝∠BAO＝90°，CD＝AB， ∴， ∵OC＝OB， ∴Rt△CDO≌Rt△BAO， ∴AO＝DO＝3， ∴AD＝6， ∴矩形ABCD的面积为4×6＝24， 故选：C． 【点评】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，垂径定理，全等三角形的判定与性质，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025•萧山区校级模拟）数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点A，B，连接AB，作AB的垂直平分线CD交AB于点D，交于点C，测出AB＝40cm，CD＝10cm，则圆形工件的半径为 　 ． 【分析】连接OA，设圆的半径为r，在Rt△OAD中，利用勾股定理进行求解即可． 【解答】解：连接OA，设圆的半径为r， 则：OA＝OC＝rm，OD＝OC﹣CD＝（r﹣10）m，（m）， ∵AO2＝AD2+DO2， ∴r2＝202+（r﹣10）2， ∴r＝25cm； ∴圆形工件的半径为25cm． 故答案为：25cm． 【点评】本题考查垂径定理，正确利用垂径定理进行计算是解题关键． 4．（2025•西湖区校级三模）已知⊙O中，弦AB垂直弦CD，CD＝6，AB＝8，则关于直径的说法正确的是（　　） A．一定等于10 B．可能大于10 C．不可能大于10 D．不可能等于8 【分析】如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝8；如果弦AB不是圆的直径，如图，过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP，由垂径定理得到MBAB＝4，CNCD＝3，设圆的半径是r，由勾股定理得到OP，由点与圆的位置关系得到r，求出r≤5，得到圆的直径不可能大于10． 【解答】解：如果弦AB是圆的直径，圆的直径长＝AB＝8， 如果弦AB不是圆的直径，如图， 过O作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OC，OB，OP， ∴MBAB，CNCD， ∵CD＝6，AB＝8， ∴MB＝4，CN＝3， 设圆的半径是r， ∴OM2＝OB2﹣MB2＝r2﹣42，ON2＝OC2﹣CN2＝r2﹣32， ∵四边形OMPN是矩形， ∴PM＝ON， ∴OP， ∵OP≤r， ∴r， ∴r≤5， ∴圆的直径不可能大于10． 故选：C． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，关键是由勾股定理和垂径定理得到OP，由点与圆的位置关系得到r≤5． 5．（2025•衢州模拟）车辆止退器的主要作用在汽车停车时，置于车轮与地面之间，能有效防止汽车打滑后退，如图所示是某品牌止退器的实物和示意图，已知止退器的高AB＝9cm，长BC＝27cm，求货车轮胎半径为 　 　 cm． 【分析】如图，连接OC，过点A作AH⊥OC于点H，则四边形ABCH是矩形，设OA＝OC＝rcm．利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：如图，连接OC，过点A作AH⊥OC于点H，则四边形ABCH是矩形，设OA＝OC＝rcm． ∴AB＝CH＝9cm，AH＝BC＝27cm， 在Rt△AOH中，则有r2＝272+（r﹣9）2， 解得r＝45． 故答案为：45． 【点评】本题考查垂径定理，勾股定理，矩形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2024•西湖区校级模拟）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝3km，则这段圆曲线的长为 　 ． 【分析】由转角α为60°可得∠ACB＝120°，由切线的性质可得∠OAC＝∠OBC＝90°，根据四边形的内角和定理求出∠AOB，然后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵转角α为60°， ∴∠ACB＝180°﹣60°＝120°， ∵过点A，B的两条切线相交于点C， ∴∠OAC＝∠OBC＝90°， ∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣120°＝60°， ∴的长为， 故答案为：πkm． 【点评】本题主要考查了切线的性质、弧长公式，关键是弧长公式的应用． 考点三：圆周角定理及其推论 易｜混｜易｜错 1）圆中角度模型“知1得4” 由图可得以下5点： ①AB=CD；②；③OM=ON；④；⑤； 以上5个结论，知道其中任意1个，剩余的4个都可以作为结论使用。 2）圆中的角度计算口诀：圆中求角度，同弧或等弧【即圆中牵涉到角度计算或证明时，首先想同弧（或等弧）所对的圆周角相等】 1．（2025•金东区二模）如图，AB是⊙O的直径，点C、D为⊙O上的两点，∠BAC＝50°，∠D的度数为（　　） A．20° B．40° C．50° D．80° 【分析】根据直径所对的圆周角是直角得出∠ACB＝90°，即可求出∠ABC的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠D的度数． 【解答】解：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝50°， ∴∠ABC＝90°﹣50°＝40°， ∴∠D＝∠ABC＝40°， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理及推论，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等是解题的关键． 2．（2025•宁波模拟）如图，⊙O的直径AB垂直弦CD，点E是的中点，弦CE交AB于点F，连接BD．若∠ABD＝70°，则∠CFB＝（　　） A．70° B．65° C．55° D．35° 【分析】连接OE，OD，圆周角定理，得到∠FCB∠EOB，∠ABD∠AOD，等弧对等角求出∠AOE∠AOD，进而求出∠BOE的度数，在根据垂径定理求出∠ABC，最后根据三角形内角和求解∠CFB即可． 【解答】解：连接OE，OD，BC， 则：∠FCB∠EOB，∠ABD∠AOD， ∵∠ABD＝70°， ∴∠AOD＝140°， ∵E是的中点， ∴， ∴∠AOE∠AOD＝70°， ∴∠BOE＝180°﹣∠AOE＝180°﹣70°＝110°， ∴∠FCB∠EOB＝55°， ∵AB⊥CD，AB为直径， ∴∠CBF＝∠ABD＝70°， ∴∠CFB＝180°﹣∠FCB﹣∠CBF＝55°． 故选：C． 【点评】本题考查圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 3．（2026•长兴县校级模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，∠ABC＝24°，则∠AOC度数是　 　 ． 【分析】由圆周角定理，即可得到答案． 【解答】解：∵∠ABC＝24°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝48°． 故答案为：48°． 【点评】本题考查圆周角定理，关键是掌握圆周角定理． 4．（2026•长兴县校级模拟）如图，在⊙O中，圆周角∠BAC＝60°，弦AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝3，则AD的长为　 ． 【分析】连接BC交AD于E，过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H，由角平分线的性质，可得BE：CE＝4：3，由勾股定理可求得BC，CE，BE的长，然后由平行线分线段成比例定理，求得CH与EH的长，根据勾股定理和相交弦定理计算得到答案． 【解答】解：连接BC交AD于E，过B作BP⊥AC于点P，过E作EH⊥AC于点H， 在△ABC中，AB＝4，AC＝3，AD是∠BAC的角平分线， ∴BE：CE＝4：3， ∵∠BAC＝60°， ∴AP＝AB•cos∠BAC＝2，BP＝AB•sin∠BAC＝2， ∴CP＝AC﹣AP＝1， ∴BC， ∴CE，BE， ∵EH∥BP， ∴， ∴CH，EH， ∴AH＝AC﹣CH， ∴AE， ∵BE•CE＝AE•DE， ∴DE， ∴AD＝DE+AE． 故答案为：． 【点评】此题考查了圆周角定理与相似三角形的判定与性质，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 5．（2025•绍兴三模）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则∠ADC的余弦值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得：∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，从而求出cos∠ABC的值，再根据同弧所对的圆周角是直角可得∠ABC＝∠ADC，即可解答． 【解答】解：∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， 在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝3， ∴AB， ∴cos∠ABC， ∵∠ABC＝∠ADC， ∴cos∠ADC＝cos∠ABC， 故选：A． 【点评】本题考查了圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． 6．（2025•上城区校级一模）如图，在⊙O中，将沿弦AB翻折，使恰好经过圆心O，C是劣弧AB上一点．已知AE＝2，tan∠CBA，则AB的长为（　　） A． B．6 C． D． 【分析】连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB，根据圆周角定理求出∠EAH＝90°，解直角三角形求出AH＝4，根据勾股定理求出EH＝2，根据垂径定理求出AB＝2BF，根据折叠的性质得，OF＝GF，再根据勾股定理求解即可． 【解答】解：连接EO并延长交⊙O于点H，连接AH，过点O作OF⊥AB于F，延长OF交⊙O于点G，连接OB， ∵EH是⊙O的直径， ∴∠EAH＝90°， ∴tan∠AHE， ∵∠AHE＝∠CBA，tan∠CBA， ∴tan∠AHE＝tan∠CBA， ∴， ∵AE＝2， ∴AH＝4， ∴EH2， ∴⊙O的半径为， ∴OG＝OB， ∵OG⊥AB于F， ∴AB＝2BF， 根据折叠的性质得，OF＝GF， ∴OFOG， ∴BF， ∴AB， 故选：C． 【点评】此题考查了圆周角定理、折叠的性质、垂径定理、解直角三角形等知识，熟练运用圆周角定理、折叠的性质、垂径定理并作出合理的辅助线构建直角三角形是解题的关键． 7．（2025•乐清市校级模拟）如图，点A是以BC为直径的半圆O上的一点，D，E分别是和的中点，连结DE交AB于M，交AC于N．若AB＝8，AC＝6时，则MN的值为 　 ． 【分析】以BC为直径的半圆O，得∠A＝90°，得出直径是10，再求OD＝OE＝5，由垂径定理得OD⊥AB，OE⊥AC，则点H，W分别是AB，AC的中点，利用三角形中位线定理，得到，再证明四边形HOWA是矩形，则，同理求出，，再代入MN＝DE﹣DM﹣NE进行计算，即可作答． 【解答】解：连接OD交AB于一点H，连接OE交AC于一点W，如图： ∴， ∴OD＝OE＝OB＝OD＝5， ∵D，E分别是和的中点，AB＝8，AC＝6， ∴OD⊥AB，OE⊥AC， ∴点H，W分别是AB，AC的中点， 由条件可知， ∴DH＝OD﹣OH＝2，EW＝OE﹣OW＝1， ∵∠AHO＝∠HAW＝∠AWO＝90°， ∴四边形HOWA是矩形， ∴∠DOE＝90°， ∵OD＝OE＝5， ∴∠D＝∠E＝45°，， ∵OD⊥AB，OE⊥AC，∠D＝∠E＝45°， ∴∠HMD＝45°，∠WNE＝45°， ∴HM＝DH＝2，NW＝EW＝1， ∴，， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，中位线的判定与性质，矩形的判定和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 8．（2025•宁波模拟）如图，点A在以BC为直径的⊙O上，点D在CB的延长线上．若∠DAB＝30°，DB：BC＝4：3，则tan∠ACB＝　 ． 【分析】法①：如图1，延长AB到点E，使，连接DE，证明△DBE∽△CBA，得到，∠E＝∠BAC，由圆周角定理得到∠E＝∠BAC＝90°，设AC＝3k，则DE＝4k，利用锐角三角函数求得，进而利用正切定义可求解． 【解答】解：如图，延长AB到点E，使，连接DE， ∵DB：BC＝4：3， ∴，又∠DBE＝∠CBA， ∴△DBE∽△CBA， ∴，∠E＝∠BAC， ∵点A在以BC为直径的⊙O上， ∴∠E＝∠BAC＝90°，则DE⊥AE． 设AC＝3k，则DE＝4k． ∵∠DAB＝30°， ∴，则， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查圆周角定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． 考点四：圆内接四边形的性质 易｜混｜易｜错 1）性质：圆内接四边形对角互补； 2）推论：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角； 1．（2026•定海区模拟）如图，四边形BCEF为⊙O圆内接四边形，AB为⊙O直径，连接OE，若∠BOE＝80°，则∠C＝　 　 ． 【分析】先根据圆周角定理求出∠F的度数，再根据圆内接四边形的性质即可求解． 【解答】解：∵AB为⊙O直径，连接OE，∠BOE＝80°， ∴， ∵四边形BCEF为⊙O的圆内接四边形， ∴∠C+∠F＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠F＝180°﹣40°＝140°． 故答案为：140°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟知以上知识是解题的关键． 2．（2026•西湖区校级模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝BC＝CD，∠ADC＝100°，则∠AOD＝　 　 ． 【分析】连接OB、OC，根据圆内接四边形的性质求出∠ABC，根据圆周角定理求出∠AOC，计算即可． 【解答】解：如图，连接OB、OC， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∴∠ABC＝180°﹣100°＝80°， ∴∠AOC＝2∠ABC＝160°， ∴∠AOB+∠BOC＝360°﹣160°＝200°， ∵AB＝BC＝CD， ∴， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠DOC＝100°， ∴∠AOD＝360°﹣100°×3＝60°， 故答案为：60°． 【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 3．（2025•钱塘区二模）如图，△ABC 内接于⊙O，AB＝AC，CD∥AB交⊙O于点D，连结AD．若∠B＝70°，则∠CAD的大小为 　 　 ． 【分析】根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BAC＝40°，根据圆内接四边形的性质求出∠D＝110°，再根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC，∠B＝70°， ∴∠B＝∠ACB＝70°， ∴∠BAC＝180°﹣70°﹣70°＝40°， ∵∠D+∠B＝180°， ∴∠D＝110°， ∵CD∥AB， ∴∠BAD+∠D＝180°， ∴∠BAD＝70°， ∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°， 故答案为：30°． 【点评】此题考查了圆内接四边形的性质、平行线的性质，熟记圆内接四边形的性质、平行线的性质是解题的关键． 4．（2025•浙江模拟）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，记∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β．若AB＝AC，AB∥CD，则有（　　） A．2α+3β＝180° B．3α+4β＝360° C．3α+2β＝180° D．4α+3β＝360° 【分析】依题意得∠BAD＝α+β，根据AB＝AC及三角形内角和定理得∠ACB＝90°α，再根据AB∥CD得∠ACD＝∠BAC＝α，进而得∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α，然后根据圆内接四边形的性质得∠BAD+∠BCD＝180°，则90°α+α+β＝180°，由此即可得出答案． 【解答】解：∵∠BAC的度数为α，∠CAD的度数为β， ∴∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝α+β， ∴AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， 由三角形内角和定理得：∠B+∠ACB+∠BAC＝180°， ∴2∠ACB+α＝180°， ∴∠ACB＝90°α， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC＝α， ∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝90°α+α＝90°α， ∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠BAD+∠BCD＝180°， ∴90°α+α+β＝180°， 整理得：3α+2β＝180°． 故选：C． 【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，圆内接四边形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理，圆内接四边形的性质是解决问题的关键． 5．（2025•浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD＝74°，∠ABC＝58°，∠AOB＝138°，若AB＝m，BC＝n，CD＝p，DA＝q，则四边形ABCD的面积为（　　） A．mq+np B．（mq+np） C．mp+nq D．（mp+nq） 【分析】连接AC，BD交于点E，延长AO交BD于点F，根据圆周角，圆心角定理及三角形内角和定理得∠ADB＝69°，∠ABD＝37°，∠DAC＝∠DBC＝21°，进而得∠AED＝90°，则S△ABCAC•BE，S△ADCAC•DE，继而得四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADCAC•BD，再根据∠OAB＝∠DAC＝21°，∠ABF＝∠ACD得△ABF和△ACD相似，则AB•CD＝AC•BF①，再证明△ABC和△AFD相似得BC•DA＝AC•DF②，①+②得AB•CD+BC•DA＝AC•BD，则S（AB•CD+BC•DA），然后根据AB＝m，BC＝n，CD＝p，DA＝q即可得出答案． 【解答】解：连接AC，BD交于点E，延长AO交BD于点F，如图所示： ∵∠AOB＝138°， ∴∠ADB∠AOB＝69°， 在△ABD中，∠BAD＝74°， ∴∠ABD＝180°﹣（∠BAD+∠ADB）＝180°﹣（74°+69°）＝37°， ∵∠ABC＝58°， ∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝21°， 根据圆周角定理得：∠DAC＝∠DBC＝21°， 在△ADE中，∠AED＝180°﹣（∠DAC+∠ADB）＝180°﹣（21°+69°）＝90°， ∴AC⊥BD， ∴S△ABCAC•BE，S△ADCAC•DE， ∴四边形ABCD的面积S＝S△ABC+S△ADCAC•（BE+DE）AC•BD， ∵∠AOB＝138°，OA＝OB， ∴∠OAB（180°﹣∠AOB）（180°﹣138°）＝21°， 在△ABF和△ACD中， ∴∠OAB＝∠DAC＝21°，∠ABF＝∠ACD， ∴△ABF∽△ACD， ∴， ∴AB•CD＝AC•BF①， ∵∠OAB＝∠DAC＝21°， ∴∠OAB+∠OAC＝∠DAC+∠OAC， ∴∠BAC＝∠FAD， 又∴∠ACB＝∠ADF， ∴△ABC∽△AFD， ∴， ∴BC•DA＝AC•DF②， ①+②得：AB•CD+BC•DA＝AC•BF+AC•DF＝AC•（BF+DF）＝AC•BD， ∴S（AB•CD+BC•DA）， ∵AB＝m，BC＝n，CD＝p，DA＝q， ∴S（mp+nq）． 故选：D． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质，圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，理解圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 6．（2025•温州模拟）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，连结AC，BD交于点E．若AC⊥BD，． （1）求∠ABC的大小（用含a的代数式表示）． （2）若，CD＝5，求AB的长． 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出∠ABD，根据圆周角定理得到∠CBD＝∠CAD＝α，进而求出∠ABC； （2）证明∠ABC＝∠ACB，得到AB＝AC，得到5x＝4x+3，求出x，进而求出AB． 【解答】解：（1）∵AC⊥BD， ∴∠AEB＝90°， ∴∠ABD＝90°﹣∠BAC＝90°﹣2a． ∵∠CBD＝∠CAD＝α， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CAD＝90°﹣a； （2）在△ABC中，∠BAC＝2a，∠ABC＝90°﹣α， ∴∠ACB＝180°﹣2a﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 由圆周角定理得：∠ACD＝∠ABD， ∴tan∠ACD＝tan∠ABD， 设BE＝3x，CE＝3y，则AE＝4x，DE＝4y， 由勾股定理得：AB＝5x，CD＝5y， ∵CD＝5， ∴y＝1， ∴CE＝3， ∴5x＝4x+3， 解得：x＝3， ∴AB＝5x＝15． 【点评】本题考查的是圆内接四边形、圆周角定理、解直角三角形，掌握圆周角定理、正切的定义是解题的关键． 考点五：正多边形与圆 易｜混｜易｜错 1）必记几个正多边形：正五边形、正六边形、正八边形； 2）若圆的半径为r，边长为a的正n边形的边心距为， 中心角为； 1．（2026•浙江模拟）如图，在正十边形中，∠BAC的度数是（　　） A．10° B．18° C．22.5° D．36° 【分析】连接OC，求出正十边形的中心角，根据圆周角定理计算即可． 【解答】解：设正十边形的中心为点O，连接OC， 则∠BOC36°， 由圆周角定理得，∠BAC∠BOC＝18°， 故选：B． 【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形与圆的关系、正多边形的中心角的计算公式以及圆周角定理是解题的关键． 2．（2025•钱塘区二模）如图，在正六边形ABCDEF中，连结AC与AE，以点A为圆心，AC长为半径画弧CE．若AB＝4，则图中阴影部分的面积是（　　） A．6π B．8π C．12π D．16π 【分析】作正六边形ABCDEF的外接圆⊙O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE，求得∠BOC＝60°，∠COE＝120°，则∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，由垂径定理得OB⊥AC，AL＝CL，则∠ALB＝90°，所以BLAB＝2，求得AL2，则AC＝2AL＝4，即可根据扇形的面积公式求得S阴影＝8π，于是得到问题的答案． 【解答】解：作正六边形ABCDEF的外接圆，圆心为点O，连接OB交AC于点L，连接OC、OE， ∵∠BOC360°＝60°，∠COE360°×2＝120°， ∴∠BAC∠BOC＝30°，∠CAE∠COE＝60°， ∵CB＝AB＝4， ∴， ∴OB⊥AC，AL＝CL， ∴∠ALB＝90°， ∴BLAB＝2， ∴AL2， ∴AC＝2AL＝4， ∴S阴影8π， 故选：B． 【点评】此题重点考查正多边形和圆、圆周角定理、垂径定理、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、扇形的面积公式等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 3．（2025•上城区校级一模）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE﹣∠COD＝ 　 °． 【分析】根据多边形的内角和可以求得∠BAE的度数，根据周角等于360°，可以求得∠COD的度数，然后即可计算出∠BAE﹣∠COD的度数． 【解答】解：∵五边形ABCDE是正五边形， ∴∠BAE108°，∠COD72°， ∴∠BAE﹣∠COD＝108°﹣72°＝36°， 故答案为：36． 【点评】此题重点考查正多边形与圆、正五边形的性质、正多边形的中心角、等腰三角形的性质等知识，根据正多边形的中心角的定义求得∠COD＝72°是解题的关键． 4．（2025•义乌市二模）如图，已知点P是正六边形ABCDEF内一点，连结PE，PF，PB，PC．若S△PEF＝3，sPBC，则AB的长为　 　 ． 【分析】根据正六边形的性质，三角形面积公式以及直角三角形的边角关系进行计算即可． 【解答】解：如图，连接BF，过点A作AG⊥BF，垂足为G，过点P作PM⊥EF，PN⊥BC垂足分别为M，N，则PM+PN＝BF， ∵六边形ABCDEF是正六边形， ∴∠BAF 120°，AB＝AF， ∵AG⊥BF， ∴∠FAG＝∠BAG∠BAF＝60°， 设AB＝a，则BG a， ∴BF＝2BGa， ∵S△PEF＝3EF•PM，S△PBC＝5BC•PN∴BC•（PM+PN）＝8， ∵AB＝BC＝EF，PM+PN＝BF， ∴a•a＝8， 解得a＝4（取正值）， 即AB＝4． 故答案为：4． 【点评】本题考查正多边形和圆，三角形的面积，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及三角形面积的计算方法是正确解答的关键． 5．（2026•定海区一模）如图，正五边形OABCD的边长为2，⊙O经过点A，D，则阴影部分扇形的的长为　 ． 【分析】利用正五边形的性质求出∠DOA＝108°，OD＝OA＝2，再利用弧长公式计算即可． 【解答】解：∵五边形OABCD是正五边形，边长为2， ∴，OD＝OA＝2， ∴阴影部分扇形的的长为， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正多边形和圆，弧长的计算，掌握其相关知识点是解题的关键． 考点六：弧长、扇形面积、圆锥相关计算 易｜混｜易｜错 1）弧长、扇形面积等识记公式: ； ； 2）公式可以直接应用，也可以由弧长（或面积）的数值求解对应的圆心角或者半径; 1．（2026•浙江一模）如图，菱形ABCD的边长为2，以A为圆心，AB长为半径作弧，分别与BC，CD交于E，F两点，若与的长之比为1：2，则的长为（　　） A．π B． C． D． 【分析】连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG，先证△ABE≌△ADF（AAS），设∠BAE＝∠DAF＝α，则∠FAE＝2∠BAE＝2α，由三角形内角和定理得，由菱形对角线互相平分，可得，，再根据∠BAO+∠ABO＝90°，可得，最后利用弧长公式求解． 【解答】解：如图，连接AE，AF，AC，AC交于点G，连接BD交AC于点O，连接EG，FG， 由题意知AD＝AF＝AG＝AE＝AB＝2， ∴∠ABE＝∠AEB，∠ADF＝∠AFD， 由条件可知∠ABE＝∠ADF， ∴∠ABE＝∠AEB＝∠ADF＝∠AFD， 又∵AD＝AB， ∴△ABE≌△ADF（AAS）， ∴∠BAE＝∠DAF， 设∠BAE＝∠DAF＝α， 则， ∴， 由条件可知∠FAE＝2∠BAE＝2α， ∴∠BAD＝α+2α+α＝4α， ∴， ∴∠BAO+∠ABO＝90°， ∴， ∴， ∴， ∴的长． 故选：C． 【点评】本题考查弧长的计算，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，掌握菱形的性质是解题的关键． 2．（2025•西湖区二模）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若AB＝2AC＝6，则长为（　　） A． B．π C．2π D．4π 【分析】先求出圆心角∠BOC的度数，然后根据弧长公式计算弧长即可． 【解答】解：∵AB为⊙O的直径，AB＝2AC＝6， ∴OA＝OB＝OC＝AC＝3， ∴△OAC是等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴∠BOC＝120°， ∴的长为2π． 故选：C． 【点评】本题主要考查弧长的计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键． 3．（2025•余杭区校级模拟）一个扇形的弧长是13πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 　 　 度． 【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式列式计算即可． 【解答】解：设扇形的圆心角为n°， 由题意得：13π， 解得：n＝130， 故答案为：130． 【点评】本题考查的是弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键． 4．（2026•定海区一模）如图，在Rt△ABC中，已知∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6．把△ABC以点B为中心逆时针旋转，使点C旋转至AB边延长线上的C′处，那么AC边转过的图形（图中阴影部分）的面积是（　　） A． B． C．27π D．9π 【分析】根据旋转变换的性质可得△ABC与△A′BC′全等，从而得到阴影部分的面积＝扇形ABA′的面积﹣小扇形CBC′的面积． 【解答】解：根据旋转变换的性质，△ABC≌△A′BC′， ∵∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝6， ∴BCAB＝3， ∴阴影面积9π． 故选：D． 【点评】本题考查了扇形的面积计算，解题的关键是看出阴影部分的面积的表示等于两个扇形的面积的差，还考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 5．（2026•黄石一模）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为 　 　 ． 【分析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论． 【解答】解：∵∠C＝45°， ∴∠AOB＝90°， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB ＝π﹣2． 故答案为：π﹣2． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，根据题意求得三角形与扇形的面积是解答此题的关键． 6．（2025•钱塘区一模）如图，在扇形OAB中，过的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．已知∠AOB＝90°，OA＝4，则图中阴影部分的面积为　 　 （结果保留π）． 【分析】根据题意，可以先证明四边形DOEC是正方形，然后根据图形可知：阴影部分的面积＝扇形AOB的面积﹣正方形DOEC的面积，再代入数据计算即可． 【解答】解：连接OC，如图所示， ∵点C为弧AB的中点，∠AOB＝90°，OA＝4， ∴∠AOC＝∠BOC＝45°，OC＝4， ∵CD⊥OA，CE⊥OB， ∴∠CDO＝∠CEO＝90°，∠DCO＝∠DOC＝45°， ∴∠CDO＝∠CEO＝∠DOE＝90°，OD＝CD， ∴四边形DOEC是正方形， ∴OD＝OC•sin45°＝42， 阴影部分的面积为：224π﹣8， 故答案为：4π﹣8． 【点评】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 7．（2025•滨江区校级三模）已知圆锥的母线长为10cm，底面半径为4cm，则这个圆锥的侧面积为　 　 cm2． 【分析】圆锥的侧面积＝底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面半径为4cm，则底面周长＝8π（cm）， 侧面展开图的面积8π×10＝40π（cm2）． 故答案为：40π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解． 8．（2025•义乌市校级模拟）已知一个圆锥的母线长为4，且侧面展开图是圆心角为90°的扇形，则该圆锥底面圆的半径为　 　 ． 【分析】根据圆锥的底面圆周长是扇形的弧长列式计算即可． 【解答】解：设圆锥的底面圆的半径为r， 则2πr， 解得r＝1， 即圆锥的底面圆的半径为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查的是圆锥的计算，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长是解题的关键． 9．（2025•鹿城区校级三模）用半径为6的半圆形纸片围成一个圆锥侧面，则这个圆锥的底面半径为　 　 ． 【分析】易得圆锥的母线长为6，以及圆锥的侧面展开图的弧长，也就是圆锥的底面周长，除以2π即为圆锥的底面半径． 【解答】解：圆锥的侧面展开图的弧长为2π×6÷2＝6π， ∴圆锥的底面半径为6π÷2π＝3， 故答案为：3 【点评】本题考查了圆锥的计算．用到的知识点为：圆锥的弧长等于底面周长． 考点七：直线与圆的位置关系 易｜混｜易｜错 1）直线与圆的位置关系，若圆心到直线的距离记为d，圆的半径记为r，则： ①直线l和⊙O相交⇔d＜r；②直线l和⊙O相切⇔d＝r；③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2）距离计算通常需要和直角三角形勾股定理、相似三角形的相似比、特殊三角形的性质等结合考察； 1．（2025•钱塘区一模）已知⊙O的半径是5，直线l与⊙O相交，圆心O到直线l的距离可能是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【分析】根据直线l和⊙O相交⇔d＜r，即可判断． 【解答】解：∵⊙O的半径为5，直线l与⊙O相交， ∴圆心D到直线l的距离d的取值范围是0≤d＜5， 故选：A． 【点评】本题考查直线与圆的位置关系，解题的关键是记住①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d＝r③直线l和⊙O相离⇔d＞r． 2．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点，以B为圆心，BD长为半径作圆．若⊙B与线段AC有两个交点，则BC满足的条件是 　 　 ． 【分析】找出临界值，当⊙B与AC相切时，⊙B经过点C时，⊙B经过点A时分别求出对应的BC值，即可得解． 【解答】解：∵在△ABC中，AB＝AC＝2，点D是AC的中点， ∴AD＝CD＝1， ①若AC与⊙B相切，则BD⊥AC， ∵D是AC中点， ∴此时AB＝BC＝AC＝2， ∴BC≠2； ②若⊙B经过点C，如图， 则BD＝BC， ∴∠BDC＝∠BCD， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝∠BDC， ∴△ABC∽△BDC， ∴，即， ∴BC； ③若⊙B经过点A，则BD＝BA＝2， 如图，取BC中点E，连接DE，过D作DF⊥BC于点F， ∵D和E分别是AC和BC中点， ∴DEAB＝1，DE∥AB， ∴∠ABC＝∠DEC＝∠C， ∴DE＝DC， ∴设EF＝CF＝x，则CE＝BE＝2x， ∴BF＝3x， 在Rt△DCF中，DF2＝CD2﹣CF2＝1﹣x2， 在Rt△BDF中，DF2＝BD2﹣BF2＝4﹣9x2， ∴1﹣x2＝4﹣9x2， 解得x， ∴BC＝4x； 综上，若⊙B与线段AC有两个交点，则BC且BC≠2； 故答案为：BC且BC≠2． 【点评】本题主要考查了直线和圆的位置关系、相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 3．（2025•浙江二模）如图，在⊙O中，弦AD＝4厘米，作正方形ABCD，点B，C均落在圆内，圆心O在正方形内．若将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切，则将正方形ABCD沿射线AB方向平移　 　 厘米时，正方形其中一条边与⊙O相切． 【分析】过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交⊙O于F，根据正方形的性质得到∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°，得到四边形OHDE是矩形，求得OE＝HD（厘米），根据平移的性质得到OF＝3厘米，延长HO交BC于G，交⊙O于M，求得OM＝OF＝OD＝3厘米，得到HG＝AB＝4厘米，根据勾股定理得到OH，求得OG＝4，于是得到结论． 【解答】解：过O作OH⊥AD于H，OE⊥CD于E交⊙O于F， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ADE＝∠DHO＝∠DEO＝90°， ∴四边形OHDE是矩形， ∴OE＝HD（厘米）， ∵将正方形ABCD沿射线AD方向平移1厘米，能使边CD与⊙O相切， ∴EF＝1厘米， ∴OF＝3厘米， 延长HO交BC于G，交⊙O于M， ∴OM＝OF＝OD＝3厘米， ∵AD∥BC， ∴HG⊥BC， ∴四边形ABGH是矩形， ∴HG＝AB＝4厘米， ∵OH， ∴OG＝4， ∴GM＝OM﹣OG＝3﹣（4）＝（1）厘米，HM＝HG+GM＝41＝（3）厘米， ∴将正方形ABCD沿射线AB方向平移（1）厘米时，BC边与⊙O相切，将正方形ABCD沿射线AB方向平移（3）厘米时，AD边与⊙O相切． 故答案为：（1）或（3）． 【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理，正方形的性质，矩形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 考点八：切线的性质 易｜混｜易｜错 1）切线的性质：经过切点的半径垂直于圆的切线； 2）延伸：经过切点的直径也垂直于圆的这条切线 3）常用辅助线及规律：见切点，连半径，得垂直！ 4）切线长定理：过圆外一点所作的圆的两条切线长相等； 5）切线的判定方法1：圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线； 切线的判定方法2：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； 6）切线证明常见辅助线及规律：有切点，连半径，证垂直；无切点，作垂直，证半径； 1．（2025•金东区二模）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD是半圆的切线，OD⊥AB，若∠CAB＝27°，则∠D的度数为（　　） A．63° B．44° C．54° D．64° 【分析】连接OC，由等边对等角可得∠OCA＝∠CAB＝27°，由三角形外角的性质可得∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝54°，由切线的性质可得CD⊥OC，则∠OCD＝90°，由直角三角形的两个锐角互余可得∠D+∠COD＝90°，由OD⊥AB可得∠BOD＝90°，进而可得∠BOC+∠COD＝90°，于是可得∠D＝∠BOC，由此即可求出∠D的度数． 【解答】解：如图，连接OC， ∵OA＝OC， ∴∠OCA＝∠CAB＝27°， ∴∠BOC＝∠OCA+∠CAB＝27°+27°＝54°， ∵OC是半圆O的半径，CD是半圆O的切线， ∴CD⊥OC， ∴∠OCD＝90°， ∴∠D+∠COD＝90°， ∵OD⊥AB， ∴∠BOD＝90°， ∴∠BOC+∠COD＝90°， ∴∠D＝∠BOC＝54°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，切线的性质，直角三角形的两个锐角互余等知识点，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 2．（2025•婺城区二模）如图，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于点C，点D在⊙O上，连结CD，BD，∠D＝25°，则∠A的度数为（　　） A．25° B．30° C．40° D．45° 【分析】连接OB，根据圆周角定理求出∠AOB，根据切线的性质得到∠ABO＝90°，再根据直角三角形的性质计算即可． 【解答】解：如图，连接OB， 由圆周角定理得：∠AOB＝2∠D＝2×25°＝50°， ∵AB切⊙O于点B， ∴OB⊥AB， ∴∠ABO＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠AOB＝90°﹣50°＝40°， 故选：C． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 3．（2026•宁波校级一模）如图，⊙O的切线PA与直径CB的延长线交于点A，点P为切点，连接PC．若∠A＝20°，则∠C的度数为　 　 °． 【分析】连接OP，根据切线的性质得到OP⊥AP，根据直角三角形的性质求出∠AOP，再根据圆周角定理解答即可． 【解答】解：如图，连接OP， ∵PA是⊙O的切线， ∴OP⊥AP， ∵∠A＝20°， ∴∠AOP＝90°﹣20°＝70°， 由圆周角定理得：∠C∠AOP＝35°， 故答案为：35． 【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，熟记圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键． 4．（2026•西湖区校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，C为AB延长线上一点，CD切⊙O于点D．连结OD、BD．若∠BDC＝30°，OA＝3，则的长等于　 　 ． 【分析】根据切线的性质得∠ODC＝90°，再根据等边对等角得∠OBD＝∠ODB＝60°，继而得到∠AOD＝120°，最后根据弧长公式计算即可． 【解答】解：∵CD切⊙O于点D，∠BDC＝30°，OA＝3， ∴∠ODC＝90°，OD＝OA＝3， ∴∠OBD＝∠ODB＝∠ODC﹣∠BDC＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOD＝∠OBD+∠ODB＝60°+60°＝120°， ∴若∠BDC＝30°，OA＝3，则的长为：． 故答案为：2π． 【点评】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 5．（2026•柯城区一模）如图，边长为4的正方形ABCD中，E为边AD的中点，点G在边AB上，连接EG，若△AEG的外接圆O恰好与BC相切于点F，则⊙O的半径为　 ． 【分析】连接OF，延长FO交AE于点H，证明四边形ABFH是矩形，得HF＝AB＝4，∠AHF＝90°，求出HE＝1，设OE＝OF＝R，则HO＝4﹣R，由勾股定理列方程可求出． 【解答】解：连接OF，延长FO交AE于点H，如图， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠B＝90°，AB＝AD＝4， ∵BC是⊙O的切线，点F是切点， ∴HF⊥BC，即∠BFH＝90°， ∴四边形ABFH是矩形， ∴∠AHF＝90°，HF＝AB＝4，即OH⊥AE， ∴， ∵点E是AD的中点， ∴， ∴HE＝1， 设OE＝OF＝R，则HO＝4﹣R， 在Rt△HOE中，HO2+HE2＝OE2， ∴（4﹣R）2+12＝R2， 16﹣8R+1＝0， 解得：． 【点评】本题考查三角形的外接圆与外心，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 6．（2026•宁波模拟）如图，点A，B，C在⊙O上，∠BAC＝30°，以AB，BC为边作▱ABCD． （1）如图1，当AB经过圆心O时，求∠D的度数． （2）如图2，当CD与⊙O相切时，若⊙O的半径为1，求▱ABCD与⊙O的重叠部分（阴影部分）的面积． 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，即可求出∠B＝90﹣30＝60°，再根据平行四边形的性质得到答案即可； （2）连接OC交AB于点E，连接OA，根据相切得到OC⊥CD，证明△OAC为等边三角形，△AOE≌△BCE（SAS），根据． 【解答】解：（1）∵AB为⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝30°， ∴∠B＝90﹣30＝60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠D＝∠B＝60°； （2）连接OC交AB于点E，连接OA， ∵CD与⊙O相切， ∴OC⊥CD， 在平行四边形ABCD中，AB∥CD， ∴OC⊥AB， ∴BE＝AE， ∵∠BAC＝30°， ∴∠OCA＝60°， ∵OA＝OC， ∴△OAC为等边三角形， ∵OA＝AC，AB⊥OC， ∴OE＝CE， 在△AOE和△BCE中， ， ∴△AOE≌△BCE（SAS）， ∴． 【点评】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握节线的性质． 考点九：三角形的内切圆与内心 易｜混｜易｜错 1）三角形的内心：三角形条角平分线的交点； 实际画图时只需要画两条角分线的交点即可！ 2）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等； 常做辅助线：作内心到三边的垂线段 3）直角三角形内切圆半径公式：若a、b为直角边，c为斜边，r为内切圆半径 则 1．（2025•临平区校级三模）如图，⊙O是△ABC的内切圆，分别切AB，BC，AC于点D，E，F，∠B＝42°，P是上一点，则∠DPE的度数是（　　） A．42° B．48° C．58° D．69° 【分析】连接OD、OE，由切线的性质得∠ODB＝∠OEB＝90°，而∠B＝42°，所以∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°，则∠DPE∠DOE＝69°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OD、OE， ∵⊙O与AB、BC分别相切于点D，E， ∴AB⊥OD，BC⊥OE， ∴∠ODB＝∠OEB＝90°， ∵∠B＝42°， ∴∠DOE＝360°﹣∠ODB﹣∠OEB﹣∠B＝138°， ∴∠DPE∠DOE＝69°， 故选：D． 【点评】此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、圆周角定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 2．（2025•浙江模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O是△ABC的内切圆，若AC＝3.3，BC＝4.4，则图中△ABO的面积为（　　） A．5.5 B．2.75 C．6.05 D．3.025 【分析】根据勾股定理求出AB的长，再根据等面积法求出圆O的半径即可推出结果． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3.3，BC＝4.4， ∴AB5.5， 如图，连接OC， 设圆O的半径＝r， 则r， 即， ∴r＝1.1， ∴△ABO的面积3.025， 故选：D． 【点评】本题考查了三角形的内接圆与内心，三角形的面积，熟记三角形内接圆的性质是解题的关键． 3．（2025•浙江模拟）如图，点P，A，Q在同一条直线上，AB，AD分别是∠PAC与∠QAC的平分线，CB⊥AB，CD⊥AD． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠BAC＝60°，矩形ABCD的面积为，求△ABC内切圆的半径． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，，根据平角的定义得到∠PAC+∠QAC＝180°，求得∠BAD＝∠B＝∠D＝90°，据此可证明四边形ABCD是矩形； （2）找到内切圆与AC、CB、AB的切点，连接OF、OE、OG，利用等积法，直角三角形的性质结合勾股定理求得，，据此计算，即可求解． 【解答】（1）证明：∵，， ∵∠PAC+∠QAC＝180°， ∴，即∠BAD＝90°， ∵CB⊥AB，CD⊥AD， ∴∠BAD＝∠B＝∠D＝90°， ∴四边形ABCD是矩形； （2）解：设△ABC的内切圆半径为x，AB＝a， 圆O为△ABC的内切圆，切点分别为G、E、F，连接OF、OE、OG，连接OA、OB、OC， 则OF⊥AB，OE⊥BC，OG⊥AC． ∴OE＝OF＝OG＝x， ∵∠BAC＝60°，即∠BCA＝30°， ∴AC＝2AB＝2a，， ∵矩形ABCD的面积为， ∴△ABC的面积为， ∴，， 即，， ∴a＝2（负值不符合题意，已经舍去），， ∴△ABC内切圆的半径为． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，直角三角形的性质和勾股定理，矩形的判定，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． 考点十：圆的综合压轴题 易｜混｜易｜错 1）圆中的特殊角对应关系： ①当圆周角=30°时，圆心角=60°→等边三角形 ②当圆周角=45°时，圆心角=90°→等腰直角三角形 ③当圆周角=60°时，圆心角=120°→三边比为1:1：的等腰三角形 ④当圆周角=90°时，→弧为半圆 2）圆的综合证明问题常见结合考点 ①知2得1： ②三角形相似： ③Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！ ④三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似； 特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△ ⑤特殊角：常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150° 1．（2026•浙江一模）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点O是BC边上一点，以点O为圆心，OB为半径的半圆交BC边于点E，与AC相切于点F，连接BF，EF． （1）求证：BF平分∠ABC； （2）若AB＝4，AF＝3，求该圆的直径． 【分析】（1）根据切线的性质得到∠CFO＝90，得到∠A＝∠CFO，根据平行线的性质得到∠OFB＝∠ABF，根据等腰三角形的性质得到∠OFB＝∠OBF，求得∠ABF＝∠OBF，得到BF平分∠ABC； （2）根据勾股定理得到BF5，根据圆周角定理得到∠BFE＝90°，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵⊙O与AC相切于点F， ∴∠CFO＝90， ∵∠A＝90°， ∴∠A＝∠CFO， ∴OFAB， ∴∠OFB＝∠ABF， ∵OF＝OB， ∴∠OFB＝∠OBF， ∴∠ABF＝∠OBF， ∴BF平分∠ABC； （2）解：∵∠A＝90°，AB＝4，AF＝3， ∴BF5， ∵BE是⊙O的直径， ∴∠BFE＝90°， ∴∠BFE＝∠A， ∵∠ABF＝∠FBE， ∴△ABF∽△FBE， ∴， ∴， ∴BE， ∴该圆的直径为． 【点评】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握各知识点是解题的关键． 2．（2025•丽水一模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD交于点P，AB＝AC，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）求证：BD•CE＝AB2； （3）若AC⊥BD，AD＝6，BC＝8，求CE的长． 【分析】（1）连接AO并延长交BC于点F，由已知条件可得出，由垂径定理的推论可知，AF⊥BC，再根据平行线的性质即可得出AF⊥AE，进一步即可证明； （2）利用同弧所对的圆周角相等以及平行线的性质，结合等边对等角的性质进一步证明△ABD∽△ECA，由相似三角形的性质即可得证； （3）证明△APD∽△BPC，由相似三角形的性质得出，设AP＝3k，BP＝4k，则AB＝5k，由勾股定理求出k值，进而求出AB，BD，最后根据（2）的结论即可求出CE． 【解答】（1）证明：如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC、BD交于点P，AB＝AC，连接AO并延长交BC于点F， ∴， ∴AF⊥BC， ∵AE∥BC交CD的延长线于点E， ∴AF⊥AE， ∵AO是半径， ∴AE是⊙O切线； （2）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O， ∴∠ADC+∠ABC＝180°， ∵∠ADC+∠ADE＝180°， ∴∠ADE＝∠ABC， ∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB， 又∵AE∥BC， ∴∠EAC＝∠ACB， ∵， ∴∠ACB＝∠ADB， ∴∠ADB＝∠EAC， ∵， ∴∠ABD＝∠ECA， ∴△ABD∽△ECA， ∴， 又∵AB＝AC， ∴BD•CE＝AB•AC＝AB2； （3）解：∵AC⊥BD，AD＝6，BC＝8， ∴∠APD＝∠BPC＝90°， 又∵∠ADP＝∠BCP， ∴△APD∽△BPC， ∴， 设AP＝3k，BP＝4k，则AB＝5k， ∴AC＝AB＝5k，CP＝AC﹣AP＝5k﹣3k＝2k， 在Rt△BCP中，由勾股定理得：BP2+CP2＝BC2， ∴（4k）2+（2k）2＝64， 解得：， ∴，BD＝BP+PD，， ∵△APD∽△BPC， ∴， ∴， ∴， 由（2）可知BD•CE＝AB2， ∴． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查了垂径定理的推论，同弧所对的圆周角相等，证明某直线是圆的切线，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是解题的关键． 3．（2026•平阳县校级模拟）如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，以线段BC为直径的⊙O交AC于点D，连结OA，作BE⊥OA，垂足为E，线段CE的延长线交于点F，连结BF． （1）探究∠ECO＝∠CAO的过程，小聪完成一部分证明，如下，请认真阅读小聪的证明，运用小聪的结论，继续完成∠ECO＝∠CAO的证明． ∵∠ABC＝90°，BE⊥AO ∴∠ABC＝∠BEO ∵∠AOB＝∠BOE ∴△AOB∽△BOE ∴ ∵OB＝OC （2）如图2，连结BD，当D为AC中点，求证：BF＝EF． （3）如图3，当，求的值（用含k的式子表示）． 【分析】（1）证△AOC∽△COE，即可得解； （2）易证BD垂直平分AC，可得∠DCB＝∠DBC＝45°，进而可得∠FBE＝∠FEB＝45°，即可得证； （3）设CD＝1，则AD＝k，由射影定理易得BD，再证△DBC∽△FEB，即可得解． 【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，BE⊥AO ∴∠ABC＝∠BEO ∵∠AOB＝∠BOE ∴△AOB∽△BOE ∴ ∵OB＝OC， ∴， ∵∠AOC＝∠COE， ∴△AOC∽△COE， ∴∠ECO＝∠CAO； （2）证明：∵BC为直径， ∴∠BDC＝90°， ∵D是AC中点， ∴BD垂直平分AC， ∴∠DCB＝∠DBC＝45°， 由（1）得∠ACO＝∠CEO， ∴∠CEO＝45°， ∵∠BEO＝90°， ∴∠FEB＝45°， ∵∠BFC＝90°， ∴∠FBE＝∠FEB＝45°， ∴BF＝EF； （3）解：设CD＝1，则AD＝k， ∵∠BCD＝∠ABD＝90°﹣∠CBD，∠CDB＝∠ADB＝90°， ∴△BCD∽△ABD， ∴， ∴BD， 由（1）得∠ACO＝∠CEO， ∵∠ACO+∠DBC＝90°， ∴∠CEO+∠DBC＝90°， ∴∠CEO+∠FEB＝90°， ∴∠DBC＝∠FEB， ∵∠BDC＝∠BFC＝90°， ∴△DBC∽△FEB， ∴， ∴． 【点评】本题主要考查了圆周角定理、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 1．（2025•浙江模拟）如果一个圆的内接三角形有一边的长度等于半径，那么称其为该圆的“半径三角形”．给出下面四个结论： ①一个圆的“半径三角形”有无数个； ②一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形； ③当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°； ④若一个圆的半径为2，则它的“半径三角形”面积最大值为． 上述结论中，正确的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】根据“半径三角形”的定义、圆周角定理判断①②；根据等腰三角形的性质、圆周角定理判断③；过点O作OH⊥BC于H，求出△ABC的最大面积，判断④． 【解答】解：如图，BC＝OB＝OC， 当点A是圆上异于B、C的点时，△ABC为“半径三角形”， 则一个圆的“半径三角形”有无数个，故①结论正确； 当点A在优弧上，△ABC可能是锐角三角形，当点AB为直径时，△ABC是直角三角形，当点A在劣弧上，△ABC是钝角三角形， 则一个圆的“半径三角形”可能是锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，故②结论正确； 当点A在优弧上，∠A∠BOC＝30°，当点A在劣弧上，∠A＝180°﹣30°＝150°，当AB＝BC时，顶角∠ABC＝120°， 则当一个圆的“半径三角形”为等腰三角形时，它的顶角可能是30°，120°或150°，故③结论正确； 如图，过点O作OH⊥BC于H，直线OH交优弧于A，此时，△ABC面积最大， ∵OH⊥BC， ∴BH＝HC，∠BOH＝30°， ∴OH＝OB•cos∠BOH＝2， ∴S△ABC2×（2）＝2，故④结论错误； 故选：C． 【点评】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握圆周角定理、垂径定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 2．（2025•拱墅区校级三模）如图，正方形ABCD中，E为AB上一点，AF⊥DE于点F，已知DF＝7，EF＝1，过C、D、F的⊙O与边AD交于点G，则AG的值为（　　） A．2 B． C． D．4 【分析】⊙O交BC于M点，连接FG、DM，如图，根据正方形的性质得到∠C＝∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD，AD∥BC，再利用圆周角定理得到∠DFM＝90°，则可判断点A、F、M共线，接着证明Rt△AEF∽Rt△DAF，则利用相似比可求出AF，于是利用勾股定理可计算出AD＝2，然后证明△ABM≌△DAE得到AM＝DE＝8，最后证明△AGF∽△AMD，则利用相似比可求出AG的长． 【解答】解：⊙O交BC于M点，连接FG、DM、FM，如图， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠C＝∠B＝∠BAD＝90°，AB＝AD，AD∥BC， ∴DM为⊙O的直径， ∴∠DFM＝90°， ∵AF⊥DE， ∴∠AFD＝90°， ∴点A、F、M共线， ∵∠EAF+∠DAF＝90°，∠EAF+∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠DAF， ∴Rt△AEF∽Rt△DAF， ∴AF：DF＝EF：AF，即AF：7＝1：AF， ∴AF， 在Rt△ADF中，AD2， ∵AD∥BC， ∴∠DAF＝∠AMB， ∴∠AMB＝∠AEF， 在△ABM和△DAE中， ， ∴△ABM≌△DAE（AAS）， ∴AM＝DE＝7+1＝8， ∵∠AGF＝∠AMD， 而∠GAF＝∠MAD， ∴△AGF∽△AMD， ∴AG：AM＝AF：AD， 即AG：8：2， 解得AG＝2． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．也考查了圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质． 3．（2025•嘉善县一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆C经过坐标原点且与两坐标轴分别交于A，B两点，点P为圆周上的一点，记∠POA＝θ（0＜θ＜90°），若5OB＝6BC＝30，那么的最大值是（　　） A． B． C．1 D． 【分析】根据直角所对的弦是直径得到AB＝10，利用勾股定理求出OA长，过点P作PH⊥OA于点H，当OH最大时，比值最大，解题即可． 【解答】解：∵5OB＝6BC＝30， ∴OB＝6，BC＝5， 连接BA， ∵∠AOB＝90°， ∴BA是圆O的直径，即AB＝10， ， 过点P作PH⊥OA于点H， 则OH＝OP•cos∠POA＝OP•cosθ， ∴的最大值为当OH最大， ∴当PH与圆相切时，OH最大，如图，连接PC并延长交y轴于点G， ∴GP⊥PH， ∵PH⊥x轴， ∴PH∥y轴， ∴GP⊥y轴， ∴，CG，四边形OGPA是矩形， ∴OH＝PG＝5+4＝9， ∴的最大值是， 故选：B． 【点评】本题考查圆周角定理的推论，余弦的定义，垂径定理和勾股定理，掌握圆周角定理是解题的关键． 4．（2025•浙江模拟）如图，四边形ABCD内接于⊙O，，∠BAD＝90°，，若CB、CD的长为方程的两个实数根，则线段AC的长为（　　） A． B． C．4 D． 【分析】由∠BAD＝90°，则BD是⊙O的直径，所以∠BCD＝∠BAD＝90°，CB、CD的长为方程的两个实数根，故有，，然后求出BC，过B作BE⊥AC于点E，由勾股定理得，，最后由和差即可求解． 【解答】解：由题意可得：BD是⊙O的直径， ∴∠BCD＝∠BAD＝90°， ∴， 由题意可得：，， ∴， ∴（负值不符合题意，已经舍去）， ∴， ∴BC， ∵， ∴∠ABD＝∠ADB＝45°，AB＝AD， ∴， 过B作BE⊥AC于点E， ∴∠BEC＝∠AEB＝90°， ∵∠ACB＝∠ADB＝45°， ∴∠ACB＝∠CBE＝45°， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了圆周角定理，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理，解一元二次方程，掌握知识点的应用是解题的关键． 5．（2025•浙江模拟）如图，C是以AB为直径的半圆上一点，过B，C两点作与弦AC相切．已知AB＝4，∠ABC＝30°，则阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【分析】设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，利用圆周角定理和圆的切线的性质得到BC经过圆心O，利用含30°角的直角三角形的性质和勾股定理求得OC，CD，再利用阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD解答即可得出结论． 【解答】解：设与AB交于点D，的圆心为O，连接OD，CD，如图， ∵AB为半圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴AC⊥BC， ∵过B，C两点作与弦AC相切， ∴BC经过圆心O， 即BC为直径， ∴∠CDB＝90°， ∵∠ABC＝30°， ∴ACAB＝2，CDBC，∠COD＝60°， ∵BC2， ∴OC＝OB＝CD， ∴AD1， ∴BD＝AB﹣AD＝3， ∵OB＝OC， ∴， ∴阴影部分的面积＝S△ACD+S△OCD﹣S扇形OCD ． 故选：D． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，扇形与三角形的面积，直角三角形的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质，连接直径所对的圆周角是解决此类问题常添加的辅助线． 6．（2025•浙江模拟）如图，已知⊙O的直径AB为10，将⊙O沿CD折叠，使弧CED与直径AB相切于点E，则折痕CD的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD，根据垂径定理以及勾股定理即可求解． 【解答】解：如图，设AE＝x．CD＝y，设弧CED的圆心为O′，连接OO′交CD于F，连接O′E，OD， 由折叠得OO′⊥CD，OF＝O′F，⊙O′的半径为5， ∴CF＝DF＝CD， ∴OF， ∴OO′＝2， ∵弧CE'D与AB相切于点E'， ∴O′E′⊥AB， ∴OO′2＝OE′2+O′E′2， ∵OE＝OB﹣BE′＝1﹣x， ∴（2）2＝（5﹣x）2+52， ∴（x﹣5）2+y2＝75， 当x＝5时，y的值最大，最大值为5， 当x＝10时，y的值最小，最小值为5， ∴5CD≤5． 故选：C． 【点评】此题主要考查了翻折变换的性质以及垂径定理和勾股定理，切线的性质，作辅助线是解题的关键． 7．（2025•宁波模拟）已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝5，BC＝6，点I为△ABC的内心，点O为△ABC的外心，则OI的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】连接AI并延长交BC于D，连结BI，BO．证明△BAD≌△CAD，得到AD垂直平分BC，由勾股定理得AD＝4，设AO＝BO＝R，由勾股定理得，作HI⊥AB交AB于H，JI⊥AB交AC于J，由等面积法得到，解得，计算OI＝ID﹣OD即可 【解答】如图，连接AI并延长交BC于D，连接BI，BO． ∵点I为△ABC的内心， ∴∠BAD＝∠CAD， 在△BAD与△CAD中， ， ∴△BAD≌△CAD（SAS）， ∴BD＝CD，∠ADC＝∠ADB＝90°， 即AD垂直平分BC， ∵AB＝AC＝5，BC＝6， ∴BD＝CD＝3， ∴， 设AO＝BO＝R， 由勾股定理得（4﹣R）2+32＝R2， 解得， ∴． 作HI⊥AB交AB于H，JI⊥AB交AC于J， ∵点I为△ABC的内心， ∴HI＝JI＝DI， 设ID＝a， ∴， 即16a＝24， 解得， 即， ∴． 故选：B． 【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，全等三角形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 8．（2025•西湖区校级一模）如图，在△ABC中，AB+ACBC，AD⊥BC于D，⊙O为△ABC的内切圆，设⊙O的半径为R，AD的长为h，则的值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据三角形内切圆特点作出圆心和三条半径，分别表示出△ABC的面积，利用面积相等即可解决问题． 【解答】解：如图所示：O为△ABC中∠ABC、∠ACB、∠BAC的角平分线交点，过点O分别作垂线相交于AB、AC、BC于点E、G、F， S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOCAB•RBC•RAC•RR（AB+AC+BC）， ∵AB+ACBC， ∴S△ABCR（BC+BC）R•BC， ∵AD的长为h， ∴S△ABCBC•h， ∴R•BCBC•h， ∴hR， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查三角形内切圆的相关性质，本题掌握三角形内切圆的性质，根据已知条件利用三角形ABC面积相等推出关系式是解题关键． 9．（2025•浙江模拟）某同学通过观察家中的蜀绣饰品，发现其是由圆形的蜀绣面和一段劣弧支架组成，如图，蜀绣饰品关于两圆心所在直线对称，通过查阅和测量得知，支点A，B之间的距离为9.6cm，蜀绣面（圆）最高点E到AB的距离EN为20.6cm，到劣弧AB最高点M的距离EM为17cm，则劣弧支架AB所在圆的半径是 　 　 cm． 【分析】如图，设圆心为O，连接OA．设OA＝OM＝rcm．利用勾股定理构建方程求解． 【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA．设OA＝OM＝rcm． ∵EN＝20.6cm，EM＝17cm， ∴MN＝20.6﹣17＝3.6（cm）， ∵OM⊥AB， ∴AN＝BNAB9.6＝4.8（cm）， 在Rt△OAN中，r2＝（r﹣3.6）2+4.82， 解得r＝5． 故答案为：5． 【点评】本题考查垂径定理，轴对称图形，勾股定理，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 10．（2026•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，D是上一点，AD∥BC，连接OA交BC于E，OA平分∠BAD，，，则AC＝　 　 ． 【分析】延长AO交⊙O于点F，连接FC，OB，得∠OAB＝∠OBA，证明∠BAE＝∠BEA，可证明△AOB∽△ABE，求出，再求出，再由勾股定理可求出AC＝10． 【解答】解：延长AO交⊙O于点F，连接FC，OB，如图， ∵OA平分∠BAD， ∴∠DAO＝∠BAO， ∵AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BEA， ∴∠BAE＝∠BEA， ∴， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠ABO＝∠BEA， ∴△AOB∽△ABE， ∴， ∵，， ∴， ， 解得：， ∴，， ∵∠FCB＝∠BAF，∠FEC＝∠BEA， ∴∠FCE＝∠FEC， ∴， ∵AF是⊙O的直径， ∴∠ACF＝90°， ∴， 故答案为：10． 【点评】本题考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定等，掌握圆的基本性质是解题的关键． 11．（2025•临平区二模）如图，在矩形ABCD中，E是AB边上的一点，AD＝2AE，以E为圆心，DE为半径的圆弧交CD于点G，交BC于点F．若G是的中点，则的值为 　 ． 【分析】连接GF，DF，EG，过点E作EH⊥DG于点H，设AE＝a，则BC＝AD＝2a，证明四边形EHDA是矩形得DH＝AE＝a，EH∥AD，则∠DEH＝∠DAE，根据点G是的中点得∠GDF＝∠GFD＝∠DEH，DG＝FG＝2a，进而得∠DAE＝∠GDF，由此得△ADE和△CDF相似，则2，设CF＝b，CD＝2b，则CG＝2b﹣2a，在Rt△CFG中，由勾股定理得（2a）2＝（2b﹣2a）2+b2，则b，继而得CF，AB＝CD，BE＝AB﹣AE，BF＝BC﹣CF，据此即可得出的值． 【解答】解：连接GF，DF，EG，过点E作EH⊥DG于点H，如图所示： ∴∠EHD＝90°， 设AE＝a，则a＞0， ∴AD＝2AE＝2a， ∵四边形ABCD是矩形， ∴BC＝AD＝2a，AB＝CD，∠A＝∠B＝∠C＝∠ADC＝90°， ∴∠EHD＝∠A＝∠ADC＝90°， ∴四边形EHDA是矩形， ∴DH＝AE＝a，EH∥AD， ∴∠DEH＝∠DAE， ∴点E是弧DF的圆心，点G是弧DF的中点，EH⊥DG， ∴∠GDF＝∠GFD＝∠DEH，DG＝FG，DH＝GH＝a， ∴∠DAE＝∠GDF，DG＝FG＝2a， 在△ADE和△CDF中， ∠DAE＝∠GDF，∠A＝∠C＝90°， ∴△ADE∽△CDF， ∴， ∴， ∴2， 设CF＝b，CD＝2b，则b＞0， ∴CG＝CD﹣DG＝2b﹣2a， 在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG2＝CG2+CF2， ∴（2a）2＝（2b﹣2a）2+b2， 整理得：5b2＝8ab， ∵b＞0， ∴b， ∴CF＝b，AB＝CD＝2b， ∴BE＝AB﹣AE，BF＝BC﹣CF， ∴． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，圆心角、弧、弦的关系，勾股定理，理解圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键． 12．（2026•定海区一模）周末，小明，小亮和小红去游乐园玩，他们分别排队去坐摩天轮，如图，地面PQ切摩天轮⊙O于点A，小明在摩天轮上M处时发现，小亮在A处正准备登上摩天轮，而小红在小明正下方的地面B处排队，若MN为摩天轮⊙O的直径，请解决以下问题． （1）求证：MA平分∠BMN； （2）若摩天轮的直径MN为80m，且小明到地面的高度MB为45m，求小亮与小明之间的距离是多少？ 【分析】（1）连接OA，结合切线的性质可得OA∥MB，从而得到∠OAM＝∠AMB，再由OM＝OA，可得∠OAM＝∠OMA，即可求证； （2）证明△NMA∽△AMB，即可解答． 【解答】（1）证明：如图所示，连接OA， ∵PQ切⊙O于A， ∴OA⊥PQ． 由题意得，MB⊥PQ， ∴OA∥MB， ∴∠OAM＝∠AMB， ∵OM＝OA， ∴∠OAM＝∠OMA． ∴∠OMA＝∠AMB， ∴MA平分∠NMB； （2）解：若摩天轮的直径MN为80m，且小明到地面的高度MB为45m， ∵MN为直径， ∴∠MAN＝90°． 又∵∠MBA＝90°， ∴∠MAN＝∠MBA， 又∵∠OMA＝∠AMB， ∴△NMA∽△AMB， ∴，即， ∴MA＝60m， 答：小亮与小明之间的距离是60米． 【点评】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，正确进行计算是解题关键． 13．（2025•温州一模）如图，在圆内接四边形ABCD中，延长AB，DC交于点E，在DE上方作△EFG，使点F在线段DE上，且∠1＝∠2，连结DG． （1）若∠1＝35°，B为的中点，求∠ADC的度数． （2）连结BD，当∠BDG＝∠BEG时． ①求证：四边形BEGD是平行四边形． ②若∠3＝∠DAB，求证：BC＝FG． 【分析】（1）连接BD，由已知得∠1＝∠2＝35°，再由圆周角定理∠CDB＝∠2＝35°，再根据点B为弧AC中点得∠ADB＝∠2＝35°，然后根据∠ADC＝∠ADB+∠CDB即可得出答案； （2）①连接BD，由∠CDB＝∠2，∠1＝∠2得∠CDB＝∠1，则BD∥CE，再由∠BDG＝∠BEG得∠GDE＝∠BED，则DG∥BE，由此即可得出结论； ②过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，则∠CDB＝∠PBD，进而得弧BC＝弧PD，则BC＝PD，由圆周角定理得∠P＝∠DAB＝∠3，证明∠PBD＝∠1，再由平行四边形性质得BD＝EG，据此可依据“AAS”判定△PBD和△FEG全等，则PD＝FG，由此即可得出结论． 【解答】（1）解：连接BD，如图1所示： ∵∠1＝∠2，∠1＝35°， ∴∠2＝35°， 由圆周角定理得：∠CDB＝∠2＝35°， ∵点B为弧AC的中点， ∴∠ADB＝∠2＝35°， ∴∠ADC＝∠ADB+∠CDB＝70°； （2）①证明：连接BD，如图2①所示： ∵∠CDB＝∠2，∠1＝∠2， ∴∠CDB＝∠1， ∴BD∥CE， ∵∠BDG＝∠BEG， ∴∠CDB+∠GDE＝∠BED+∠1， ∵∠CDB＝∠1， ∴∠GDE＝∠BED， ∴DG∥BE， 又∵BD∥CE， ∴四边形BEGD是平行四边形； ②证明：过点B作BP∥DE交圆于点P，连接PD，BD，如图2②所示： ∴∠CDB＝∠PBD， ∴， ∴BC＝PD， 由圆周角定理得：∠P＝∠DAB， ∵∠3＝∠DAB， ∴∠P＝∠3， ∵∠1＝∠2，∠CDB＝∠2，∠CDB＝∠PBD， ∴∠PBD＝∠1， ∵四边形BEGD是平行四边形， ∴BD＝EG， 在△PBD和△FEG中， ， ∴△PBD≌△FEG（AAS）， ∴PD＝FG， ∴BC＝FG． 【点评】此题主要考查了圆内接四边形的性质圆周角定理，平行四边形的判定与性质，圆心角、弧、弦的关系，理解圆内接四边形的性质圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线，构造全等三角形是解决问题的难点． 1．（2025•浙江模拟）如图，△ABC内接于⊙O，AC为⊙O的直径，点D，E分别为⊙O上的动点（不与点A，点B，点C重合），且DE＝BC，F为DE的中点，分别连结OF，AF，若AB＝3，BC＝4，则AF的最大值为（　　） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【分析】如图1，过点O作OH⊥BC于H，以点O为圆心，以OH为半径作圆，由勾股定理得：，OH为△ABC的中位线，当点D，E在⊙O上运动时，点F在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF≤OA+OF，如图2：此时，即AF的最大值为4，由此即可求解． 【解答】解：AB为⊙O的直径，如图1，过点O作OH⊥BC于H，以点O为圆心，以OH为半径作圆， ∴∠ABC＝90°， 在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4， 由勾股定理得：， ∴， ∵OH⊥BC，∠ABC＝90°， ∴OH为△ABC的中位线，点F为DE的中点， ∴，即弦BC的弦心距，OF为弦DE的弦心距， ∵DE＝BC， ∴， ∴当点D，E在⊙O上运动时，点F在以点O为圆心，以为半径的圆上运动，根据“两点之间线段最短”得：AF≤OA+OF， ∴当点F在AO的延长线上时，AF为最大， 如图2：此时，即AF的最大值为4， 故选：B． 【点评】本题主要考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，掌握直径所对圆周角是直角，弦心距的计算，点的运动及线段最大值的计算是关键． 2．（2025•杭州二模）点A，B在半径为2的⊙O上，∠AOB＝120°，AC⊥BO，垂足为C．∠ACB绕点C顺时针旋转，分别交⊙O于点M，N（均位于直线AB上方），连接MN． （1）如图1，当∠ACM＝180°时，MN＝ 　 　 ； （2）如图2，当∠ACN＝∠BCN时，MN＝ 　 ． 【分析】（1）当∠ACM＝180°时，点A，C，M共线，先求出∠AOC＝60°，则∠OAC＝30°，再根据含有30°角直角三角形性质得OCOA＝1，进而得NC＝1，然后根据圆周角定理得∠M＝∠B＝30°，由此可得出MN的长； （2）当∠ACN＝∠BCN时，过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NH⊥BC，交BC延长线于点H，连接OM，ON，先求出，∠ACN＝∠BCN＝135°，进而得∠NCH＝45°，∠BCM＝45°，则△CNH和△CMG都是等腰直角三角形，设HC＝HN＝x，CG＝MG＝y，则CN，CM，由（1）可知OC＝1，则OH＝1+x，OG＝y﹣1，在Rt△OCN和Rt△OMG中，分别由勾股定理求出，，则CN，CM，然后在Rt△MCN中，由勾股定理即可求出MN的长． 【解答】解：（1）当∠ACM＝180°时，如图1所示： ∴点A，C，M共线， ∵AC⊥BO， ∴∠ACO＝∠MCN＝90°， ∵⊙O的半径为2， ∴OA＝OB＝ON＝2， ∴∠AOB＝120°， ∴∠OAB＝∠OBA（180°﹣∠AOB）＝30°，∠AOC＝180°﹣∠AOB＝60°， 在Rt△AOC中，∠OAC＝90°﹣∠AOC＝30°， ∴OCOA＝1， ∴NC＝ON﹣OC＝1， 根据圆周角定理得：∠M＝∠B＝30°， 在Rt△MCN中，MN＝2NC＝2， 故答案为：2； （2）当∠ACN＝∠BCN时，如图2所示： 过点M作MG⊥BC于点G，过点N作NH⊥BC，交BC延长线于点H，连接OM，ON，如图2所示： 则OM＝ON＝OA＝OB＝2， 由旋转的性质得：∠MCN＝90°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACH＝∠ACB＝90°， 又∵∠ACN+∠BCN+∠ACB＝360°，∠ACN＝∠BCN， ∴∠ACN＝∠BCN＝135°， ∴∠NCH＝∠ACN﹣∠ACH＝45°，∠BCM＝∠BCN﹣∠MCN＝45°， 又∵NH⊥BC，MG⊥BC， ∴△CNH和△CMG都是等腰直角三角形， 设HC＝HN＝x，CG＝MG＝y， 由勾股定理得：CN，CM， 由（1）可知：OC＝1， ∴OH＝OC+CH＝1+x，OG＝CG﹣OC＝y﹣1， 在Rt△OCN中，由勾股定理得：HN2+OH2＝ON2， ∴x2+（1+x）2＝22， 整理得：2x2+2x﹣3＝0， 解得：x，x（不合题意，舍去）， ∴CN， 在Rt△OMG中，由勾股定理得：MG2+OG2＝OM2， ∴y2+（y﹣1）2＝22， 整理得：2y2﹣2y﹣3＝0， 解得：y，y（不合题意，得去）， ∴CM， 在Rt△MCN中，由勾股定理得：MN． 故答案为： 【点评】此题主要考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，图形的旋转变换及其性质，勾股定理，熟练掌握圆周角定理，图形的旋转变换及其性质，灵活利用勾股定理构造方程是解决问题的关键． 3．（2025•宁波一模）已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，交BC于点E，M是AD上一点． （1）若AB＝AC，　 　 ，求∠BDC的度数． ①AM＝2ME＝2DE；②∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD． （作答第（1）题时，先选择①或②填写在横线处，使题目完整，然后求解∠BDC的度数．） （2）若AB＝c，AE＝m，AC＝b，求DE的长． （3）若∠MBC＝∠MCA＝∠MAB，求证：BC2＝AB•AC． 【分析】（1）当选择①时，由题意易得AE⊥BC，BE＝EC，∠BAD＝∠CAD，然后可得AD是直径，则有点M是圆心，且四边形BDCM是平行四边形，进而问题可求解；若选择②，由题意易得AE⊥BC，∠BAD＝∠CAD，设∠BAD＝α，则有∠MBC＝∠MBA＝2α＝∠BAC，然后可得方程2α+3α＝90°，进而问题可求解； （2）由题意易得∠BAD＝∠CAD，则可证△ABD∽△AEC，则有，进而问题可求解； （3）先证明△ABC∽△BMD，△ABC∽△MDC，则有，，然后根据BD＝CD可得，进而问题可求证． 【解答】（1）解：当选择①时； ∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB＝AC， ∴AE⊥BC，BE＝EC，∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴AD是直径， ∵AM＝2ME＝2DE， ∴ME＝DE，AM＝DM， ∴点M是圆心，且四边形BDCM是平行四边形， ∵BM＝CM， ∴四边形BDCM是菱形， ∴BM＝BD＝DM＝CD＝MC， ∴△BDM，△CDM都为等边三角形， ∴∠BDM＝∠CDM＝60°， ∴∠BDC＝120°； 若选择②； ∵已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D，AB＝AC， ∴AE⊥BC，∠BAD＝∠CAD， 由∠MBC＝∠MBA＝2∠BAD可设∠BAD＝α，则有∠MBC＝∠MBA＝2α＝∠BAC， ∴∠BMD＝∠MBA+∠BAD＝3α， ∵∠MEB＝90°， ∴∠MBC+∠BME＝90°，即2α+3α＝90°， ∴α＝18°， ∴∠BAC＝2α＝36°， ∵四边形ABDC内接于圆O， ∴∠BDC＝180°﹣∠BAC＝144°， 故答案为：①（或②）； （2）解：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠ADB＝∠ACE， ∴△ABD∽△AEC， ∴， ∵AB＝c，AE＝m，AC＝b， ∴， ∴， ∴； （3）证明：已知△ABC内接于圆O，AD平分∠BAC交圆O于点D， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠MBC＝∠MCA＝∠MAB， ∴∠MBC＝∠MCA＝∠MAB＝∠CAD， ∴∠BMD＝∠BAM+∠ABM＝∠ABM+∠MBC＝∠ABC， ∵∠BDM＝∠ACB， ∴△ABC∽△BMD， ∴，即， ∵∠DMC＝∠CAD+∠ACM＝2∠CAD， ∴∠BAC＝∠DMC， ∵∠ABC＝∠MDC， ∴△ABC∽△MDC， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠CAD， ∴， ∴BD＝CD， ∴， ∴， ∴BC2＝AB•AC． 【点评】本题属于圆的综合题，主要考查垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握垂径定理、菱形的性质与判定、圆周角的性质、圆内接四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2025•舟山三模）已知△DBC内接于圆O，作外角∠EDC的角平分线交圆O于点A，连结AB，AC． （1）如图1，求证：△ABC为等腰三角形． （2）如图2，若CD过圆心O，AB、CD交于点F，DB＝5，DF＝3，求BC． （3）如图3，作直径AH交BC于点G，若BD∥AC，且，AB，求圆O的半径． 【分析】（1）利用角平分线的定义，圆的内接四边形的性质和圆周角定理得到∠ABC＝∠ACB，再利用等腰三角形的判定定理解答即可； （2）连结AO，利用垂径定理得到DB⊥BC，利用平行线的判定定理得到DB⫽AO，再利用相似三角形的判定与性质得到OA，则CD可得，最后利用勾股定理解答即可； （3）连结BO，在射线DE上取点K，连接AK，使得AK＝AD，设BC＝10x，则BD＝21x，利用圆的平行线弦的性质得到AD＝BC＝10x；利用相似三角形的判定与性质得到DKx2，利用等腰三角形的判定与性质得到，利用BK＝BD+DK列出方程求得x值，则BC可求，利用垂径定理求得BG，利用勾股定理求得AG，再利用勾股定理列出方程解答即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵DA平分∠EDC， ∴∠EDA＝∠CDA， ∵∠EDA+∠ADB＝180°，∠ACB+∠ADB＝180°， ∴∠EDA＝∠ACB． ∵∠CDA＝∠ABC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， 即△ABC为等腰三角形； （2）解：连结AO，如图， ∵CD为圆O直径， ∴∠DBC＝90°， ∴DB⊥BC， ∵AB＝AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴DB⫽AO， ∴△AOF∽△BDF， ∴， ∴， ∴OA， ∴CD＝2OA＝15， ∴； （3）解：连结BO，在射线DE上取点K，连接AK，使得AK＝AD，如图， ∵， ∴设BC＝10x，则BD＝21x， ∵BD∥AC， ∴， ∴AD＝BC＝10x． 由（1）知：∠EDA＝∠CDA＝∠ACB＝∠ABC， ∵AK＝AD， ∴∠AKD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠AKD＝∠ACB＝∠ABC， ∴△ABC∽△ADK， ∴， ∴， ∴DKx2． ∵BD∥AC， ∴∠KBA＝∠BAC， ∵∠AKD＝∠ABC， ∴∠BAK＝∠ACB， ∴∠BAK＝∠AKD， ∴， ∵BK＝BD+DK， ∴21x4， ∴x． ∴BC． ∵AH为直径，AH⊥BC， ∴BG， ∴AG． 在Rt△OBG中， ∵BG2+OG2＝OB2， ∴， ∴OB＝5． ∴圆O的半径为5． 【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，垂径定理，圆的内接四边形的性质，角平分线的定义，直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线构造直角三角形和相似三角形是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $