8.5.3 平面与平面平行 课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第八章 立体几何初步 8．5　空间直线、平面的平行 8.5.3　平面与平面平行 要点整合夯基础 课堂达标练经典 课时作业 典例讲解破题型 核心素养培优 温 示 提 馨 自我检测：请完成课时作业29 PPT文稿 （点击进入） [课标解读]1.从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观图感知，了解空间中平面与平面的平行关系.2.归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理，并加以证明． [素养目标] 水平一：1.能从教材实例中归纳出平面与平面平行的判定定理、性质定理．(数学抽象)2.能证明平面与平面平行的性质定理．(逻辑推理)3.能借助具体的几何体判定空间中平面与平面的平行关系．(直观想象) 水平二：能利用平面与平面平行的判定定理证明直线与平面平行，能利用平面与平面平行的性质定理解决相关的问题，了解空间中直线、平面平行关系的内在联系．(逻辑推理) 平行 知识点一 　平面与平面平行的判定定理 [填一填] 文字 语言 如果一个平面内的两条 直线与另一个平面 ，那么这两个平面平行 图形 语言 符号 语言 a⊂β，b⊂β， ，a∥α，b∥α⇒β∥α 作用 证明两个平面 相交 平行 a∩b＝P [答一答] 1．如果把定理中的“相交”去掉，这两个平面是否一定平行，为什么？ 提示：不一定平行．如果不是两条相交直线，即使在一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，也不能判定这两个平面平行，这是因为在两个相交平面的一个平面内，可以画出无数条直线与交线平行，显然这无数条直线都与另一个平面平行，但这两个平面不平行． 2．如果一个平面内有无数条直线和另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？ 提示：不一定平行，这无数条直线可能相互平行，此时两个平面也可能相交． 3．如何理解平面与平面平行的判定定理？ 提示：(1)此定理可简述为若线面平行，则面面平行． (2)判定定理中一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面． (3)判定平面与平面平行需要同时满足五个条件：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α. (4)定理将平面与平面平行的问题转化为直线与平面平行的问题． 知识点二　　平面与平面平行的性质定理 [填一填] 文字 语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线 图形 语言 符号 语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒ 作用 证明两条直线 平行 a∥b 平行 [答一答] 4．两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面吗？ 提示：一定平行于另一个平面．因为两个平面平行，则两平面无公共点，即一个平面内的直线和另一个平面没有公共点，由线面平行的定义可知，直线与平面平行． 5．如果α∥β，a⊂α，那么如何在平面β内作出与a平行的直线？ 提示：利用面面平行的性质定理，可在平面β内任取一点A，然后作出A和直线a所确定的平面γ，确定平面β和γ的交线b，则a∥b. 6．如何理解平面与平面平行的性质定理？ 提示：(1)此定理可简记为若面面平行，则线线平行． (2)定理中的三个条件：①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b.三个条件缺一不可． (3)定理的实质是由面面平行得出线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知此定理可用来证明线线平行． 类型一　　　平面与平面平行判定定理的应用 [例1]　如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，E，F，N分别是A1B1，B1C1，C1D1，D1A1的中点，求证： (1)E，F，B，D四点共面； (2)平面MAN∥平面EFDB. [分析]　(1)只需证明BD∥EF，即可证明E，F，B，D共面．(2)要证平面MAN∥平面EFDB，只需证MN∥平面EFDB，AM∥平面EFDB. [证明]　(1)连接B1D1. ∵E，F分别是B1C1和C1D1的中点， ∴EF∥B1D1.而BD∥B1D1，∴BD∥EF. ∴E，F，B，D四点共面． (2)由题意知MN∥B1D1，B1D1∥BD，∴MN∥BD. 而MN⊄平面EFDB，∴MN∥平面EFDB，连接MF. ∵点M，F分别是A1B1与C1D1的中点，∴MF綉AD. ∴四边形ADFM是平行四边形．∴AM∥DF. ∵AM⊄平面EFDB，DF⊂平面EFDB， ∴AM∥平面EFDB.又AM∩MN＝M， ∴平面MAN∥平面EFDB. 平面与平面平行的判定方法 (1)定义法：两个平面没有公共点． (2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面． (3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β. (4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ. [变式训练1]　(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，则下列结论中正确的是(　　) A．AD1∥平面EFGH B．BD1∥GH C．BD∥EF D．平面EFGH∥平面A1BCD1 D 解析：在长方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为棱A1B1，BB1，CC1，C1D1的中点，在A中，AD1与BC1平行，而BC1与平面EFGH相交，故AD1不平行于平面EFGH，故A错误； 在B中，BD1∩CD1＝D1，CD1∥GH， 故BD1不可能平行于GH，故B错误； 在C中，BD∩A1B＝B，A1B∥EF， 故BD与EF不可能平行，故C错误． 在D中，EF∥A1B，FG∥BC，A1B∩BC＝B， EF∩FG＝F， 所以平面EFGH∥平面A1BCD1，故D正确． (2)如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1. 证明：如图，由棱柱的性质知，B1C1∥BC，B1C1＝BC. 又D、E分别为BC，B1C1的中点， 所以C1E∥DB，C1E＝DB. 则四边形C1DBE为平行四边形， 因此EB∥C1D. 又C1D⊂平面ADC1，EB⊄平面ADC1， 所以EB∥平面ADC1. 连接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD， 所以四边形EDBB1为平行四边形， 则ED∥B1B，ED＝B1B. 因为B1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性质)， 所以ED∥A1A，ED＝A1A， 则四边形EDAA1为平行四边形，所以A1E∥AD. 又A1E⊄平面ADC1，AD⊂平面ADC1， 所以A1E∥平面ADC1. 由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E⊂平面A1EB，EB⊂平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1. 类型二　　　平面与平面平行性质定理的应用 [例2]　如图，已知平面α∥平面β，点P是平面α，β外的一点(不在α与β之间)，直线PB，PD分别与α，β相交于点A，B和C，D. (1)求证：AC∥BD； (2)已知PA＝4，AB＝5，PC＝3，求PD的长． [分析]　(1)由面面平行的性质定理直接推证；(2)先由三角形相似得对应线段成比例，再求值． [解]　(1)证明：∵PB∩PD＝P， ∴直线PB和PD确定一个平面γ， 则α∩γ＝AC，β∩γ＝BD.又α∥β，∴AC∥BD. (2)由(1)得AC∥BD， ∴eq \f(PA,AB)＝eq \f(PC,CD)，∴eq \f(4,5)＝eq \f(3,CD)，∴CD＝eq \f(15,4)， ∴PD＝PC＋CD＝eq \f(27,4). 应用平面与平面平行性质定理的基本步骤 [变式训练2]　如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在平行四边形A′B′C′D′所确定的一个平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 证明：在▱A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，因为A′B′⊄平面C′D′DC，C′D′⊂平面C′D′DC，所以A′B′∥平面C′D′DC. 同理A′A∥平面C′D′DC.又A′A∩A′B′＝A′， 所以平面A′B′BA∥平面C′D′DC. 因为平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB， 平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD， 所以AB∥CD.同理AD∥BC. 所以四边形ABCD是平行四边形． 类型三　平行关系的综合应用 命题视角1：平行中的探究性问题 [例3]　如图所示，在三棱柱ABC­A1B1C1中，平面ABC∥平面A1B1C1.若D是棱CC1的中点，在棱AB上是否存在一点E，使DE∥平面AB1C1？并证明你的结论． [分析]　先找出过DE与平面AB1C1平行的平面，可直接找出过D，E与△AB1C1的三边平行的直线，进而确定平面，然后确定其与棱AB的交点，即可找出E点位置，然后利用定理进行证明即可． [解]　当E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1.证明如下： 如图所示，取BB1的中点F，连接EF，FD，DE. 因为D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点， 所以EF∥AB1. 因为AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1， 所以EF∥平面AB1C1.同理可证FD∥平面AB1C1. 因为EF∩FD＝F，所以平面EFD∥平面AB1C1. 因为DE⊂平面EFD，所以DE∥平面AB1C1. 1探索条件，即探索能使结论成立的条件是什么.解答此类问题，先观察并尝试给出条件，再给出证明. 2探索结论，即在给定的条件下命题的结论是什么.解答此类问题，常从条件出发，探索出要求的结论是什么.对于探索的结论是否存在问题，求解时，常假设结论存在，再推导结论与条件相容还是矛盾. [变式训练3]　如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，E，F分别为PC，PD的中点，在底面ABCD内是否存在点Q，使平面EFQ∥平面PAB？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由． 解：存在． 如图，分别取AD，BC的中点G，H，连接FG，HE，GH. 因为F，G分别为PD，AD的中点， 所以FG∥PA.因为FG⊄平面PAB， PA⊂平面PAB，所以FG∥平面PAB. 因为E，F分别为PC，PD的中点， 所以EF∥CD，因为AB∥CD，所以EF∥AB. 因为EF⊄平面PAB，AB⊂平面PAB. 所以EF∥平面PAB，因为EF∩FG＝F， 所以平面EFG∥平面PAB. 又GH∥CD，所以GH∥EF. 所以平面EFG即平面EFGH. 所以平面EFGH∥平面PAB. 又点Q∈平面ABCD，平面ABCD∩平面EFGH＝GH， 所以点Q∈GH. 所以点Q在底面ABCD的中位线GH上． 命题视角2：空间平行关系的综合应用 [例4]　如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点． 求证：(1)BE∥平面DMF； (2)平面BDE∥平面MNG. [证明]　证明：(1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O， 连接MO，则MO为△ABE的中位线， 所以BE∥MO，又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，所以BE∥平面DMF. (2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN， 又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG， 所以DE∥平面MNG. 又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN， 又BD⊄平面MNG，MN⊂平面MNG， 所以BD∥平面MNG， 又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG. 常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系、相互转化的，它们的联系如下： 证明线线平行的方法． (1)定义法：在同一个平面内没有公共点的两条直线平行． (2)基本事实4：平行于同一条直线的两条直线平行． (3)线面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥α,a⊂β,α∩β＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有线面平行． (4)面面平行的性质定理：eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥β,α∩γ＝a,β∩γ＝b))⇒a∥b，应用时题目条件中需有面面平行或证得两平面平行． [变式训练4]　如图，已知AB，CD是夹在两个平行平面α，β之间的线段，M，N分别为AB，CD的中点．求证：MN∥α. 证明：若AB，CD在同一平面内，则平面ABDC与α，β的交线分别为BD，AC. ∵α∥β，∴AC∥BD. ∵M，N分别为AB，CD的中点， ∴MN∥BD. 又BD⊂α，MN⊄α，∴MN∥α. 若AB，CD异面，如图，过A作AE∥CD交α于E，取AE的中点P，连接MP，PN，BE，ED. ∵AE∥CD，∴AE，CD确定平面AEDC，且与α，β的交线分别为ED，AC. ∵α∥β，∴ED∥AC. 又P，N分别为AE，CD的中点，∴PN∥ED. ∵PN⊄α，DE⊂α，∴PN∥α. 同理可证MP∥BE，∴MP∥α.∵PN∩MP＝P，∴平面MPN∥α. 又∵MN⊂平面MPN，∴MN∥α. 1．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面，下列推理正确的是(　　) A．α∩β＝a，b⊂α⇒a∥b B．α∩β＝a，a∥b⇒b∥α且b∥β C．a∥β，b∥β，a⊂α，b⊂α⇒α∥β D．α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b D 2．如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面的位置关系是 (　　) A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．以上都不对 A 解析：根据两个平面平行的性质可知，这两个平面平行． 3．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点，则下列结论正确的是(　　) A．MN∥AP B．MN∥BD1 C．MN∥平面BB1D1D D．MN∥平面BDP C 解析：由题意，取B1C1的中点E， 连接EM，NE，B1D1，BD，如图． M，N，P分别是C1D1，BC，A1D1的中点， 所以BB1∥NE，B1D1∥EM， EM∩NE＝E，BB1∩B1D1＝B1， 所以平面EMN∥平面BB1D1D， 那么MN∥平面BB1D1D. 4．a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，现给出六个命题． ①eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥c,b∥c))⇒a∥b；②eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))⇒a∥b；③eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,β∥c))⇒α∥β； ④eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥γ,β∥γ))⇒α∥β；⑤eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(α∥c,a∥c))⇒a∥α；⑥eq \b\lc\ \rc\}(\a\vs4\al\co1(a∥γ,α∥γ))⇒a∥α， 其中正确的命题是 .(填序号) ①④ 解析：①是基本事实4，正确；②中a，b还可能异面或相交；③中α，β还可能相交；④是平面平行的传递性，正确；⑤还有可能a⊂α；⑥也是忽略了a⊂α的情形． 5．如图所示，B为△ACD所在平面外一点，点M，N，G分别为△ABC， △ABD，△BCD的重心． (1)求证：平面MNG∥平面ACD； (2)求S△MNGS△ACD. 解：(1)证明：如图，连接BM，BN，BG并延长分别交AC，AD，CD于P，F，H三点， ∵M，N，G分别是△ABC，△ABD，△BCD的重心， ∴eq \f(BM,MP)＝eq \f(BN,NF)＝eq \f(BG,GH)＝2， 连接PF，FH，PH，有MN∥PF. 又PF⊂平面ACD，MN⊄平面ACD， ∴MN∥平面ACD. 同理MG∥平面ACD，又MG∩MN＝M， ∴平面MNG∥平面ACD. (2)由(1)可知eq \f(MG,PH)＝eq \f(BG,BH)＝eq \f(2,3)， ∴MG＝eq \f(2,3)PH. 又PH＝eq \f(1,2)AD，∴MG＝eq \f(1,3)AD. 同理NG＝eq \f(1,3)AC，MN＝eq \f(1,3)CD， ∴△MNG∽△DCA， ∴S△MNGS△ACD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(NG,AC)))2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq \f(1,9). ——本课须掌握的四大问题 1．证明面面平行的方法： ①利用定义：两个平面没有公共点； ②判定定理：归纳为线面平行⇒面面平行； ③利用平行平面的传递性； ④推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行． 2．要证明面面平行需证明线面平行，要证明线面平行需证明线线平行，因此“面面平行”问题最终转化为“线线平行”问题．在判断相关命题时要把握好定理的条件，可结合常见几何模型，比如长方体(正方体)等帮助理解． 3．对面面平行性质定理的理解 (1)面面平行的性质定理的条件有三个： ①α∥β；②α∩γ＝a；③β∩γ＝b. 三个条件缺一不可． (2)定理的实质是由面面平行得线线平行，其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面，由其结论可知定理可用来证明线线平行． (3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义． 4．线与面、面与面平行性质定理的综合应用 (1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题．而在空间平行的判定与证明时，应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化，这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现，应灵活把握． (2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下： ●考点　证明平行关系因推理不严密致误 [典例]　如图所示，已知E，F分别是正方体ABCD­A1B1C1D1的棱AA1，CC1的中点，求证：四边形BED1F是平行四边形． [证明]　如图，取DD1的中点G，连接EG，GC. ∵E是AA1的中点，G是DD1的中点， ∴EG∥AD，EG＝AD. 由正方体的性质知AD∥BC，AD＝BC，∴EG∥BC，EG＝BC， ∴四边形EGCB是平行四边形， ∴EB∥GC，EB＝GC.① 又∵G，F分别是DD1和CC1的中点， ∴D1G∥FC，D1G＝FC， ∴四边形D1GCF是平行四边形． ∴D1F∥GC，D1F＝GC.② 由①②得D1F＝BE，D1F∥BE， ∴E，B，F，D1四点共面，四边形BED1F是平行四边形． [易错警示]　本题中只告诉四边形BED1F四个顶点的位置，这就意味着B，E，D1，F四点未必共面，容易出错． (1)要证明一个四边形是平行四边形，必须先证明四点共面； (2)利用线面平行的性质证明线线平行，必须先明确线平行于面，则线与过该线的平面与已知平面的交线平行，切记：必须是交线； (3)如果一个平面与两平行平面相交，那么它们的交线平行． [针对训练]　如图，直三棱柱ABC­A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′ACC′. 证明：取A′B′中点P，连接MP，NP. 因为点M，N分别为A′B与B′C′的中点， 所以MP∥AA′，PN∥A′C′. 所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′. 又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′. 又MN⊂平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′. $