第28讲 尺规作图-【夺冠百分百】2026年中考数学冲刺精练册（河北专用）

NR-NA+AE+ER-10+87 .'MN⊥CA,QR⊥CN, Sa=MNNR=合×2x(10+8y9） =103+ 82I 7 4.解：(1)3060[解析]：∠BAC=90°，∠ACB=30°， .∠ABC=90°-30°=60. :△ABC沿BC方向平移得到△DEF, ∠F=∠ACB=30°，∠DEF=∠B=60°. (2)BF=AD+BC. 证明：，△ABC沿BC方向平移得到△DEF, .'BC=EF,AD=CF, .'BF=BC+CF=BC+AD. (3)四边形ACFD是平行四边形. 证明：△ABC沿BC方向平移得到△DEF,.AD=CF, AD∥CF,∴四边形ACFD是平行四边形. .AD=2,.CF=AD=2. ∠BAC=90°，∠ACB=30°，BC=4, ∴AB=2BC=3×4=2. 在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AC=√BC一AB= w√/42-22=2√3. 四边形ACFD是平行四边形，.DF=AC=2√3， .四边形ACFD的周长=2(AC+AD)=2(2十2W3)= 4+43. (4)AD=2,.BE=2. 又BC=4,CE=2,.E为BC的中点. :∠ACB=30,∴AB=2BC=2. 又：AB/∥DE,∠BAC=90°，EG=号AB=1,EGLAC,. 即点E到AC的距离为1. 第27讲投影与视图、立体图形 的展开与折叠 【河北十年真题练】 1.A2.D3.D4.A5.A6.B7.B8.C9.A 10.A11.A12.C 【全国视野分层练】 基础过关练 1.C2.D3.D4.D5.C6.5 7.4π或88.10 9.解：1)由题意，得该几何体的体积为x×(3)×十x× (2a）×a×号=平ab+a. (2②)当a-3,6=4时，原式=号×3×4+竞×3-绍0 10.解：(1)设这两次技术改造日产量的平均增长率为x, 依题意，得2000(1+x)2=2420, 解得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意，舍去）. 答：这两次技术改造日产量的平均增长率为10%. (2)π×42+π×4×8+8X8 =16π+32π+64=(48π+64)(cm). 答：此类包装盒的表面积是(48π十64)cm2. 素养提升练 1A2B3A422 5.解：(1)36cm2[解析]如题图1，若a=12cm,b=3cm,则 长方体纸盒的底面是边长为12一3×2=6(cm)的正方形， 因此底面积为6X6=36(cm2). (2)64cm3[解析]如题图2，先在纸板四角剪去两个同样 大小边长为bc的小正方形和两个同样大小的小长方形， 再活虚钱折合起来可得到长为(a一26)cm,完为°2cm, 高为bcm的长方体，当a=12cm,b=2cm,该长方体纸盒 长为12-2×2=8(cm),宽为12-，2X2=4(cm),高为 2 2cm,所以体积为8X4X2=64(cm3). (3)当a=30cm,b=5cm时， 按题图1制作无盖的长方体纸盒的体积为(30一5×2)X (30-5×2)×5=2000(cm3), 按题图2制作的长方体纸盒的体积为(30一5X2)X 30-5×2×5=1000(cm), 2 2000÷1000=2. 答：无盖盒子的体积是有盖盒子的体积的2倍. 第28讲尺规作图 【河北十年真题练】 1.B2.C3.B4.D5.A6.56° 7.解：(1)如图所示. (2)①.BC=CD,∠BCD=120°， .∠CBD=∠D=30° 又AB⊥BC, .∠ABE=90°-30°=60°. ②垂直.理由如下： 延长AE交CD于点F. .BC=CD, ÷∠CBD=∠D= =(180°-a) 90-a. ,AB⊥BC .∠ABE=90°-∠CBD=2a .AB=AE, ∠AEB=2a, 。1 ·∠DEF= 2a, ∠DFE=180°-(90°-2a)-a=90, ∴.AE⊥CD 【全国视野分层练】 基础过关练 1.A2.D3.D4.C5.3 6.解：如图所示. 7.解：(1)如图1，点D即为所求. (2)如图2，分别取BC,AC的中点D,E,连接AD,BE相交 于点O,则点O即为所求！ 图1 图2 8.解：图形如图所示： 证明：.PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， (OE=OF, OP-OP, '.Rt△OEP≌Rt△OFP(HL). .∠POE=∠POF, .OP平分∠AOB 9.解：(1)在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∠BAC=60 '∠BAC的平分线AD交BC于点D, ∴.∠BAD=∠CAD=30°， .∠ADC=180°-30°-30°=120°. (2)由(1)知∠ACD=∠CAD=30°， .AD=CD,∠ADB=60°， .∠CDF=60° 如图，连接CF, 由作图过程可知：MN是CD的垂直 平分线， .FC=FD, △CDF是等边三角形， .'FC=FD=CD-AD. AB=3,∠BAD=30°， 6 AD=AB=是=25， c0s30° 2 .DF=AD=2√3. 素养提升练 1D2.A3.D4.C5.126.5 7.(1)解：C0[解析]①取AC的中，点O,则AO=CO,连接 BO,并延长； ②作∠ACD=∠BAC,交射线BO的延长线于点D； ③连接AD,则四边形ABCD即为所求. (2)解：如图，四边形ABCD即为所求. D (3)证明：由作图，得∠ACD=∠BAC, (∠AOB=∠COD 在△AOB和△COD中，AO=CO, ∠BAO=/DCO, '.△AOB≌△COD(ASA), ..BO=DO, .四边形ABCD为平行四边形. 第八模块 统计与概率 第29讲统计 【河北十年真题练】 1.D2.B3.D4.B5.D6.B7.89 8.解：(1)当力=100时，甲的报告成绩为y=80X95- 100 76(分)， 乙的报告成绩为y=20X130100)+80=92(分). 150-100 (2)设丙的原始成绩为x1分，则丁的原始成绩为(x1一 40)分， 当0≤1<p时，y%=92=803,0 y7=64=80(a-40),@ 由①-②，得3200=28，p=800, 7 92X800 .x180 07=920≈131>力，故不成立，舍去 当≤x-40<150时y6=92=20C二2+80，③ 150-饣 y7=64=20(n40-p2+80,④ 150-p 南⑧-@，得8”。p9 7第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 第28讲尺规作图（近三年2~3分） 河北十年真题练 2016-2025) 考点一判断尺规作图痕迹(10年4考) 分别交射线BA,BC于点D,E; 1.（2024河北5题)观察图中尺规作图的痕迹， 第二步：分别以点D和点E为圆心，b的长 可得线段BD一定是△ABC的·() 为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于点P; 第三步：画射线BP.射线BP即为所求， B A D B ·B E 第一步 第二步 第三步 图1 图2 A.角平分线 B.高线 下列说法正确的是…( C.中位线 D.中线 A.a,b均无限制 2.(2023河北8题)综合实践课上，嘉嘉画出 △ABD,利用尺规作图找一点C,使得四边 B.a>0,6>DE的长 形ABCD为平行四边形.(1)~(3)是其作 C.a有最小限制，b无限制 图过程 (1)作BD的垂直平分线交BD于点O; D.a≥0，b<号DE的长 (2)连接AO,在AO的延长线上截取 4.(2018河北6题)尺规作图要求：I.过直线 OC=AO; 外一点作这条直线的垂线Ⅱ.作线段的垂 (3)连接DC,BC,则四边形ABCD即为 直平分线；Ⅲ.过直线上一点作这条直线的 所求. 垂线；V.作角的平分线.如图是按上述要求 排乱顺序的尺规作图： (2 3 在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是……（ A.两组对边分别平行 B.两组对边分别相等 A艾B C.对角线互相平分 ⑧ ④ D.一组对边平行且相等 则正确的配对是…（ 3.(2020河北6题)如图1，已知∠ABC,用尺 A.①-V,②-Ⅱ，③-I,④-Ⅲ 规作它的平分线。 B.①-V,②-Ⅲ，③-Ⅱ，④-I 如图2，步骤如下， C.①一Ⅱ，②-V,③一Ⅲ，④一I 第一步：以点B为圆心，a的长为半径画弧， D.①-V,②-I,③一Ⅱ，④-Ⅲ 159 中考冲刺数学 考点二根据尺规作图痕迹求解(10年3考) 【创新考法】 5.(2016河北10题)如图，已知钝角△ABC, 7.如图1，已知直线1以及直线1外一点A. 依下列步骤尺规作图，并保留作图痕迹. (1)在图1中，请用直尺和圆规，经过点A作 垂直于1的直线，垂足为B(不要求写作法， 保留作图痕迹)； (2)在(1)的基础上，画出图2，其中AB= ①D BC=CD=AE,点E在BD上.设∠BCD= ② a(90°<a<180). 步骤1：以点C为圆心，CA长为半径画 ①若a=120°，求∠ABE的度数； 弧①； ②判断AE与CD的位置关系，并加以 步骤2：以点B为圆心，BA长为半径画弧 证明. ②，交弧①于点D; 步骤3：连接AD,交BC延长线于点H, A 下列叙述正确的是……() A.BH垂直平分线段AD 图1 B.AC平分∠BAD 图2 C.S△ABc=BC·AH D.AB=AD 6.(2017河北18题)如图，依据尺规作图的痕 迹，计算∠a= 全国视野分层练 基础过关练 1.(2025四川眉山)如图，在四边形ABCD中， AD∥BC,AB=6,BC=10.按下列步骤作 图：①以点A为圆心，适当长度为半径画弧， 分别交AB,AD于E,F两点；②分别以点E A.4 B.5 和点F为圆心，大于EP的长为半径画弧， C.6 D.8 两弧相交于点P;③作射线AP交BC于点 2.(2025天津)如图，CD是△ABC的角平分 G,则G的长为…( 线.按以下步骤作图：①以点A为圆心，适 160 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 当长为半径画弧，与AB相交于点E,与AC 并延长交⊙O于点E,连接OA,OE,则 相交于点F;②以点B为圆心，AE长为半 ∠AOE的度数是 ………………( 径画弧，与边BC相交于点G;③以点G为 A.30° B.50 C.60 D.75° 圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的 弧相交于点H;④作射线BH,与CD相交 于点M,与AC相交于点N.则下列结论一 D 定正确的是……( B 第4题图 第5题图 5.(2025湖南)如图，在△ABC中，BC=6,E 是AC的中点，分别以点A和点B为圆心， 以大于号AB的长为半径画弧，两弧相交于 点M,N,直线MN交AB于点D,连接DE, A.∠ABN=∠A B.BN⊥AC 则DE的长是 C.CM=AD D.BM=BD 6.(2025甘肃)如图1，月洞门是中国古典建筑 3.某数学小组的同学利用尺规完成“过直线外 中的一种圆形门洞，形如满月，故称“月洞 一点P作已知直线1的平行线”的作图，嘉 门”，其形制可追溯至汉代，但真正在美学与 嘉给出了如下作图过程，嘉嘉的作法中，可 功能上成熟于宋代，北宋建筑学家李诫编撰 以直接判定两直线平行的依据是…( 的《营造法式》是中国古代最完整的建筑技 (2)分别以点B 术典籍之一·如图2是古人根据《营造法式》 (1)在直线1上和点P为圆心， 中的“五举法”作出的月洞门的设计图，月洞 (3)连接PC,则 取两点A,B,连AP和AB长为 门呈圆弧形，用ACB表示，点O是ACB所在 PC即为所求， 接AP; 半径画弧，两弧 圆的圆心，AB是月洞门的横跨，CD是月洞 相交于点C; 门的拱高.现在我们也可以用尺规作图的方 C 法作出月洞门的设计图. 如图3，已知月洞门的横跨为AB,拱高的长 度为a.作法如下： A.同位角相等，两直线平行 ①作线段AB的垂直平分线MN,垂足 B.内错角相等，两直线平行 为D; C.平行公理 ②在射线DM上截取DC=a; D.平行四边形的性质 ③连接AC,作线段AC的垂直平分线交CD 4.(2025湖北)如图，△ABC内接于⊙O, 于点O； ∠BAC=30°.分别以点A和点B为圆心， ④以点O为圆心，OC的长为半径作ACB, 则ACB就是所要作的圆弧， 大于2AB的长为半径画弧，两弧交于M,N 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图 两点，作直线MN交AC于点D,连接BD 3中作出月洞门的设计图（保留作图痕迹， 江 中考冲刺数学 不写作法). 证明：PE⊥OA,PF⊥OB, ∴.∠OEP=∠OFP=90°. 在Rt△OEP和Rt△OFP中， 图1 图2 ① ② 已知： a .Rt△OEP≌Rt△OFP(HL). .③ .OP平分∠AOB. 9.(2025山东)在Rt△ABC中，∠ABC=90°， 图3 ∠ACB=30°，∠BAC的平分线AD交BC 7.(2025江西)如图，在6×5的正方形网格中， 于点D,如图1. 点A,B,C均在格点上，请仅用无刻度直尺 (1)求∠ADC的度数： 按下列要求完成作图.（保留作图痕迹） (2)已知AB=3,分别以点C和点D为圆 (1)在图1中作出BC的中点； (2)在图2中作出△ABC的重心. 心，以大于2CD的长为半径画弧，两弧相交 于点M,N,作直线MN交BC于点E,交 AD的延长线于点F.如图2，求DF的长. 图1 图2 8.(2025重庆)学习了角平分线和尺规作图 D 后，小红进行了拓展性研究，她发现了角平 分线的另一种作法，并与她的同伴进行交 图 图2 流.现在你作为她的同伴，请根据她的想法 与思路，完成以下作图和填空： 第一步：构造角平分线。 小红在∠AOB的边OA上任取一点E,并过 点E作了OA的垂线（如图）.请你利用尺规 作图，在OB边上截取OF=OE,过点F作 OB的垂线与小红所作的垂线交于点P,作 射线OP,OP即为∠AOB的平分线（不写作 法，保留作图痕迹). 第二步：利用三角形全等证明她的猜想， 162 第一部分河北中考·考点过关 中考冲刺数学 一 素养提升练— 1.(2025河北模拟)如图，使用尺规经过直线a 外的点P作直线a的平行线b,其作图步骤 B 如下： 图2 第①步：过点P作直线l交直线a于点O; ①在1上取点A(点A在点P的左下方)，作 第②步：以点O为圆心，以任意长为半径画 射线AP; 弧，交直线a于点A,交直线l于点B; ②以点P为圆心，PA长为半径画弧，分别 第③步：以点P为圆心，OA长为半径画弧， 交L和线段AP的延长线于点B,C,连 交直线I于点C; 接PB; 第④步：以点C为圆心，OA长为半径画弧， ③作∠BPC的平分线PQ,直线PQ就是所 交前面的弧于点D,过点D,P作直线b,即 求作的直线 为所求. A.甲、乙同学的都正确 上述作图步骤中，作法错误的步骤是( B.甲、乙同学的都不正确 C.只有甲同学的正确 D.只有乙同学的正确 3.(2025河北云家庄栾城校级二摸)如图，用 尺规过圆外一点P作已知圆O的切线，下 A.第①步 B.第②步 列作法不正确的是……() C.第③步 D.第④步 2.(2025河北沧州盐山摸拟)已知直线1和直 线l外一点P.求作：直线PQ,使得PQ∥1. 对于甲、乙两位同学尺规作图的过程，下列 判断正确的是… ……( ) 图 图 甲同学：如图， 图1 图3 图4 ①在L上取不重合的M,N两点，作射 A.如图1，作PO的中垂线交PO于点D,再 线PM; 以点D为圆心，DP长为半径，作圆D交 ②在射线PM上截取MO=PM,作射 圆O于点A,连接PA 线ON; B.如图2，以点O为圆心，PO长为半径画弧 ③在射线ON上截取NQ=NO; 交PO的延长线于点D,再以点D为圆 ④作直线PQ,直线PQ就是所求作的直线. 心，BC长为半径画弧，两弧交于点A,连 乙同学：如图， 接PA 63 中考冲刺数学 C.如图3，过点D作PO的垂线，再以点O 为圆心，PO长为半径画弧，交垂线DM 于点B,再以点P为圆心，BD长为半径 B N 画弧交圆O于点A,连接AP 7.(一题练透)(2025河北保定模拟)如图，嘉 D.如图4，以点P为圆心，PO长为半径画 嘉在△ABC的基础上，作平行四边形 弧，再以点O为圆心，PO长为半径画弧， ABCD的过程如下： 两弧交于点D,连接OD交圆O于点A, ①取AC的中点O,则AO=★，连接BO,并 连接PA 延长； 4.如图，在△ABC中，AB=CB,∠ABC<90°， ②作∠ACD=∠BAC,交射线BO的延长线 尺规作图痕迹如图. 于点D; 结论I:点O一定为△ABC的内心； ③连接AD,则四边形ABCD即为所求. 结论Ⅱ：连接OC,MN,则MN<OC. (1)过程中“★”代表 对于结论I和Ⅱ，下列判断正确的是…( (2)根据步骤②③中描述，利用尺规补全 A.I和Ⅱ都对 B.I和Ⅱ都不对 图形； C.I不对，Ⅱ对 D.I对，Ⅱ不对 (3)求证：四边形ABCD为平行四边形， 米0 R B D火C 第4题图 第5题图 5.(2025四川广安)如图，在△ABC中，按以下 步骤作图：(1)以点A为圆心，AC长为半径 画弧，交BC于点D;(2)分别以点C和点D 为圆心，大于2CD的长为半径画弧，两弧相 交于点F;(3)画射线AF交BC于点E.若 ∠C=2∠B,BC=23,BD=13,则AE的长 为 6.(2025江苏苏州)如图，∠MON=60°，以点O 为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于A, B两点，再分别以点A和点B为圆心，√6为 半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C, 作射线OC,连接AC,BC,则tan∠BCO= .(结果保留根号) 164