2025年中考数学中考三轮复习压轴题：猜想证明训练

2025年中考数学中考三轮复习压轴题：猜想证明训练 1．观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； … (1)请你根据上述规律写出第5个等式：_____________； (2)请你猜想第个等式，并说明理由.（用含字母的式子表示，为正整数） 2．把1，3，5，7，9…这一组数按如下规律排放在表格1中，任意选定如图所示方框中4个数，进行交叉相乘再相减的运算，即，例如：．完成下列各题： (1)计算：______； (2)猜想：______； (3)验证：请你利用整式的运算对以上的规律加以证明； (4)拓展，如表2，把1，3，5，7，9…这一组数重新排放在有列的表格中，则______．（用含的式子表示） 3．观察下列各式及其验证过程： ，验证：； ，验证：； (1)按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想的变形结果并进行验证； (2)针对上述各式反映的规律，写出用n（n为大于1的整数）表示的等式并给予验证． 4．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42．因此，4、12、20这三个数都是神秘数． (1)28和2016这两个数是神秘数吗？为什么？ (2)设两个连续偶数为2k+2和2k（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的神秘数是4的倍数吗？为什么？ (3)两个连续奇数的平方差（取正数）是神秘数吗？为什么？ 5．【探究】： （1）在图1中，已知线段、，其两条线段的中点分别为、，请填写下面空格． ①若，，则点坐标为______． ②若，，则点坐标为______． （2）请回答下列问题 ①在图2中，已知线段的端点坐标为，，求出图中线段的中点的坐标（用含，，，的代数式表示），并给出求解过程． ②【归纳】：无论线段处于直角坐标系中的哪个位置，当其端点坐标为，，线段的中点为时，=______，=______．（直接填写，不必证明） ③【运用】：在图3中，在平面直角坐标系中的三个顶点，，，若以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请利用上面的结论直接写出顶点的坐标（不需写出解答过程） 6．对于如图①、②、③、④所示的四个平面图 我们规定：如图③，它的顶点为A、B、C、D、E共5个，区域为AED、ABE、BEC、CED共4个，边为AE、EC、DE、EB、AB、BC、CD、DA共8条． （1）按此规定将图①、②、④的顶点①数、边数、区域数填入下列表格： 图 顶点数 边数 区域数 ① ② ③ 5 8 4 ④ （2）观察上表，请你归纳上述平面图的顶点数、边数、区域数之间的数量关系． （3）若有一个平面图满足（2）中归纳所得的数量关系，它共有9个区域，且每一个顶点出发都有3条边，则这个平面图共有多少条边？ 7．与同伴玩扑克牌游戏：每个人从同一副扑克牌（去掉大、小王和J，Q，K）中选择4张黑色牌和4张红色牌（黑色牌代表正分，红色牌代表负分），使得8张牌的总分为0．两人轮流从同伴手中抽1张牌，10次以后，计算每人手中牌的总分，得分高者获胜． （1）作为游戏玩家，你希望抽到_______色牌，希望______色牌被同伴抽走． （2）游戏结束后，你手中牌的总分a与同伴手中牌的总分b的关系是_________． （3）你可能得到的最高分是多少？请写出你的计算过程． 8．七年级（1）班某数学学习小组在学习了第9章多边形后对几何学习产生了浓厚的兴趣，他们在同一几何图形中有不同的发现．如图1，直线，垂足为，三角板的直角顶点落在的内部，三角板的另两直角边分别与、交于点和点． （1）小“毕达哥拉斯”说：由四边形内角和知识很容易得到的值．那么他得到的结论是：________°． （2）小“欧几里得”说：连结（如图2），若平分，那么也平分．请你说明当平分时，也平分的理由． （3）小“欧拉”说：若分，平分，我发现与具有特殊位置关系（如图3）．请判断与有怎样的位置关系并说明理由． 9．阅读下面的材料： 如果函数y＝f(x)满足：对于自变量x的取值范围内的任意x1，x2， （1）若，都有，则称f(x)是增函数； （2）若，都有，则称f(x)是减函数． 例题：证明函数f(x)＝是减函数． 证明：设， ∵， ∴． ∴．即． ∴． ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数f(x)＝（x＜0），例如f(－1)＝＝－3，f(－2)＝＝－ （1）计算：f(－3)＝ ； （2）猜想：函数f(x)＝（x＜0）是 函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 10．阅读下面的材料： 如果函数 y＝f（x）满足：对于自变量 x 的取值范围内的任意 x1，x2， （1）若 x1＜x2，都有 f（x1）＜f（x2），则称 f（x）是增函数； （2）若 x1＜x2，都有 f（x1）＞f（x2），则称 f（x）是减函数． 例题：证明函数f（x）＝ （x＞0）是减函数． 证明：设 0＜x1＜x2， f（x1）﹣f（x2）＝． ∵0＜x1＜x2， ∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0． ∴＞0．即 f（x1）﹣f（x2）＞0． ∴f（x1）＞f（x2）． ∴函数 f（x）= （x＞0）是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数． f（﹣1）＝    +（﹣2）＝-1，f（﹣2）＝    +（﹣4）＝． （1）计算：f（﹣3）＝ ，f（﹣4）＝ ； （2）猜想：函数是 函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 11．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”．如：，，，因此4，12，20都是“神秘数” （1）请说明28是否为“神秘数”； （2）下面是两个同学演算后的发现，请选择一个“发现”，判断真假，并说明理由． ①小能发现：两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“神秘数”也是4的倍数． ②小仁发现：2016是“神秘数”． 提示：（2）中两个发现，只需解答其中一个，若两个都做，按“小能发现”的解答计分． 12．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，它建立了一套从公理、定义出发，论证命题得到定理的几何学论证方法，形成了一个严密的逻辑体系﹣﹣﹣几何学．以下是《几何原本》第一卷中的命题6，请完成它的证明过程． 命题6：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等． 已知：　 　． 求证：　 　． 证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC， 连接DC． ∵　 　， 　 　， 　 　， ∴△ACB≌△DBC　 　 ∴∠BDC＝∠CAB　 　． 又∠BDC＞∠CAB　 　． ∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的． ∴假设不成立，即AB＝AC． 13．如图1，已知正方形在直线的上方，在直线上，是上一点，以为边在直线的上方作正方形. （1）连结，求证：. （2）连结，观察并猜测的度数，并说明理由. （3）如图2，将图1中正方形改为矩形，，（、为常数），是线段上一动点（不含端点、），以为边在直线的上方作矩形，使顶点恰好落在射线上.判断当点由向运动时，的大小是否总保持不变，若的大小不变，请用含、的代数式表示的值；若的大小发生改变，请举例说明. 14．阅读下面的材料： 如果函数满足：对于自变量的取值范围内的任意，， （1）若，都有，则称是增函数； （2）若，都有，则称是减函数． 例题：证明函数是减函数． 证明：设， ． ∵， ∴，． ∴．即． ∴． ∴函数是减函数． 根据以上材料，解答下面的问题： 已知函数， ， （1）计算：　 　，　 　； （2）猜想：函数是　 　函数（填“增”或“减”）； （3）请仿照例题证明你的猜想． 15．在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形．如图1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a，b，c，倍角三角形的三边a，b，c有什么关系呢？让我们一起来探索． （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究．请你结合图形填空： 三角形 角的已知量 图2 ∠A=2∠B=90° 图3 ∠A=2∠B=60° （2）如图4，对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的对边分别记为a，b，c，a，b，c，三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图4给出的辅助线提示加以证明； （3）请你运用（2）中的结论解决下列问题：若一个倍角三角形的两边长为5，6，求第三边长．（直接写出结论即可） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学中考三轮复习压轴题：猜想证明训练》参考答案 1．(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据题意得到规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1，依此规律可得出答案； （2）根据（1）发现规律用字母表示即可，再分别计算等式两边判断是否相等即可． 【详解】（1）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 由以上式子可得：第1个等式为：； 第2个等式为：； 第3个等式为：； 即得出规律为：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 故第4个等式为：； 第5个等式为：； 故答案为：． （2）解：由（1）的规律可得第个等式为：， 证明：等式左边， 为正整数， 等式左边， 又右边， 等式左边=等式右边， ． 【点睛】本题考查了数字的变化规律，二次根式的混合运算，解题的关键是发现等式的规律：等式序号从1开始按自然数顺序排列，等式的左边二次根式的被开方数为该自然数乘以相差为2的数再加上1，右边是该自然数加1． 2．(1)20 (2)20 (3)证明见解析 (4)4n 【分析】（1）先算乘法、再算减法即可； （2）根据题目中的结果和（1）中的结果可以写出相应的猜想； （3）根据表格中的数据，可以用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可； （4）根据表2用含a的代数式表示出b、c、d，然后计算即可． 【详解】（1）解： 3×11﹣1×13 ＝33﹣13 ＝20， 故答案为：20； （2）解：猜想：bc﹣ad＝20， 故答案为：20； （3）解：由图可得， b＝a+2，c＝a+10，d＝a+12， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+10）﹣a（a+12） ＝a2+12a+20﹣a2﹣12a ＝20， ∴bc﹣ad＝20正确； （4）解：由表2可得， b＝a+2，c＝a+2n，d＝a+2n+2， ∴bc﹣ad ＝（a+2）（a+2n）﹣a（a+2n+2） ＝a2+（2+2n）a+4n﹣a2﹣（2n+2）a ＝4n， 故答案为：4n． 【点睛】本题考查整式的混合运算、数字的变化类，详解本题的关键是明确题意，发现数字的变化规律． 3．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据已知条件写出，再化简二次根式进行验证即可； （2）根据已知条件总结规律，再化简进行验证即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 验证：，正确． （2）解：， 验证：，正确． 【点睛】本题考查了找规律及二次根式的化简，掌握二次根式的相关性质是解题的关键． 4．(1)28是“神秘数”；2016不是“神秘数”，理由见解析 (2)“神秘数”是4的倍数．理由见解析 (3)两个连续的奇数的平方差不是神秘数，理由见解析 【分析】（1）根据定义，把“神秘数”用通用表达式表示为（n为偶数），将28和2016分别代入计算判断是否符合条件； （2）根据“神秘数”定义将两个数运用平方差公式进行计算，进而判断即可； （3）根据定义“神秘数”是两个连续偶数的平方差判断即可． 【详解】（1）28是“神秘数”；2016不是“神秘数”，理由如下： 根据题意，“神秘数”=（n为偶数） ∵ 若28是“神秘数”，则有，解得：， ∴，28是“神秘数”， 若2016是“神秘数”，则有， 解得：，n不是偶数，与要求不符， ∴2016不是“神秘数”， ∴28是“神秘数”；2016不是“神秘数”； （2）“神秘数”是4的倍数．理由如下： （2k+2）2﹣（2k）2＝（2k+2+2k）（2k+2﹣2k）＝2（4k+2）＝4（2k+1）， ∴“神秘数”是4的倍数； （3）根据定义，“神秘数”是两个连续偶数的平方差． 所以两个连续的奇数的平方差不是神秘数． 【点睛】此题主要考查了平方差公式的应用，熟练运用平方差公式是解题关键． 5．（1）①；②；（2）①点坐标为；②，；③或或． 【分析】（1）①根据线段中点的几何意义解题； ②根据线段中点的几何意义解题． （2）①设点坐标为，过、两点分别作轴、轴的平行线交于点， 再分别取、的中点、，连接、，可判定四边形是矩形 ，得到，继而证明，得到，可证，，最后根据线段的和差解题即可； ②由①种归纳得到答案； （3）分两种情况讨论:以为对角线或以为边，作出相应的平行四边形，再利用平行四边形对角线互相平分的性质及中点公式，先解得平行四边形对角线交点坐标，最后根据中点公式解题即可． 【详解】（1）①，， 是的中点， 线段 故答案为：； ②，， 是的中点， 线段 故答案为： ； （2）①设点坐标为，过、两点分别作轴、轴的平行线交于点， 再分别取、的中点、，连接、， 轴，轴， 四边形是平行四边形 四边形是矩形 在与中 ，， 点坐标为，点坐标为， 点坐标为，点坐标为，点坐标为， ，，， ，， ，， 点坐标为； ②，； ③分两种情况讨论: 当以为对角线时，的中点 在中， 是的中点， 设 ； 当以为边时， ①的中点 在中， 是的中点， 设 ; 当以为边时， ②的中点 在中， 是的中点， 设 综上所述，满足条件的点有三个，坐标分别是或或． 【点睛】本题考查坐标与图形，涉及平行四边形的性质、中点公式、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键． 6．（1）见解析（2）顶点数＋区域数＝边数＋1；（3）若24条边 【分析】（1）根据图形规定一一查顶点数，区域数，与边数填入表中即可； （2）观察表格两小数之和比大数多一，即顶点数＋区域数＝边数＋1； （3）每两点确定一直线，每一个顶点出发都有3条边，共有条边，根据顶点数＋区域数＝边数＋1构造方程，解方程即可， 【详解】解：（1）按此规定将图①、②、④的顶点数、边数、区域数填入下列表格： 图 顶点数 边数 区域数 ① 4 6 3 ② 6 9 4 ③ 5 8 4 ④ 10 15 6 （2）由表格得：顶点数＋区域数＝边数＋1， （3）设顶点数为x，根据题意可知，x＋9＝＋1， 得出x＝16 每个顶点发出三个3边，有9个区域数， 则有16个顶点，24条边． 【点睛】本题考查认识平面图形，平面图形都是有点，线，面构成，本题中点、线段与区域之间有规律，发现和掌握顶点数＋区域数＝边数＋1规律是解题关键． 7．（1）黑  红；（2）；（3）我可能得到的最高分是68分，计算过程见解析． 【分析】（1）根据黑色牌代表正分，红色牌代表负分解答； （2）利用每人抽到的8张牌的总分为0，得到手中牌的总分与同伴手中的总分关系； （3）根据题意，要得到最高分，既要黑色牌又要分数大的牌，据此解题． 【详解】（1）由题意知，黑色代表正分，黑色牌越多，分数越高，故作为玩家，我希望抽到黑色牌，同时希望红色牌被同伴抽走，因为红色牌越多，分数越低， 故答案为：黑色，红色； （2）因为8张牌的总分为0，所以游戏结束后， 故答案为：； （3）要分数最高，既要黑色牌又要分数大的牌：（分） 所以我可能得到的最高分是68分． 【点睛】本题考查推理与论证，涉及有理数的加法等知识，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 8．（1）180°；（2）详见解析；（3）垂直，理由详见解析 【分析】（1）根据四边形内角和360度解题； （2）根据角平分线性质解题； （3）由（1）（2）结论，结合三角形内角和180度解题即可． 【详解】解：（1）①由四边形内角的性质，得； （2）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴平分； （3）∵ ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴垂直． 【点睛】本题考查四边形内角和360度、三角形内角和180度、角平分线的性质、垂线的性质等知识，是常见基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 9．（1）；（2）减；（3）详见解析 【分析】（1）根据题目中函数，将代入f(x)＝（x＜0），即可求解f(－3)的值； （2）取，代入函数f(x)＝（x＜0），求得f(－2)的值，结合（1）比较f(－3)和f(－2)的大小，再根据材料信息进行判断即可； （3）根据题目中例子的证明方法，结合（1）和（2）可证明猜想成立． 【详解】解：（1）计算：f（－3）＝=， 故答案为：； （2）由（1）知，f（－3）=， 当时，f（-2）＝， ∵，， ∴猜想：函数f(x)＝（x＜0）是减函数 故答案为：减； （3）证明：设， ＝， ∵， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴函数f(x)＝（x＜0）是减函数，猜想得证． 【点睛】本题考查函数的概念，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的性质解答． 10．（1），   （2）增   （3）证明见解析 【分析】（1）将和代入求解即可； （2）根据，，我们猜想函数是增函数； （3）设，按照例题思路可得，即，得证函数是增函数． 【详解】（1）∵ ∴ ； （2）∵， ∴函数是增函数； （3）设 ∵ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴函数是增函数． 【点睛】本题考查了函数解析式的问题，掌握函数解析式的性质、函数的增减性是解题的关键． 11．（1）是，证明见解析；（2）①由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. 证明见解析；②2016是“神秘数”是假命题,证明见解析. 【分析】对于（1）结合神秘数的定义，看是否可以将28写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； (2) 对于①，两个连续偶数构造的神秘数为(2k+2)2-(2k)2，化简看是否是4的倍数； 对于②，结合神秘数的定义，看是否可以将2016写成两个连续偶数的平方差，即可得出答案； 【详解】（1）28是“神秘数”,理由如下： ∵28=82-62 ∴28是“神秘数” （2）当选择①时，(2k＋2)2－(2k)2＝(2k＋2－2k)(2k＋2＋2k)＝4(2k＋1)， ∴由2k＋2和2k构造的“神秘数”是4的倍数，且是奇数倍. ②当选择②时，2016是“神秘数”是假命题, 理由: = =8k+4, 令8k+4=2016，得k=251.5, ∵k为须整数, ∴k=251.5不符合实际，舍去, ∴201 6是“神秘数"错误. 【点睛】本题主要考查完全平方公式和平方差公式，能熟练利用完全平方公式和平方差公式进行计算； 12．：△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的对应角相等）；（三角形外角性质）． 【分析】运用反证法进行证明，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 【详解】解：已知：△ABC中，∠B＝∠C． 求证：AB＝AC． 证明：若AB≠AC，其中必有一个较大，不妨设AB＞AC，在AB上截取BD＝AC， 连接DC． ∵BD＝CA， ∠B＝∠ACB， BC＝CB， ∴△ACB≌△DBC（SAS） ∴∠BDC＝∠CAB（全等三角形的对应角相等）． 又∠BDC＞∠CAB（三角形外角性质）． ∴∠BDC与∠CAB即等于又大于，显然是矛盾的． ∴假设不成立，即AB＝AC． 故答案为：△ABC中，∠B＝∠C；AB＝AC；BD＝CA，∠B＝∠ACB，BC＝CB；（SAS）；（全等三角形的对应角相等）；（三角形外角性质）． 【点睛】本题的考点是命题与定理及全等三角形的判定与性质.方法是运用反证法进行证明. 13．（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析. 【分析】（1）证明的关键部分是利用同角的余角相等得到 .（2）证明的关键是过点F作 于H，然后证；问题（3）为提高部分，答题的关键是证明 及 ，然后将问题转化为 . 【详解】解 （1）∵四边形和四边形是正方形， ∵，，. ∵. ∴. ∴. （2）. 理由是：作于（如图3）. ∵， ∴，. ∴. 又∵，， ∴. ∴，，∴. ∵，∴. （3）当点由向运动时，的大小总保持不变. 理由是：作于（如图4），由已知可得，结合（1）（2）得，又∵在射线上，，∴，.∴，∴，∴.∴在中，.∴当点由向运动时，的大小总保持不变，. 【点睛】本题以熟悉的正方形为载体，以较简单的演绎推理为切入点，通过观察、猜想及证明的数学活动，逐层渗透.该试题为灵活、综合地运用基础知识、基本技能、创造性地解决问题提供了空间，从而达到综合检测研究性学习与探究能力及演绎推理的能力. 14．（1），；（2）增；（3）函数是增函数，证明猜想见解析. 【分析】根据题目中函数解析式代入自变量值可以解答本题； 由结论可得； 根据题目中例子的证明方法可以证明中的猜想成立． 【详解】解：（1）∵， ∴， 故答案为， （2）∵， ∴函数是增函数 故答案为增 （3）设， ∵ ∵， ∴，， ∴ ∴ ∴函数是增函数. 【点睛】本题考查反比例函数图象上的坐标特征、反比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用反比例函数的性质解答． 15．（1）， ；（2）；（3）第三边的长为或或或4或． 【分析】（1）由题意可分别得出相应角的度数，求解特殊角的三角函数值即可；（2）由第（1）猜测a，b，c的关系是=，如图4作出辅助线，不难证明△CBD∽△CAB，由相似三角形的性质写出对应边的比值，得出结论；（3）分类讨论分别求出第三边长即可. 【详解】（1） 三角形 角的已知量 图2 ∠A=2∠B=90° 图3 ∠A=2∠B=60° （2）猜测a，b，c的关系是=，延长CA至D，使AD=AB（如图4）； ∵AD=AB，∴∠D=∠ABD， ∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D， ∵∠CAB=2∠CBA， ∴∠D=∠CBA， 又∵∠C=∠C， ∴△CBD∽△CAB， ∴=，即=； （3）①当a=5，b=6时， 由（2）得：=，解得c=﹣（不合题意舍去）； ②当a=6，b=5时， =，解得c=； ③当a=5，c=6时， =，解得b=﹣3（负值舍去）； ④当a=6，c=5时， =，解得b=4（负值舍去）； ⑤当b=5，c=6时， =，解得a=（负值舍去）； ⑥当b=6，c=5时， =，解得a=（负值舍去）； 综上可知：第三边的长为或或﹣3或4或． 【点睛】本题主要考查倍角三角形的定义以及分类讨论思想的运用. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$