精品解析：河北石家庄市第三十八中学2025-2026学年高一第二学期4月月考数学试卷

2025-2026学年第二学期高一年级4月月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的定义与性质分析各选项即可. 【详解】对于A：模相等，但方向有可能不相同， 不能保证向量相等，故A错误； 对于B：向量不能比较大小，故B错误； 对于C： 因为向量的模为零时，该向量必为零向量， 即，故C正确； 对于D：向量不能等于数字0，故D错误. 故选：C 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】向量垂直等价于向量数量积等于零，利用向量的坐标运算即可. 【详解】由题意可知，， 由，得， 解得. 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量数量积的定义计算即可. 【详解】由题意知，. 故选：D. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】已知， 则，解得， 在方向上的投影向量为：． 5. 已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，可判断为实数，列出等量关系和不等关系求解即可 【详解】由题意， 故为实数 或 故选：A 6. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标关系可得的值，再根据余弦二倍角公式即可求得的值. 【详解】由向量， 由可得：， 整理得， 所以. 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 根据正弦定理，可得，令，，，再结合公式，列出关于的方程，解出后，进而可得到的大小. 【详解】解：∵， ∴， 即， 令，，，显然， ∵， ∴，解得， ∴，B＝． 故选：D. 【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示，，是本题关键 8. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得，然后利用正弦定理求得，从而求得. 【详解】在中，，， 故，， 在中，，， ， 由正弦定理得，， 所以. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，由复数的概念验算即可；对于C，由复数模的计算公式求解即可；对于D，由复数的几何意义即可求解. 【详解】对于A，依题意可得，即，则，故A正确； 对于B，依题意可得，故B错误； 对于C，依题意可得，所以，故C正确； 对于D，若复数z在平面内对应的点在第二象限，则，所以D正确， 故选：ACD． 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 【答案】AB 【解析】 【分析】由零与任何向量共线，即可判断B；由三角形的重心的向量表示和性质可判断D；由向量共线的性质可判断A；根据平面向量数量积的运算律判断C． 【详解】解：对于A选项，当时，与可以为任意向量，满足，但与不一定共线，故A错误， 对于B选项，如果、都是非零向量，，满足已知条件，但是结论不成立，故B错， 对于C选项，若，所以，即，即，所以，∴与垂直，故C正确， 若，设，，可得为的重心， 设，，， 则，，，由， 可得，故D正确； 故选：AB. 11. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当时，满足条件的三角形共有个 B. 若则这个三角形的最大角是 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则为等腰直角三角形 【答案】BD 【解析】 【分析】利用正弦定理求得,即可判定A错误；利用正弦定理转化为边的比值，进而利用余弦定理求得最大角的余弦，得到最大角的值，对B作出判定；注意到三角形的各个角的情况，周全考虑，即可判定C错误；根据已知条件,综合使用正余弦定理可求得角A的值，进而证明D正确. 【详解】对于Ａ，，无解，故A错误； 对于B,根据已知条件，由正弦定理得：, 不妨令,则,最大角的余弦值为：, ∴，故B正确； 对于C，由条件，结合余弦定理只能得到,即角为锐角，无法保证其它角也为锐角，故C错误； 对于D,,得到, 又 , , 为等腰直角三角形，故D正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查正余弦定理，熟练掌握并灵活运用正余弦定理是关键. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量，设向量对应的复数为，则___________． 【答案】5 【解析】 【详解】向量  对应的复数为 ，则， 则复数  的模为. 13. 在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】借助三角形面积公式可得，再利用余弦定理计算可得，即可得该三角形周长. 【详解】，则， ， 化简得，解得（负值舍去）， 则的周长为. 14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，再利用平面向量线性运算与平面向量基本定理计算用表示，最后利用基本不等式计算即可得解. 【详解】设，则 ， 则， 故，， 故， 当且仅当，即时，等号成立. 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）运用数量积和模长公式求出夹角余弦值，再得到夹角即可；（2）运用向量坐标的模长公式求解即可. 【小问1详解】 由于， 则， 又，则与的夹角为； 【小问2详解】 ，则 16. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立平面直角坐标系，表示出，进而根据求解即可； （2）先结合（1）表示出，进而求解即可. 【小问1详解】 如图所示，以A为坐标原点，建立平面直角坐标系， 则，，，，，， 所以，， 因为，则，解得. 【小问2详解】 由（1）知，，， 则， 当时，，即的取值范围是. 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【答案】（1） （2）点为线段的中点 【解析】 【分析】（1）将用基底表示，利用平面向量数量积的运算性质可求出的值； （2）设，其中，将用基底表示，利用平面向量的基本定理可求出的值，即可得出结论. 【小问1详解】 因为，所以，可得， 因为，，， 由平面向量数量积的定义可得， 所以， . 【小问2详解】 因为点在线段上的一点，设，其中， 则，所以，， 又因为，且、不共线， 所以，解得，此时点为线段的中点. 18. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，可得，然后利用余弦定理，可得. （2）若选①，使用正弦定理以及辅助角公式可得，根据的范围可得结果；选②，利用正弦定理可得，可得结果.选③结合不等式可得结果. 【详解】（1）因为， 所以，得， 所以，因为，所以. （2）分三种情况求解： 选择①，因为， 由正弦定理得， 即的周长 ， 因为，所以， 即周长的取值范围是. 选择②,因为， 由正弦定理得 即的周长 ， 因为，所以，所以， 即周长的取值范围是. 选择③. 因为，得， 由余弦定理得， 即的周长， 因为，当且仅当时等号成立， 所以. 即周长的取值范围是. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式的应用，熟练掌握公式，边角互化化繁为简，考查分析问题的能力，属中档题. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式，结合正弦函数的单调性即可求解； （2）利用正弦定理角化边，结合面积公式和余弦定理即可求解. 【小问1详解】 ， 令，， 解得，， 所以函数的单调递增区间为，. 【小问2详解】 因为， 又为的内角，则 故， 所以，所以. 设角所对边分别为， 因为，由正弦定理得.① 因为三角形的面积为，所以.② 由①②解得：， 由余弦定理得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高一年级4月月考 数学试卷 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 下列各选项中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 在中，，，，则（ ） A. 3 B. C. -3 D. 4. 已知向量，，满足，，，则在方向上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，若（i为虚数单位），则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知向量，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若，则∠B的大小是（ ） A. B. C. D. 8. 圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.某同学为了估算索菲亚教堂的高度，在教堂的正东方找到一座建筑物，高为，在它们之间的地面上的点（，，三点共线）处测得楼顶、教堂塔尖的仰角分别是和，在楼顶处测得教堂塔尖的仰角为，则该同学计算索菲亚教堂的高度为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。） 9. 已知复数，则（ ） A. 若复数z为实数，则 B. 若复数z为纯虚数，则 C. 当时， D. 复数z在复平面内对应的点不可能在第二象限 10. 有下列说法，其中错误的说法为（ ）. A. 、为实数，若，则与共线 B. 若、，则 C. 两个非零向量、，若，则与垂直 D. 若，、分别表示、的面积，则 11. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则以下四个命题正确的有（ ） A. 当时，满足条件的三角形共有个 B. 若则这个三角形的最大角是 C. 若，则为锐角三角形 D. 若，，则为等腰直角三角形 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 向量，设向量对应的复数为，则___________． 13. 在中，边分别为角的对边，满足的面积为，则的周长为_____． 14. 在中，为边上不同于的任意一点，点为线段的三等分点（靠近点，若，则的最小值为___________． 四、解答题（本题共5小题，共77分） 15. 已知向量； （1）求与的夹角； （2）求． 16. 如图，已知正方形的边长为2，F为的中点，. （1）若，求的值； （2）求的取值范围. 17. 已知在中，为中点，. （1）若，求； （2）若线段上一动点满足，试确定点的位置. 18. 的角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知. （1）求角A； （2）从三个条件：①；②；③的面积为中任选一个作为已知条件，求周长的取值范围. 19. 已知函数. （1）求的单调递增区间； （2）在中，，，的面积为，求边的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $