精品解析：广东省潮州市湘桥区城西中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

九年级数学科综合练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 3. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A. B. C. D. 5. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）．     A. 核 B. 心 C. 数 D. 养 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 32 D. 40 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 若是反比例函数，则m的值为________． 11. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是_______． 13. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______． 14. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为_______ 三、解答题（本大题共3小题，16题6分，17、18题每小题8分，共22分） 15. 计算：． 16. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）． （1）求y关于x的函数表达式． （2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 17. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 18. 如图，已知双曲线与直线相交于两点，轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为． （1）求k的值； （2）若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式； （3）在（2）条件下，直接写出当x为何值时 19. 数学探究合作小组为了测量一条两岸平行的南水北调水渠的宽度，成员们独立设计了三个不同的方案，他们在水渠东岸的点处测得水渠西岸的大树T恰好在点的正西方向．测量方案与数据如表： 课题 测量水渠宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 卓越小组 复兴小组 格物小组 测量方案 示意图 说明 点，在点的正北方向 点，在点的正北方向 点在点的正北方向，点在点的正南方向 测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ． （1）________小组的数据无法计算出水渠宽度； （2）请选择其中一个方案及其数据求出水渠宽度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，，，． 20. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 五、解答题（每题13分，共26分） 21. 如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、，一次函数的图像经过点，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点. （1）求的值及点的坐标； （2）求长及的大小； （3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离. 22. 综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． （1）求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； （2）哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学科综合练习题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 笔、墨、纸、砚是中国独有的书法书画用具，如图，这是一方端砚及其示意图，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．画出这个方端砚的俯视图即可． 【详解】解：这个方端砚的左视图为： 故选：C． 2. 已知反比例函数，下列结论中错误的是（ ） A. 图象必经过点 B. 在每一象限内，随的增大而增大 C. 图象在第二、四象限 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数(k是常数，)的图象是双曲线，当，反比例函数图象的两个分支在第一、三象限；当，反比例函数图象的两个分支在第二、四象限．根据反比例函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：A．∵，∴图象必经过点，原选项不符合题意； B．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，在每一象限内，随的增大而增大，原选项不符合题意； C．∵，∴反比例函数图象的两个分支在第二、四象限，原选项不符合题意； D．若，则，故原选项符合题意． 故选D． 3. 在平面直角坐标系中，从原点O引一条射线，设这条射线与x轴的正半轴的夹角为，若=，则这条射线是（ ） A. OA B. OB C. OC D. OD 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦的定义分别求出四条射线与x轴正半轴夹角的余弦值，即可得出答案. 【详解】A. ，射线OA与x轴正半轴夹角的余弦值，故A符合题意； B. ，射线OB与x轴正半轴夹角的余弦值，故B不符合题意； C. ，射线OC与x轴正半轴夹角的余弦值，故C不符合题意； D. ，射线OD与x轴正半轴夹角的余弦值，故D不符合题意； 故选A. 【点睛】本题考查网格图中的三角函数值，熟练掌握余弦的定义是解题的关键. 4. 如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，若＝，那么＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解再证明可得 【详解】解： ＝， DE∥BC， 故选D 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明是解本题的关键． 5. 如图是一个正方体的展开图，则与“学”字相对的是（ ）．     A. 核 B. 心 C. 数 D. 养 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，掌握正方体表面展开图的特点是解题的关键． 正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，据此解答即可． 【详解】解：根据正方体展开图的特征，可知“数”与“养”是相对面，“素”与“核”是相对面，因此与“学”字相对的是“心”字． 故选B． 6. 如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，根据点的坐标可得到位似比，再根据位似比即可求解，掌握位似变换的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，点的对应点为， ∴与的位似比为， ∴点的对应点的坐标为，即， 故选：． 7. 点、、都在反比例函数的图像上，则、、的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质，当时，在每一个象限内随的增大而增大，由于、在第二象限，，则；在第四象限，，从而得到答案． 【详解】解：点、、都在反比例函数的图像上， 当时，在每一个象限内随的增大而增大， 、在第二象限，， ， 在第四象限，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，熟练掌握反比例函数增减性判定自变量或函数值大小的方法是解决问题的关键． 8. 如图，考古队在处测得古塔顶端的仰角为，斜坡的长为米，坡度，长为米，则古塔的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】作，由，可设，结合，利用勾股定理可求得的值，解即可得到结论． 【详解】如图，作，垂足分别为，则四边形是矩形，则, ∵斜坡,，设， ∴， ∵,则， ∴， ∵长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即古塔的高度为米， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角，坡角问题，解题的关键是能根据题意构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角三角形． 9. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k. 【详解】解：∵BD//x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）. ∵矩形ABCD的对角线的交点为E，. ∴E为BD中点，∠DAB=90°. ∴E（x，4） ∵∠DAB=90°， ∴AD2+AB2=BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10， ∴E（5，4）. 又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E， ∴k=5×4=20；故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 10. 若是反比例函数，则m的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键是将一般式转化为的形式．根据反比例函数的定义．即，只需令，即可． 【详解】解：由题意得：且，； 解得，又； ． 故答案为： 11. 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为，则这栋楼的高度为______m． 【答案】60 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成比例是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成比例即可得出结论． 【详解】解：设这栋楼的高度为， 在某一时刻，测得高为的竹竿的影长为，同时同地测得一栋楼的影长为， 解得． 答：这栋楼的高度为， 故答案为：60 12. 如图是一个几何体的三视图，则该几何体的侧面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的侧面展开图，三视图的含义，理解题意，掌握由三视图还原几何体是解本题的关键．先由三视图还原几何体为圆锥，再利用勾股定理求解母线长，再利用扇形面积公式进行计算即可． 【详解】解：由三视图可得：该几何体是圆锥，底面直径为6，高为4，如图， ∴，，而， ∴，， ∴该几何体的侧面积是． 故答案为：． 13. 如图，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上点O反射后照射到B点，若入射角为α，反射角为β（反射角等于入射角），AC⊥CD于点C，BD⊥CD于点D，且AC＝3，BD＝6，CD＝12，则tanα的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】如图（见解析），先根据平行线的判定与性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定证出，根据相似三角形的性质可得的长，然后根据正切的定义即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ， ， ， 同理可得：， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、正切等知识点，正确找出两个相似三角形是解题关键． 14. 如图，是用12个相似的直角三角形组成的图案．若，则的长度为_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，锐角三角函数的应用，规律探究；先求解，可得，再进一步探究即可． 【详解】解：∵12个相似的直角三角形， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共3小题，16题6分，17、18题每小题8分，共22分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂，负整数指数幂，最后计算加减法即可． 【详解】解： 16. 如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为，阻力臂长为．设动力为y（单位：N），动力臂长为x（单位：m）（杠杆平衡时，动力动力臂阻力阻力臂，撬棍本身所受的重力忽略不计）． （1）求y关于x的函数表达式． （2）小明想使动力不超过，在动力臂最大为的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由． 【答案】（1） （2） 他不能撬动这块石头．理由如下： 由（1）知， 当时， ， 解得． ∵， ∴他不能撬动这块石头． 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，理解题意，正确求得函数解析式是解答的关键． （1）根据“动力动力臂阻力阻力臂”列等式，整理可得函数解析式； （2）根据反比例函数的性质求解判断即可． 【小问1详解】 解：由题意可得， 则， 即y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 略 17. 如图，四边形是某学校的一块种植实验基地，其中是水果园，是蔬菜园．已知． （1）求证：； （2）若蔬菜园的面积为80，求水果园的面积． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）由，可得，由，，即，可证． （2）由（1）知，则，即，计算求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴，即， 解得，， 答：水果园的面积为． 四、解答题（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 18. 如图，已知双曲线与直线相交于两点，轴，垂足为C，直线与x轴交于点D．若的面积为． （1）求k的值； （2）若点B的纵坐标为，求该直线的函数表达式； （3）在（2）条件下，直接写出当x为何值时 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积，待定系数法求一次函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用反比例函数系数k的几何意义即可求得； （2）利用三角形面积求得A的坐标，把代入反比例函数的解析式求得B的坐标，然后利用待定系数法求得直线的解析式； （3）根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵的面积为1，， ∴， ∴， ∴， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∵直线过A、B两点， ∴，解得， ∴直线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：观察图象，当或时，． 19. 数学探究合作小组为了测量一条两岸平行的南水北调水渠的宽度，成员们独立设计了三个不同的方案，他们在水渠东岸的点处测得水渠西岸的大树T恰好在点的正西方向．测量方案与数据如表： 课题 测量水渠宽度 测量工具 测量角度的仪器，皮尺等 测量小组 卓越小组 复兴小组 格物小组 测量方案 示意图 说明 点，在点的正北方向 点，在点的正北方向 点在点的正北方向，点在点的正南方向 测量数据 ， ， ． ， ， ． ， ， ． （1）________小组的数据无法计算出水渠宽度； （2）请选择其中一个方案及其数据求出水渠宽度（结果保留小数点后一位）．参考数据：，，，，，． 【答案】（1）复兴 （2）水渠宽度约为84.2米 【解析】 【分析】（1）由复兴小组给出的数据为的长，和无法建立联系可知复兴小组的数据无法计算出水渠宽度； （2）卓越小组：求出，可得，然后根据列式计算即可；格物小组：解直角三角形求出，，然后根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：复兴小组的数据无法计算出水渠宽度； 复兴小组给出的数据为的长，和无法建立联系，无法得到的任何一边长度， 复兴小组的数据无法计算出水渠宽度， 故答案为：复兴； 【小问2详解】 卓越小组： ∵是的外角， ∴． ∴， ∴， ∴， 故水渠宽度约为84.2米； 格物小组： 设， ∵，， ∴，， ， ， 解得， 故水渠宽度约为84.2米． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 20. 如图，在中，，平分交于点，过点和点的圆，圆心在线段上，⊙O交于点，交于点． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：与相切，理由如下： 连接，则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∵为的半径， ∴与相切于点； （2） 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据角平分线的定义结合等边对等角，推出，进而得到，推出，即可得出结论； （2）连接，圆周角定理，得到，勾股定理求出的长，证明，求出的长，证明，列出比例式求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， 由题意，得：为的直径， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 五、解答题（每题13分，共26分） 21. 如图，⊙的圆心在反比例函数的图像上，且与轴、轴相切于点、，一次函数的图像经过点，且与轴交于点，与⊙的另一个交点为点. （1）求的值及点的坐标； （2）求长及的大小； （3）若将⊙沿轴上下平移，使其与轴及直线均相切，求平移的方向及平移的距离. 【答案】（1） ，（-3,0；（2）3,60°；（3）向上平移3个单位或向下平移1个单位； 【解析】 【详解】试题分析：（1）如图1中，连接AC、AB．首先证明四边形ABOC是正方形，求出点C坐标，利用待定系数法即可解决问题． （2）如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M．在Rt△DOC中，由tan∠CDO=，推出∠CDO=30°，由AC∥BD，推出∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°， 由AM⊥CE，推出∠CAM=∠EAM=60°，推出∠CAE=120°，在Rt△AMC中，根据CM=AC•cos30°=，推出CE=2CM=3，可得∠CBE=∠CAE=60°，由此即可解决问题． （3）分两种情形求解如图3中，当⊙A″与直线y=相切于点E，AB与直线CD交于点K，想办法求出AA″，即可解决问题．同法求出AA′． 试题解析：（1）如图1中，连接AC、AB． ∵⊙A与x轴、y轴相切于点B、C， ∴AC⊥OC，AB⊥OB，AC=AB，四边形ABOC是正方形，设A（m，m）， ∵点A在y=上， ∴m2=3， ∵m＞0， ∴点A坐标（，）， ∴OC=， ∴点C坐标（0，）， ∵一次函数y=x+b的图象经过点C， ∴b=， ∴一次函数的解析式为y=， 令y=0得x=-3， ∴D（-3，0），b=． （2）如图2中，连接BC、BE，作AM⊥CE于M． 在Rt△DOC中，∵tan∠CDO=， ∴∠CDO=30°， ∵AC∥BD， ∴∠ECA=∠CDO=30°，∠CAM=60°， ∵AM⊥CE， ∴∠CAM=∠EAM=60°， ∴∠CAE=120°， 在Rt△AMC中，CM=AC•cos30°=， ∴CE=2CM=3， ∴∠CBE=∠CAE=60°． （3）如图3中， ①当⊙A″与直线y=相切于点E，AB与直线CD交于点K， ∵AB∥OC， ∴∠A″KE=∠DKB=∠DCO=60°， 在Rt△A″EK中，A″E=，A″K=A″E÷cos30°=2， 在Rt△CKA中，AK=CA•tan30°=1， ∴AA″=A″K+AK=1+2=3， ∴⊙A向上平移3的单位⊙A与y轴及直线y=均相切． ②同理可得⊙A向下平移1个单位⊙A与y轴及直线y=均相切． 22. 综合与探究： 在《哪吒2》中，哪吒和敖丙的冒险充满了奇幻与挑战，一次他们在陈塘关上空发现了一条神秘的飞行轨迹，这条轨迹可以用抛物线来描述．如图，抛物线的顶点M的坐标为与y轴交于点，与x轴交于两点（A在B的左边）． （1）求这条神秘飞行轨迹（抛物线）的解析式； （2）哪吒、敖丙在飞行中的位置分别为动点，点P在线段上（不与点B重合），点Q在线段上且，设原点到哪吒的距离，敖丙到抛物线顶点的距离，求与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围； （3）数学建模 ①在（2）的条件下是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在试求点Q的坐标，若不存在说明理由； ②在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点F，使是等腰三角形，若存在直接写出所有满足条件的点F的坐标． 【答案】（1） （2） （3）①；②或或或． 【解析】 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将点C的坐标代入即可得出答案； （2）先证明，根据相似的性质列等式，求与m的函数关系式； （3）①假设存在满足条件的P点，根据条件是为底的等腰三角形，作的垂直平分线交于，．求出和点坐标；②根据是等腰三角形，只有点使得该三角形的两边相等即可． 【小问1详解】 ∵抛物线的顶点为可设， 将点代入，得， ∴． ∴； 【小问2详解】 解：令，得， 解得： ∴． 如图，过点M作x轴的垂线，垂足为H， 则， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：①存在点Q，理由如下： ∵是以为底的等腰三角形， ∴． ∴ 又∵ ∴此时轴， ∴P为， ∴是等腰直角三角形， ∴． ∵ ∴ ∴， ∴点是的中点，则， ∴Q的坐标为； ②如图， ∵， ∴， 当时，，； 当时，； 当时，； 综上，点F的坐标为：或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的知识，是一道综合题，还考查了相似三角形的判定和性质，求函数的解析式，等腰直角三角形的性 质，注意对各部分知识的熟练掌握以便灵活应用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $