第九章因式分解单元小结与思考讲义 2025-2026学年苏科版八年级数学下册

该初中数学单元复习讲义通过思维导图系统梳理了因式分解的知识体系，将提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法等核心方法按“概念-方法-步骤”逻辑呈现，并用知识梳理表明确重难点及因式分解与整式乘法的互逆关系。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题如分解因式2x²-4x巩固方法，提优题“奇特数”探究结合实际情境，培养运算能力与应用意识。每个题型附易错点分析，帮助基础学生规范步骤，优秀学生拓展思维，教师可据此实施精准分层教学。

2025-2026学年苏科版八年级数学下《第九章因式分解》单元小结与思考讲义 一．学习目标 ( 1.   深入理解因式分解的概念，清晰区分因式分解与整式乘法的关系；熟练掌握提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法这三种核心因式分解方法，能准确、规范地完成多项式因式分解，做到分解彻底。 2.   通过知识梳理、例题探究、习题训练，经历因式分解的完整思维过程，体会转化思想、整体思想、逆向思维，提升代数恒等变形能力和逻辑推理能力。 3.   培养严谨的数学运算习惯，提高纠错、自查能力，感受因式分解在代数式化简、求值中的应用价值，激发数学学习兴趣。 4.   掌握单元核心考点和解题步骤，能灵活应对各类因式分解题型，提升解题准确率和速度。 ) 二．思维导图 ( ) 三．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   精准理解因式分解的定义，明确其本质是把多项式化为几个整式的积的形式，能快速判断变形是否为因式分解。 2.   熟练掌握提公因式法：准确确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），掌握提公因式的规范步骤，注意符号和漏项问题。 3.   熟练运用公式法：牢记平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)、完全平方公式a 2 ± 2ab+ 2 b=(a ± b) 2 ，精准识别公式特征，灵活套用公式分解因式。 4.   掌握因式分解的基本步骤：一提公因式，二套公式，三检查是否分解彻底，形成规范解题流程。 （二）难点 1.   准确区分因式分解与整式乘法，避免混淆两种互逆变形，能利用整式乘法检验因式分解的正确性。 2.   确定复杂多项式的公因式，尤其是含负系数、多项式公因式、相同字母低次幂的情况，解决提取公因式后符号变化、项数遗漏问题。 3.   灵活判断多项式是否符合公式特征，区分平方差公式（两项、异号、平方项）和完全平方公式（三项、两平方项同号、中间项为积的2倍），避免公式混用。 4.   解决综合型因式分解（先提公因式再用公式、整体换元分解），突破分解不彻底、变形不规范的问题。 5.   运用因式分解解决代数式求值、简便运算等实际问题，实现知识的灵活迁移。 ) 四．知识梳理 （一）、核心概念 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个______的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系：二者互为______运算（因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”）。 3.因式分解的结果要求：必须分解到每个因式都______为止。 （二）、基本方法 1.提公因式法 （1）公因式的确定：①取各项系数的______；②取各项相同字母的______；③若有多项式因式，取相同的______因式。 （2）提公因式法公式：ma+mb+mc=______。 （3）提取公因式的注意事项：当首项系数为负时，通常先提取“-”号，使括号内首项系数为______。 2.公式法 （1）平方差公式：a2-b2=______（特征：二项式，两项符号相反，均可化为平方形式）。 （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=___________；a2-2ab+b2=_______________（特征：三项式，首末两项为平方项且同号，中间项为首尾两项积的2倍）。 （三）、综合步骤与易错点 1.因式分解的一般步骤：一______（提公因式）、二______（套公式）、三______（检查是否分解彻底）。 2.常见易错点：①漏提系数的最大公约数；②忽略首项负号的处理；③对完全平方公式的中间项______判断错误。 五．强化基础 （一）．选择题 1．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2） 2．下列因式分解错误的是（　　） A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3） C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2） 3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 4．（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）与下列哪一个式子相同？（　　） A．（3x6﹣4x5）（2x+1） B．（3x6﹣4x5）（2x+3） C．﹣（3x6﹣4x5）（2x+1） D．﹣（3x6﹣4x5）（2x+3） 5. (-2)2026+(-2)2027等于（ ） A. -22026 B. -22027 C. 22026 D. -2 6.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为(　　) A.2，3 B.－2，－3 C.－2，3 D.2，－3 7.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 8.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　 B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　 D.x2-x=x(x-1) 9．如果，那么b的值一定是（    ） A．21 B．21或 C．42 D．42或 10．已知x＝+1，则x2﹣2x+1的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D． （二）．填空题 11.分解因式：2x2﹣4x=　 　． 12．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2=　 　． 13．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是　 　． 14．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为　　． 15．若可分解为，则的值为 ． 16．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 17.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  18.若496-1可以被60-70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  20. 已知，则的值是__________． （三）．解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 23．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 25. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：32________“奇特数”，2 022________“奇特数”(填“是”或“不是”)； (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 26．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：x2﹣12x+2026的最小值． 解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2026＝（x﹣6）2+1990 ∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1990． 例如：分解因式：x2﹣120x+3456 解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456 ＝（x﹣60）2﹣144 ＝（x﹣60）2﹣122 ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） ＝（x﹣48）（x﹣72） （1）分解因式：x2+6x﹣7＝　 　； （2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值； （3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 六．强化提优 （一）选择题 1．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（　　） A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3 2.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 3.2026年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 4.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 5．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 6.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2027　　　　B.2026　　　　C.2025　　　　D.2024 7.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) 8. 若a、b、c是△ABC的三边，满足且，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 9.将多项式m2-2mn-3n2因式分解时,虽然它不符合完全平方式的形式,但经过变形,可以利用完全平方公式进行分解:原式=m2-2mn+n2-4n2=(m-n)2-4n2=(m+n)(m-3n),像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”.用这种方法把多项式a2-6ab+5b2因式分解的结果是(　　) A.(a+5b)(a+b)　　B.(a-5b)(a+b) C.(a+5b)(a-b)　　D.(a-5b)(a-b) 10．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　） ①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 （二）填空题 11．分解因式a2b﹣2ab2=　 　． 12．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　　． 13．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　　． 14.找规律： 1×3＋1＝4＝22； 2×4＋1＝9＝32； 3×5＋1＝16＝42； 4×6＋1＝25＝52； … 请你把找出的规律用式子表示出来：　　 。  15.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 16．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 17.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是_______ 18.若x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,则m的值应为　　　　.  19. 若，则的值为______________ 20．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____． （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 23．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． 24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22-02，12=42-22，20=62-42因此4,12,20都是“神秘数”. (1)试分析28是否为“神秘数”. (2)2026是“神秘数”吗? 为什么? (3)说明两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数. (4)设两个连续奇数为2k+1和2k-1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗? 为什么? 25．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下《第九章因式分解》单元小结与思考讲义 一．学习目标 ( 1.   深入理解因式分解的概念，清晰区分因式分解与整式乘法的关系；熟练掌握提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法这三种核心因式分解方法，能准确、规范地完成多项式因式分解，做到分解彻底。 2.   通过知识梳理、例题探究、习题训练，经历因式分解的完整思维过程，体会转化思想、整体思想、逆向思维，提升代数恒等变形能力和逻辑推理能力。 3.   培养严谨的数学运算习惯，提高纠错、自查能力，感受因式分解在代数式化简、求值中的应用价值，激发数学学习兴趣。 4.   掌握单元核心考点和解题步骤，能灵活应对各类因式分解题型，提升解题准确率和速度。 ) 二．思维导图 ( ) 三．重点难点 ( （ 一 ） 重点 1.   精准理解因式分解的定义，明确其本质是把多项式化为几个整式的积的形式，能快速判断变形是否为因式分解。 2.   熟练掌握提公因式法：准确确定多项式各项的公因式（系数取最大公约数，相同字母取最低次幂），掌握提公因式的规范步骤，注意符号和漏项问题。 3.   熟练运用公式法：牢记平方差公式a 2 -b 2 =(a+b)(a-b)、完全平方公式a 2 ± 2ab+ 2 b=(a ± b) 2 ，精准识别公式特征，灵活套用公式分解因式。 4.   掌握因式分解的基本步骤：一提公因式，二套公式，三检查是否分解彻底，形成规范解题流程。 （二）难点 1.   准确区分因式分解与整式乘法，避免混淆两种互逆变形，能利用整式乘法检验因式分解的正确性。 2.   确定复杂多项式的公因式，尤其是含负系数、多项式公因式、相同字母低次幂的情况，解决提取公因式后符号变化、项数遗漏问题。 3.   灵活判断多项式是否符合公式特征，区分平方差公式（两项、异号、平方项）和完全平方公式（三项、两平方项同号、中间项为积的2倍），避免公式混用。 4.   解决综合型因式分解（先提公因式再用公式、整体换元分解），突破分解不彻底、变形不规范的问题。 5.   运用因式分解解决代数式求值、简便运算等实际问题，实现知识的灵活迁移。 ) 四．知识梳理 （一）、核心概念 1.因式分解的定义：把一个多项式化成几个______的积的形式，这种变形叫做因式分解，也叫分解因式。 2.因式分解与整式乘法的关系：二者互为______运算（因式分解是“和差化积”，整式乘法是“积化和差”）。 3.因式分解的结果要求：必须分解到每个因式都______为止。 （二）、基本方法 1.提公因式法 （1）公因式的确定：①取各项系数的______；②取各项相同字母的______；③若有多项式因式，取相同的______因式。 （2）提公因式法公式：ma+mb+mc=______。 （3）提取公因式的注意事项：当首项系数为负时，通常先提取“-”号，使括号内首项系数为______。 2.公式法 （1）平方差公式：a2-b2=______（特征：二项式，两项符号相反，均可化为平方形式）。 （2）完全平方公式：a2+2ab+b2=___________；a2-2ab+b2=_______________（特征：三项式，首末两项为平方项且同号，中间项为首尾两项积的2倍）。 （三）、综合步骤与易错点 1.因式分解的一般步骤：一______（提公因式）、二______（套公式）、三______（检查是否分解彻底）。 2.常见易错点：①漏提系数的最大公约数；②忽略首项负号的处理；③对完全平方公式的中间项______判断错误。 【答案】 （一）、核心概念 1.整式 2.逆 3.不能再分解 （二）、基本方法 1.提公因式法 （1）最大公约数；最低次幂；多项式（2）m(a+b+c)（3）正 2.公式法 （1）(a+b)(a-b) （2）(a+b)2；(a-b)2 （三）、综合步骤与易错点 1.提；套；查 2.符号 五．强化基础 （一）．选择题 1．下列因式分解正确的是（　　） A．x2﹣4=（x+4）（x﹣4） B．x2+2x+1=x（x+2）+1 C．3mx﹣6my=3m（x﹣6y） D．2x+4=2（x+2） 【答案】D 【解析】A、原式=（x+2）（x﹣2），错误；B、原式=（x+1）2，错误；C、原式=3m（x﹣2y），错误；D、原式=2（x+2），正确，故选D 2．下列因式分解错误的是（　　） A．2a﹣2b=2（a﹣b） B．x2﹣9=（x+3）（x﹣3） C．a2+4a﹣4=（a+2）2 D．﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2） 【答案】C 【解析】A、2a﹣2b=2（a﹣b），正确；B、x2﹣9=（x+3）（x﹣3），正确；C、a2+4a﹣4不能因式分解，错误；D、﹣x2﹣x+2=﹣（x﹣1）（x+2），正确；故选C． 3．将下列多项式分解因式，结果中不含因式x﹣1的是（　　） A．x2﹣1 B．x（x﹣2）+（2﹣x） C．x2﹣2x+1 D．x2+2x+1 【答案】D 【解析】A、x2﹣1=（x+1）（x﹣1），故A选项不合题意；B、x（x﹣2）+（2﹣x）=（x﹣2）（x﹣1），故B选项不合题意；C、x2﹣2x+1=（x﹣1）2，故C选项不合题意；D、x2+2x+1=（x+1）2，故D选项符合题意．故选：D． 4．（3x+2）（﹣x6+3x5）+（3x+2）（﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）与下列哪一个式子相同？（　　） A．（3x6﹣4x5）（2x+1） B．（3x6﹣4x5）（2x+3） C．﹣（3x6﹣4x5）（2x+1） D．﹣（3x6﹣4x5）（2x+3） 【答案】C 【解析】原式=（3x+2）（﹣x6+3x5﹣2x6+x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=（3x+2）（﹣3x6+4x5）+（x+1）（3x6﹣4x5）=﹣（3x6﹣4x5）（3x+2﹣x﹣1）=﹣（3x6﹣4x5）（2x+1）．故选：C． 5. (-2)2026+(-2)2027等于（ ） A. -22026 B. -22027 C. 22026 D. -2 【答案】C 【解析】(-2)2026+(-2)2027=(-2)2026×(1-2)=22026，故选C. 6.若把多项式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)·(x－3)，则a，b的值分别为(　　) A.2，3 B.－2，－3 C.－2，3 D.2，－3 【答案】：B 【解析】： (x＋1)(x－3)＝x2－2x－3，∴a＝－2，b＝－3。 7.已知a2-25b2=4,a-5b=,则a+5b的值为(　　) A.16　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.14 【答案】　A　 【解析】∵a2-25b2=(a+5b)(a-5b)=4,a-5b=4,解得a+5b=16.故选A. 8.如图1,将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分),并将剩余部分沿虚线剪开,得到两个长方形,再将这两个长方形拼成图2所示的大长方形.这两个图能解释下列哪个等式(　　) 　　 A.x2-2x+1=(x-1)2　 B.x2-1=(x+1)(x-1) C.x2+2x+1=(x+1)2　 D.x2-x=x(x-1) 【答案】　B　 【解析】第一个图形中的空白部分的面积是x2-1,第二个图形的面积是(x+1)(x-1), 则x2-1=(x+1)(x-1).故选B. 9．如果，那么b的值一定是（    ） A．21 B．21或 C．42 D．42或 【答案】D 【解析】 ，，，解得：，或，， 10．已知x＝+1，则x2﹣2x+1的值为（　　） A．0 B．3 C．1 D． 【答案】B 【解析】∵x=∴x-1=，∴ x2﹣2x+1=（x-1） 2=3.故答案为：B （二）．填空题 11.分解因式：2x2﹣4x=　 　． 【答案】2x（x﹣2） 【解析】2x2﹣4x=2x（x﹣2）．故答案为：2x（x﹣2）． 12．分解因式：（a﹣b）2﹣4b2=　 　． 【答案】（a+b）（a﹣3b） 【解析】（a﹣b）2﹣4b2=（a﹣b+2b）（a﹣b﹣2b）=（a+b）（a﹣3b）．故答案为：（a+b）（a﹣3b）． 13．分解因式（a﹣b）（a﹣4b）+ab的结果是　 　． 【答案】（a﹣2b）2 【解析】（a﹣b）（a﹣4b）+ab=a2﹣5ab+4b2+ab=a2﹣4ab+4b2=（a﹣2b）2．故答案为：（a﹣2b）2． 14．若a=2，a﹣2b=3，则2a2﹣4ab的值为　　． 【答案】12 【解析】∵a=2，a﹣2b=3，∴2a2﹣4ab=2a（a﹣2b）=2×2×3=12．故答案为：12． 15．若可分解为，则的值为 ． 【答案】 【解析】∵，∴， ∴，；解得，；∴；故答案为： 16．根据如图所示的拼图过程，写出一个多项式的因式分解：　 　． 【答案】x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2） 【解析】四张长方形或正方形纸片拼成一个大长方形，面积可以表示为：x2+2x+4x+8＝x2+6x+8＝（x+4）（x+2）．故答案为：x2+2x+4x+8＝（x+4）（x+2）． 17.已知3m-n=1,则9m2-n2-2n的值为　　　　.  【答案】1 【解析】∵3m-n=1,∴9m2-n2-2n=(3m+n)(3m-n)-2n=3m+n-2n=3m-n=1,故答案为1. 18.若496-1可以被60-70之间的两个整数整除,则这两个整数是　　　　.  【答案】63,65 【解析】496-1=(448+1)(448-1)=(448+1)(424+1)(424-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(412-1) =(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(46-1)=(448+1)(424+1)(412+1)(46+1)(43+1)(43-1), ∵43+1=65,43-1=63,∴496-1可以被60~70之间的65,63整除,故答案为63,65. 19．已知＋y2－6y＋9＝0，则xy的值是(　B　) 【答案】－4 【解析】：由题意得＋(y－3)2＝0，∴3x＋4＝0，y－3＝0, ∴x＝－，y＝3, ∴xy＝－4. 20. 已知，则的值是__________． 【答案】7 【解析】将两边平方得：，即：，解得：＝7， 故填7。 （三）．解答题 21．分解因式： (1)－x2＋3x； (2)27a3bc－3ab3c； (3)－ab＋2a2b－a3b. （4）9a2(x－y)＋4b2(y－x) 解：(1)－x2＋3x＝－x(x－3)． (2)27a3bc－3ab3c＝3abc(9a2－b2)＝3abc(3a＋b)(3a－b)． (3)－ab＋2a2b－a3b＝－ab(1－2a＋a2)＝－ab(1－a)2. (4)9a2(x－y)＋4b2(y－x)＝(x－y)(9a2－4b2)＝(x－y)(3a＋2b)(3a－2b)． 22. 用简便方法计算： (1). (2)(1－)(1－)(1－)…(1－)·(1－)． 解：（1）原式＝＝＝10 （2）原式＝(1－)(1＋)(1－)(1＋)(1－)(1＋)…(1－)(1＋)(1－)(1＋)＝××××××…××××＝×＝ 23．分解因式与整式乘法是相反变形，如：（x﹣1）2＝x2﹣2x+1是整式乘法运算，相反变形x2﹣2x+1＝（x﹣1）2是多项式的因式分解． （1）计算并观察下列各式： （x﹣1）（x+1）＝　　； （x﹣1）（x2+x+1）＝　 　； （x﹣1）（x3+x2+x+1）＝　 　． （2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接填空． （x﹣1）（　 　）＝x6﹣1 （3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）的结果为　xm+1﹣1　． （4）请结合上面方法分解因式x8﹣1． 解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1； （2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）＝x6﹣1； （3）（x﹣1）（xm+xm﹣1+xm﹣2+xm﹣3+…+x+1）＝xm+1﹣1．故答案为x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（x5+x4+x3+x2+x+1）＝xm+1﹣1；（4）x8﹣1＝（x﹣1）（x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）． 24.用一张如图①所示的正方形硬纸板、三张如图②所示的长方形硬纸板、两张如图③所示的正方形硬纸板拼成一个大长方形(如图④). 　　　 解答下列问题: (1)请用不同的式子表示图④中大长方形的面积; (2)根据(1)所得结果,写出一个表示因式分解的等式. 解：(1)题图④中大长方形的长为a+2b,宽为a+b,∴面积为(a+b)(a+2b);大长方形的面积还等于各部分面积的和,即大长方形的面积=a2+3ab+2b2. (2)由(1)得a2+3ab+2b2=(a+b)(a+2b). 25. 如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“奇特数”．例如：8＝32－12，16＝52－32，24＝72－52；则8，16，24这三个数都是“奇特数”． (1)填空：32________“奇特数”，2 022________“奇特数”(填“是”或“不是”)； (2)设两个连续奇数是2n－1和2n＋1(其中n为正整数)，由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数吗？为什么？ (3)如图所示，拼叠的正方形的边长是从1开始的连续奇数，按此规律拼叠到正方形ABCD，其边长为99，求阴影部分的面积． 解：(1) 是 不是 (2)是，理由如下：∵(2n＋1)2－(2n－1)2＝(2n＋1＋2n－1)(2n＋1－2n＋1)＝4n·2＝8n，∴由这两个连续奇数构造的“奇特数”是8的倍数 (3)S阴影＝(992－972)＋(952－932)＋(912－892)＋…＋(72－52)＋(32－12)＝(99＋97)×(99－97)＋(95＋93)×(95－93)＋(91＋89)×(91－89)＋…＋(7＋5)×(7－5)＋(3＋1)×(3－1)＝(99＋97＋95＋…＋3＋1)×2＝×2＝5 00 26．阅读下面材料，在代数式中，我们把一个二次多项式化为一个完全平方式与一个常数的和的方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它不仅可以将一个看似不能分解的多项式因式分解，还能求代数式最大值，最小值等问题． 例如：求代数式：x2﹣12x+2026的最小值． 解：原式＝x2﹣12x+62﹣62+2026＝（x﹣6）2+1990 ∴当x＝6时，（x﹣6）2的值最小，原式最小值为1990． 例如：分解因式：x2﹣120x+3456 解：原式＝x2﹣2×60x+602﹣602+3456 ＝（x﹣60）2﹣144 ＝（x﹣60）2﹣122 ＝（x﹣60+12）（x﹣60﹣12） ＝（x﹣48）（x﹣72） （1）分解因式：x2+6x﹣7＝　 　； （2）利用配方法求代数式﹣x2+10x+33的最大值； （3）试说明：m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 解：（1）x2+6x﹣7＝（x﹣1）（x+7）；故答案为：（x﹣1）（x+7）； （2）﹣x2+10x+33＝﹣（x2﹣10x）+33＝﹣（x2﹣2×5x+52﹣52）+33＝﹣[（x﹣5）2﹣25]+33， ∵（x﹣5）2≥0，∴﹣（x﹣5）2≤0，∴﹣（x﹣5）2+58≤58，当x＝5时，﹣x2+10x+33值最大，最大值为58； （3）∵9m2+8n2+12mn﹣24n+45＝9m2+12mn+4n2+4n2﹣24n+36+9＝（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9， 又∵（3m+2n）2≥0，（2n﹣6）2≥0，∴（3m+2n）2+（2n﹣6）2+9≥9，∴m、n取任何实数时，代数式9m2+8n2+12mn﹣24n+45的值总大于8． 六．强化提优 （一）选择题 1．把多项式x2+ax+b分解因式，得（x+1）（x﹣3）则a，b的值分别是（　　） A．a=2，b=3 B．a=﹣2，b=﹣3 C．a=﹣2，b=3 D．a=2，b=﹣3 【答案】B 【解析】∵（x+1）（x﹣3）=x•x﹣x•3+1•x﹣1×3=x2﹣3x+x﹣3=x2﹣2x﹣3∴x2+ax+b=x2﹣2x﹣3∴a=﹣2，b=﹣3．故选：B． 2.将下列多项式因式分解，结果中不含有因式a+1的是（　　） A．a2﹣1 B．a2+a C．a2+a﹣2 D．（a+2）2﹣2（a+2）+1 【答案】C 【解析】∵a2﹣1=（a+1）（a﹣1），a2+a=a（a+1），a2+a﹣2=（a+2）（a﹣1），（a+2）2﹣2（a+2）+1=（a+2﹣1）2=（a+1）2，∴结果中不含有因式a+1的是选项C；故选：C． 3.2026年DeepSeek开源AI模型引发技术革命，其算法优化中涉及多项式a2 - 2a + 1，下列关于其因式分解与整式乘法关系的说法正确的是（） A. (a - 1)2= a2 - 2a + 1是因式分解 B. a2- 2a + 1 = (a - 1)2是整式乘法 C. 两者是互逆变形 D. 两者无直接关系 【答案】：C 【解析】：(a - 1)2= a2- 2a + 1是“积化和差”，属于整式乘法；a2- 2a + 1 = (a - 1)2是“和差化积”，属于因式分解，两者运算方向相反，是互逆变形，答案为C。 4.113-11不能被下列哪个数整除？（ ） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 【答案】A 【解析】∵113－11=11×，∴113－11不能被13整除.故选A. 5．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■＝(x2＋4)(x＋2)(x－▲)中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是(　　) A．8，1 B．16，2 C．24，3 D．64，8 【答案】B 【解析】根据等式右边第一个因式是(x2＋4)则可判断另一个因式是(x2－4)，再把(x2－4)分解，可得(x＋2)(x－2)，得出▲＝2，则(x2＋4)(x＋2)(x－2)＝(x2＋4)(x2－4)＝x4－16，则■＝16. 6.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“奇妙数”,如:因为16=52-32,所以16为“奇妙数”,下面4个数中为“奇妙数”的是(　　) A.2027　　　　B.2026　　　　C.2025　　　　D.2024 【答案】D　 【解析】设两个连续的奇数为n,n+2,则(n+2)2-n2=(n+2+n)(n+2-n)=4n+4. A.4n+4=2021,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;B.4n+4=2 022,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;C.4n+4=2 023,解得n=,n不是奇数,故不符合题意;D.4n+4=2 024,解得n=505,n是奇数,故符合题意.故选D. 7.如图1，将边长为x的大正方形剪去一个边长为1的小正方形(阴影部分)，并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成如图2所示长方形．这两个图能解释下列哪个等式(　　) A.x2－2x＋1＝(x－1)2 B．x2－1＝(x＋1)(x－1) C．x2＋2x＋1＝(x＋1)2 D．x2－x＝x(x－1) 【答案】B 【解析】由题图可知，图1的面积为：x2－12，图2的面积为：(x＋1)(x－1)， 所以x2－1＝(x＋1)(x－1). 8. 若a、b、c是△ABC的三边，满足且，则△ABC的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】∵a2-2ab+b2=0且b2-c2=0，∴（a-b）2=0且（b+c）（b-c）=0，∴a=b且b=c，即a=b=c，∴△ABC为等边三角形，故选D． 9.将多项式m2-2mn-3n2因式分解时,虽然它不符合完全平方式的形式,但经过变形,可以利用完全平方公式进行分解:原式=m2-2mn+n2-4n2=(m-n)2-4n2=(m+n)(m-3n),像这样构造完全平方式的方法称之为“配方法”.用这种方法把多项式a2-6ab+5b2因式分解的结果是(　　) A.(a+5b)(a+b)　　B.(a-5b)(a+b) C.(a+5b)(a-b)　　D.(a-5b)(a-b) 【答案】　D　 【解析】a2-6ab+5b2=a2-6ab+9b2-4b2=(a-3b)2-(2b)2=(a-3b+2b)(a-3b-2b)=(a-b)(a-5b).故选D. 10．下列各式中，不能用完全平方公式分解的个数为（　　） ①x2﹣10x+25；②4a2+4a﹣1；③x2﹣2x﹣1；④；⑤． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】①x2﹣10x+25=（x﹣5）2，不符合题意；②4a2+4a﹣1不能用完全平方公式分解； ③x2﹣2x﹣1不能用完全平方公式分解；④=﹣（m2﹣m+）=﹣（m﹣）2，不符合题意；⑤不能用完全平方公式分解．故选：C． （二）填空题 11．分解因式a2b﹣2ab2=　 　． 【答案】ab（a﹣2b） 【解析】a2b﹣2ab2=ab（a﹣2b），故答案为：ab（a﹣2b）． 12．若ab=2，a﹣b=﹣1，则代数式a2b﹣ab2的值等于　　． 【答案】﹣2 【解析】∵ab=2，a﹣b=﹣1，∴a2b﹣ab2=ab（a﹣b）=2×（﹣1）=﹣2．故答案为：﹣2． 13．已知（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）可分解因式为（3x+a）（x+b），其中a、b均为整数，则a+3b=　　． 【答案】﹣31 【解析】（2x﹣21）（3x﹣7）﹣（3x﹣7）（x﹣13）=（3x﹣7）（2x﹣21﹣x+13）=（3x﹣7）（x﹣8）=（3x+a）（x+b），则a=﹣7，b=﹣8，故a+3b=﹣7﹣24=﹣31，故答案为：﹣31． 14.找规律： 1×3＋1＝4＝22； 2×4＋1＝9＝32； 3×5＋1＝16＝42； 4×6＋1＝25＝52； … 请你把找出的规律用式子表示出来：　　 。  【答案】n(n＋2)＋1＝(n＋1)2 【解析】左边的乘法部分：第一个数是n，第二个数是n+2，再加上1，即n(n+2)+1。 右边的平方部分：底数是n+1，即(n+1)2。我们可以通过代数运算验证：n(n+2)+1 = n2 + 2n + 1 = (n+1)2 15.多项式a2﹣9bn（其中n是小于10的自然数，b≠0）可以分解因式，则n能取的值共有 　 　种． 【答案】：5 【解析】：该式能分解因式，说明 a2-9bn 需为平方差形式，即 9bn 必须是完全平方，因此 n 需为偶数。小于10的自然数中，偶数为 0,2,4,6,8，共5种。 16．已知xy＝－2026，则()2－()2=_______________________. 【答案】2026. 【解析】原式＝(+ )(—— )=-xy=2026 17.生活中我们经常用到密码,如到银行取款.有一种用“因式分解”法产生的密码,方便记忆,其原理是:将一个多项式分解因式,如多项式x4-y4因式分解的结果是(x-y)(x+y)(x2+y2),当取x=9,y=9时,各个因式的值是:x-y=0,x+y=18,x2+y2=162,于是可以把“018162”作为一个六位数的密码.类似地,对于多项式4x3-xy2,当取x=10,y=10时,用上述方法可以产生一个六位数密码,则这个密码可以是_______ 【答案】101030 【解析】4x3-xy2=x(4x2-y2)=x(2x-y)(2x+y),∵x=10,y=10,∴2x-y=2×10-10=10,2x+y=2×10+10=30,∴这个密码可以是101030. 18.若x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,则m的值应为　　　　.  【答案】　-1或9 【解析】　∵x2+2(m-4)x+25是一个完全平方式,∴2(m-4)x=±2·x·5,∴m-4=±5,解得m=-1或9. 19. 若，则的值为______________ 【答案】 【解析】∵m2+2mn+2n2-6n+9=0∴（m+n）2+（n-3）2=0，∴m+n=0且n-3=0，∴m=-3，n=3， ∴，故答案为：-. 20．利用1个a×a的正方形，1个b×b的正方形和2个a×b的矩形可拼成一个正方形(如图所示)，从而可得到因式分解的公式____． 【答案】a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 【解析】：两个正方形的面积分别为a2，b2，两个长方形的面积都为ab，组成的正方形的边长为a＋b，面积为(a＋b)2，所以a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2. （三）解答题 21．因式分解： （1）4m2n﹣8mn2﹣2mn （2）m2（m+1）﹣（m+1） （3）4x2y+12xy+9y （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15． 解：（1）4m2n﹣8mn2﹣2mn＝2mn（2m﹣4n﹣1）； （2）m2（m+1）﹣（m+1）＝（m+1）（m2﹣1）＝（m+1）2（m﹣1）； （3）4x2y+12xy+9y＝y（4x2+12x+9）＝y（2x+3）2； （4）（x2﹣6）2+2（x2﹣6）﹣15＝（x2﹣6﹣3）（x2﹣6+5）＝（x2﹣9）（x2﹣1） ＝（x+3）（x﹣3）（x+1）（x﹣1）． 22.如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长为m的大正方形,两块是边长为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的小长方形,且m>n. (1)根据图形,因式分解2m2+5mn+2n2=　　　　.  (2)若每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,求图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和. 解：(1)大长方形的长为2m+n,宽为m+2n,∴2m2+5mn+2n2=(2m+n)(m+2n). 故答案为(2m+n)(m+2n). (2)∵每块小长方形的面积为12,四个正方形的面积和为80,∴mn=12,2m2+2n2=80,∴m2+n2=40,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=40+12×2=64,∴m+n=8,∴题图中所有裁剪线(虚线部分)的长度之和为6m+6n=6(m+n)=48. 23．理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如：若x2+x＝0，则x2+x+1186=_____；我们将x2+x作为一个整体代入，则原式＝0+1186＝1186． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： （1）若x2+x﹣1＝0，则x2+x+2025＝　　 ； （2）若a+b＝3，求2（a+b）﹣a﹣b+21的值； （3）若a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，则a2+b2+4ab＝　　 ． （4）当x＝1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值为m，求当x＝﹣1时，代数式ax5+bx3+cx﹣5的值． 解：（1）∵x2+x﹣1＝0，∴x2+x＝1，∴x2+x+2025＝1+2025＝2026；故答案为：2026； （2）∵a+b＝3，∴2（a+b）﹣a﹣b+21＝2（a+b）﹣（a+b）+21＝（a+b）+21＝3+21＝24； （3）∵a2+2ab＝20，b2+2ab＝8，∴a2+b2+4ab＝（a2+2ab）+（b2+2ab）＝20+8＝28；故答案为：28； （4）当x＝1时，ax5+bx3+cx﹣5＝a+b+c﹣5＝m，∴a+b+c＝m+5，∴当x＝﹣1时，ax5+bx3+cx﹣5＝﹣a﹣b﹣c﹣5＝﹣（a+b+c）﹣5＝﹣（m+5）﹣5＝﹣m﹣10． 24.如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如： 4=22-02，12=42-22，20=62-42因此4,12,20都是“神秘数”. (1)试分析28是否为“神秘数”. (2)2026是“神秘数”吗? 为什么? (3)说明两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“神秘数”是4的倍数. (4)设两个连续奇数为2k+1和2k-1，两个连续奇数的平方差(k取正整数)是“神秘数”吗? 为什么? 解：（1）28=64-36=82-62.28是“神秘数”. (2)2026不是“神秘数”.设2026是由γ和y-2两数的平方差得到的y2-（y-2）2=2026，则 y解得y=507.5,不是偶数,2026不是“神秘数”。 （3）（2k+2）2-（2k）2=（2k+2+2k）（2k+2-2k）=4（2k+1）∴由2k+2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. (4)不是.因为（2k+1）2-（2k-1）2=8k，是8的倍数，即是4的偶数倍，而非4的奇数倍，由(3)可知，它不是“神秘数”. 25．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0，利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求k的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； (3)在（2）的条件下，直接写出多项式因式分解的结果． 解：（1）∵是多项式的一个因式，∴当时，得， 解得：； （2）∵和是多项式的两个因式，∴可有，整理可得，解得， 即的值为，的值为； （3）由（2）可知，的值为，的值为，∴多项式为， ∵和是多项式的两个因式，的次数最高项的次数为3，次数最高项的系数为1，∴设， 右边展开式的常数项为，左边的常数项为，∴， 解得：，∴． 26．在一次数学活动课上，张老师准备了若干张如图1所示的甲、乙、丙三种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方形，乙种纸片是边长为y的正方形，丙种纸片是长为y，宽为x的长方形，并用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成了如图2所示的一个大正方形． （1）①观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式：　 　． ②利用①中的等式解决问题：若x+y＝8，x2+y2＝40，则xy的值为 　 　． （2）【阅读理解】若x满足（20﹣x）（x﹣30）＝10，求（20﹣x）2+（x﹣30）2的值． 我们可以作如下解答：设a＝20﹣x，b＝x﹣30， 则（20﹣x）（x﹣30）＝ab＝10，a+b＝（20﹣x）+（x﹣30）＝20﹣30＝﹣10， 所以（20﹣x）2+（x﹣30）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝（﹣10）2﹣2×10＝80． 【学以致用】若x满足（4﹣x） （5﹣x）＝8，仿照上述解法求（4﹣x）2+（5﹣x）2的值． （3）【联系拓广】如图3，将正方形EFGH叠放在正方形ABCD上，重叠部分LFKD是一个长方形，AL＝8，CK＝12．沿着LD、KD所在直线将正方形EFGH分割成四个部分，若四边形ELDN和四边形DKGM恰好为正方形，且它们的面积之和为400，求长方形NDMH的面积． 解：（1）①第一种：∵阴影部分为一个边长为y的正方形和一个边长为x的正方形， ∴S阴影部分＝x2+y2； 第二种：∵阴影部分面积等于大正方形面积减去两个长方形的面积， ∴S阴影部分＝（x+y）2﹣2xy；∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy，故答案为：x2+y2＝（x+y）2﹣2xy； ②将x+y＝8，x2+y2＝40代入①中等式，得：40＝82﹣2xy，∴xy＝12，故答案为：12； （2）∵（4﹣x） （5﹣x）＝8，∴（4﹣x）（x﹣5）＝﹣8，∴（4﹣x）2+（5﹣x）2 ＝（4﹣x）2+（x﹣5）2＝（4﹣x+x﹣5）2﹣2（4﹣x）（x﹣5）＝（﹣1）2﹣2×（﹣8）＝1+16＝17； （3）设LD＝x，DK＝y，∵四边形ELDN和四边形DKGM为正方形， ∴DN＝LD＝x，DM＝DK＝y，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝CD，∵AD＝AL+LD，CD＝CK+DK，∴AL+LD＝CK+DK，∵AL＝8，CK＝12，∴8+x＝12+y，∴x＝y+4，∵正方形ELDN和正方形DKGM的面积之和为400， ∴x2+y2＝400，将x＝y+4代入x2+y2＝400中，得：（y+4）2+y2＝400，解得：y＝12或y＝﹣16（舍），∴x＝y+4＝16，∴DN＝16，DM＝12，∴S长方形NDMH＝DN•DM＝16×12＝192． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $