专题07因式分解期中复习讲义(15大题型+题型突破)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题07因式分解期中复习讲义 ☆ 复习目标 知识目标 能力目标 考点目标 1.理解因式分解的意义， 1.会提公因式，会套公1.直接考查：判断是否为因 知道它与整式乘法互逆。 式。 式分解、选择分解方法。 2.掌握提公因式法和公式2.能先提公因式、再用公 2.计算考查：提公因式法、 法（平方差、完全平 式两步分解。 公式法单独或综合分解。 方)。 3.能用因式分解简便计 3应用考查：利用因式分解 3.记住两个公式，会正确算、代数式求值。 化简、求值、说理。 使用。 4.能避免常见错误，做到4.易错考查：分解不彻底、 4.明确结果要分解到不能 分解彻底、书写规范 完全平方公式漏2倍项、 再分解 符号处理错误。 ☆ 题型梳理 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式的判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.因式分解与有理数简算 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型14.整体换元巧分解 题型15.因式分解巧求值 解答题4题 ☆ 知识梳理 一句话看懂：因式分解到底在干嘛 把多项式“拆成几个整式相乘”，和整式乘法刚好互逆，就像把“积木拼 好”变回“一堆积木”。 试卷第1页，共3页 知识点01：因式分解的意义 1.定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分 解因式。 2.与整式乘法的送系 因式分解：和差化积(a2-b2→(a+b)(a-b)) 整式乘法：积化和差(a+b)(a-b)→a2-b2) 二者是互逆的恒等变形。 3.判断因式分解的要点 结果必须是整式的积的形式。 分解要彻底，直到不能再分解为止。 知识点02.三大黄金原则（必背口诀） 一提：先看有没有公因式，能提就先提 二套：再看能不能套平方差、完全平方公式 三查：必须分解到不能再拆为止 知识点03.两大核心方法（考试90%都考它） 1.提公因式法 找：系数最大公约数+相同字母最低次幂 口诀：系数找最大，字母找最低 易错：首项负号要一起提，别漏“1” 2.公式法（两大公式封神） 平方差公式a-b2=(a+b)(a-b) 特征：两项、异号、能写成平方 试卷第2页，共3页 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2特征：三项、首尾平方、中间两倍积 知识点04常见“坑点”避雷（一眼避错） 1.只做加减没乘积→不是因式分解 2.分解后还能再拆→分解不彻底 3.完全平方漏“2倍”→公式记混 4.提公因式后漏项→少写“1” 一句话终极总结 一提二套三查尽，平方差与完全平，符号公因别忘净，分解彻底才算赢 题型01.因式分解的判断 【典例】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是() A.a(x+y川=ar+a B.y2-4y+4=(y-22 C.10r3-5r2+5x=5x2r2-x D.-16+3=(t+4t-4+3 【跟踪专练1】下列从左到右的变形：①x2+3x+1=x+3+ :② (a+b)(a-b)=a2-b2 ③15r)y=3x5y,④0-2a+1=(a-;其中是因式分解的是 【跟踪专练2】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是() A.ax+川=ax+ay B.am+bm+c=(a+b)m+c C.n2+4n+4=(n+22 D.(a+2b)(a-2b)2-4b 【跟踪专练3】下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是() A.a(atb-1)=a'tab-a a2-a-2=aa-1-1 B C.-4a2+9b2=(-2a+3b)(2a+3b) D 2*1=2+ 试卷第3页，共3页 题型02.因式分解的参数问题 【典例】已知，多项式-m+n可因式分解为x+3x-利，则m的值为(） A.-1 B.1 C.-7 D.7 【圆路专纸1】如果*之是-你4的个式则20 ”的值为一 【跟踪专练2】已知二次三项式术-4x+ 有一个因式是任-3刃 ,则m值为 【跟踪专练3】如果-2是多项式 -4x+k 的一个因式.则k的值为() A.-4 B.1 C.4 D.-1 题型03.公因式 【典例】多项式m+m 的公因式是() A.m? B.m C.mn D 【跟踪专练1】5aa-与6(a-的公因式是 【跟踪专练2】多项式3x-9,-9与x2-6x+9 与 的公因式为： 【跟踪专练3】多项式8rz+12y2-24rz2 的公因式是() A. -XZ -8x2y3 -4.X0z B C, D. -2x2y2z2 题型04.提公因式法分解因式 xy2-2x2y3+x2y2z 【典例】把 分解因式的结果是() A. xv(2xv-y+vz) B.r(2r-2y+2) C.2ry-2xy+z） D.tr(2wv-2y+四) 2ab2-8a'bc 【跟踪专练1】把多项式 分解因式的结果是 试卷第4页，共3页 【跟踪专练2】如果+y=-3,=-2,那么2 ,2x2y+2xy2= 【跟踪专练3】如图，长方形的长、宽分别为”、6，面积为6,0比力大2，则4h-b亦 b 的 值为() a A.12 B.21 C.8 D.49 题型05.公式法分解因式的判断 【典例】下列多项式不能用公式法因式分解的是() A.a2+4a+4 B.a2-a+ 4 C.-a2-9 D.a2-1 【跟踪专练1】下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是() A.a2-62 B.-a2-b2 C.-a2+b2 9a2-4b2 D. 【跟踪专练2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是() -x2+16y2 A. B.-x2-2x-1 C.mm 3 9 D.-x2-y2 题型06.平方差公式分解因式 【典剑】因式分解-9。 的结果是() A.(x+3(x-3)B.(x+9(x-9) C.x-3)2 D.(x-9) 【跟踪专练1】分解因式： a2-2ab+b2-1= 【跟踪专练2】若“-6=2 a2-b2-4a ,则式子 的值等于 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是() 试卷第5页，共3页 4, 2p+2q+1=2(p+q+1 2a2-2b2=2(a-b)(a+b) C.(m+(m-1)=m2-1 D.m2-2m+4=(m-22 题型07完全平方公式分解因式 (典例】把多项式+4红+4 解因式，下列结果正确的是() A.x(x+4到+4B.(x+2(x-2) C.(x+4)2 D.(x+2 【跟踪专练1】若2y-=3 则4y2-4y+ 的值是 【跟踪专练2】若多项式-1+mx+9 用完全平方公式进行因式分解，则m= 【跟踪专练3】若多项式a2+1+△能直接用完全平方公式进行因式分解，则“△”所代表的 单项式不可以是() A.2a B.-2a 4 D.-a 4 题型08综合运用公式法分解因式 m2-2m2n2+n4= 【典例】分解因式： 【跟踪专练1】把（口+-4如因式分解得（） A.(a2+1-4a B.(a2+1-4a c.(a+1)'(a-12 D.(a2-12 【跟踪专练2】分解因式： x2-2y-9+y2= 【跟踪专练3】小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息： x+y,x-y,x2-y2;a+b,a-b,a2-b2 分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美.现将 (a2-6x2-(口-b)少分解因式，结果呈现的密码可能是（） 试卷第6页，共3页 A.我爱美 B.惠安美丽 C.我爱惠安 D.我美丽 题型09.综合法分解因式 4a2-4b2= 【典例】分解因式： 【跟踪专练1】多项式2-4x+2 式分解的结果是() 2(x+l(x-lB.2(2-2x+ C.2x(x-2)+1 D.2(x-12 【跟踪专练2】因式分解，4r-16= 【跟踪专练3】如果a+h=2,ab=1 那么b+2a32+ab 的值为() A.1 B.3 C.4 D.8 题型10.因式分解与有理数简算 533×534-5332 【典例】.利用因式分解计算 等于() A.1 B.-533 C.533 D.534 【跟踪专练1】由完全平方公式，可知3”+2×3x5+5=3+5=64,用这一方法计算： 1.23452+2.469×0.7655+0.76552= 202620262026 2026 【跟踪专练2】 十…十 22×33×4 2025×2026 【跟踪专练3】小淇将2021x+2022展开后得到4+hx+G:小尧将2022x-2021°展 开后得到r+bx+G ,若两人计算过程无误，则4一的值为() A.-1 B.4043 C.-4043 D.1 题型11.十字相乘法 【典例】多项式a-5a-6 因式分解的结果是() 试卷第7页，共3页 (a-2)(a+3)(a-6)(a+1) (a+6)(a-1) (a+2)(a-3) B D. 【跟踪专练1】如果关于x的整式+m+12可以因式分解为T-a(x-),其中a、均为 整数，那么满足条件的p的值有个. 【跟踪专练2】因式分解：r+3x+24x2+8x+3到-90= 【跟踪专练3】若实数，y满足+少×+少-4=5，则+)的值为（) A.5或-1 B.5 C.1或-5 D.1 题型12.分组分解法 【典例】因式分解： 1-x2+2xy-y2= 【跟踪专练1】把多项式-6x+9-少先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是 () A.(r-6+9-y2) B.(x-y）-(6r-9) c.(x-6r+9)-y2 D.r-(6x+y2-9 【跟踪专练2】因式分解： a-a'b-ab2+b= 【跟踪专练3】把多项式-广-2x-4y-3 式分解之后，正确的是() (x+y-3)(x-y-3) A. B.(+y-00x-y+3) C. (x+y-3)(x-y+1) (x+y+1)(x-y-3) D. 题型13.因式分解的应用 【典例】若a-b=2,则a2-b2-4b的值是() A.0 B.2 C.3 D.4 【跟踪专练1】如图，图中的大长方形是由2块边长为4的大正方形，2块边长为b的小正 方形，5块长为a，宽为b的相同的长方形拼接而成.观察图形，可以发现代数式 试卷第8页，共3页 2a2+5ab+2b2 因式分解的结果为 b a 【跟踪专练2】已知5x-9(4r-17)+(9-5xx-8 因式分解 3ax+b(x+c,其中a, b,c均为整数，则a-b+c的值为 【跟踪专练3】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：x+y x-y a+b a-b a2-b2 分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将 (x-y)a2+(y-x)b2 因式分解，结果呈现的密码信息可能是() A.灵宝美 B.我爱灵宝 C.我美 D.爱灵宝 题型14.整体换元巧分解 【典例】化简：a+1+aa+)+aa+P++ala+)m_ 【跟踪专练1】若a=2024x+2022,b=2024x+2023,c=2024x+2024,则 a2+b2+c2-ab-bc-ca 的值为 【跟踪专练2】若m+川-mmm+川=(m+川小才，则4表示的多项式为 【跟踪专练3】已知+y=5,y=6,则x+川K-)-x+少的值为 【跟踪专练4】分解因式： a2(b+c)-4(b+c) 的结果是 题型15.因式分解巧求值 A=x2+2x-6y,B=-y2+4x-10 【典例】已知 试卷第9页，共3页 A,B (1)判断 的大小关系 ②若4=B--,求++：的值 【跟踪专练1】要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它进行分组再分解因式： am+am+bm+bn=(am+am+(bm+bm=am+川+bm+n=(m+m(a+b),这种分解因 式的方法叫做分组分解法. (①请用上述方法分解因式：-少+x-少 0尼知06-0+c5,求式7c-灰g-a心 的值： (3)已知△4B 的三边长a6c,满足ac+a-a-c=0 试判断△ABC 的形状. 【跟踪专练2】先分解因式，再求值：4mn-12mn+9m ，其中m=2.n=1 【跟踪专练3】先因式分解，再求值：Dg+2p9+网，其中P+g=四=2 解答题 1.将下列多项式因式分解： (1)4ab+6a'b-2ab (2y-4+4y ③(x-y+b(y- 2.阅读材料并解决问题 ①分解因式：r2+2x-3=r+2x+1-1-3=x2+2x+1-4=(x+12-4 =(x+1+2(x+1-2)=(x+3)(x-1 ②求代数式2r+4r-6 的最小值：由 试卷第10页，共3页 专题07因式分解期中复习讲义 知识目标 能力目标 考点目标 1.理解因式分解的意义，知道它与整式乘法互逆。 2.掌握提公因式法和公式法（平方差、完全平方）。 3.记住两个公式，会正确使用。 4.明确结果要分解到不能再分解 1.会提公因式，会套公式。 2.能先提公因式、再用公式两步分解。 3.能用因式分解简便计算、代数式求值。 4.能避免常见错误，做到分解彻底、书写规范 1.直接考查：判断是否为因式分解、选择分解方法。 2.计算考查：提公因式法、公式法单独或综合分解。 3.应用考查：利用因式分解化简、求值、说理。 4.易错考查：分解不彻底、完全平方公式漏 2 倍项、符号处理错误。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式的判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.因式分解与有理数简算 题型11.十字相乘法 题型12.分组分解法 题型13.因式分解的应用 题型14.整体换元巧分解 题型15.因式分解巧求值 解答题4题 一句话看懂：因式分解到底在干嘛 把多项式 “拆成几个整式相乘”，和整式乘法刚好互逆，就像把 “积木拼好” 变回 “一堆积木”。 知识点01:因式分解的意义 1. 定义 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫分解因式。 2. 与整式乘法的关系 因式分解：和差化积（a2−b2→(a+b)(a−b)） 整式乘法：积化和差（(a+b)(a−b)→a2−b2） 二者是互逆的恒等变形。 3. 判断因式分解的要点 结果必须是整式的积的形式。 分解要彻底，直到不能再分解为止。 知识点02.三大黄金原则（必背口诀） 一提：先看有没有公因式，能提就先提 二套：再看能不能套平方差、完全平方公式 三查：必须分解到不能再拆为止 知识点03.两大核心方法（考试 90% 都考它） 1. 提公因式法 找：系数最大公约数 + 相同字母最低次幂 口诀：系数找最大，字母找最低 易错：首项负号要一起提，别漏 “1” 2. 公式法（两大公式封神） 平方差公式a2−b2=(a+b)(a−b) 特征：两项、异号、能写成平方 完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2 特征：三项、首尾平方、中间两倍积 知识点04.常见 “坑点” 避雷（一眼避错） 1.只做加减没乘积 → 不是因式分解 2.分解后还能再拆 → 分解不彻底 3.完全平方漏 “2 倍” → 公式记混 4.提公因式后漏项 → 少写 “1” 一句话终极总结 一提二套三查尽，平方差与完全平，符号公因别忘净，分解彻底才算赢 题型01.因式分解的判断 【典例】下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是将多项式转化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断各选项即可作答． 【详解】A、从左到右属于整式的乘法，故不属于因式分解，不符合题意； B、从左到右属于因式分解，符合题意； C、从左到右计算错误，不符合题意； D、从左到右仍为和的形式，不属于因式分解，不符合题意． 【跟踪专练1】下列从左到右的变形：①；②；③；④；其中是因式分解的是___________． 【答案】④ 【分析】本题考查因式分解的意义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：①中不是整式，它不是因式分解； ②是乘法运算，它不是因式分解； ③中等号左边是单项式，它不是因式分解； ④符合因式分解的定义，它是因式分解． 故答案为：④． 【跟踪专练2】下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了因式分解，解题的关键是掌握因式分解的定义． 根据因式分解的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.该选项不是因式分解，不符合题意； B. 该选项不是因式分解，不符合题意； C. 该选项是因式分解，符合题意； D. 该选项不是因式分解，不符合题意； 故选：C． 【跟踪专练3】下列等式中从左到右边的变形是分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将多项式写成整式的积的形式，叫做将多项式分解因式，根据定义依次判断． 【详解】A、这是整式乘法计算，故该项不符合题意； B、，等式右侧不是整式的乘积，故该项不符合题意； C、，故该项符合题意； D、，等式右侧是乘积，但不是整式，故该项不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查多项式的因式分解，掌握因式分解的定义是正确判断的关键． 题型02.因式分解的参数问题 【典例】已知，多项式可因式分解为，则m的值为（    ） A． B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】分解因式结果利用多项式乘以多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 则， 故选：B． 【点睛】此题考查了因式分解和多项式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【跟踪专练1】如果是的一个因式，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的概念，熟练掌握因式分解的概念是解题的关键． 根据是的一个因式，可得当时，代数式，把代入，求解即可． 【详解】∵是的一个因式， ∴当时，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知二次三项式有一个因式是，则m值为_________． 【答案】3 【分析】根据二次三项式有一个因式是，且 ，即可得到m的值． 【详解】解：∵二次三项式有一个因式是， ， ∴， ， 故答案为3． 【点睛】本题考查分组分解法因式分解，解题的关键是凑因式． 【跟踪专练3】如果是多项式的一个因式．则 k 的值为 （    ） A． B．1 C．4 D．-1 【答案】C 【分析】设的另一个因式为： 可得再建立方程组即可． 【详解】解：设的另一个因式为： ∴ ∴ 解得： 故选C. 【点睛】本题考查的是多项式的因式分解，整式的乘法运算，利用待定系数法建立方程组是解本题的关键． 题型03.公因式 【典例】多项式的公因式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公因式的概念，解题关键是找出多项式各项中都含有的公因式． 通过提取多项式中各项的公共因子，确定公因式．公因式是指多项式中各项都含有的因式． 【详解】∵ ， ， ∴ 公因式为 ． 故选B． 【跟踪专练1】与的公因式是______． 【答案】 【分析】找出系数的最大公约数，相同字母或多项式因式的最低指数次幂，从而确定公因式即可． 本题主要考查了公因式，解题关键是熟练掌握公因式的定义． 【详解】解：与公因式是， 故答案为：． 【跟踪专练2】多项式，与的公因式为______． 【答案】 【分析】根据公因式定义，对各选项整理然后即可选出有公因式的项． 【详解】解：因为3x﹣9＝3（x﹣3），x2﹣9＝（x+3）（x﹣3），x2﹣6x+9＝（x﹣3）2， 所以多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（x﹣3）． 故答案：． 【点睛】此题考查的是公因式的定义，找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．在提公因式时千万别忘了“﹣1”． 【跟踪专练3】多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【详解】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 题型04.提公因式法分解因式 【典例】把分解因式的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法，换元法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键，本题可以用提取公因式法，公因式确定方法：系数取各项系数的最大公因数，相同字母因数取最小指数． 通过提取公因式法，找出各项的公因式为，然后进行因式分解． 【详解】解：A、，未提取完全，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的要求，故本选项符合题意； C、，未提取完全，故本选项不符合题意； D、，括号内错误，故本选项不符合题意． 故选：B． 【跟踪专练1】把多项式分解因式的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握公因式的确定方法是解题的关键．先确定公因式，再提取即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果，，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． 因式分解即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练3】如图，长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2，则的值为（   ） A．12 B．21 C．8 D．49 【答案】A 【分析】此题考查因式分解的应用，根据题意得到，代入所求代数式因式分解后的因式中计算即可 【详解】解：∵长方形的长、宽分别为、，面积为6，比大2， ∴， ∴， 故选：A 题型05.公式法分解因式的判断 【典例】下列多项式不能用公式法因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式得出答案． 【详解】解：A. ，故该选项不符合题意；     B. ，故该选项不符合题意；     C. 不能用公式法因式分解，故该选项符合题意；     D. ，故该选项不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法是解决本题的关键． 【跟踪专练1】下列多项式中不能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的关键．根据平方差公式的结构特征对各选项分析判断后即可得答案． 【详解】解：A．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． B．，不能利用平方差公式分解因式，故本选项符合题意． C．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． D．，能利用平方差公式分解因式，故本选项不符合题意． 故选B． 【跟踪专练2】下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 题型06.平方差公式分解因式 【典例】因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，直接使用公式 进行因式分解即可． 【详解】解：∵， ∴由平方差公式，得， 故选：A． 【跟踪专练1】分解因式：______． 【答案】 【分析】先将前三项分为一组，利用完全平方公式分解，再利用平方差公式继续分解即可得到最终结果． 【详解】原式 ． 【跟踪专练2】若，则式子的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，代数式求值，根据，得到，利用整体代入法进行求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为：． 【跟踪专练3】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用提公因式法、公式法逐项进行判断即可解答． 【详解】解：A．不是因式分解，因此选项不符合题意； B．，因式分解正确，因此选项符合题意； C．，不符合因式分解的意义，是整式的乘法，因此选项不符合题意； D．，因此选项不符合题意． 题型07.完全平方公式分解因式 【典例】把多项式分解因式，下列结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分解因式要求结果为几个整式乘积的形式，将原式根据完全平方公式变形即可得到结果． 【详解】解： 选项：结果不是整式乘积的形式，不符合分解因式要求； 选项：展开得，与原式不符； 选项：展开得，与原式不符； 选项：，正确． 【跟踪专练1】若，则的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由，代入已知式子的值，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 【跟踪专练2】若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则______． 【答案】5或 【分析】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：， ， 或， 故答案为：5或． 【跟踪专练3】若多项式能直接用完全平方公式进行因式分解，则“”所代表的单项式不可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查完全平方式分解因式，根据完全平方式的特点，首平方，尾平方，首尾的2倍在中间，进行判断即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，无法用完全平方公式进行因式分解，符合题意； 故选D． 题型08.综合运用公式法分解因式 【典例】分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，根据完全平方公式和平方差公式逐步对原式进行因式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】把因式分解得（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可. 【详解】解：； 故选：C. 【点睛】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题的关键. 【跟踪专练2】分解因式：________ 【答案】 【分析】本题主要考查因式分解，分别运用因式分解法和公式法求解即可． 【详解】解： 【跟踪专练3】小安是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样的一条信息：分别对应下列六个字：安，爱，丽，惠，我，美．现将分解因式，结果呈现的密码可能是（    ） A．我爱美 B．惠安美丽 C．我爱惠安 D．我美丽 【答案】C 【分析】灵活运用提取公因式法和平方差公式进行因式分解是解题的关键．先对式子提取公因式，再利用平方差公式分解，最后结合已知的式子与汉字的对应关系，得出结果呈现的密码信息． 【详解】解：， 又根据平方差公式可得，， 原式， 已知对应关系为对应安，对应爱，对应惠，对应我， 四个因式对应的汉字为我、爱、惠、安，结果呈现的密码信息是我爱惠安． 题型09.综合法分解因式 【典例】分解因式：_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了提公因式法和平方差公式分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式对剩余部分进行因式分解即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练1】多项式因式分解的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式进行分解． 【详解】解： ． 【跟踪专练2】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】如果，，那么的值为（  ） A．1 B．3 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的应用，关键是将所求代数式通过提取公因式和完全平方公式进行变形，转化为用已知条件和表示的形式，再代入计算即可． 【详解】解： ， ， 将，代入得：原式； 故选：C． 题型10.因式分解与有理数简算 【典例】．利用因式分解计算等于（   ） A．1 B． C．533 D．534 【答案】C 【分析】本题考查因式分解在有理数简算中的应用． 通过提取公因式进行因式分解，将表达式转化为简单乘法计算． 【详解】解： ． 故选：C． 【跟踪专练1】由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 【跟踪专练2】______． 【答案】2025 【分析】先提取公因式2026，再利用裂项相消法拆分括号内的分数，抵消中间项后通过有理数运算求解． 【详解】解： ． 【跟踪专练3】小淇将展开后得到；小尧将展开后得到，若两人计算过程无误，则的值为（　　） A． B．4043 C． D．1 【答案】C 【分析】根据完全平方公式可得再利用平方差公式进行简便运算即可． 【详解】解：展开可得： 展开可得： ∴ 故选C 【点睛】本题考查的是完全平方公式的应用，利用平方差公式分解因式，掌握“利用平方差公式进行有理数的简便运算”是解本题的关键． 题型11.十字相乘法 【典例】多项式因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】， 故选：B． 【跟踪专练1】如果关于x的整式可以因式分解为，其中a、b均为整数，那么满足条件的p的值有______个． 【答案】6 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘以多项式，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 根据因式分解与多项式乘法的关系，比较系数得出整数a和b满足，且，列举所有整数对并计算p，得到不同的p值的个数． 【详解】解：整式因式分解为，则展开后得，与原式比较系数，有和， 由于a和b均为整数， ∴或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 或，则； 因此不同的值有，共6个， 故答案为：6． 【跟踪专练2】因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了分解因式，准确的计算是解决本题的关键． 运用十字相乘法进行因式分解即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【跟踪专练3】若实数，满足，则的值为（     ） A．5或 B．5 C．1或 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把看做一个整体，先把原式变形为，进而分解因式得到，再证明，从而得到，即． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 题型12.分组分解法 【典例】因式分解：______． 【答案】 【分析】本题考查了用分组分解法进行因式分解．当被分解的式子是四项时，应考虑运用分组分解法进行分解，后三项可以利用完全平方公式分解因式，且与第一项可以继续利用平方差公式分解因式，所以应考虑为一组． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练1】把多项式先分组，再应用公式分解因式，分组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了因式分解，理解题意：把多项式先分组，故，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴把多项式先分组，得 故选：C 【跟踪专练2】因式分解：___________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．运用分组分解法，先将多项式合理分组，再依次利用提取公因式法、平方差公式进行因式分解，直至分解为几个整式的积的形式． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练3】把多项式因式分解之后，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分组分解法及平方差公式，即可判定． 【详解】解： 故选：D． 【点睛】本题考查了分解因式的方法，熟练掌握和运用分解因式的方法是解决本题的关键． 题型13.因式分解的应用 【典例】若，则的值是（　　） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】把变形为，代入后，再变形为即可求得最后结果． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：D． 【点睛】本题考查了因式分解，代数式求值，解题的关键在于将所求代数式部分因式分解． 【跟踪专练1】如图，图中的大长方形是由2块边长为的大正方形，2块边长为的小正方形，5块长为，宽为的相同的长方形拼接而成．观察图形，可以发现代数式因式分解的结果为__________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解．利用大长方形的面积等于两个大正方形、两个小正方形、五个长方形的面积和，从而得解． 【详解】解：大长方形面积为， 故答案为：． 【跟踪专练2】已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【分析】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【详解】解： ， 对比，可得，，， 则． 【跟踪专练3】小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 【答案】D 【分析】本题考查因式分解的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需先将原式因式分解到最简形式，再结合给定的字与式子的对应关系匹配密码信息； 【详解】解：∵， ∴提取公因式得：原式， 又∵（平方差公式）， ∴原式， 由题意知：对应“爱”， 对应“宝”，对应“灵”， ∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”； 故选：D； 题型14.整体换元巧分解 【典例】化简：_________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解的应用，解题的关键是熟练运用提取公因式法进行化简，本题属于基础题型． 把当作一个整体，提取公因式计算即可求出答案． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，，，则的值为__________． 【答案】3 【分析】本题是因式分解的应用，解题的关键是利用因式分解把所求代数式进行变形． 根据题意可得，，，再利用提公因式法原式可变形为，再利用完全平方公式可变形为，然后代入，即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ∴ ． 故答案为：3． 【跟踪专练2】若，则表示的多项式为_____． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 将等式左边提取公因式，然后化简得到． 【详解】解：左边： 其中 ， 右边： ， 因此， 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，则的值为_____． 【答案】 【分析】先提取公因式 ，再化简代数式，最后代入已知条件求值． 【详解】解：原式 = = = 代入 ，，得 ， 故答案为： -60． 【点睛】本题的核心是整体代换思想：当已知 和 的值时，无需单独求解、，只需将代数式因式分解为含 和 的形式，即可快速求值． 【跟踪专练4】分解因式：的结果是_____． 【答案】 【分析】本题考查用提公因式法和公式法进行因式分解的能力，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．观察表达式，发现公因式，提取后剩余部分为，再利用平方差公式分解． 【详解】解：原式 ． 故答案为． 题型15.因式分解巧求值 【典例】已知． (1)判断的大小关系． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用作差法计算，通过配方将结果化为完全平方的形式，利用平方的非负性判断大小关系． （2）由（1）得：从而得到，利用平方和绝对值的非负性判断大小关系． 【详解】（1）解： ， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【跟踪专练1】要把多项式分解因式，可以先把它进行分组再分解因式：，这种分解因式的方法叫做分组分解法． (1)请用上述方法分解因式：； (2)已知，，求式子的值； (3)已知的三边长，满足，试判断的形状． 【答案】(1) (2) (3)是等腰三角形． 【分析】（1）根据分组分解法因式分解即可； （2）先将所求代数式因式分解，再代入值求解即可； （3）根据分组分解法因式分解后，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解： ． （2），， ． （3） ∵的三边长， ∴ ∴， ∴ ∴是等腰三角形． 【跟踪专练2】先分解因式，再求值：，其中，． 【答案】，2 【分析】先提取公因式，再根据完全平方公式继续因式分解，最后把m、n的值代入计算即可． 【详解】解： ． 当，时， 原式． 【跟踪专练3】先因式分解，再求值：，其中． 【答案】因式分解结果为，求值结果为 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值；先通过提取公因式法和完全平方公式对原式进行因式分解，再代入已知条件计算出最终结果． 【详解】解： 当，时， 解答题 1．将下列多项式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： ． 2．阅读材料并解决问题． ①分解因式：； ②求代数式的最小值：由，可知当时，有最小值，最小值是．根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)当________时，多项式有最________值（填大或小），为________． (3)请问：当a，b为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)2，小，7 (3)当时，多项式有最小值，最小值为20 【分析】本题主要考查了利用配方法进行因式分解，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握平方差公式和完全平方公式． （1）先利用配方法进行整理，再利用平方差公式进行因式分解； （2）利用配方法进行整理，再求出最值即可； （3）利用配方法进行整理，再求出最值即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：， ∴当时，多项式有最小值，为7， 故答案为：2，小，7； （3）解： ， ∴当时，多项式有最小值，最小值为20． 3．如图，将一张大长方形纸板按图中虚线裁剪成9块，其中有2块是边长为的大正方形，2块是边长为的小正方形，5块是长为，宽为的相同的小长方形，且． (1)观察图形，可以发现式子可以因式分解为______． (2)若图中阴影部分的面积为，大长方形纸板的周长为，求图中空白部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了因式分解的几何意义以及完全平方公式的应用，解决本题的关键是观察图形，找到a与b与面积的关系． （1）通过长方形的面积表示，将长方形拆解为2块大正方形，2块小正方形，5块小长方形的面积和，由此可因式分解； （2）根据完全平方公式结合长方形的周长，面积公式求解即可． 【详解】（1）解：观察图形可知，表示的是长方形的总面积， ∴， 故答案为：； （2）解：∵阴影部分的面积为，大长方形的周长为， ∴，， 化简可得，， ∵， ∴， ∴空白部分的面积为． 答：图中空白部分的面积为． 4．因式分解． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式，即可因式分解； （2）将化为，再提公因式，即可因式分解． 【详解】（1）解：． （2）解：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $