数学终极押题猜想（河北专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 平行四边形的折叠问题 1 押题猜想二 针对基础运算的过程性考查 10 押题猜想三 一元二次方程根与系数关系的应用 16 押题猜想四 统计与概率的综合 18 押题猜想五 尺规作图背景下的几何问题 31 押题猜想六 几何图形的剪切拼接问题 41 押题猜想七 双二次函数综合问题 61 押题猜想八 动态圆问题 80 押题猜想一 平行四边形的折叠问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】如图，矩形ABCD，AB=5，AD=3，点M在AB上，BM=1，点N为BC上一点，沿直线MN将三角形BMN折叠，点B的对称点为B‘，当点B‘与点D距离最小时， MN=（ ） A． B． C． D． 解：由题意，矩形ABCD中，，， 在AB上，， ， 设，则（）， 根据折叠性质，沿直线MN将折叠，点的对称点为B'， ，，， 当点B'与点距离最小时，点B'落在直线MD上， 连接MD，在中，，， ， ， ， ，点B'在MD上， ， 在中，，， 由勾股定理得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， 分析有理·押题有据 趋势与理由：2025年河北中考选择缩至12题，末题区分度提升，新增“平行四边形折叠”考法。折叠问题此前多限于矩形等特殊图形，现向一般平行四边形扩展，能综合考查轴对称、全等、勾股定理及解直角三角形。依据：2025年样卷第12题明确新增此题型；2025年真题第11题考矩形折叠，延续折叠主线；新课标强调“图形的变化”素养，为折叠变换命题提供持续动力。 终极猜想·精练通关 1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 【答案】D 【详解】解：四边形为矩形， ． 由第一次折叠可知，， 四边形为正方形， ， ． 由第二次折叠可知，， ， ， ， ， ． 故选：D． 2．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵将平行四边形沿折叠，点恰好落在边上的点处， ∴，， ∵将边沿进行折叠，点又恰好落在点处， ∴，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：， ∴，， ∴平行四边形的较小内角为． 故选：C． 3．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕，沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论：①是直角三角形；②；③；④；其中正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：沿着折叠，点的对应点为， ， 沿着折叠，使得与重合，折痕为， ， ， ， 是直角三角形；故①符合题意； ， 设，则， 将矩形对折，得到折痕， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，故②符合题意； ， 沿着折叠，使得与重合， ， ，故③符合题意； ， ， 沿着折叠，使得与重合， ， ， ，故④不符合题意； 综上：①②③符合题意，共3个， 故选：B． 4．如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 【答案】A 【详解】解：∵菱形中，，， ∴， ∴点在以P为圆心以为半径的弧上，故此当C，P，在一条直线上时，有最小值， 如图所示：过点C作，垂足为H， 在中，，， 则，． ∵， ∴， 在中，依据勾股定理可知：， ∴由翻折的性质可知：． ∵， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 5．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法：甲：如图1，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；乙：如图2，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段N，然后通过沿线段折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；甲、乙两人的做法和结果（    ）。 A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 【答案】C 【详解】在图1中， ∵正方形ABCD的边长为1，AM=AF=x， ∴BE=EF=，AE=， 在Rt△ABE中， ∴， ∴， ∴， ∴的长度可以用来表示方程的一个正根， 故甲同学的做法正确； 在图2中，连接NH， ∵正方形边长为1，H是CB中点， ∴BH=CH=， ∴， ∵折叠， ∴AP=AD=1， ∴HP=， 设DN为x， 则NP=x，CN=1-x， ∴在Rt△NPH中， ， 在Rt△NCH中， ， ∴， 解得：， 把代入中，等式成立， ∴的长度可以用来表示方程的1个正根， 故乙同学做法正确； 故选C. 6．如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 押题猜想二 针对基础运算的过程性考查 试题前瞻·能力先查 【原创题】数学课上，老师出示如图四张卡片，分别写有如下整式 A B C D （1）如果以A作为一个分式的分母， 卡片作为分子可以构成最简分式； （2）如图，老师将四个卡片之间加上两个除号相连，那么在（）里面添加什么运算符号的时候，这个式子运算的结果为2，请给出理由 解：（1）由题意可知，当以C、D做分子的时候可以构成构成最简分式； （2）当（）中添加“+”号时，运算结果为2， 理由：． 分析有理·押题有据 趋势与理由：填空题增为4道，第18题新增“过程性运算”考法，标志着基础考查从重结果向重算理转变。分式化简步骤（通分、约分、因式分解）完整展现代数推理过程，完美契合新课标“学业质量”对思维过程可视化的要求。依据：2025年样卷第18题首现该考法；2025年真题第8题、第17题均强调分式化简与解方程的过程展示；新课标明确命题应“凸显思维过程” 终极猜想·精练通关 7．解不等式、计算 (1)解不等式：，并在所给的数轴上表示其解集； (2)计算：（结果用科学记数法表示）． 【答案】(1)，见解析 (2) 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 该不等式的解集为，                   将解集表示在数轴上，得 （2）解： ． 8．计算： (1)先化简，再求值：，其中． (2)． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ． 9．嘉琪化简的过程如下： 原式第一步 第二步 ．第三步 (1)嘉琪的解答过程从第___________步开始出现错误． (2)写出此题的正确解答过程． (3)当时，求原式的值． 【答案】(1)一 (2)解答过程见解析 (3) 【详解】（1）解：嘉琪的解答过程从第一步小括号内的计算开始出现错误， 故答案为：一； （2）解： ； （3）解：当时，原式． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成根式计算，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是____； (2)请你写出正确的计算过程． 【答案】(1)甲和乙 (2)见解析 【详解】（1）解：出现错误的是甲和乙； （2）解： ． 11．小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 计算 解：原式                    第一步                         第二步                     第三步                             第四步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)她在计算中出现了错误，是从第____________步开始出错了； (2)请给出正确答案是____________； (3)计算： 【答案】(1)二 (2)35 (3) 【详解】（1）解：观察解题过程可知，从第二步开始出现错误，错误原因是在计算得到，将除法错误使用分配律得到； （2）解： ； （3）解： ． 12．对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 【答案】(1)34 (2) (3)或或或． 【分析】本题考查了新定义下的有理数运算问题，解一元一次方程，二元一次方程． （1）根据题目中的法则即可运算； （2）根据法则表达出，再解方程即可； （3）根据法则得出，再根据x和y都是正整数，求出正整数的值即可． 【详解】（1）解： 故答案为：34； （2）解：∵， ∴ 解得：， 故答案为：； （3）解：由， 得， 整理得，即， 和y都是正整数， 或或或． 押题猜想三 一元二次方程根与系数关系的应用 试题前瞻·能力先查 已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 【答案】(1)该方程的另一个根为 (2) 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程，且方程的一个根为， ∴另一个根， ∴另一个根为， （2）解：∵关于x的一元二次方程，且该方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 分析有理·押题有据 趋势与理由：新课标将此内容重新纳入必考，2025年河北中考首次在选择题中考查（样卷第10题、真题第6题），并与坐标系象限判定融合，体现跨模块命题趋势。根与系数关系是连接方程与函数的桥梁，可灵活拓展至代数求值、几何综合。依据：2022版课标明确将其列为考查内容；2025年样卷与真题均以选择题形式出现，属于“新增必考”知识点，2026年延续考查确定性高。 终极猜想·精练通关 13．已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， ∵m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积， ∴A、，，不符合题意； B、，，不符合题意； C、，，不符合题意； D、，，符合题意； 14．若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵对于一元二次方程，两根之和为， 又∵方程中，，一个根为1， ∴， ∴， 即方程的另一个根为， 故选：A． 15．若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 【答案】3 【详解】解：设平行四边形的底和其对应的高的长分别为、， 平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根， ， 平行四边形的面积． 16．已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 【答案】8 【详解】解：联立方程得：， 整理得：， 由根与系数的关系，得：， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：8． 17．已知，且满足，，那么的值为______________． 【答案】5 【详解】解：∵，且满足，， ∴、是方程的两个实数根， ∴，， ∴， 故答案为：5． 押题猜想四 统计与概率的综合 试题前瞻·能力先查 【原创题】有一个两位数，□2，淇淇通过投掷一个四面上分别标有1-4的点数的四面体骰子的方法决定它的十位数字，这个四面体骰子上的每个点数出现的会相等．比如投掷后点数是4，则这个两位数为44 ． 下面是淇淇根据前20次投掷的出现的点数绘制的不完整的条形图和扇形图． （1）根据统计图中数据，求出点数1出现的次数以及点数4对应扇形图的圆心角； （2）前20次投掷后，形成的两位数的众数是 ，中位数是 ； （3）淇淇又进行了2次投掷，是否有可能这22次形成两位数的平均分，在26和27之间？如有可能求出此情况发生的概率，如不能，请说明理由． 解：（1）由扇形图可知，点数1出现的次数为：， 则点数4出现的次数为：20-4-5-8=3， 点数4对应扇形图的圆心角为：； （2）由（1）点数3出现的次数为最多，故形成两位数的众数为32，中位数在第10和11个数的平均数，故中位数为3，故形成两位数的中位数为32； （3）能； 设第21个数的十位数字为m，第22个数的十位数字为n， 故这22个两位数的平均数为： = ∴ ∴， ∴或4， 则有m=2，n=2或m=1，n=3或m=3，n=1或m=1，n=2或m=2，n=1。 列表，得 1 2 3 4 1 （1,1） （1,2） （1,3） （1,4） 2 （2,1） （2,2） （2,3） （2,4） 3 （3,1） （3,2） （3,3） （3,4） 4 （4,1） （3,2） （4,3） （4,4） 一共有16种等可能结果，其中满足要求的共有5种，故22次形成两位数的平均分，在26和27之间的概率为． 分析有理·押题有据 趋势与理由：统计题稳定以解答题出现，且从单纯图表分析升级为“统计图表+平均数/中位数+方案对比决策”的复合模式，强调数据观念在实际情境中的应用。这与新课标“数据观念”素养及情境真实性要求高度契合。依据：2025年真题第20题为统计与方案决策融合典范；2023、2024年真题均考查满意度调查、成绩换算等真实决策情境；2025年样卷进一步强化统计与决策结合。 终极猜想·精练通关 19．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 【答案】(1)400，45 (2)此游戏规则不公平． 【详解】（1）解：（人）， C等级人数：（人）， ， ∴； （2）解：根据题意画出树状图如下： 可发现共有12种等可能的结果，且和为奇数的结果有8种，和为偶数的结果有4种， ∴和为奇数的概率为，和为偶数的概率为， ∵， ∴此游戏规则不公平． 20．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)方式二，见解析 【详解】（1）解：， 故答案为：． （2）解：∵转动次数分别为25、50、75、100、125、150时，落在20元购物券区域的频率依次为0.36、0.42、0.43、0.40、0.38、0.39， ∴当转动次数足够大时，频率稳定在0.4附近， ∴估计落在20元购物券区域的概率是0.4． 故答案为：． （3）解：选择方式二，理由如下： 方式一：25元购物券； 方式二：， 转动一次转盘获得购物券数额的平均数为：． ， 选择方式二更合算． 21．学校训练队要从甲、乙、丙三名运动员中选择一人参加市运会的100米比赛．对这三名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4，12.4，12.5，12.7，12.8，12.8，12.8，12.8，12.9，12.9 c．三名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 平均数 12.5 12.5 p 中位数 m 12.5 12.8 方差 0.056 n 0.034 (1)表中_______；_______；n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (2)根据这10次测试成绩，选择一名成绩最好且发挥稳定的运动员参加比赛，并说明理由． (3)本次100米比赛，学校派出的运动员获得第一名的好成绩，学校记者团共有两男两女四名学生记者，要派出两名记者采访获奖运动员，利用树状图或列表法求出两名采访记者恰好为一男一女的概率． 【答案】(1)；； (2)选择乙运动员，理由见解析 (3) 【详解】（1）解：甲成绩排列为：12.1，12.1，12.5，12.5，12.5，12.5，12.5，12.7，12.7，12.9， ∴中位数； 丙的平均数； ∵乙的平均数为：， ∴方差为：， ∴； （2）解：选择乙运动员． 因为甲、乙两名运动员成绩的平均数和中位数都小于丙运动员，并且乙运动员的方差小于甲、丙运动员的方差，相对来说乙运动员成绩好且稳定，所以选择乙运动员． （3）解：将两男两女分别记为男，男，女，女． 第一名 第二名 男 男 女 女 男 （男，男｝ （男，女） （男，女） 男 （男，男） （男，女） （男，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 女 （女，男） （女，男） （女，女） 所有可能的结果有12种，每种结果出现的可能性相同，其中一男一女的结果共有8种， 22．某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图： (1)甲队员选拔赛成绩的中位数是_____环，乙队员选拔赛成绩的众数是_____； (2)根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，学校决定推荐一名队员参赛，你认为推荐谁更好？请选择合适的统计量进行分析； (3)为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他3名队员（一名男生，两名女生）中随机选出两名队员一同前往观看比赛，用树状图或列表法求恰好选出一名男生和一名女生的概率． 【答案】(1)；环； (2)推荐甲更好，分析见解析; (3) 【详解】（1）解：甲的成绩：，，，，，，，，， 共个数据，第、个数据分别是， 中位数为环 乙的成绩修正为：，，，，，，，，，，其中出现次，出现次数最多 众数是环 故答案为：；环； （2）解：环 环 ，且甲乙， ∴甲平均成绩更高且更稳定 推荐甲更好 （3）解：设男生为，女生为，，列表： - - - 总结果数，一男一女的结果数 概率 23．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐； (3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人； (4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____； (5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）． 【答案】(1)7.5 (2)乙 (3)500 (4) (5)见解析 【详解】（1）解：， 故答案为：7.5； （2）解：∵， ∴乙组成绩波动较小， ∴乙组的初赛成绩更整齐， 故答案为：乙； （3）解：乙组的优秀率为， 全校的平均优秀率为， 估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有人， 故答案为：500； （4）解：设女生为A，男生为B， 列表如下： A A B B B A A B B B ∴共有20种可能结果，其中恰好抽出一男一女的结果有12种， ∴P（两人同时看同一个直播节目）． （5）解：乙组中7出现的次数最多，则众数， 从优秀率看：甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率， ∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好； 从中位数看，甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数7， ∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好． 24．2025年内蒙古自治区中考体育总分由原来的50分增加到80分，其中20分为专项运动技能测试，需要学生从足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球、武术、体操、游泳8个运动项目中自主选择1项参加测试、思博同学准备在篮球、排球、足球中选一项作为专项运动技能测试项目，他在体育老师的帮助下对自己的篮球、排球、足球分别进行了满分为10分的技能测试，并获得了一些数据，如图所示．数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 b 10 排球技能 a c 足球技能 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球、排球、足球中的哪一项作为中考体育技能测试项目，②选择该项目的理由（2条即可）； (3)体育老师准备将思博所在班级的学生分为A，B，C，D四组进行技能练习，每组安排2位技能测试优秀的同学进行指导．小明、小慧两位同学测试成绩优秀，被老师选中随机分配到四组中对其他同学进行指导，请利用树状图或者列表的方法，求小明、小慧恰好分在同一组的概率． 【答案】(1)；；和7 (2)见解析 (3) 【详解】（1）解：由题意得，； 把篮球技能的8次得分按照从低到高的顺序排列为：5分，6分，7分，9分，10分，10分，10分，10分， ∴篮球技能的得分的中位数为分，即； ∵排球技能的得分为4分和7分都有2次，次数都最多， ∴排球技能的中位数为4分和7分，即和； （2）解：选择足球作为中考体育技能测试项目，               理由如下：足球和篮球的平均分更高并且相同，但是足球波动小更稳定．              选择篮球作为中考体育技能测试项目，           理由如下：足球和篮球的平均分更高并且相同，但是篮球的中位数为9.5、众数为10分更高，表明思博同学获得高分的可能性更大． （3）解：列表如下： A B C D A B C D 或画树状图如下：                 共有16种等可能的结果，其中小明、小慧恰好分在同一组的结果有4种，         ∴小明、小慧恰好分在同一组的概率． 25．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名校排球队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩统计表中 ， ； （2）在（1）的条件下，若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为，，） （3）训练期间甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？ 【答案】（1）7，7；（2）选乙更合适，详见解析；（3） 【详解】（1）由众数的意义可知，a、b中至少有一个为7，又平均数是7，即（56+a+b）÷10=7， 因此，a=7，b=7， 故答案为：7，7； （2）甲的平均数为：（分），众数是6分； 乙的平均数为：（分），众数是7分； 丙的平均数为：（分），众数是7分； 从平均数上看，乙和丙较高，从众数上看也是乙和丙较高；但是 因此，综合考虑选乙更合适． （3）画树状图如下： ∴第二轮结束时球到甲手中的概率是 押题猜想五 尺规作图背景下的几何问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC外角的平分线． （1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，连接BO并延长，交AD于点F，连接CF； （2）求证：四边形ABCF为平行四边形 （1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB. ∵AD是∠BAC外角的平分线， ∴∠EAD=∠CAD. ∵∠EAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB， ∴∠EAD =∠ABC，∠CAD=∠ACB， ∴AD∥BC. ∵∠AOD =∠COB，AO=OC， ∴△AOD≌△COB， ∴AD=BC， ∴四边形ABCF为平行四边形. 分析有理·押题有据 趋势与理由：尺规作图是河北独特考点，不考动手操作而考原理分析。近年明显向填空题最后一题集中，与三角形中线、高线、角平分线或圆的性质融合，考查“读图识理”的几何推理能力。依据：2024年真题第5题考查作三角形的高线；2023年真题第8题考查作平行四边形的尺规过程分析；2021年真题第7题考查平行四边形作图方案判断。新课标强调“几何直观”与“推理能力”，尺规作图痕迹分析是理想考查形式。 终极猜想·精练通关 26．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【详解】解：在中， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 由作图可知，即， 在中，． 27．在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A．32 B． C．56 D．64 【答案】D 【详解】解：连接，设与相交于点O，如图所示： 由题意得：是角平分线，是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴的面积为． 28．如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：连接， 由作法得平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 29．如图，在中，． (1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)②；③ (2) 【分析】（1）根据作图痕迹判断即可； （2）根据题意可得，，再利用三角形内角和求角即可． 【详解】（1）解：根据题意，是的角平分线，直线是线段的垂直平分线； （2）解：是的角平分线， ， 直线是线段的垂直平分线， ， ， 又， ， ， ． 30．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 尺规作出直角的三等分线 在中，利用尺规作出的三等分线，步骤如下： ①用尺规作出的中垂线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径作圆； ③以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ④以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ⑤连接、，则、是的三等分线． 下面是小明记录的证明过程的笔记，但笔记并不完整，请你认真阅读作图步骤后，将小明的笔记补充完整 证明：由作图步骤①可知，圆为的___________，是圆的直径 、、、是圆的半径 由作图步骤③和④可知 （请你补全证明过程） 【答案】外接圆；见解析 【详解】证明：由作图步骤可知，圆为的外接圆，是圆的直径， 连接、、，则、、、是圆的半径， ， 由作图步骤和可知， ， 与是等边三角形， ，， ， ，，， ， 、是的三等分线． 31．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】 通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴． ∵，∴ ① ∵，∴， ∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】 如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务： (1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______． (2)将“……”处证明过程补充完整． (3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 【答案】(1)；． (2)见解析 (3)见解析 【详解】（1）证明：过点O分别作，则． ∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）证明：如图1，过点O作，，连接， 则，． ∵平分，，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图2，即为所求（作法不唯一）． ∵圆关于直线对称， ∴作点关于直线的对称点，则点在圆上， ∴连接并延长，交圆于点， ∴弦即为所求， ∵点为点关于直线的对称点， ∴直线垂直平分线段， ∴， 又∵与均为圆的半径， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴平分， ∴与为圆外顶点关联弦． 押题猜想六 几何图形的剪切拼接问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】数学课上，老师给出一个已知高为2的梯形ABCD，其中，相关数据已经标在图形上， （1）老师给大家了一个梯形转化三角形的方法：取AD中点E，连BE交CD延长线于点F，沿BE切割，则将△EDF绕点E顺时针旋转180°点A与点D重合，则△BFC即为所求三角形， ①证明：E、F、B三点共线； ②求切割线BE的长； （2）淇淇受到老师方法的启示，将梯形切割成一个内角为30°的平行四边形，请给出切割方法并画出图形； （3）将梯形ABCD切割后拼接成应周长最小的平行四边形，直接写出其周长． 解：（1）①由已知，， 则， ∵AE=ED ∴， ∴， ∴E、F、B三点共线； ②分别过A、B作AM⊥CD于点M，BH⊥DC于点H， 由题意可知，BH=2，MH=AB=2， ∵， ∴DM=AM=2， 由①FD=AB=2，EF=BE 则FH=6， ∴， ∴， （2）过点E中点，作交DC于点H，交BA延长线于点F，沿EH剪裁得到△DEH，将△DEH绕点E旋转180°，与△AEF重合即可 （3）过AD、BC中点E、M作GE⊥CD于点G，交直线AB于点F，MH⊥CD于点H，交直线AB于点N，由题意可知四边形GFNH为矩形，其为周长最小平行四边形， 由（1）可知，DG=AF，EG=EF=1，则AB+CD=AB+DG+GH+HC=2FN， ∵∠D=45°，∠C=30°， ∴DG=1，HC=BN=，则矩形GFNH周长=2+2+2=， 分析有理·押题有据 趋势与理由：几何图形的剪拼问题连续两年在河北中考解答题中作为独立题型出现，分值较高。2023年第21题考查用矩形卡片拼接图形，通过面积关系列代数式并比较大小；2024年第23题考查将正方形纸片通过裁剪拼接为钻石型五边形，涉及线段长度计算和多种裁剪方案的设计。这类问题要求“不重叠无缝隙”，综合考查几何直观、图形变换和代数运算能力，且答案常不唯一，体现探究开放性。依据：2023年与2024年连续两年第21—23题区间考查剪拼问题，且均以“情境—操作—探究”结构呈现。新课标强调“几何直观”与“图形变换”核心素养，剪拼问题正是图形变换与代数推理融合的理想载体。2026年极可能延续这一趋势，命题方向可能从矩形/正方形向三角形、菱形或圆拓展，或将剪拼与函数、方程结合。 终极猜想·精练通关 32．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：依题得：，，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ，， ， 即， 解得． 故选：． 33．问题：如图1，矩形纸片中，，，要求将矩形纸片剪两刀后不重叠、无缝隙地拼接成一个正方形．甲、乙两位同学根据剪拼前后面积不变，确定了正方形的边长x的值，并分别设计了如下的方案． 甲：如图2，在上找点E，连接，使，作，交于F点，完成分割； 乙：如图3，在上找点F，连接，使，以为直径作圆，交于点E，连接即可完成分割．    下列结论正确的是（    ） A．甲、乙的分割都不正确 B．甲、乙的分割都正确，图2、图3中的 C．乙的分割正确，图3中 D．甲的分割正确，图2中 【答案】B 【详解】根据剪拼前后面积不变，得，解得，如图2，由题意，,，根据矩形对边平行，有， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 把平移到，把平移到，可得正方形， 中，，故D错误； 如图3，∵是直径， ∴. ∴. ∵, ∴. ∴. ∴. ∴，， ∴. 把平移到，把平移到，可得正方形，故C错误；由上可知B正确． 故选:B．    34．在图1—图4中，正方形的边长为，等腰直角三角形的斜边，且边和在同一直线上． 小明的做法：当时，如图1，在上选取点，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形． 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将绕点逆时针旋转到的位置，易知与在同一直线上．连结，由剪拼方法可得，故，从而又可将绕点顺时针旋转到的位置．这样，对于剪拼得到的四边形（如图1），过点作于点（图略），利用公理可判断，易得，．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形是正方形． 解决下列问题： (1)正方形的面积是______；（用含，的式子表示） (2)类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． 【答案】(1) (2)示意图见详解 【详解】（1）解：等腰直角三角形的斜边， ， 则 ， ∴根据小明的做法：当时，如图1，在上选取点，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形，可得 正方形的面积是， 故答案为：； （2）解：剪拼方法，如图所示： 【点睛】本题图形的剪拼，涉及旋转性质、正方形的性质、三角形的性质、三角形全等、剪切拼接等知识点，熟记相关几何性质，解题更关键的是要有一定的空间想象能力． 35．解答： 探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．       素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．    素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．    问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长． 【答案】任务一：见解析；任务二：． 【详解】解：任务一：选方法一，如图1，依次连结E，F，G，H，连结，    ∵E、F分别为，的中点， ∴，， 同理，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由拼接，得，， ∴四边形是平行四边形． 选方法二，如图2，连结，    ∵E、F分别为，的中点， ∴， 同理， ∴， 同理可证， 由拼接，得，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形． 任务二：由题意，得剪拼前后面积保持不变， ∴， ∴， 由题意，得， ∴， ∴，即， 在中，由勾股定理得． 36．剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁． (1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______． (2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）． (3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长． 【答案】(1)且 (2) (3)线段的长为，的长为，的长为 【详解】（1）解：分别是的中点， 是的中位线， 且； （2）由（1）知，， ，， 即，； （3）在中，，， ． 易知为的中位线，，， ， ， 在中，，， 在中，，， ，， 线段的长为9，的长为，的长为3． 37．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【详解】（1）解：根据提示的基本操作，按照顺序依次作图，标注字母画图如下： 则画图即为所求． （2）解：延长，交于点T， 根据题意，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵大条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵小条形边角料为的宽度为， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：延长，交于点E，连接， 过点A作，交于点F， 故沿着切割，然后拼接到位置上即可符合要求，理由如下： ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， 故沿着切割，然后拼接到位置上，此时，符合要求． 38．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 【答案】（1），；（2）D、E分别为的中点，，图见解析（3）见解析 【详解】解：（1）如图，根据剪切和拼接操作方法可知，，， ，， 为的中位线． ， 又四边形是矩形． ，， 和的位置关系为， 故答案为：；； （2）如图，D、E分别为的中点，，，再由可推出，，沿和从剪下和，然后拼接在和处． 故答案为：D、E分别为的中点，，； （3）第一种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形，把、、和分别拼接到①、②、③和④处即可． ． 第二种方法：E、F、H、G分别为四边形的四条边的中点，，，沿虚线和剪开四边形形成四个四边形①、②、③和④，再如图中所示拼接即可． ． 39．“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 【答案】（1）①；②或；（2）；（3）144平方厘米 【详解】解：（1）①为矩形， 厘米，，， 点，分别为边，的中点， 厘米，厘米， ， ，， 四边形是矩形， 又厘米， 矩形是正方形， ，，厘米， 由平移的性质得，，， ， ， 又， 四边形是矩形， 点与的中点重合， 厘米， ，， 和都是等腰直角三角形，厘米，厘米， 平方厘米， 平方厘米， 的面积与原矩形纸片的面积之比是． 故答案为：． ②由①中的结论得，四边形是矩形，和都是等腰直角三角形， 设厘米，则厘米， 厘米，厘米， ， 的面积与原矩形纸片的面积之比是，平方厘米， ， 解得：，， 平移距离为或． 故答案为：或． （2）纸片为菱形，， ，和为等边三角形， 纸片沿方向向上平移， ， ， 两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为， ， ， ． （3）如图，过点作于点，   ，厘米，厘米， 厘米， 点，是，的中点， 厘米，厘米，厘米， 由旋转的性质得，厘米，厘米， ， 当上的高线最大时，则面积最大， ， 当点和点重合时，且旋转到外侧时，此时最大， 作出示意图如下： ， 此时、、三点共线， 即厘米， 平方厘米， 即面积的最大值为144平方厘米． 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质与判定、平移的性质、一元二次方程的应用、相似三角形的性质与判定、旋转的性质、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点，学会结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的推理论证和辅助线构造能力，适合有能力解决几何难题的学生． 押题猜想七 双二次函数综合问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】抛物线的图象过点（-1,0），（2，3），抛物线的顶点A在y1的函数图象上 （1）求y1的函数解析式； （2）求y2的图象与y轴交于点C，求C点纵坐标的最小值； （3）淇淇发现，y1、y2的图象除了点A之外，还可以有另一个交点B， ①求B点的横坐标； ②直接写出使点B的纵坐标为正整数的h的值． 解：（1）把（-1,0），（2，3）代入y1，得 , 解得， ， 所以； （2）由题意，抛物线的顶点A在y1的函数图象上， ∴， ∴， 当x=0时， ， 当h=-1时，yC最小值为2； （3）①由题意， 整理，得 ， 已知 x=h 是根（对应点 A)，设另一根为 xB（对应点 B)， 由根之和：， ； ②由①，B点纵坐标 由题意，B的纵坐标为正整数，设这个正整数为k，则 ， 整理，得， 判别式： 由△≥0， ， 解得 故k的取值为1,2,3,4， 方程的解为， 故时，； 时，； 时，或-2； 时，（舍去）； 故答案为：或或4或-2． 分析有理·押题有据 趋势与理由：河北中考连续四年压轴题均为“两个二次函数对比与动态变换”模式，形成标志性命题风格。通过平移、交点、距离分析考查函数本质与数形结合思想，双函数分析比单函数更能检验函数观念。 依据：2025年真题第24题双抛物线对比；2024年真题第26题两个二次函数顶点平移与动点距离；2023年真题第23题双抛物线游戏情境；2022年真题第23题二次函数平移最短路径。连续四年稳定考查。 终极猜想·精练通关 40．抛物线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴的垂线交抛物线于点，交抛物线于点，交线段于点． ①求证： ②顺次连接，，，，四边形的形状随着值的变化而变化，判定四边形能否是矩形，如果能是矩形，求出相应的值；如果不能是矩形，说明理由； (3)已知是的函数，其图象记为，当时，；当时，．直线与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，． ①直接写出图象的解析式，并指明自变量的取值范围； ②若，直接写出的值． 【答案】(1)抛物线的解析式为 (2)①证明见解析；②四边形不能是矩形，理由见解析 (3)①；② 【详解】（1）解：∵点，在抛物线上， ∴，， ∴，， 代入抛物线， 得，解得， 故抛物线的解析式为． （2）解：①令直线的函数表达式为， 将点，代入， 得，解得， ∴直线的函数表达式为， 当时，，，， 即，，， ∴， ， ∴． ②假设四边形能是矩形，则其对角线交点为点， 则该情况下点为中点， ∵，， ∴，， 当时，，， ∴，， ∴， ∵，不满足矩形的对角线相等，与假设矛盾， 故四边形不能是矩形． （3）解：①根据题意，可得函数实际图象如下： ∵，， ∴． ②若与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，， 可判断出点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、； 点，为与部分的两个交点，设其交点横坐标为、； 故可得方程，， 化简得，， 则、为方程的两个解，、为方程的两个解， ∴，，，， 故，， ∵， ∴， 化简得， 解得． 41．如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积； (3)如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点． ①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式； ②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3)①② 【详解】（1）解：把点，代入得 解得 二次函数的解析式为． （2）解：当时，二次函数的解析式为， 令，得, ∴二次函数的图象与轴的交点的坐标为， 设直线的方程为， 令， 整理得， 解得 ， 令， 整理得， 解得， ， 又， ， ， 解得， 把代入，得， 解得，， 点在第一象限， ， 设直线的解析式为，将，分别代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为， 设直线与的交点为，将代入， 得， ∴， ， 的面积为． （3）解：①过点作交二次函数的图象的对称轴于点，设对称轴与轴相交于点， ∴， ∴， ∴， ∵是以A为直角顶点的等腰直角三角形， ∴ ∴， ， ， 二次函数的解析式为． ②将代入，得， ∴一次函数的解析式为， 当时， 解得， 则点， 设点，， 过点作轴与一次函数的图象交于点，延长交y轴于点P，令直线交x轴于点M，连接，如图 由翻折，得，， ∴， 将代入，得， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设， ， 当时，， ∵， ． 42．【观察】图1中的景观设计以湖为韵，将东方古典的意境与现代设计的灵动美感相结合，在流动的曲线上相融共生，勾勒出独特的流动美．长行数学小组将图中的曲线抽象成数学问题并进行了自主探究． 【数学建模】定义：如图2，若抛物线与抛物线的图象有且仅有一个公共点O，则称这两条抛物线单联于点O． (1)在图2中，点M，点N分别是这两段抛物线的顶点，请直接写出它们的坐标：点M的坐标(______，______)，点N的坐标为(______，______)； (2)小组成员发现O，M，N三点共线，请帮他补全证明过程： 证明：抛物线与抛物线的图象只有一个公共点O，即方程联立有两个相等的实数根，则称这两条抛物线单联于点O．据此得：有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即 …… 利用以上结论，解决问题； (3)【模型应用】如图3，长方形是一处景观，米，米，E，F分别是边的中点，G是上的点，设计了两段抛物线和抛物线单联于点G，两条抛物线的顶点分别是M，N，且点N落在BC边上．，分别是的中点，以为圆心，为半径，和以为圆心，的一半长度为半径设计两个圆形花坛．为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时上的点到边最长的距离． 【答案】(1)，，， (2)见解析 (3)米 【详解】（1）解：， 点M的坐标为； ， 点N的坐标为； （2）证明：抛物线与二次函数的图象只有一个公共点O， 即方程联立有两个相同的解，则称这两条抛物线单联于点O， 据此得：有两个相同的解， ， ，即． 如图，过点、分别作轴的垂线，交轴于点、，连接、， 点M，点N分别是这两段抛物线的顶点， 同（1）理可得，，分别是这两段抛物线的顶点， ，， ，，，， ， ， ， ， ，，三点共线； （3）解：设米， A、M、F 三点共线，且轴，轴， ， ， ， （米）， 米， 米，米 米， 米， ， ， ， ， 整理得：， 解得：或（舍）， 米， 的半径米， 上的点到边最长距离为米． 43．如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 【答案】(1)， (2) (3)当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值；当时，线段的长度取得最大值为 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的表达式为，可得，，，求出．过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q．得到，，根据，建立方程求解即可； （3）求出线段，分，即，，即，，即，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：将，代入函数， 得， 解得，； （2）解：设直线的表达式为， 将，两点代入，则， 解得， ∴直线的表达式为； 直线与图象，分别交于E，F两点，与线段交于点D． ，，， ，， ． 过点B作直线的垂线交于点P，设直线与x轴的交点为点Q． ，． ， ， 解得； （3）解：线段 ． 若t满足，且， ∴直线始终满足． i．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅱ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值． ⅲ．若，即， 当时，线段的长度取得最大值为． 44．如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． (1)求抛物线P的解析式和点D的坐标． (2)在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 【答案】(1)， (2)①；②1 【详解】（1）解：将代入得， 解得 ∴抛物线P的解析式为； ∴ ∴顶点D的坐标为； （2）解：①如图，连接 ∵， ∴， ∴ ∵四边形是矩形 ∴四边形是正方形 ∴， ∵以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形 ∴点D，B，共线，， ∴ ∴旋转过程中G扫过的面积； ②∵， ∴由旋转的性质得， ∴所在抛物线的表达式为 ∴联立抛物线和得， 整理得， ∴ ∴抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数为1． 45．如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴与交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，点E的坐标为或或 (3)是定值，为定值4 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入，得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 抛物线对称轴为直线． 当时，， 解得，． ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，． ∴． ∵， ∴． ①如图，当时，过点作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，，点． ②如图，当时，可得． 设直线解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线解析式为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：． ∴直线解析式为：． 联立得， 解得或， ∴，． 综上所述，在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 此时点E的坐标为或或． （3）解：联立两抛物线解析式可得：， 解得：，则点， 又． 设直线的解析式为：， 则解得 ∴． 联立直线与抛物线得：． 则：， 整理得：， 则， ∴， ∴， ∴．即为定值4． 押题猜想八 动态圆问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】⊿BCD中，AC⊥BD于A，AD=AC=，AB=1，将⊿ACB绕点A顺时针旋转一周，BC的对应点分别为B’、C’， 以B’C’为直径的半圆O也同时旋转，半圆O交AC边于E （1）当旋转角为 时， B’C’∥AC； （2）当BB’=时，求CC’ （3）当旋转角为时，求弧AC’扫过的面积； （4）当⊿AB’C与⊿B’AD全等时，求得的值； (1) 解： 于 ， ， 在 中，，， ， ， 当 时，有两种情况： 情况1：B'C' 在 AC 上方，， 旋转角为 ； 情况2：B'C' 在 AC 下方，， 旋转角为 ． (2) 解： 旋转， ，， 在 中，，， 过 作 于 ， ， ， 在 中，， ， ， 在 中，，， 过 作 于 ， 则 ， ． (3) 解：， 点 C' 在以 为圆心、 为半径的圆上运动， 当旋转角为 时，弧 AC' 扫过的区域是扇形， 扇形半径 ，圆心角为 ， 弧 AC' 扫过的面积 ． (4) 解：， 需要确定对应关系， 已知 ，，， 情况1： 且 ， 此时 成立，， 在 中，，，， 过 作 于 ， ， 是等腰三角形， ， 在 中，， ， ， ， ， 当 B' 在 内部时，， 在 中，过 B' 作 于 ， 则 ，， ， ； 情况2：当 B' 在 外部时，， 此时 B' 在 CA 延长线上方，过 B' 作 交 CA 延长线于 ， 则 ，， ， ． 分析有理·押题有据 趋势与理由：圆是河北中考解答题必考核心，近五年从未缺席，且从“静态圆”向“动态圆+多边形+相似+三角函数”深度融合演变。能同时考查垂径定理、切线性质、圆周角定理、弧长公式、锐角三角函数等核心知识点，区分度极佳。依据：2025年真题第21题将扇形、正方形、菱形与弧长结合；2024年真题第25题圆与动点最短距离结合；2023年真题第24题半圆滚动与垂径定理、切线综合；新课标强调图形与几何的综合应用。 终极猜想·精练通关 46．如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 【答案】(1)= (2)见解析 (3)， 【分析】（1）由旋转及等腰三角形可得答案； （2）由旋转得，再由（1）得出的，即可证明； （3）由三线合一证明出，再由全等得出，即，再按弧长公式计算即可． 本题考查了圆的相关知识点的应用，三角形全等及等腰三角形的应用是解题关键． 【详解】（1）∵， ∴， 由旋转，得， ∴， 故答案为：=； （2）证明：由旋转可知， ∴， 又∵，， ∴； （3）∵当为直径时，以为半径的⊙O切CD于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴点A，O，D在同一直线上， ∴， ∴的值为， ∴， ∴优弧==. 47．如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过，，三点的交直线于点，连结，，，设． （1）当时，求的长． （2）在点的整个运动过程中． ①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； ②当矩形恰好有个顶点落在上时，求的值． （3）若点，关于点成中心对称，连结，．当是等腰三角形时，求出所有符合条件的的值．（直接写出答案即可） 【答案】（1）15；（2）①的值不变，理由见解析；②或或时，矩形恰好有个顶点落在上；（3）满足条件的的值为或或或 【详解】解：（1）如图1中，连接． 在中， ，， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ， ， ， ， 在中，； （2）①的值不变． 理由：如图1中， ， ； ②如图2中，当经过、时，点与重合， 此时． 如图3中，当经过、时， 在中， ， ， ． 如图4中当经过时，作交的延长线于． 根据对称性可知，， 在中，， ， ， ， 综上所述，或或时，矩形恰好有个顶点落在上 （3）如图5中，当时，作交的延长线于． ， ， ， ， 在中，， 解得或（舍弃）． 如图6中当时， 在中， 易知， ， ． 在中，， ： 如图7中当时，延长交于， 则， ， ， ， ， 如图8中，当时，连接，，延长交于． ， ， ， ， 在中， 解得：或（舍弃）， 综上所述，满足条件的的值为或或或． 48．借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 【答案】(1)①；② (2)作图见解析 (3)当时， 最小值；当时，最小值 【详解】（1）解：①∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴的半径为， 故答案为：； ②如图，过点作的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 设，则， 在和中，由勾股定理得，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴， ∴的半径为； （2）解：如图所示，点即为所求； （3）解：如图，以为直径的圆与相切时，，， 即， ∵， ∴， ∴， 即， 当时， ； 当时，可知当与相切时，半径最小，如图，过点作于，的延长线交于点，连接，则， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形，， 设，则， ∴， 在中，， ∴， 解得； 综上，当时， 最小值；当时，最小值． 49．如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 【答案】(1)30； (2) (3)或 【详解】（1）解：连接，与半圆O交于点B， 在中， ， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴点C到半圆O的最短距离为， 故答案为：30，； （2）解：过点O作于点H，连接，如图， 则． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴A，M，E三点重合， ∴． ∴扇形的面积； （3）解：如图， 当与边相切于点时，， 此时，与有一个公共点， 由（2）知：； 当与边相切于点时，， 此时，与有三个公共点， ∴． ∴当圆心O在与之间时，半圆O与有两个公共点， ∴； 当的圆心O在与点A之间时，此时与有两个或三个公共点， 当经过点B时，与有三个公共点， ∵，，， ∴， 解得：． ∴当时，与有三个公共点， ∴当时，与有两个公共点， 综上，当半圆O与有两个公共点时，的取值范围是或． 故答案为：或． 50．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 【答案】(1)，相离(2)；(3) 【详解】（1）解：如图，过点作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴的直径是，， 当时，，， ∵，， ∴，， ∴， ∴的半径为， ∵，是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴与直线的位置关系是相离． 故答案为：；相离； （2）解：①如图， ∵、运动的速度与、的比相等， ∴圆心在对角线上， 由图可知，和两点在时在点重合， 当时，直径为对角线，是的中点， ∴，由勾股定理，可得， ∴， ∴圆心的运动路径长是． 故答案为：； ②如图，当与相切时， 设切点为，连接并延长交于， 则，， 则，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴的值为； （3）解：如图，过作，交的延长线于点，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得（舍去），， ∴的值为． 51．【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 【答案】【发现】2；【探究】平行；【拓展】（1）；（2）弦的最大值为，最小值为． 【详解】发现：解：由折叠的性质可得，折叠前后圆的半径不变， ∴所在圆的半径为的半径，即， 故答案为：； 探究：解：∵切点在直径上运动，与相切于点， ∴即点到直径的距离为半径，即为定值， ∴点的运动路线与直径平行． 故答案为：平行； 拓展：（1）解：如图1，连接， ∵点在上，对应的弦为的直径， ∴． 又∵点是的切点， ∴． 在和中，，， ∴， ∴． ∵点为的中点，， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （2）最大值为，最小值为． 如图2，设，与交于点，连接． ∴． ∵点是的中点， ∴． 由垂径定理得点为的中点， ∴， ∴． ∵点在线段上， ∴的取值范围为， ∴． ∴弦的最大值为，最小值为． 52．折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容．李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径，再将点A与点D重合对折一次得到直径，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕，依次连接，得到等边三角形，如图1所示．（虚线为折痕） （1）下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接，由翻折可得，， 又， ∴，即， __________°， 同理， ， 由 得， ，（依据是__________） ，故是等边三角形． （2）如图2，若折痕与的交点为P、Q，则__________； 【深入探究】 （3）如图3，将圆片沿着折叠，使与直径相交于点M和点N，且，则折痕的长为__________. （4）如图4，将圆片沿着折叠，当 时，图中阴影部分的面积为_________； 【思维进阶】 （5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着折叠，与直径交于点M，点P是的中点，则的最小值是__________. 【答案】（1）60，等量代换；（2）；（3）；（4）；（5） 【详解】解：（1）证明：连接，由翻折可得，， 又， ∴，即， ， 同理， ， 由 得， ，（等量代换） ， 是等边三角形． 故答案为：，等量代换； （2）由折叠可知：， ，即， ，与的交点为P、Q， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． （3）设过点，则与是等圆，连接，，交于点， 且与关于对称，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，， ， ； （4）作关于的对称图形，设交于，连接，作的直径， 根据轴对称的性质，得， ， ， 连接，则， ， ，， ， ， ， 故答案为：； （5）连接，则， 当在一条直线上时，有最小值． 作关于的对称图形，则点在上，作的直径，连按，交于点，交于点， 由轴对称的性质，得， ， ， 是的中点， ，即， 是的直径， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， ， ， 故答案为：． 试卷第2页，共104页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学终极押题猜想 考情为骨 密押为翼 押题猜想一 平行四边形的折叠问题 1 押题猜想二 针对基础运算的过程性考查 10 押题猜想三 一元二次方程根与系数关系的应用 16 押题猜想四 统计与概率的综合 18 押题猜想五 尺规作图背景下的几何问题 31 押题猜想六 几何图形的剪切拼接问题 41 押题猜想七 双二次函数综合问题 61 押题猜想八 动态圆问题 80 押题猜想一 平行四边形的折叠问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】如图，矩形ABCD，AB=5，AD=3，点M在AB上，BM=1，点N为BC上一点，沿直线MN将三角形BMN折叠，点B的对称点为B‘，当点B‘与点D距离最小时， MN=（ ） A． B． C． D． 分析有理·押题有据 趋势与理由：2025年河北中考选择缩至12题，末题区分度提升，新增“平行四边形折叠”考法。折叠问题此前多限于矩形等特殊图形，现向一般平行四边形扩展，能综合考查轴对称、全等、勾股定理及解直角三角形。依据：2025年样卷第12题明确新增此题型；2025年真题第11题考矩形折叠，延续折叠主线；新课标强调“图形的变化”素养，为折叠变换命题提供持续动力。 终极猜想·精练通关 1．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为（   ） A． B． C． D．2 2．如图，将平行四边形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，若此时将边沿进行折叠，点又恰好落在点处，则平行四边形的较小内角为（   ） A． B． C． D． 3．如图，在矩形中，，将矩形对折，得到折痕，沿着折叠，点的对应点为，与的交点为；再沿着折叠，使得与重合，折痕为，此时点的对应点为.下列结论：①是直角三角形；②；③；④；其中正确的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．如图，在菱形中，，，是上一点，，是边上一动点，将四边形沿直线折叠，的对应点．当的长度最小时，则的长为（    ）    A．7 B．6 C．5 D．6.5 5．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程的方法，类似地可以用折纸的方法求方程的一个正根。下面是甲、乙两位同学的做法：甲：如图1，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段，然后通过折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而，类似地，在上折出点使。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；乙：如图2，裁一张边长为1的正方形的纸片，先折出的中点，再折出线段N，然后通过沿线段折叠使落在线段上，折出点的新位置，因而。此时，的长度可以用来表示方程的一个正根；甲、乙两人的做法和结果（    ）。 A．甲对，乙错 B．乙对，甲错 C．甲乙都对 D．甲乙都错 6．如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 押题猜想二 针对基础运算的过程性考查 试题前瞻·能力先查 【原创题】数学课上，老师出示如图四张卡片，分别写有如下整式 A B C D （1）如果以A作为一个分式的分母， 卡片作为分子可以构成最简分式； （2）如图，老师将四个卡片之间加上两个除号相连，那么在（）里面添加什么运算符号的时候，这个式子运算的结果为2，请给出理由 分析有理·押题有据 趋势与理由：填空题增为4道，第18题新增“过程性运算”考法，标志着基础考查从重结果向重算理转变。分式化简步骤（通分、约分、因式分解）完整展现代数推理过程，完美契合新课标“学业质量”对思维过程可视化的要求。依据：2025年样卷第18题首现该考法；2025年真题第8题、第17题均强调分式化简与解方程的过程展示；新课标明确命题应“凸显思维过程” 终极猜想·精练通关 7．解不等式、计算 (1)解不等式：，并在所给的数轴上表示其解集； (2)计算：（结果用科学记数法表示）． 8．计算： (1)先化简，再求值：，其中． (2)． 9．嘉琪化简的过程如下： 原式第一步 第二步 ．第三步 (1)嘉琪的解答过程从第___________步开始出现错误． (2)写出此题的正确解答过程． (3)当时，求原式的值． 10．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成根式计算，规则：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成计算，过程如图所示． (1)接力中，自己负责的一步出现错误的是____； (2)请你写出正确的计算过程． 11．小丽同学做一道计算题的解题过程如下： 计算 解：原式                    第一步                         第二步                     第三步                             第四步 根据小丽的解题过程，回答下列问题： (1)她在计算中出现了错误，是从第____________步开始出错了； (2)请给出正确答案是____________； (3)计算： 12．对于任意有理数，可以组成两个有理数对与． 我们规定：．例如：． 根据上述规定，解决下列问题： (1)有理数对_______； (2)若有理数对，则________； (3)当满足等式中的x和y都是正整数时，求正整数的值． 押题猜想三 一元二次方程根与系数关系的应用 试题前瞻·能力先查 已知关于x的一元二次方程． (1)若该方程有一个根为，求方程的另一个根； (2)若该方程有两个相等的实数根，求m的值． 分析有理·押题有据 趋势与理由：新课标将此内容重新纳入必考，2025年河北中考首次在选择题中考查（样卷第10题、真题第6题），并与坐标系象限判定融合，体现跨模块命题趋势。根与系数关系是连接方程与函数的桥梁，可灵活拓展至代数求值、几何综合。依据：2022版课标明确将其列为考查内容；2025年样卷与真题均以选择题形式出现，属于“新增必考”知识点，2026年延续考查确定性高。 终极猜想·精练通关 13．已知点在第四象限，若m，n分别为一元二次方程的两根之和与两根之积，则这个一元二次方程可以是（   ） A． B． C． D． 14．若关于x的方程 的一个根是1，则另一个根为（   ） A． B． C． D． 15．若平行四边形的底和其对应的高的长分别是一元二次方程的两个根，则该平行四边形的面积为______． 16．已知反比例函数与一次函数有两个交点坐标，，若，则________． 17．已知，且满足，，那么的值为______________． 押题猜想四 统计与概率的综合 试题前瞻·能力先查 【原创题】有一个两位数，□2，淇淇通过投掷一个四面上分别标有1-4的点数的四面体骰子的方法决定它的十位数字，这个四面体骰子上的每个点数出现的会相等．比如投掷后点数是4，则这个两位数为44 ． 下面是淇淇根据前20次投掷的出现的点数绘制的不完整的条形图和扇形图． （1）根据统计图中数据，求出点数1出现的次数以及点数4对应扇形图的圆心角； （2）前20次投掷后，形成的两位数的众数是 ，中位数是 ； （3）淇淇又进行了2次投掷，是否有可能这22次形成两位数的平均分，在26和27之间？如有可能求出此情况发生的概率，如不能，请说明理由． 分析有理·押题有据 趋势与理由：统计题稳定以解答题出现，且从单纯图表分析升级为“统计图表+平均数/中位数+方案对比决策”的复合模式，强调数据观念在实际情境中的应用。这与新课标“数据观念”素养及情境真实性要求高度契合。依据：2025年真题第20题为统计与方案决策融合典范；2023、2024年真题均考查满意度调查、成绩换算等真实决策情境；2025年样卷进一步强化统计与决策结合。 终极猜想·精练通关 19．近年来，在习近平总书记“既要金山银山，又要绿水青山”思想的指导下，我国持续的大面积雾霾天气得到了较大改善．为了调查学生对雾霾天气知识的了解程度，某校在学生中做了一次抽样调查，调查结果共分为四个等级：A．非常了解；B．比较了解；C．基本了解；D．不了解．根据调查统计结果，绘制了如图所示的不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： (1)本次参与调查的学生共有______人，______； (2)根据调查结果，学校准备开展关于雾霾的知识竞赛，某班要从“非常了解”程度的小明和小刚中选一人参加．现设计了如下游戏来确定，具体规则是：把四个完全相同的乒乓球分别标上数字1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中充分摇匀，一个人先从袋中随机摸出一个球，另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球，若摸出的两个球上的数字和为奇数，选小明参加；否则，选小刚参加．请通过画树状图或列表的方法计算说明这个游戏规则是否公平？ 20．某购物商场为促进顾客消费，特设一个可自由转动的转盘．顾客凡购物满500元，即可获得优惠，两种优惠方式任意选择其中一种． 方式一：直接获得25元购物券； 方式二：有机会转动转盘一次，转盘分为多个区域，每个区域对应不同的购物券． 下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 落在20元购物券区域的次数 落在20元购物券区域的频率（结果保留小数点后两位） 请根据上面的图表完成以下问题： (1)________； (2)当转动次数增加到足够大时，落在元购物券区域的频率会逐渐稳定在某个常数附近，由此估计落在元购物券区域的概率是________（结果保留小数点后一位）； (3)小明和他的爸爸这次在此商场购物超过了元，他爸爸对于选择方式一还是方式二，犹豫不决．小明发现：元购物券、元购物券、元购物券、元购物券所对应的扇形区域的圆心角之比是，通过计算求得转动一次转盘获得购物券数额的平均数，帮助他爸爸做出了更合算的选择．请问小明选择的是哪种方式，说明理由． 21．学校训练队要从甲、乙、丙三名运动员中选择一人参加市运会的100米比赛．对这三名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的折线图： b．丙运动员10次测试成绩：12.4，12.4，12.5，12.7，12.8，12.8，12.8，12.8，12.9，12.9 c．三名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 平均数 12.5 12.5 p 中位数 m 12.5 12.8 方差 0.056 n 0.034 (1)表中_______；_______；n_______0.056（填“>”“=”或“<”）； (2)根据这10次测试成绩，选择一名成绩最好且发挥稳定的运动员参加比赛，并说明理由． (3)本次100米比赛，学校派出的运动员获得第一名的好成绩，学校记者团共有两男两女四名学生记者，要派出两名记者采访获奖运动员，利用树状图或列表法求出两名采访记者恰好为一男一女的概率． 22．某学校射击队计划从甲、乙两名运动员中选取一名队员代表该校参加比赛，在选拔过程中，每名选手射击10次，根据甲、乙队员成绩绘制了如图1、图2所示的统计图： (1)甲队员选拔赛成绩的中位数是_____环，乙队员选拔赛成绩的众数是_____； (2)根据甲、乙两名队员的选拔赛成绩，学校决定推荐一名队员参赛，你认为推荐谁更好？请选择合适的统计量进行分析； (3)为提升射击队技战术水平，学校决定除甲、乙外，再从射击队其他3名队员（一名男生，两名女生）中随机选出两名队员一同前往观看比赛，用树状图或列表法求恰好选出一名男生和一名女生的概率． - - - 23．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀． 数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图． 数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率 甲组 7.625 7 4.48 37.5% 乙组 7.625 7 0.73 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：_____； (2)甲乙两组的这次初赛成绩中_____组的初赛成绩更整齐； (3)全校共有1600名学生参加了这次初赛，如果以甲乙两组的平均优秀率作为全校的优秀率，估计全校学生初赛成绩为优秀的大约有_____人； (4)已知甲乙两组初赛成绩是优秀的5名学生中有2名是女生、3名男生，若从5名学生中随机抽取2名学生在班上介绍学习经验，则恰好抽出一男一女的概率为_____； (5)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为甲组的成绩比乙组好，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出一条即可）． 24．2025年内蒙古自治区中考体育总分由原来的50分增加到80分，其中20分为专项运动技能测试，需要学生从足球、篮球、排球、乒乓球、羽毛球、武术、体操、游泳8个运动项目中自主选择1项参加测试、思博同学准备在篮球、排球、足球中选一项作为专项运动技能测试项目，他在体育老师的帮助下对自己的篮球、排球、足球分别进行了满分为10分的技能测试，并获得了一些数据，如图所示．数据整理： 数据分析：思博对上述数据进行了如下分析： 项目 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 篮球技能 b 10 排球技能 a c 足球技能 8 8 请认真阅读上述信息，回答下列问题： (1)填空：___________，___________，___________； (2)请你给思博一些建议，建议内容包括①选择篮球、排球、足球中的哪一项作为中考体育技能测试项目，②选择该项目的理由（2条即可）； (3)体育老师准备将思博所在班级的学生分为A，B，C，D四组进行技能练习，每组安排2位技能测试优秀的同学进行指导．小明、小慧两位同学测试成绩优秀，被老师选中随机分配到四组中对其他同学进行指导，请利用树状图或者列表的方法，求小明、小慧恰好分在同一组的概率． 25．垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名校排球队员每人10次垫球测试的成绩．测试规则为每次连续接球10个，每垫球到位1个记1分． 运动员丙测试成绩统计表 测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 成绩（分） 7 6 8 7 5 8 8 7 （1）若运动员丙测试成绩的平均数和众数都是7，则成绩统计表中 ， ； （2）在（1）的条件下，若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的统计量加以分析说明（参考数据：三人成绩的方差分别为，，） （3）训练期间甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，经过三次传球，球回到甲手中的概率是多少？ 押题猜想五 尺规作图背景下的几何问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC外角的平分线． （1）利用尺规作图，作线段AC的垂直平分线，交AC于点O，连接BO并延长，交AD于点F，连接CF； （2）求证：四边形ABCF为平行四边形 分析有理·押题有据 趋势与理由：尺规作图是河北独特考点，不考动手操作而考原理分析。近年明显向填空题最后一题集中，与三角形中线、高线、角平分线或圆的性质融合，考查“读图识理”的几何推理能力。依据：2024年真题第5题考查作三角形的高线；2023年真题第8题考查作平行四边形的尺规过程分析；2021年真题第7题考查平行四边形作图方案判断。新课标强调“几何直观”与“推理能力”，尺规作图痕迹分析是理想考查形式。 终极猜想·精练通关 26．如图，在平行四边形中，，以点为圆心作弧，交于点、．分别以点、为圆心，大于为半径作弧，两弧交于点，作直线交于点，若，，则长是（    ） A．3 B．4 C． D． 27．在直角中，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交于点M，交于点N；②分别以M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P；③作射线交于点D；④分别以A，D为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于G，H两点；⑤作直线，分别交于点E，F．依据以上作图，若，，则的面积是（   ） A．32 B． C．56 D．64 28．如图，在中，按如下步骤作图：①在和上分别截取，，使，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O，作射线交于点D，②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线交于点E，交于点F．根据以上作图，若，，，则线段的长为（　　） A． B． C． D． 29．如图，在中，． (1)观察尺规作图的痕迹可以发现，是的_____，直线是线段的_____．（填序号） ①高线；②角平分线；③垂直平分线；④中线． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 30．阅读与思考 下面是小明同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务． 尺规作出直角的三等分线 在中，利用尺规作出的三等分线，步骤如下： ①用尺规作出的中垂线，交于点； ②以点为圆心，以长为半径作圆； ③以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ④以为圆心，以长为半径作弧，交圆于点； ⑤连接、，则、是的三等分线． 下面是小明记录的证明过程的笔记，但笔记并不完整，请你认真阅读作图步骤后，将小明的笔记补充完整 证明：由作图步骤①可知，圆为的___________，是圆的直径 、、、是圆的半径 由作图步骤③和④可知 （请你补全证明过程） 31．阅读与思考 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关联弦【概念理解】． 如图1，A，B，C为上的三点，连接，若平分，我们把此时的两条弦和称为圆上顶点关联弦． 【特例研究】 通过观察和测量，发现． 证明：如图1，过点O分别作，则． ∵平分，∴． ∵，∴ ① ∵，∴， ∴ ② ，∴． 【概念、特性拓展】 如图2，B，C为上的两点，点A在外，与交于点F，与交于点G，连接．若平分，我们把此时的两条弦和称为圆外顶点关联弦，观察发现． 证明：…… 任务： (1)填空：“①”处空缺的内容为______，“②”处空缺的内容为______． (2)将“……”处证明过程补充完整． (3)如图3，点M在上，点A在外，与交于点P．若点N为上的点，与交于点Q，且与为圆外顶点关联弦，请利用无刻度直尺和圆规确定弦NQ的位置．（不写作法，保留画图痕迹） 押题猜想六 几何图形的剪切拼接问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】数学课上，老师给出一个已知高为2的梯形ABCD，其中，相关数据已经标在图形上， （1）老师给大家了一个梯形转化三角形的方法：取AD中点E，连BE交CD延长线于点F，沿BE切割，则将△EDF绕点E顺时针旋转180°点A与点D重合，则△BFC即为所求三角形， ①证明：E、F、B三点共线； ②求切割线BE的长； （2）淇淇受到老师方法的启示，将梯形切割成一个内角为30°的平行四边形，请给出切割方法并画出图形； （3）将梯形ABCD切割后拼接成应周长最小的平行四边形，直接写出其周长． 分析有理·押题有据 趋势与理由：几何图形的剪拼问题连续两年在河北中考解答题中作为独立题型出现，分值较高。2023年第21题考查用矩形卡片拼接图形，通过面积关系列代数式并比较大小；2024年第23题考查将正方形纸片通过裁剪拼接为钻石型五边形，涉及线段长度计算和多种裁剪方案的设计。这类问题要求“不重叠无缝隙”，综合考查几何直观、图形变换和代数运算能力，且答案常不唯一，体现探究开放性。依据：2023年与2024年连续两年第21—23题区间考查剪拼问题，且均以“情境—操作—探究”结构呈现。新课标强调“几何直观”与“图形变换”核心素养，剪拼问题正是图形变换与代数推理融合的理想载体。2026年极可能延续这一趋势，命题方向可能从矩形/正方形向三角形、菱形或圆拓展，或将剪拼与函数、方程结合。 终极猜想·精练通关 32．如图①，是形如“”形的拼块，其每个拐角都是直角，各边长度如图所示．如图②，用个同样的拼块拼成的图案，恰好能放入一个边长为的正方形中，则的值为（    ） A． B． C． D． 33．问题：如图1，矩形纸片中，，，要求将矩形纸片剪两刀后不重叠、无缝隙地拼接成一个正方形．甲、乙两位同学根据剪拼前后面积不变，确定了正方形的边长x的值，并分别设计了如下的方案． 甲：如图2，在上找点E，连接，使，作，交于F点，完成分割； 乙：如图3，在上找点F，连接，使，以为直径作圆，交于点E，连接即可完成分割．    下列结论正确的是（    ） A．甲、乙的分割都不正确 B．甲、乙的分割都正确，图2、图3中的 C．乙的分割正确，图3中 D．甲的分割正确，图2中 34．在图1—图4中，正方形的边长为，等腰直角三角形的斜边，且边和在同一直线上． 小明的做法：当时，如图1，在上选取点，使，连结和，裁掉和并分别拼接到和的位置构成四边形． 小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将绕点逆时针旋转到的位置，易知与在同一直线上．连结，由剪拼方法可得，故，从而又可将绕点顺时针旋转到的位置．这样，对于剪拼得到的四边形（如图1），过点作于点（图略），利用公理可判断，易得，．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形是正方形． 解决下列问题： (1)正方形的面积是______；（用含，的式子表示） (2)类比图1的剪拼方法，请你就图2—图4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图． 35．解答： 探究将任意凸四边形“分割—重拼（不重叠、无缝隙）”得到正方形 素材1 取四边形各边的中点后，有两种方法可将其“分割—重拼”得到平行四边形． 方法一：如图1，沿对边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形； 方法二：如图2，沿邻边中点连线分割，再按序号重拼得到平行四边形．       素材2 将平行四边形按图3折叠，并沿折痕分割，再重拼成矩形．    素材3 如图4，在矩形的边上取点M，连结，过点G作于点N，沿，分割矩形，将沿射线平移，沿射线平移，重拼得到正方形．    问题解决 任务1 请从素材1的两种方法中选择一种证明重拼得到的四边形是平行四边形； 任务2 根据素材3的操作过程，若，，求线段的长． 36．剪拼是平面几何中转化图形、推导性质的实用方法．它通过裁剪、拼接，将不规则或陌生图形转化为矩形、三角形等熟悉图形；同时，剪拼还可直观验证图形的全等、相似关系，辅助解决面积计算、图形分割与拼接问题，是连接直观操作与几何推理的桥梁． (1)【用数学的眼光观察】如图1，王林任意剪了矩形纸片，在边上任意确定一点E，分别找到边的中点M，N，连接．分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．连接，则与的关系为______． (2)【用数学的思维分析】在（1）的基础上继续探究，若的面积为a，请用含a的代数式表示四边形的面积（写出推理过程）． (3)【用数学的语言表达】如图2，在矩形纸片中，点G为边上一点，M，N分别为的中点，分别将和剪下，贴合到和处，进而得到．通过测量发现，，．求线段和的长． 37．探究活动：巧拼地砖外边． 装修工人有一大一小两根条形边角料（大条形边角料中，小条形边角料中），如图1拼接到直角地砖的外边上，发现点与点不能重合．为了尽可能节约用料，又能使两根条形边角料能拼成一个直角，工人师傅使用一把直尺、一支笔和一台切割机，经过图2—图9的操作解决了问题，完成了拼接． 图1 图2 图3 图4 图5 【操作说明】 将一大一小两根条形边角料拼在直角地砖的外边． 【操作说明】 画出的延长线，交于点． 【操作说明】 连接OC． 【操作说明】 沿着射线方向，平移小条形边角料，使点与点重合，得到四边形． 【操作说明】 画出的延长线，交小条形边角料的边于D． 图6 图7 图8 图9 【操作说明】 连接BD． 【操作说明】 沿着切割． 【操作说明】 拼接切割后的两根条形边角料． (1)请根据图2-图6的操作说明，在图①中画出操作过程相应的图形，并按操作过程标注相应的字母； (2)如果大条形边角料为的宽度为，小条形边角料为的宽度为，大条形边角料裁剪后的锐角是，那么___________； (3)请根据上述探究，设计一个新裁剪方案，在图②中画出剪裁方法，并简单说明理由． 38．【观察与发现】 如图1，我们在探究三角形中位线定理时，通过剪切和拼接的方法将三角形拼成了面积相等的平行四边形．同样，我们也可以将任意一个四边形剪开拼成一个面积相等的平行四边形．操作如下：如图2，沿着对边中点所连的两条线段剪开，将四边形分成四部分．通过旋转或移动，可以得到，新四边形是平行四边形． 【类比与探究】 （1）类比上述做法，尝试将任意一个三角形剪开拼成一个与其面积相等的矩形． 图3是将剪开拼成矩形的一种方法． 依据图中呈现的操作方法，可知：与的数量关系为______；与的位置关系为______． （2）尝试用另一种方法将剪开拼成与其面积相等的矩形． 要求：请仿照图3，在图4的第一张图中用虚线画出剪切线，在第二张图中画出拼成的简图． 简单说明剪切线满足的条件：______． 【实践与应用】 （3）请思考如何将任意一个四边形剪开拼成一个与原四边形面积相等的矩形？请你设计思路不同的两种方案，在图5中用虚线画出分割线，用实线画出拼成的矩形只画图，不需文字说明 39．“综合与实践”课上，同学们通过剪拼图形，用数学的眼光看问题，感受图形的变换美！ 【特例感知】 （1）如图1，纸片为矩形，且厘米，厘米，点E，F分别为边，的中点，沿将纸片剪成两部分，将纸片沿纸片的对角线方向向上平移． ①当纸片平移至点与的中点O重合时，两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是______； ②当两个纸片重叠部分的面积与原矩形纸片的面积之比是时，则平移距离为______； 【类比探究】 （2）如图2，当纸片为菱形，，时，将纸片沿其对角线剪开，将纸片沿方向向上平移．当两个纸片重叠部分的面积与纸片的面积之比为时，求平移距离（用含a的式子表示）； 【拓展延伸】 （3）如图3，在直角三角形纸片中，，厘米，厘米，取，中点D，E，将沿剪开，得到四边形和，将绕点D顺时针旋转得到．在旋转一周的过程中，求面积的最大值． 押题猜想七 双二次函数综合问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】抛物线的图象过点（-1,0），（2，3），抛物线的顶点A在y1的函数图象上 （1）求y1的函数解析式； （2）求y2的图象与y轴交于点C，求C点纵坐标的最小值； （3）淇淇发现，y1、y2的图象除了点A之外，还可以有另一个交点B， ①求B点的横坐标； ②直接写出使点B的纵坐标为正整数的h的值． 分析有理·押题有据 趋势与理由：河北中考连续四年压轴题均为“两个二次函数对比与动态变换”模式，形成标志性命题风格。通过平移、交点、距离分析考查函数本质与数形结合思想，双函数分析比单函数更能检验函数观念。 依据：2025年真题第24题双抛物线对比；2024年真题第26题两个二次函数顶点平移与动点距离；2023年真题第23题双抛物线游戏情境；2022年真题第23题二次函数平移最短路径。连续四年稳定考查。 终极猜想·精练通关 40．抛物线与抛物线交于，两点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，过点作轴的垂线交抛物线于点，交抛物线于点，交线段于点． ①求证： ②顺次连接，，，，四边形的形状随着值的变化而变化，判定四边形能否是矩形，如果能是矩形，求出相应的值；如果不能是矩形，说明理由； (3)已知是的函数，其图象记为，当时，；当时，．直线与图象有四个交点，自左向右依次标记为，，，． ①直接写出图象的解析式，并指明自变量的取值范围； ②若，直接写出的值． 41．如图1，二次函数与二次函数的图象均过点，，的图象与y轴交于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，点P位于第一象限且在二次函数的图象上，直线l过点P且与x轴平行，与二次函数的图象的另一个交点为Q（Q在P左侧），直线l与二次函数的图象的交点为M，N（N在M左侧）．当时，求的面积； (3)如图2，二次函数的图象与一次函数的图象相交于C，H两点，点C在y轴上，点T是二次函数图象的对称轴上的一点． ①若是以A为直角顶点的等腰直角三角形，求二次函数的解析式； ②在①的条件下，点E是上方的抛物线上的一动点，将上方的抛物线沿翻折，点E的对应点为F，连接交于点G，求线段的最大值． 42．【观察】图1中的景观设计以湖为韵，将东方古典的意境与现代设计的灵动美感相结合，在流动的曲线上相融共生，勾勒出独特的流动美．长行数学小组将图中的曲线抽象成数学问题并进行了自主探究． 【数学建模】定义：如图2，若抛物线与抛物线的图象有且仅有一个公共点O，则称这两条抛物线单联于点O． (1)在图2中，点M，点N分别是这两段抛物线的顶点，请直接写出它们的坐标：点M的坐标(______，______)，点N的坐标为(______，______)； (2)小组成员发现O，M，N三点共线，请帮他补全证明过程： 证明：抛物线与抛物线的图象只有一个公共点O，即方程联立有两个相等的实数根，则称这两条抛物线单联于点O．据此得：有两个相等的实数根， ∴， ∴， 即 …… 利用以上结论，解决问题； (3)【模型应用】如图3，长方形是一处景观，米，米，E，F分别是边的中点，G是上的点，设计了两段抛物线和抛物线单联于点G，两条抛物线的顶点分别是M，N，且点N落在BC边上．，分别是的中点，以为圆心，为半径，和以为圆心，的一半长度为半径设计两个圆形花坛．为了设计整体感观更加和谐，使A，M，F三点共线，求出此时上的点到边最长的距离． 43．如图，函数的图象与函数的图象相交于，两点．直线与图象，分别交于E，F两点． (1)求b，c的值． (2)设直线与线段交于点D，记和的面积分别为，，当时，求t的值． (3)若t满足，且，试问t取何值时，线段的长度最大？并求出这个最大长度． 44．如图，抛物线与x轴相交于点，顶点为点D． (1)求抛物线P的解析式和点D的坐标． (2)在坐标平面上放置一透明矩形胶片，并在胶片上描画出抛物线P在矩形胶片内部（含边界）的一段，记为G，以点B为中心把该胶片旋转，得到矩形以及对应的图象． ①求旋转过程中G扫过的面积S； ②通过计算，判断抛物线P与在矩形的内部（含边界）的公共点的个数． 45．如图，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴与交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 押题猜想八 动态圆问题 试题前瞻·能力先查 【原创题】⊿BCD中，AC⊥BD于A，AD=AC=，AB=1，将⊿ACB绕点A顺时针旋转一周，BC的对应点分别为B’、C’， 以B’C’为直径的半圆O也同时旋转，半圆O交AC边于E （1）当旋转角为 时， B’C’∥AC； （2）当BB’=时，求CC’ （3）当旋转角为时，求弧AC’扫过的面积； （4）当⊿AB’C与⊿B’AD全等时，求得的值； 分析有理·押题有据 趋势与理由：圆是河北中考解答题必考核心，近五年从未缺席，且从“静态圆”向“动态圆+多边形+相似+三角函数”深度融合演变。能同时考查垂径定理、切线性质、圆周角定理、弧长公式、锐角三角函数等核心知识点，区分度极佳。依据：2025年真题第21题将扇形、正方形、菱形与弧长结合；2024年真题第25题圆与动点最短距离结合；2023年真题第24题半圆滚动与垂径定理、切线综合；新课标强调图形与几何的综合应用。 终极猜想·精练通关 46．如图，将半径为5的扇形绕点O逆时针旋转得到扇形．交于点G，交于点E，与相交于点F． (1)与的数量关系是________； (2)在（1）的条件下，求证：； (3)当为直径时，以为半径的⊙O切于点E，求的值及优弧的长． 47．如图，矩形中，，，是边上一点，且，是射线上一动点，过，，三点的交直线于点，连结，，，设． （1）当时，求的长． （2）在点的整个运动过程中． ①的值是否改变？若不变，求出它的值；若改变，求出它的变化范围； ②当矩形恰好有个顶点落在上时，求的值． （3）若点，关于点成中心对称，连结，．当是等腰三角形时，求出所有符合条件的的值．（直接写出答案即可） 48．借助运动的视角看图形变化是非常重要的数学眼光 已知，点，在上，，点在上，连接，，作的外接圆． (1)当时， ①如图，若是的直径，则的半径为 ； ②如图，若，求的半径． (2)当时，如图，若与相切于点，用直尺和圆规作出点的位置．（要求：不写作法，保留作图痕迹，写出必要的文字说明） (3)设，对于每一个的值，的半径随着点的位置的变化而变化，直接写出的半径的最小值及对应的的取值范围（可用含的式子表示）． 49．如图1，在中，，，，点O在边上，由点D向点A运动，当点O与点A重合时，停止运动．以点O为圆心，为半径，在的下方作半圆O，半圆O与交于点M．（，，） (1)如图1，当时， °，点C到半圆O的最短距离= ； (2)如图2，半圆O与交于点E、F，当时，求扇形的面积？ (3)以，为边作矩形，当半圆O与有两个公共点时，请直接写出线段长的取值范围 50．如图1，在矩形中，，，点以1.5的速度从点向点运动，点以2的速度从点向点运动．点、同时出发，运动时间为秒（），是的外接圆． (1)当时，的半径是 ，与直线CD的位置关系是 ； (2)在点从点向点运动过程中，①圆心的运动路径长是 ；②当与直线相切时，求的值． (3)连接，交于点，如图2，当时，求的值． 51．【情境】数学课上，同学们用圆形纸片探究折叠的性质，如图1，是的直径，，沿弦折叠，使折叠后的与相切于点． 【发现】所在圆的半径为_____； 【探究】为了找到所在圆的圆心，同学们讨论了以下两种方式． 淇淇说：取弦和弦的中垂线的交点即可． 嘉嘉说：不必画两条中垂线，如图2，只需作点关于弦的对称点，点即为所求． 淇淇说：这样看来，折叠后，切点在直径上运动，可以看成在直径上滚动． 嘉嘉说：没错，所以当点在直径上运动时，点的运动路线和直径的位置关系是_____； 【拓展】 （1）如图3，若切点为的中点，连接，交于点，连接，求弦的长； （2）若切点落在线段上（包括端点），直接写出弦的最大值和最小值． 52．折纸起源于大约公元1世纪的中国，与自然科学结合在一起，不仅成为建筑学院的教具，还发展出了折纸几何学，成为现代几何学的一个分支．某些折纸活动蕴含着丰富的数学内容．李老师在数学实验课上提出了这样的问题：如何在一张半径为的圆形纸片上折出一个等边三角形呢？ 【初步尝试】 轩轩思考后，他先将圆形纸片对折一次得到直径，再将点A与点D重合对折一次得到直径，两条直径交于点O，将点D与点O重合再次对折得到折痕，依次连接，得到等边三角形，如图1所示．（虚线为折痕） （1）下面是部分证明过程，请你补充完整： 证明：连接，由翻折可得，， 又， ∴，即， __________°， 同理， ， 由 得， ，（依据是__________） ，故是等边三角形． （2）如图2，若折痕与的交点为P、Q，则__________； 【深入探究】 （3）如图3，将圆片沿着折叠，使与直径相交于点M和点N，且，则折痕的长为__________. （4）如图4，将圆片沿着折叠，当 时，图中阴影部分的面积为_________； 【思维进阶】 （5）如图5，点B是半圆O上的一个动点，将圆片沿着折叠，与直径交于点M，点P是的中点，则的最小值是__________. 试卷第2页，共104页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $