微专题02 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题（专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

微专题02 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 题型一 知解直接代入解，求字母参数的问题 把题目给出的x、y 的解直接代入原方程组，得到关于参数的方程或方程组，再解方程求出参数. 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知是方程的一个解，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 4．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 5．如果是方程的一组解，那么代数式_____． 6．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 题型二 二元一次方程（组）同解问题 先将两个方程组中不含参数的方程重新联立，求出公共解 x、y，再把公共解代入含参数的方程，求出参数. 1．已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 题型三 二元一次方程组的解遮挡问题 1. 设被遮挡的数为参数（如a、b）. 2. 把题目给出的正确解直接代入方程组. 3. 解关于遮挡参数的一元一次方程或方程组4. 求出被遮挡的数字，还原完整方程. 1．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 2．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解为，则“”可以表示为（    ） A． B． C． D． 4．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是________． 6．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 7． 如果将二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？ 题型四 方程组的解满足某一附加条件 代入消元法或加减消元法，用参数表示出 x、y，再根据题目条件列式计算参数. 1．（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为______． 3．已知关于的方程组，若，则的值为______． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若关于、的方程组的解与相等，求的值． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 题型五 利用二元一次方程组解决看错解问题 错解只满足看错系数的方程，正解满足全部方程；分别代入对应方程，联立求解参数. 1．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 2．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 3．（23-24七年级下·江西新余·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得，乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根． 4．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）甲、乙两人共同解方程组时，由于甲看错了方程组中方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程组中方程②中的．得到方程组的解，求代数式的值． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 6．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 7．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）小明、小丽两人同时解方程组，请根据两人对话，求出的值．    题型六（培优） 方程组无解、有唯一解、无数解问题 对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 2．关于，的方程组有无数解，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．关于x，y的方程组有无数多组解，则a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）若方程组无解，则a的值为________ 5．已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于________． 6．已知方程组，试确定a、c的值，使方程组： (1)有一个解； (2)有无数解； (3)没有解． 7．当m，n为何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解 题型七（培优） 二元一次方程（组）正整数解问题 用参数表示 x、y，根据整除性确定参数取值，再代入验证取舍。 1．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 2．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 7．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 微专题02 二元一次方程组的同解、错解、参数等问题 题型一 知解直接代入解，求字母参数的问题 把题目给出的x、y 的解直接代入原方程组，得到关于参数的方程或方程组，再解方程求出参数. 1．（24-25七年级下·江苏镇江·期末）已知是方程的一个解，则常数的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的解，将方程的解代入原方程，解关于的一元一次方程即可． 【详解】将代入方程 得： 化简得： 解得： 故选：B． 2．已知关于，的方程组的解也满足方程，则的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】先由和组成新的方程组，求解得到x和y的值，代入中解方程即可得到m的值． 【详解】解：∵关于，的方程组的解也满足方程， ∴可得到新的方程组， 解方程组得， 将代入中， 可得：， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题考查了构造二元一次方程组求解、解一元一次方程，熟练掌握方程组的解法是解题关键． 3．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，代数式求值，将方程组的解代入原方程组，解关于a和b的方程，再求和即可． 【详解】解：方程组的解是， ，解得：， ， 故选：C． 4．已知是二元一次方程的一组解，则_________ ． 【答案】2023 【分析】将代入二元一次方程求出的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴， ∴． 5．如果是方程的一组解，那么代数式_____． 【答案】6 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，根据二元一次方程解的定义，将解代入方程得到等式，再整体代入代数式求值． 【详解】因为是方程 的解， 所以． 代数式． 6．已知是关于，的二元一次方程的一个解，的算术平方根为，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解、算术平方根和平方根的概念，准确计算是解题的关键． 通过代入方程的解求，根据算术平方根定义求，再计算表达式求平方根． 【详解】 是关于，的二元一次方程的一个解， ， ， 的算术平方根为， ， ， ， ， 的平方根为． 7．已知关于x，y的二元一次方程组的解为． (1)求a，b的值； (2)若，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、代数式求值等知识点． （1）将代入得到关于a、b的二元一次方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）将a、b的代入，计算即可． 【详解】（1）解：把代入关于，的二元一次方程组， 得：， 解得：； ∴，； （2）解：由（1）得：，，， ∴， 解得，， ∴的值为． 题型二 二元一次方程（组）同解问题 先将两个方程组中不含参数的方程重新联立，求出公共解 x、y，再把公共解代入含参数的方程，求出参数. 1．已知方程组与有相同的解，则、的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个方程组的解相同，可重组一个只含、的方程组，求出它们的解，再把解代入含、的方程，得方程组并求出、的值． 【详解】解：方程组与有相同的解， ∴方程组与有相同的解， 解方程组， 得， 得， 得， 将代入得，，解得， 该方程组的解为， 把代入方程组， 得，解得． 2．已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 3．已知关于的方程组与方程组同解，则_____． 【答案】81 【分析】先联立不含参数的方程和 解出x和y，再代入含参数的方程求a和b，即可． 【详解】解：联立方程 ， 解得 ， 把 代入 得， 解得 ， ∴． 4．（24-25七年级下·江苏淮安·月考）关于，的方程组与有相同的解，求，的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了同解方程组．根据同解方程组可得方程组，可求出，再带入，即可求解． 【详解】解：∵方程组与有相同的解， ∴， 解得：， 把代入，得： ， 解得：． 5．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）已知关于的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查的是二元一次方程组的解的定义，关于x，y的方程组与的解相同，所以的解即为方程组与的解，即可求出解为，把代入到中，即可求得a和b的值，进而可求得代数式的值． 【详解】解：关于x，y的方程组组与的解相同， ∴的解即为方程组与的解， ∴，得， 把代入②得， ∴关于x，y的方程组组与的解为， ∴是的解， ∴， 解得， ∴． 6．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）已知关于x、y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】1 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，乘方的性质，解题的关键是掌握二元一次方程组的求解，正确求得a、b的值．将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：∵关于x、y的方程组和的解相同， ∴， 由得， ， 解得， 把代入①得， ， 解得， ∴方程组的解为， 把代入得， ， 得， ， 把代入③得， ， 解得， ∴． 7．（24-25七年级下·江苏泰州·期中）已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2)的值为 【分析】本题考查的是二元一次方程组的同解问题，二元一次方程组的解法； （1） 由题意可得这两个方程组的相同解也满足方程组 ，再解方程组即可； （2）把代入两个含未知系数的方程可得，再解方程组并进一步求解即可． 【详解】（1）解：由题意得这两个方程组的相同解也满足方程组 ； 解得， 所以这两个方程组的相同解为 （2）解：将，代入方程组， 得， 解得， ∴， 即的值为． 题型三 二元一次方程组的解遮挡问题 1. 设被遮挡的数为参数（如a、b）. 2. 把题目给出的正确解直接代入方程组. 3. 解关于遮挡参数的一元一次方程或方程组4. 求出被遮挡的数字，还原完整方程. 1．方程组的解为，则被●和▲遮盖的两个数分别为（    ） A．5，1 B．1，3 C．2，3 D．2，4 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组解的定义．先把代入求y的值，然后直接求解即可． 【详解】解：由题意得： 把代入，得：， ∴得到； ∴被●和▲遮盖的两个数分别为5，1． 故选：A． 2．已知二元一次方程组的解是，则☆表示的方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的解，根据方程组的解使方程组中的每一个方程都成立，求出的值，再将方程组的解分别代入各个选项中，进行判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴， ∴， ∴， ∴，，，． 故☆表示的方程可能是． 故选C． 3．（23-24七年级下·河南周口·月考）若关于，的二元一次方程组的解为，则“”可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和二元一次方程组的定义，分别把代入四个选项中的式子中看计算的结果是否为2，以及根据二元一次方程组的定义进行求解即可． 【详解】解：A、∵， ∴“”不可以表示为，故此选项不符合题意； B、不是二元一次方程，故此选项不符合题意； C、当时，，则“”可以表示为，故此选项符合题意； D、当时，，则“”不可以表示为，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．在解方程组时，小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是．小亮把常数抄错了，得到的解是，则原方程组的正确解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过小明由于粗心把系数抄错了，得到，通过小亮把常数抄错了，得到，便可将原方程组复原，再求解即可． 【详解】对于方程组， 小明由于粗心把系数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 小亮把常数抄错了，得到的解是 ∴ 解得 ∴原方程组为，解得 故答案选：C． 【点睛】本题是二元一次方程组错解复原问题．通过错解复原原方程组是本题的关键． 5．（23-24七年级下·全国·课后作业）小明在解关于x，y的二元一次方程组时，得到了正确结果，后来发现●，★处被墨水污损了，●，★两处的值分别是________． 【答案】2，1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，一元二次方程组的解的定义，设●表示的数为a，把把代入原方程组得，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设●表示的数为a， 把代入原方程组得， 解得， ∴●，★两处的值分别是2，1， 故答案为：2，1． 6．小明给小红出了一道数学题：“如果我将二元一次方程组第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且告诉你 是这个方程组的解，你能求出我原来的方程组吗？”请你帮小红解答这个问题. 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为m，被遮住的x的系数为n，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解： 设第①个方程y的系数为m，第②个方程x的系数为n， ∵ 是方程组的解， ∴ ， 解得 ， ∴原来的方程组为 ． 7．如果将二元一次方程组的第一个方程中y的系数遮住，第二个方程中x的系数遮住，并且是这个方程组的解，你能求出原方程组吗？ 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组解的定义，设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b，根据二元一次方程组的解为得到，据此求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：设被遮住的y的系数为a，被遮住的x的系数为b， 由题意得，方程组的解为， ∴， ∴， ∴原方程组为． 题型四 方程组的解满足某一附加条件 代入消元法或加减消元法，用参数表示出 x、y，再根据题目条件列式计算参数. 1．（23-24七年级下·全国·期末）已知方程组的解满足x与y互为相反数，则k的值为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】本题考查了相反数性质，即互为相反数的两个数相加等于0；二元一次方程组的解，方程组的解即能使方程组中两方程成立的未知数的值．将k看作已知数，表示出，利用列出方程，即可求出k的值． 【详解】解：∵ ∴得：，即， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， 解得：． 故选：D． 2．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）若二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是根据方程组求出．先根据方程组求出，再根据，得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】解：方程组， 得：， 整理得：， ， ， 解得：． 故答案为：． 3．已知关于的方程组，若，则的值为______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，熟练掌握加减消元法是解题的关键． 利用并化简得出即可求解． 【详解】解： 得， 即， 解得， 故答案为：11． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了利用加减消元法求代数式的值，掌握利用加减消元法整体求值的思路是解题的关键． 将两个方程相加，整理得，再结合题中条件求的值． 【详解】解：将两方程相加得， 整理得， 由题知， ， 解得． 5．（24-25七年级下·江苏徐州·月考）若关于、的方程组的解与相等，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得：，根据，得出，求出k的值即可． 【详解】解：， 得：， ∵， ∴， ∴， 解得：． 6．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知实数，满足，且满足关于，的二元一次方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组求参数，方程组的两个方程相加得，即可求解． 【详解】解： 解：①②得 ， 解得：， ， ， 解得：． 7．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）已知是关于、的二元一次方程组． (1)求方程组的解（用含的式子表示）； (2)若方程组的解也满足方程，求的值； (3)若无论取何值，代数式的值都是定值，求、满足的条件，并求出这个定值． 【答案】(1)； (2)； (3)7 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把m看做已知数，利用加减消元法求出解即可； （2）把方程组的解代入方程计算即可求出m的值； （3）将代数式变形为，根据题意得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 将代入②得：， 解得， ∴方程组的解为：； （2）解：∵方程组的解也满足方程， ∴， 解得； （3）解：∵ ， ∵是个定值， ∴， ∴， ∴ ． ∴这个定值为7． 题型五 利用二元一次方程组解决看错解问题 错解只满足看错系数的方程，正解满足全部方程；分别代入对应方程，联立求解参数. 1．在解关于x、y的方程组时甲看错①中的a，解得x＝4，y＝2，乙看错②中的b，解得x＝﹣3，y＝﹣1，则a和b的正确值应是（　　） A．a＝﹣4.25，b＝3 B．a＝4，b＝13 C．a＝4，b＝4 D．a＝﹣5，b＝4 【答案】D． 【分析】将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4中求得b的值，再将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7中解得a的值即可． 【详解】解：将x＝4，y＝2代入3x﹣by＝4得12﹣2b＝4， 解得：b＝4， 将x＝﹣3，y＝﹣1代入ax+8y＝7得﹣3a﹣8＝7， 解得：a＝﹣5， 故选：D． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，结合已知条件，将方程的解代入正确的方程是解题的关键． 2．甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为，则a+b＝ 　 　 ． 【答案】3． 【分析】根据题意把代入方程bx﹣4y＝4中求出b的值，把代入方程ax+3y＝9中求出a的值，然后计算a+b即可． 【详解】解：把代入方程bx﹣4y＝4中，得4b﹣4×1＝4， 解得b＝2， 把代入方程ax+3y＝9中，得3a+3×2＝9， 解得a＝1， ∴a+b＝1+2＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，理解题意是解题的关键． 3．（23-24七年级下·江西新余·期中）甲、乙两名同学在解方程组时，甲解题时看错了，解得，乙解题时看错了，解得．请你根据以上两种结果，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组．把甲的解代入中求出n的值，把乙的解代入中求出m的值；把m与n的值代入即可求得平方根． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 4．（22-23七年级下·江苏连云港·月考）甲、乙两人共同解方程组时，由于甲看错了方程组中方程①中的，得到方程组的解为，乙看错了方程组中方程②中的．得到方程组的解，求代数式的值． 【答案】 【分析】把甲的解代入第二个方程求出b的值，将乙的解代入第一个方程求出a的值即可． 【详解】把代入得：，即， 把代入得：，解得， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，将甲、乙两人求出的解分别代入两个方程中，求出的值是解题的关键． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）对于方程组，小周回忆说：这个方程组的解是，而我求出的解是，经检查后发现，我的错误是由于看错了第二个方程中的x的系数所致，请你根据小周的回忆，把方程组复原出来． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解．根据题意，将两个解代入到第一个方程中得到关于a、b的一元一次方程组求出a和b，再将代入第二方程得到m的值． 【详解】解：方程组为． 由小刚所说，知和都是原方程组中第一个方程的解， 则有，解之，得． 又因方程组的解是， 所以，， 解得，． 故所求方程组为． 6．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 7．（23-24七年级下·江苏淮安·期中）小明、小丽两人同时解方程组，请根据两人对话，求出的值．    【答案】 【分析】先把代入，再把代入，再解方程即可得到答案． 【详解】解：把代入， ∴， ∴， 把代入， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，理解题意，利用代入法解方程是解本题的关键． 题型六（培优） 方程组无解、有唯一解、无数解问题 对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 1．（2025七年级下·全国·专题练习）关于x，y的方程组有唯一解，则k应满足的条件为（        ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 根据题意得到，进而求解即可． 【详解】因为方程组有唯一解， 所以，得． 故选：D． 2．关于，的方程组有无数解，则、的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由关于，的方程组有无数组解，①②求出关于，的等式，再根据题意判断即可． 【详解】解：由关于，的方程组， ①②得：， 方程组有无数组解， ，， 解得：，． 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，关键是要理解方程组有无数组解的含义． 3．关于x，y的方程组有无数多组解，则a，b的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据题意可得：，从而求出a和b的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组有无数多组解， ∴ 解得：a=-2，b=1 故选B． 【点睛】此题考查的是根据二元一次方程组解的情况，求参数的取值范围，掌握二元一次方程组有无数组解，则对应未知数的系数及常数项成比例是解题关键． 4．（23-24七年级下·江苏扬州·月考）若方程组无解，则a的值为________ 【答案】-6 【分析】根据加减消元法得出，然后根据方程组无解，得到a+6=0，求出即可． 【详解】解∶， ①×3+②，得， ∵方程组无解， ∴a+6=0， ∴a=-6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组和解一元一次方程等知识点的应用，关键是根据题意得出一个关于a的方程（a＋6＝0），题目比较典型，有一点难度，是一道容易出错的题目． 5．已知方程组有无数多个解，则a、b的值等于________． 【答案】a＝﹣3，b＝﹣14/b=-14，a=-3 【分析】根据二元一次方程组有无数多个解的条件得出 ，由此求出a、b的值． 【详解】解：∵方程组有无数多个解， ∴， ∴a＝−3，b＝−14． 故答案为：a＝﹣3，b＝﹣14． 【点睛】本题考查了对二元一次方程组的应用，注意：方程组 中，当时，方程组有无数解． 6．已知方程组，试确定a、c的值，使方程组： (1)有一个解； (2)有无数解； (3)没有解． 【答案】(1)，c为任意实数 (2)， (3)， 【分析】对于方程组的根，有如下情况： （1）当时，方程组有一个解； （2）当时，两个方程是一个方程，方程组有无数个解； （3）当时，方程组无解． 【详解】（1）要使方程组有唯一解， 则有：， 即，且c为任意实数，方程有唯一解； （2）要使方程组有无数个解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组有无数个解； （3）要使方程组无解， 则有：时，此时有、， 即、，此方程组无解． 【点睛】此题考查二元一次方程组解的个数问题．熟练掌握二元一次方程组根的个数与各方程中未知数系数的关系是解答本题的关键． 7．当m，n为何值时，方程组 （1）有唯一解； （2）有无数多个解： （3）无解 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】先把①变形得到，代入②使方程变为只含y的一元一次方程，根据y的系数讨论方程组（1）有唯一一组解；（2）有无穷多组解；（3）无解时m，n的取值即可． 【详解】解：解方程组 由①变形得到代入②得到， ∴， （1）当（m-6）≠0，即m≠6，方程有唯一解 将此y的值代入中， 得：x＝，因而原方程组有唯一一组解； （2）当＝0且＝0时，即时，方程有无穷多个解，因此原方程组有无穷多组解； （3）当＝0且≠0时，即时，方程无解，因此原方程组无解． 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单． 题型七（培优） 二元一次方程（组）正整数解问题 用参数表示 x、y，根据整除性确定参数取值，再代入验证取舍。 1．已知是整数，方程组有正整数解，则的值为（   ） A．4 B． C． D．4或5 【答案】C 【分析】本题主要考查解二元一次方程组的整数解问题，利用加减消元法求得，结合题干已知即可列出方程或或或，解得m，求得对应的x和y验证即可． 【详解】解：， 得，即， ∵是整数，方程组有正整数解， ∴或或或， 解得或（舍去）或或（舍去）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 当时，，代入，解得（符合题意）， 综上，． 故选：C． 2．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的整数解，首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是3的正倍数即可求解． 【详解】解：， 由②得：，代入①得：， 则， ∵原方程组有正整数解， ∴则或或， 解得：或或， 为正整数， 则或， 则正整数的个数为2， 故选：C． 3．若关于，的方程组有正整数解，则符合条件的整数的和为（   ） A．8 B．7 C．3 D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 通过消元法得到，由y为正整数可知为6的正约数，代入验证x是否为正整数，从而确定符合条件的a值，并求其和． 【详解】解：原方程组为： 得： 得：， ， ∵ y为正整数， ∴为6的正约数，即， ∴ a的值为：， 分别代入求x： 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合； 当时，，代入：，解得，为正整数，符合； 当时，，代入：，解得，非整数，不符合． ∴符合条件的整数a为0和2，其和为． 故选：D． 4．（24-25七年级下·江苏连云港·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 5．（22-23七年级下·浙江杭州·月考）已知关于x ，y 的方程组． (1)请写出方程 的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求 m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m 的值． 【答案】(1)或 (2) (3)或2 【分析】（1）对x、y分别赋值讨论即可； （2）用代入法求二元一次方程组的解即可； （3）用加减消元法求出方程组的解，由题意可得或或，再将满足条件的m的值进行验证即可． 【详解】（1）解：方程 的所有正整数解为：或； （2）解：， ，即， 将③代入①得，，， 将，代入②得，； （3）解；， 由得：，得， 将代入①得，， ∵方程组有正整数解，则或或， 或或， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，m的值为或2． 【点睛】本题考查二元一次方程组的解，熟练掌握二元一次方程组的解法，通过讨论求二元一次方程组的正整数解是解题的关键． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）已知关于，的方程组． (1)方程有一个正整数解，还有一个正整数解为________． (2)若方程组的解满足，求的值； (3)无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，请求出这个解为________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了解二元一次方程组、二元一次方程的解等知识，熟练掌握二元一次方程的解的定义是关键． （1）求出二元一次方程的正整数解即可； （2）解得到，再代入即可求出答案； （3）无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解，与的取值无关，则，即可求出这个解． 【详解】（1）解：一个正整数解为， 故答案为： （2）由题知， 解得， 将代入， 解得 （3）∵无论实数取何值，关于，的方程总有一个固定的解， ∴与的取值无关，则， 则 ∴ 故答案为． 7．（23-24七年级下·江苏连云港·月考）已知关于的方程组 (1)请直接写出方程的所有正整数解 ； (2)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请求出这个解； (3)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】此题考查了解二元一次方程的整数解，二元一次方程组的解，熟练掌握运算法则和求方程组的解是本题的关键． （1）将做已知数求出，即可确定出方程的正整数解； （2）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （3）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：方程， ∴， 当时，； 当时，， 方程的所有正整数解为：，． （2）解：， ∴， ∴当时，， 即固定的解为：． （3）解：， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴是的约数， ∴或， 故或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $