专题02 三角形的内角和4重难点题型（专项训练）数学新教材沪教版五四制七年级下册

专题02 三角形的内角和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 2 题型三、三角形内角和定理的应用 4 题型四、三角形的外角的定义及性质 6 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________． 3．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 5．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，平分，求的度数． 7．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 8．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 11．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则_______． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 15．（25-26七年级下·上海宝山·月考）按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 16．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 题型三、三角形内角和定理的应用 17．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 20．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知在中，，那么_________． 21．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知中，，那么_________． 22．（25-26七年级下·上海宝山·月考）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 23．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 24．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 题型四、三角形的外角的定义及性质 25．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 26．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（   ） A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角 C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 28．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 29．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 30．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 32．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，，则_____． 33．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 34．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，，点P是射线上一点，，求的度数． 35．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三个外角的度数比为，此三角形的三个内角分别是多少度？ 36．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，已知，，你能说明吗？ 37．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 2．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． (3)如图3，若，，，，直接写出的度数． 5．（24-25七年级下·上海青浦·月考）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 6．（24-25七年级下·上海崇明·月考）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 8．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知．      (1)如图（1）如果平分，平分，请说明的理由； (2)如图（2）如果，试探索与仍然相等吗？为什么？ (3)如图（3）如果，请直接写出，与之间的关系． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 三角形的内角和 目录 A题型建模・专项突破 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 7 题型三、三角形内角和定理的应用 12 题型四、三角形的外角的定义及性质 16 B综合攻坚・能力跃升 题型一、与平行线有关的三角形内角和问题 1．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，垂足为点B，那么之间的数量关系是（      ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和定理， 延长交于点G，根据平行线的性质得到，然后表示出，，然后在中利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】如图所示，延长交于点G， ∵ ∴ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴整理得，． 故选：D． 2．（23-24七年级下·上海虹口·期中）如图，已知，，，，那么__________． 【答案】/28度 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质， 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 3．（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，，，垂足为点，如果，那么______    【答案】 【分析】延长交于，由平行线的性质得到，求出，由邻补角的性质即可求解． 【详解】解：延长交于，   ，， ， ， ， ， ， 故答案为：．【点睛】本题考查了平行线的性质，关键是由平行线的性质得到． 4．（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如图，将一副直角三角板放在同一条直线上，其中．将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒．在旋转的过程中，边恰好与边平行，t的值为________． 【答案】或 【分析】本题考查了旋转性质以及平行线的性质，三角形的内角和为180度，先根据旋转的方向，再逐一把满足条件的图作出来，再结合图形以及运用平行线的性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 如图： 当与边平行时， ∵， ∴，， ∴， 即， ∵将三角尺绕点O以每秒的速度顺时针方向旋转一周，设旋转的时间为t秒． ∴， ∴； 综上：边恰好与边平行，t的值为或 故答案为：10.5或28.5 5．（23-24七年级下·上海宝山·期末）在中，，，将绕点旋转到，记旋转角为，如果．那么与满足的数量关系是________． 【答案】或 【分析】分两种情况进行讨论：①当绕点顺时针旋转时，②当绕点逆时针旋转时；根据等腰三角形的性质可得，根据旋转的性质可得，再根据可得，即可得解． 【详解】解：①当绕点顺时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， ②当绕点逆时针旋转时： ∵中，，， ， ， ∵将绕点B旋转到，旋转角为， ，， ， ∵， ， ， ， ， 故答案为：或． 6．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的角度计算，先根据角平分线的性质及平行线的性质求出，再根据三角形的内角和可求出的度数． 【详解】解：∵ ∴， ∵平分， ∴， ∴． 7．（23-24七年级下·上海崇明·期中）如图，已知，，那么吗？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是根据三角形内角和求出，再根据平行线的判定定理即可求解． 【详解】解：，如图， 在中，， 在中，， ，， ， ． 8．（23-24七年级下·上海·期末）已知：如图，已知直线分别与、相交于点、，的平分线与的平分线相交于点，且．直线与平行吗？证明你的结论 【答案】平行，证明见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质定理和判定定理．由，可得，而的平分线与的平分线相交于点，即可得，故． 【详解】解：，证明如下： ， ， 的平分线与的平分线相交于点， ，， ． ． 题型二、与角平分线有关的三角形内角和问题 9．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知在中，平分，交边于点D，如果，那么_________． 【答案】80 【分析】根据角平分线的定义得出，根据三角形内角和定理得出，再求出结果即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， ∴． 10．（24-25七年级下·上海宝山·期末）已知在中，，，的平分线交于点，那么 ______． 【答案】/105度 【分析】根据等腰三角形的性质得两底角的度数，结合角平分线的性质和三角形内角和定理即可求解． 本题考查了三角形内角和定理及等腰三角形的性质、角平分线的定义；综合运用各种知识是解答本题的关键． 【详解】解：，， ， 又为的平分线， ， ． 故答案为：． 11．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，比大，平分，于E，于F，则_______． 【答案】80 【分析】此题主要考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的定义等，先设，则，根据三角形的内角和定理得，进而根据角平分线的定义得，然后根据得，据此可得，最后再根据可得出的度数． 【详解】解：设，则， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：80． 12．（24-25七年级下·上海青浦·期中）如图，在中，平分，平分，如果，那么______°． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，掌握三角形内角和定理是解题的关键． 利用三角形内角和定理求出，再根据三等分线的定义求出，即可求出． 【详解】， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海崇明·期末）如图，分别是的高和角平分线，若，，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形高线、角平分线，三角形内角和定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 根据高线的定义以及角平分线的定义分别得出，，进而得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线 ∴， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·上海崇明·期中）如图，是的角平分线，是的角平分线，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，解题的关键是掌握相关知识．角平分线的定义求解即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， 是的角平分线， ， 故答案为：． 15．（25-26七年级下·上海宝山·月考）按下列要求画图并填空： (1)作的平分线，交于点D；作边上的高． (2)如果，在（1）的操作条件下，_________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用量角器和直尺画三角形的高和角平分线即可； （2）先求出，再根据角平分线得到，根据高得到，接着利用三角形内角和求出，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：的平分线，边上的高，如图所示： （2）解：∵， ∴， ∵的平分线， ∴， ∵边上的高， ∴， ∴， ∴． 16．（24-25七年级下·上海·月考）在的的延长线上任取两点D，E，连接． (1)如图1，求证：； (2)如图2，和的平分线交于点，求证，．（提示：可直接利用（1）的结论） 【分析】题目主要考查了三角形内角和定理及对顶角相等，理解题意是解题关键． （1）根据对顶角相等及三角形内角和定理即可证明； （2）根据角平分线得出，再由题意结合图形确定，，求解即可． 【详解】（1）证明：根据题意得， ∵， ∴； （2）∵和的平分线交于点， ∴， ∴①， 由（1）得， 即②， 得：， ∴． 题型三、三角形内角和定理的应用 17．（25-26七年级下·上海宝山·月考）在中，如果，那么是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用三角形内角大于0的性质，结合已知条件得到最大角的范围，即可判断三角形形状。 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵三角形任意内角大于，即， ∴， ∵有一个角是钝角的三角形是钝角三角形 ∴是钝角三角形． 18．（24-25七年级下·上海·月考）如图①，四边形纸片中，，．若将其按照图②所示方式折叠后，恰好使得，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，翻折的性质，三角形的内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上性质． 利用平行线的性质得出的度数，再利用翻折的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由翻折的性质得， ， ∴， 故选：D． 19．（24-25七年级下·上海普陀·期中）下列说法： ①任意三角形的内角和都是； ②等腰三角形是特殊的等边三角形； ③三角形的中线、角平分线和高线都是线段； ④三角形的三条高线必在三角形内， 其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的高、中线、角平分线的概念；三角形的内角和定理；三角形的分类．分别根据三角形外角的性质、三角形的分类及三角形的内角和定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：任意三角形的内角和都是，故①正确； 等边三角形是特殊的等腰三角形，故②错误； 三角形的中线、角平分线、高线都是线段，故③正确； 只有锐角三角形的三条高线在三角形内，故④错误； 故选：B． 20．（25-26七年级下·上海宝山·月考）已知在中，，那么_________． 【答案】95 【分析】根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为，结合已知两个内角的度数求解第三个内角的度数即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 21．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，已知中，，那么_________． 【答案】270 【分析】根据三角形内角和定理求出 的度数，再根据邻补角的定义即可求解． 【详解】∵在 中，， ， 由图可知， 与 互为邻补角， 与 互为邻补角， ，， ． 22．（25-26七年级下·上海宝山·月考）将一副三角板如图所示摆放（其中一块三角板的一条直角边与另一块三角板的斜边摆放在一条直线上），那么图中_________． 【答案】75 【分析】利用两块三角板的已知角及三角形内角和即可求解． 【详解】解：如图，在中，，在中，， 在中，． 23．（24-25七年级下·上海·期末）如图，在中，是的平分线，且． (1)求证：； (2)当，时，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，三角形内角和定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （1）由是的平分线可知，由得，等量代换可得到一组内错角相等，则结论可证； （2）由三角形内角和定理可推出，由平行的性质可知，再利用角平分线和平行线的性质，可得． 【详解】（1）证明：是的平分线， ， ， ， ， ； （2）解：，， ， ， 且， 是的平分线， ， ． 24．（25-26七年级上·上海·期末）反证法是数学中一种常用的证明方法，请你用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于”．（提示；先根据题意写出已知求证，再给予证明） 已知： 求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查反证法，包括反证法的逻辑步骤、三角形内角和定理．先通过反设结论(假设三个内角都大于)，推导出与三角形内角和定理矛盾的结果，从而肯定原命题成立． 【详解】解：已知：在中，、、为其三个内角． 求证：、、中至少有一个内角小于或等于． 证明：假设的三个内角都大于，即 则将三个不等式相加，得 此结论与“三角形内角和为”的定理相矛盾． 因此，假设不成立，原命题成立．即三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于． 题型四、三角形的外角的定义及性质 25．（24-25七年级下·上海虹口·期末）如图，点是线段延长线上的点，，，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形外角的性质，利用性质求解即可． 【详解】是的外角 解得： 故选：D． 26．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）若、、是三角形的三个内角，而，，，那么、、中，锐角的个数的错误判断是（   ） A．可能没有锐角 B．可能有一个锐角 C．可能有两个锐角 D．最多一个锐角 【答案】C 【分析】根据三角形内角与外角的关系及两角互补的关系解答． 【详解】解：∵、、是三角形的三个内角， ∴， ∵，，三个角分别，，，相邻的外角，，，三个角中最多有一个钝角， ∴，，中（即、、中）锐角的个数至多有1个锐角． ∴C符合题意； 27．（24-25七年级下·上海·月考）如图，下列条件中①；②；③；④，能判断的是（   ） A．①③④ B．①②④ C．①③ D．①④ 【答案】A 【分析】此题主要考查了平行线的判定，三角形外角的性质，正确掌握平行线的判定方法，找出被截直线是解题关键． 根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行分别进行分析即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵， ∴； ③∵，， ∴， ∴； ④∵， ∴， ∴； 可以判断的有①③④． 故选：A． 28．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如图，分别平分的内角、外角、外角．下列结论中，不正确的结论是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形外角的性质，角平分线定义，平行线的判定和性质，三角形内角和定理的应用等知识点，掌握三角形外角的性质是解题的关键． 根据角平分线定义得出，，，根据三角形的内角和定理得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，故选项A的结论正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，，， ∴，故选项B的结论正确，不符合题意； ∵， ∴ ， 即， 故选项C的结论不正确，符合题意； 在中，， ∵平分， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项D的结论正确，不符合题意． 故选：C． 29．（22-23七年级下·上海·期中）如图，、分别是的一条内角平分线与一条外角平分线，，那么的度数（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义及三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题的关键，由角平分线得，．再根据三角形的外角性质得，，从而得． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，． ∵是的外角，是的外角， ∴，， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 故选：． 30．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，在中，，延长至，过点作的垂线，垂足为，且，则______． 【答案】/25度 【分析】由三角形外角的性质得到，即可求出的度数． 本题考查角的计算，关键是掌握三角形的外角的性质． 【详解】解：， ， ，， ， ，， ． 故答案为：． 31．（24-25七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，与分别是外角和外角的角平分线，若，则________°． 【答案】56 【分析】题目主要考查角平分线的计算，三角形内角和定理，理解题意，结合图形求解是解题关键． 根据题意得出，再由角平分线确定，得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与分别是外角和外角的角平分线， ∴， ∴， ∴， 故答案为：56． 32．（24-25七年级下·上海·月考）如图，已知，，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的外角的性质，先求解，结合，进一步的利用三角形的内角和定理可得答案. 【详解】解：∵，，， ， ，， . 故答案为： 33．（24-25七年级下·上海普陀·期中）一个三角形的三个外角的度数比为，那么这个三角形是______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查三角形的外角性质，关键是掌握三角形的外角和是． 设三个外角的度数分别为，，，得到，求出，得到三个外角的度数，从而求出这个三角形三个内角的度数，即可判断此三角形的形状． 【详解】解：∵这个三角形三个外角的度数比为， ∴设三个外角的度数分别为，，， ∴， ∴， ∴三个外角的度数分别为，，， ∴与三个外角对应的三个内角分别为，，， ∴这个三角形是直角三角形． 故答案为：直角． 34．（25-26七年级下·上海宝山·月考）如图，，点P是射线上一点，，求的度数． 【答案】 【分析】根据三角形外角性质得出，再根据角度间的数量关系得出，根据平行线的性质，得出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 35．（24-25七年级下·上海·月考）若三角形三个外角的度数比为，此三角形的三个内角分别是多少度？ 【答案】三个内角分别为，， 【分析】本题考查三角形外角的性质及三角形的外角与它相邻的内角互补的知识，设三角形三个外角的度数分别为：2x°，3x°，4x°，根据三角形的外角和是360°，列出关于x的方程，解方程求出三角形的三个外角，再根据三角形的一个外角与它相邻的内角互补，求出答案即可． 【详解】解：设三角形三个外角的度数分别为：，，， ∵三角形三个外角的度数和为， ∴， 解得， ∴，，， ∴三角形三个外角分别为，和， ∵，，， ∴三角形与这三个外角相邻的内角分别为：，和． 36．（24-25七年级下·上海静安·月考）如图，已知，，你能说明吗？ 【答案】能说明，见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角定理，熟练掌握平行线的性质，三角形的外角定理是解题的关键． 先由平行得到，再由三角形的外角定理得到，等量代换即可求解． 【详解】解：能说明，理由如下： ∵，， ∴， ∵ ∴． 37．（24-25七年级下·上海金山·期中）如图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形外角性质、平行线性质、三角形内角和定理等知识点，弄清楚角之间的关系是解题的关键， 由三角形内角和定理以及已知条件可得，再根据平行线的性质可得，易得，最后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】证明：，，， ， ∵， （两直线平行，内错角相等） ， ， （三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）， ． 1．（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，分别在，上．已知，平分，过点作的平分线交于点． (1)求证：； 对于这道题，小明的证明过程如下： 证明：， （两直线平行，同位角相等）．① 平分，平分， ，．② ．③ （同位角相等，两直线平行）．④ 老师认为小明的证明过程出现了问题，请指出哪一步有问题_______．（填写①，②，③或④），说出错误原因并将其改正． (2)过点作的平分线交于点，若，，求的度数． 【答案】(1)④；改正见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定，三角形内角和定理，角平分线的概念等知识，解题的关键是掌握以上知识点． （1）根据平行线的判定判断即可； （2）首先由平行得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后由角平分线得到，，进而求解即可． 【详解】（1）∵和不是同位角， ∴由无法证明出 ∴第④步有问题； 改正：∵ ∴ ∴ ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）∵， ∴ ∴ ∵平分，平分 ∴， ∴． 2．（24-25七年级下·上海·月考）古希腊七贤之一，著名哲学家泰勒斯（，公元前世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗科拉斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明．其中欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请同学们帮助欧几里得将证明过程补充完整． 已知：如图，在中，求证：． 证明：延长线段至点，并过点作． ， __________________ __________________ ． ____________． 【答案】； ；两直线平行，同位角相等 ； ； ；两直线平行，内错角相等 ；；； 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及平行线的性质，牢记“两直线平行，同位角相等”及“两直线平行，内错角相等”是解题的关键． 由，利用平行线的性质，可得出，，结合，即可证出． 【详解】证明：延长线段至点，并过点作． ， （两直线平行，同位角相等）． （两直线平行，内错角相等）． ． ． 故答案为：；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等；；． 3．（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知，直线交边于点，，    (1)请说明的理由； (2)如果为直线上一点（不与点重合），且和的角平分线交于点．当，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或． 【分析】此题考查了平行线的性质，对顶角相等，三角形内角和定理和角平分线的概念，解题的关键是掌握以上知识点． （1）首先由对顶角相等得到，然后根据即可得到； （2）根据题意分点G在点F右边和点G在点F左边两种情况讨论，首先得到，然后分别根据三角形内角和定理和角平分线的概念求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）如图所示，当点G在点F左边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 如图所示，当点G在点F右边时，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵和的角平分线交于点 ∴， ∴ ∴； 综上所述，或． 4．（24-25七年级下·上海崇明·期末）学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组进行如下探究：已知． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，当点，在两条平行线之间，且、、、四点不在同一条直线上时．求证：． (3)如图3，若，，，，直接写出的度数． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质与判定是解答本题的关键． （1）由，得，再代入，可求得； （2）过E作，过点F作，根据平行公理的推论得，由平行线的性质，，可得，由平行线的性质得，从而； （3）由上结论知，进而得，从而，由“8”字三角形得，进而便可求得的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∴ （2）证明：过E作，过点F作．      ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； （3）解：由上结论知，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∵，， ∴， ∴． 5．（24-25七年级下·上海青浦·月考）（1）如图，平分，平分．与有什么数量关系？请证明． （2）如图，平分外角，平分外角，与数量关系为：___________； （3）如图，点为内角平分线与外角平分线的交点，与数量关系为：___________： 【答案】（1），证明见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：三角形外角等于与它不相邻两内角的和． （1）根据角平分线定义可得，根据三角形内角和为可得，即可得证； （2）根据角平分线定义可得，，根据三角形内角和为可得，即可得出结论； （3）根据角平分线定义可得，，根据三角形外角的性质可得，即可得出结论； 【详解】（1）解：． 证明：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； （2）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴ ， ∵， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：． 理由：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25七年级下·上海崇明·月考）已知，． (1)如图1，若垂足为点F，，则______． (2)如图2，的角平分线交于点H，若，则_____． (3)如图2，的角平分线交于点H，若，，则_____．（用，的代数式表示）． (4)如图3，在图2的基础上，、分别平分和，若，则_____．（用含有的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查“猪蹄模型”，平行的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键． （1）过点作，根据平行的性质得到，即可求出答案； （2）过点作，过点作，证明，得到，即可得到答案． （3）由（2）得到，即可得到答案； （4）由（2）知，，证明，即可得到结论． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：过点作，过点作， ， ， ， ， ， ， 是与的平分线， ， ， ， ； （3）解：由（2）知， 是与的平分线， ， ， ， ， ， ； （4）解：由（2）知， ， 、分别平分和， ， ． 故答案为：． 7．（24-25七年级下·上海崇明·期末）综合与实践 (1)如图1，在中，与的平分线交于点，如果，那么 ． (2)如图2，作外角、的平分线交于点，试求出、之间的数量关系 ． (3)如图3，延长、交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，请简单写出过程，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或或 【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出，进而求出即可解决问题； （2）根据三角形的外角性质分别表示出与，再根据角平分线的性质可求得，最后根据三角形内角和定理即可求解； （3）在中，由于，求出，，所以如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况进行讨论：①；②；③；④；分别列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∵点P是和的平分线的交点， ∴， （2）解：∵外角，的角平分线交于点Q， ∴ ， ∴； （3）解：延长至F， ∵为的外角的角平分线， ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； ∵ ， ∴； 如果中，存在一个内角等于另一个内角的4倍，那么分四种情况： ①，则，； ②，则，； ③，则，解得； ④，则，解得． 综上所述，的度数是或或或． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键． 8．（22-23七年级下·上海奉贤·期中）已知．      (1)如图（1）如果平分，平分，请说明的理由； (2)如图（2）如果，试探索与仍然相等吗？为什么？ (3)如图（3）如果，请直接写出，与之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）根据平行线的性质和角平分线的定义解答； （2）根据平行线的性质和角平分线的定义解答； （3）根据平行线的性质解答即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分，平分， ， 设、相交于，则，    ； （2）解：，理由如下：    连接，由（1）可知， 若， 则：， ， ； （3）解：，理由如下： 过点G作，过点H作，    ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】此题考查平行线的性质，关键是根据两直线平行，内错角相等解答． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $