精品解析：广东潮州市湘桥区城西中学等校2025-2026学年下学期九年级数学科综合练习题

九年级数学科综合练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 5. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 6. 在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 9. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 10. 已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则下列结论中正确的是__________(填序号)． ①；②；③；④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是反比例函数，则m的值为_______． 12. 高米的旗杆在水平地面上的影长米，此时测得附近一个建筑物的影子长米，则该建筑物的高是________米． 13. 如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________． 14. 如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是_________（结果保留）． 15. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 三、解答题（本大题共3小题，16题6分，17、18题每小题8分，共22分） 16. 计算：． 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到． （2）在线段上画一个点M，使． 18. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，设直线的解析式为． （1）求反比例函数解析式和直线的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿轴负方向平移直尺，当恰好平分时，直接写出直尺平移的距离． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 21. 【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 （1）丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． （2）当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． （3）当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 五、解答题（22题12分．23题14分共26分） 22. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学科综合练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若一个几何体的主视图、左视图、俯视图都相同，则该几何体有可能是（ ） A. 球 B. 圆锥 C. 圆柱 D. 三棱柱 【答案】A 【解析】 【分析】需分别判断各选项几何体的三个视图是否全部相同即可得到结果． 【详解】解：A、 球从任意方向观察得到的视图都是等圆，主视图、左视图、俯视图都相同； B、圆锥的主视图和左视图为三角形，俯视图为带圆心的圆，三个视图不相同； C、圆柱的主视图和左视图为矩形，俯视图为圆，三个视图不相同； D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，三个视图形状不相同． 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，通过计算各点的横纵坐标乘积是否等于6，判断点是否在反比例函数图象上． 【详解】解：反比例函数的图象上的点满足， 对于A点，，不在图象上； 对于B点，，不在图象上； 对于C点，，在图象上； 对于D点，，不在图象上． 故选：C． 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 4. 如图，直线，直线与分别交于点和点．若，，则的长是（　　） A. 4 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出，再求出答案即可． 【详解】解：∵， 故选：A． 5. 已知反比例函数的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数图象在第二、第四象限，说明，因此在时，y随x的增大而增大，进而判断即可． 【详解】解：∵图象在第二、第四象限， ∴， ∴在时，y随x的增大而增大， ∵和的横坐标都大于0，且， ∴． 故选：C． 6. 在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的周长之比为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由点D、E分别为边AB、AC的中点，可得出DE为△ABC的中位线，进而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质即可求出△ADE与△ABC的周长之比． 【详解】如图， ∵点D，E分别为△ABC的边AB，AC上的中点， ∴AD＝BD，AE＝EC， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC，且DE＝BC， ∴△ADE∽△ABC， ∵DE：BC＝1：2， ∴△ADE与△ABC的周长比为1：2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了相似三角形，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7. 如图，四边形四边形，则的长度和角的大小分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，因为四边形四边形，则，再代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8. 如图，点是反比例函数的图象上任一点，垂直轴，垂足为，设的面积为，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，关键是掌握：过反比例函数图象上任意一点作轴、轴的垂线，所得直角三角形的面积为． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，垂足为， ∴，， ∴； 故选：D． 9. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则, ∵斜坡,，设， ∴， ∵,则， ∴， ∵长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即古塔的高度为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 10. 已知：如图，四边形是边长为1的正方形，对角线相交于点O．过点O作一直角，直角边分别与重合，然后逆时针旋转，旋转角为，分别交于E、F两点，连接交于点G，则下列结论中正确的是__________(填序号)． ①；②；③；④． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】本题考查正方形与旋转，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明．证明，得到，判断①，根据，得到，进而得到，判断②，线段的和差关系结合等量代换判断③，证明，结合勾股定理和等量代换判断④． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴；故②错误； ∴；故③正确； ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵在中， ∴ ∴，故④正确； 故答案为①③④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 12. 高米的旗杆在水平地面上的影长米，此时测得附近一个建筑物的影子长米，则该建筑物的高是________米． 【答案】 【解析】 【分析】根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答． 【详解】解：根据在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例， 设建筑物的高是x米,则 解得：x=16. 故该建筑物的高为16米, 故答案为16. 【点睛】考查相似三角形的应用，掌握在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例是解题的关键. 13. 如图，渔船在处看到灯塔在北偏东方向上，渔船向正东方向航行了海里到达处，在处看到灯塔在正北方向上，这时渔船与灯塔的距离是________． 【答案】海里 【解析】 【分析】此题易得∠BAC＝30°，在Rt△ABC中运用三角函数求得渔船与灯塔C的距离BC． 【详解】解：由已知得：∠BAC＝90°−60°＝30°， 在Rt△ABC中， BC＝AB•tan30°＝12×＝4（海里）． 故答案为4海里． 【点睛】此题考查的知识点是解直角三角形的应用，关键是先得∠BAC＝30°，再解直角三角形ABC即可． 14. 如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位：），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是_________（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积，关键是根据三视图确定该几何体是圆锥． 根据三视图确定该几何体是圆锥，再计算圆锥的侧面积． 【详解】解：由三视图可知该几何体是圆锥，底面半径是，母线长是． ∴该几何体的侧面积． 故答案为． 15. 如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在的边上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求角的余弦，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．由题意得，从而得出，设，则，由勾股定理得出，求得，即可得出答案． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 设，则， ， 在中，， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，16题6分，17、18题每小题8分，共22分） 16. 计算：． 【答案】   【解析】 【分析】本题根据特殊角的三角函数值.零指数幂的性质.绝对值的性质.负整数指数幂的运算法则.分别化简每一项后进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式    ． 17. 在边长为1的正方形的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图） （1）以A点为位似中心，在网格区域内将放大2倍得到． （2）在线段上画一个点M，使． 【答案】（1） 如图，，即为所求； （2） 如图，取格点，，连接交于点， 【解析】 【分析】（1）根据位似的性质作图即可； （2）取格点，，使得，连接交于点，利用相似三角形的判定和性质可得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， ，故点即为所求． 18. 如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． （1）求证：； （2）若的面积为4，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）25 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与反比例函数的图象交于点，，与轴交于点，，连接，点，的刻度分别为5，2，直尺的宽度，，设直线的解析式为． （1）求反比例函数解析式和直线的解析式； （2）请结合图象直接写出不等式的解集； （3）沿轴负方向平移直尺，当恰好平分时，直接写出直尺平移的距离． 【答案】（1）， （2） （3）1 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合、图象法求不等式的解集，角平分线的性质，解决本题的关键是正确求出函数解析式． （1）根据线段的长度和刻度尺上的计数求出点A的坐标，利用待定系数法求出反比例函数的解析式即可，进而求出点C坐标，利用待定系数法求直线的解析式； （2）由图象中一次函数图象在反比例函数图象上面的部分的位置得到不等式的解集； （3）连接，作于点H，当恰好平分时，，结合反比例函数解析式求出点D的横坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：点，的刻度分别为5，2，，， ，， 点B的坐标为，点A的坐标为，点C的横坐标为4， 将代入，得：， 解得， 反比例函数解析式为：， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， ， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：根据图象可知：不等式的解集为； 【小问3详解】 解：如图，连接，作于点H， 当恰好平分时， ，， ， 即点C的纵坐标为2， 将代入得：， 解得， 即点D的横坐标变为3， 直尺平移的距离为：． 20. 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角，胳膊，，旋转的手绢近似圆形，半径，与手臂保持垂直．肘关节与手绢旋转点之间的水平宽度为（即的长度）． （1）求的度数； （2）机器人跳舞时规定手绢端点与舞者安全距离范围为．在图2中，机器人与舞者之间距离为．问此时手绢端点与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 解：在规定范围内，理由如下： 过点C作于E，则， ∵, ∴， ∵， ∴． ∴， ∴在中，, ∵在中，， ∴． ∴此时手绢端点C与舞者距离为， ∵机器人跳舞时规定手绢端点C与舞者安全距离范围为， ∴此时手绢端点C与舞者距离在规定范围内． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键. （1）由题意得，再根据锐角三角函数求出即可求解： （2）过点C作于E，解和求出的长，进而求出手绢端点C与舞者距离即可判断求解. 【小问1详解】 解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 21. 【综合与实践】 为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡． 丁丁改变托盘中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘与支点的距离、托盘中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题， 托盘与支点的距离 1 1.5 2 2.5 3 托盘中的砝码质量 600 400 300 240 200 （1）丁丁通过实验发现，托盘中的砝码质量是托盘与支点的距离的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式． （2）当托盘与支点的距离为时，求托盘中砝码的质量． （3）当某次天平处于平衡状态时，此时托盘中砝码的质量是．将托盘中的砝码增加，若使天平再次平衡，托盘应该如何移动？ 【答案】（1）函数图象如图； （2）托盘中砝码的质量为 （3）托盘应该向左移动 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，求出反比例解析式是解题的关键． （1）根据列表数据描点连线得函数图象，利用待定系数法求解析式； （2）将代入（1）中解析式，求出y值即可； （3）根据函数解析式求出托盘移动前和移动后与支点的距离，作差即可． 【小问1详解】 解：描点并连线，函数图象如图所示． 由图象可得与是反比例函数关系， 设 当时， ，解得 ． 【小问2详解】 解：当时，代入，得， 托盘中砝码的质量为； 【小问3详解】 解：设托盘移动前和移动后与支点的距离分别为． 移动前托盘中的砝码质量为 ． 移动后托盘中的砝码质量为 ， 托盘应该向左移动． 五、解答题（22题12分．23题14分共26分） 22. 如图是直径，A是上异于C，D的一点，点B是延长线上一点，连接、、，且． （1）求证：直线是的切线； （2）若，求的值； （3）在（2）的条件下，作的平分线交于P，交于E，连接、，若，求的值． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接OA， ∵是直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵为半径， ∴直线是的切线； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图所示，连接OA，根据直径所对的圆周角是直角得到，再证明即可证明结论； （2）先证明，得到，令半径，则，，利用勾股定理求出，解直角三角形即可答案； （3）先求出，在中，，，解得，，证明，得到，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 由知，令半径，则，， 在中，， 在中，， 即； 【小问3详解】 解：在（2）的条件下，， ∴， ∴， 在中，，， 解得，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆切线的判定，直径所对的圆周角是直角，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质等等，熟知相关知识是解题的关键． 23. 综合与实践 从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究． 特例研究 在正方形中，相交于点O． （1）如图1，可以看成是绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为________，k的值为________； （2）如图2，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上，求的值 类比探究 （3）如图3，在菱形中，，O是的垂直平分线与的交点，将绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在上，点F落在上．猜想的值是否与α有关，并说明理由； （4）若（3）中，其余条件不变，探究之间的数量关系（用含β的式子表示）． 【答案】（1）；； （2）； （3）的值与α无关，理由如下， 如图， 同理可证， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∵O是的垂直平分线与的交点， ∴， ∴， 过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∴的值与α无关； （4）． 【解析】 【分析】（1）利用正方形的性质结合旋转的性质求解即可； （2）由题意得，推出，，再得到，推出，根据正方形的性质求解即可； （3）同理可证，得到，根据线段垂直平分线的性质求得，再根据余弦函数的定义求解即可； （4）同理可证，，，根据，求解即可． 【详解】解：（1）∵正方形， ∴，， ∴旋转角为，， 故答案为：；； （2）如图， 根据题意得， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）略 （4）同理可证，，， ∴，， ∵， ∴ ， 即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，线段垂直平分线的性质，正方形和菱形的性质．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $