4.4 平行四边形的判定定理 强化训练2025-2026学年浙教版数学八年级下册

浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 强化训练（参考答案） 【题型1】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明 【典例】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是() A.AB=CD,AD=BC       B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD      D.AB∥CD,AD=BC 【答案】D 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【答案】C 【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB 【答案】C 【解析】 若∠ABD=∠BDC,OA=OC,又∵∠AOB=COD, 则△AOB≌△COD(AAS), ∴OB=OD, ∴四边形ABCD是平行四边形,A可以判定。 若∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB, 又∵∠ABC+∠ADC+∠BAD+∠DCB=360°, 则∠ABC+∠BAD=180°, ∴∠ADC+∠BAD=180°, ∴BC∥AD,AB∥DC, ∴四边形ABCD是平行四边形,B可以判定。 若∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB, 又∵BD=DB, 则△ABD≌△CDB(AAS),AB∥DC, ∴AB=DC, ∴四边形ABCD是平行四边形,D可以判定。 由∠ABC=∠ADC,AB=CD,AC=CA, 不能推出三角形全等,故无法判定四边形ABCD是平行四边形,C符合题意。 【强化训练3】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　. 【答案】 【解析】∵E为CD的中点,∴CE＝DE. 又∵EF＝BE, ∴四边形DBCF是平行四边形, ∴CF∥AB,DF∥BC,DF＝BC, ∴∠FCG＝∠A＝30°,∠CGF＝∠ACB＝90°. ∵在Rt△FCG中,CF＝3, ∴FG＝CF＝, ∴CG＝. ∵DF＝BC＝2,∴DG＝, ∴CD＝. 【强化训练4】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论． 【答案】 解：四边形BDFC是平行四边形．理由如下： ∵∠A＝∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ABC＝180°， ∴BC∥AF， ∴∠BCE＝∠FDE， ∵E是CD中点， ∴CE＝DE， 在△BCE和△FDE中，， ∴△BCE≌△FDE（ASA）， ∴BE＝EF， ∵CE＝DE，BE＝EF， ∴四边形BDFC为平行四边形． 【题型2】添加一个条件成为平行四边形 【典例】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　） A.AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE 【答案】D 【解析】 把A、B、C、D四个选项分别作为添加条件进行验证，D为正确选项．添加D选项，即可证明△DEC≌△FEB，从而进一步证明DC＝BF＝AB，且DC∥AB． 添加：∠F＝∠CDE， 理由： ∵∠F＝∠CDE， ∴CD∥AB， 在△DEC与△FEB中，， ∴△DEC≌△FEB（AAS）， ∴DC＝BF， ∵AB＝BF， ∴DC＝AB， ∴四边形ABCD为平行四边形， 故选：D． 【强化训练1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加BM＝PC； 乙：添加BM∥PC； 丙：添加MP＝BC． 则正确的方案（　　） A.只有甲、乙才对 B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对 D.甲、乙、丙都对 【答案】B 【解析】 根据平行四边形的判定定理逐项判断即可得出答案． ∵∠P+∠BCP＝180°， ∴MP∥BC， 甲：添加BM＝PC后，一组对边平行，另一组对边相等，不能证明四边形MBCP为平行四边形； 乙：添加BM∥PC后，满足两组对边平行，能证明四边形MBCP为平行四边形； 丙：添加MP＝BC后，满足一组对边平行且相等，能证明四边形MBCP为平行四边形； 综上可知，只有乙、丙才对， 故选：B． 【强化训练2】如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。 【答案】 AB∥CD(答案不唯一) 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号). 【答案】①③④ 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB＝CD，OB＝OD，OA＝OC. 若BF＝DE，则BF－OB＝DE－OD， 即OF＝OE， ∴四边形AECF是平行四边形，①符合题意. ∵AB∥CD，∴∠ABE＝∠CDF. 若∠EAB＝∠FCD， 则在△ABE和△CDF中， ∵ ∴△ABE≌△CDF(ASA)， ∴BE＝DF. 又∵BO＝DO，∴OE＝OF. 又∵AO＝CO， ∴四边形AECF是平行四边形，③符合题意. 若AF∥CE，则∠AFB＝∠CED， 在△ABF和△CDE中， ∵ ∴△ABF≌△CDE(AAS)， ∴BF＝DE， 同上易证四边形AECF是平行四边形，④符合题意. ∵通过AE＝CF不能判定△ABE≌△CDF， ∴不能判定四边形AECF是平行四边形，②不合题意. 综上所述，一定能判定四边形AECF是平行四边形的有①③④. 【题型3】数平行四边形的个数 【典例】分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【解析】 如图所示： 构成的平行四边形有□ACBD，□ABCF，□ABEC，共3个平行四边形，故选C. 【强化训练1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（     ）个 A.4 B.5 C.3 D.6 【答案】B 【解析】 根据平行四边形两组对边分别平行的判定求解可得． 如图， 图中的平行四边形有：□ABED，□ABGF，□BCFE，□ACFD，□PBQF， 故选B． 【强化训练2】如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【答案】 4 试题解析：∵在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点 ∴DF=CD=AE=EB，AB∥CD ∴四边形AEFD，CFEB，DFBE是平行四边形，再加上□ABCD本身，共有4个平行四边形4． 故答案为4． 【强化训练3】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形．    【答案】 3 【解析】 根据平移的性质，三角形的三条边与平移后的三条边分别相等，平行，进而根据平行四边形的判定定理即可求解． 依题意，，则四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ，四边形是平行四边形， ∴有个平行四边形 故答案为：． 【题型4】全等三角形拼平行四边形问题 【典例】将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　） A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形 【答案】D 【解析】 根据平行四边形的判定及旋转平移的性质进行分析即可． 四边形JFCG绕点F顺时针旋转180°，四边形HAEJ绕点E顺时针旋转180°，余下的四边形DHJG沿着DB方向进行平移，刚好构成一个平行四边形． 故选：D． 【强化训练1】两个（　　）的三角形可以拼成一个平行四边形． A.面积相等 B.形状相同 C.等底等高 D.能完全重合 【答案】D 【解析】 根据平行四边形的判定定理即可得到结论． ∵平行四边形的两组对边平行且相等，且有公共边， ∴两个能完全重合的三角形可以拼成一个平行四边形． 故选：D． 【强化训练2】如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　 　． 【答案】 ：72°或． 【解析】 分两种求出，分别构建方程即可解决问题； 由题意可知：AD＝DE， ∴∠DAE＝∠DEA，设∠DAE＝∠DEA＝x， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，∠C＝∠DAB， ∴∠DEA＝∠EAB＝x， ∴∠C＝∠DAB＝2x， ①AE＝AB时，若BE＝BC， 则有∠BEC＝∠C，即（180°﹣x）＝2x，解得x＝36°， ∴∠C＝72°， 若EC＝EB，则有∠EBC＝∠C＝2x， ∵∠DAB+∠ABC＝180°， ∴4x+（180°﹣x）＝180°， 解得x＝， ∴∠C＝， ②EA＝EB时，同法可得∠C＝72°， ③BA＝BE时，∵∠AEB＝∠BAE＝x， ∴∠DEB＝2x， ∵∠C＝2x，∠DEB＝∠C+∠EBC， 这种情形显然不可能， 综上所述，∠C＝72°或． 故答案为：72°或． 【强化训练3】用边长分别为3cm，5cm，7cm两个三角形最多可拼成　 　个不同的平行四边形． 【答案】 3． 【解析】 根据平行四边形的判定，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，分别以3、5、7为对角线，其它两边为边即可得到平行四边形． 如图所示，共有3种情况： 故答案为：3． 【强化训练4】如图，△ABC≌△A'B'C'．用这两个三角形可以拼成几个不同的四边形？其中有几个是平行四边形？拼一拼，试试看． 【答案】 解：如图，可以拼成6个不同的四边形，其中有3个平行四边形． 【强化训练5】如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由． 【答案】 解：拼成的四边形ACA′B′是平行四边形，理由如下： 方法1：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AB＝A'B'，AC＝A'C'， ∴四边形ACA′B′是平行四边形； 方法2：∵△ABC≌△A′B′C′， ∴AC=A′C′，∠ACB＝∠A'C'B'＝90°， ∴AC∥A′C′， ∴四边形ACA′B′是平行四边形． 【题型5】利用平行四边形的判定与性质求角度 【典例】在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　） A.10° B.40° C.80° D.100° 【答案】D 【解析】 先证四边形ABCD是平行四边形，则AB∥CD，再由平行线的性质得∠B+∠C＝180°，即可得出结论． 如图，∵AB＝CD，AD＝BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠B+∠C＝180°， ∴∠C＝180°﹣∠C＝180°﹣80°＝100°， 故选：D． 【强化训练1】如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 【答案】C 【解析】 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形ABED是平行四边形，再根据平行四边形对角相等即可求出∠BED的度数． 由题意得，BE＝AD， ∵AD∥BC，即AD∥BE， ∴四边形ABED是平行四边形， ∴∠BED＝∠A＝50°， 故选：C． 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，∠ABD＝25°，现将▱ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为      　°. 【答案】115 【解析】由折叠，得∠FDB＝∠ABD＝25°，∠C'EF＝∠CEF，∠DFE＝∠BFE， ∴∠DFB＝180°－∠FDB－∠ABD＝130°， ∴∠BFE＝∠DFB＝65°. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥DC， ∴∠CEF＋∠BFE＝180°， ∴∠CEF＝115°，∴∠C'EF＝115°. 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 【答案】 见试题解答内容 【解析】 由四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，又由BE∥DF，即可证得四边形BFDE是平行四边形，根据平行四边形的对角相等，即可求得∠EDF的度数． ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵BE∥DF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴∠EDF＝∠EBF＝45°． 故答案为：45． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F． （1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数； （2）求证：四边形DEBF是平行四边形． 【答案】 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠ABC＝180°﹣∠DAB＝180°﹣60°＝120°， ∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠ABC＝60°， ∴∠DFB＝180°﹣∠ABF＝180°﹣60°＝120°； （2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB，CD＝AB，AD＝BC， ∵DE、BF分别是∠ADC和∠ABC的角平分线， ∴∠ADE＝∠CDE，∠CBF＝∠ABF， ∵CD∥AB， ∴∠AED＝∠CDE，∠CFB＝∠ABF， ∴∠AED＝∠ADE，∠CFB＝∠CBF， ∴AE＝AD，CF＝CB， ∴AE＝CF， ∴AB﹣AE＝CD﹣CF，即BE＝DF， ∵DF∥BE， ∴四边形DEBF是平行四边形． 【题型6】利用平行四边形的判定与性质求线段的长度 【典例】如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【答案】C 【解析】 根据平行四边形的性质可知CD＝AB＝8，已知AE＝3，则BE＝5，再判定四边形DEFC是平行四边形，则DC＝EF＝8，BF＝EF﹣BE，即可求出BF． 在▱ABCD中，AB＝8， ∴CD＝AB＝8，AB∥CD， ∵AE＝3， ∴BE＝AB﹣AE＝5， ∵CF∥DE， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DC＝EF＝8， ∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3． 故选：C． 【强化训练1】如图,在▱ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是() A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2 【答案】B 【解析】 设∠CAB=α,则∠D=5∠CAB=5α。 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴∠ABC=∠D=5α,AB∥CD。 在△ABC中,∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=180°-α-5α=180°-6α。 ∵PC=BC, ∴∠CPB=∠CBP===3α, ∴∠PBA=∠ABC-∠CBP=5α-3α=2α。 如答图,在AE上取QE=BE=2,连结PQ。 答图 ∵EF⊥CD,AB∥CD,∴EF⊥AB, ∴EF是QB的垂直平分线, ∴PQ=PB,∴∠PQB=∠PBQ=2α, ∴∠QPA=∠PQB-∠CAB=2α-α=α, ∴∠QPA=∠CAB=α, ∴AQ=QP=BP=y。 ∵AE=x,∴AE-AQ=QE=2,即x-y=2, ∴x,y发生变化时,x-y不变。 【强化训练2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　． 【答案】 8． 【解析】 由平行线的性质得到∠ADF＝∠DFC，再由DF平分∠ADC，得∠ADF＝∠CDF，则∠DFC＝∠FDC，然后由等腰三角形的判定得到CF＝CD，同理BE＝AB，则四边形ABCD是平行四边形，最后由平行四边形的性质得到AB＝CD，AD＝BC，即可得到结论． ∵AD∥BC， ∴∠ADF＝∠DFC， ∵DF平分∠ADC， ∴∠ADF＝∠CDF， ∴∠DFC＝∠CDF， ∴CF＝CD， 同理BE＝AB， ∵AB∥CD，AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AD＝BC， ∴AB＝BE＝CF＝CD＝5， ∴BC＝BE+CF﹣EF＝5+5﹣2＝8， ∴AD＝BC＝8， 故答案为：8． 【强化训练3】在▱ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则▱ABCD的周长为　　　　。 【答案】 14或18 【解析】 ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AD∥BC,AB=DC, ∴∠AEB=∠CBE。 ①当点E在线段AD上时,如答图1。 答图1 ∵BE平分∠ABC, ∴∠ABE=∠CBE, ∴∠AEB=∠ABE,∴AE=AB=4。 ∵DE=1,∴AD=5, ∴C▱ABCD=4+4+5+5=18; ②当点E在AD的延长线上时,如答图2。 答图2 同①可得AE=AB=4。 ∵DE=1,∴AD=3, ∴C▱ABCD=4+4+3+3=14。 综上所述,▱ABCD的周长为14或18。 【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE． （1）证明：四边形AECF是平行四边形； （2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长． 【答案】 解：（1）证明：∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F， ∴∠AEF＝∠CFE＝90°， ∴AE∥CF（内错角相等，两直线平行）， 在平行四边形ABCD中，AB＝CD，AB∥CD， ∴∠ABE＝∠CDF， 在△ABE与△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴四边形AECF是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； （2）∵DF＝2， ∴BF＝BD﹣DF＝6﹣2＝4． 在Rt△BCF中，由勾股定理得． 由（1）可知△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF＝2． ∴EF＝BF﹣BE＝2． 在Rt△CEF中，由勾股定理得． 【强化训练5】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连结AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝18，求AF的长． 【答案】 解（1）证明：∵四边形ABCD平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形； （2）∵四边形AECF是平行四边形， ∴AF∥CE， ∴∠FAC＝∠ACE， ∵AC平分∠EAF， ∴∠EAC＝∠FAC＝∠ACE， ∴AE＝CE＝AF， 设AF＝AE＝EC＝x， ∵∠ABC＝90°， ∴AB2+BE2＝AE2， ∴122+（18﹣x）2＝x2， ∴x＝13， ∴AF＝13． 【题型7】平行四边形的判定与性质的实际应用 【典例】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　） A.甲说得对 B.乙说得对 C.甲、乙说的都对 D.甲、乙说的都不对 【答案】C 【解析】 如图，作DM⊥AB于点M，则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM，可得DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm，进而可判断甲乙的说法． 如图，作DM⊥AB于点M， 则平行四边形ABCD的面积＝AB×DM＝10DM， ∵DM≤AD，AD＝8， ∴DM≤8cm，即平行四边形的高DM的最大值是8cm， ∴在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，故乙的说法正确； 在逆时针转动AD过程中，DM先逐渐变大，到与AD相等时，取得最大值，然后又逐渐变小，所以平行四边形ABCD的面积先变大，后变小；故甲的说法正确； ∴甲乙的说法都是正确的， 故选：C． 【强化训练1】生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　） A.40° B.100° C.120° D.140° 【答案】D 【解析】 根据平行四边形的对角相等解答即可． ∵四边形ABCD为平行四边形． ∴∠BCD＝∠BAD＝140°， 故选：D． 【强化训练2】如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 【答案】C 【解析】 根据平行四边形的性质可知GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形，我们知道，一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二，据此可从图中获得S黄＝S蓝，S绿＝S红，S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝），根据等量相减原理知S紫＝S橙，依此就可找出题中说法错误的． ∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD ∴GH、BD、EF把一个平行四边形分割成四个小平行四边形， ∴一条对角线可以把一个平行四边形的面积一分为二， 得S黄＝S蓝，（故D正确） S绿＝S红，（故A正确） S（紫+黄+绿）＝S（橙+红+蓝）， 根据等量相减原理知S紫＝S橙，（故B正确） S绿与S蓝显然不相等．（故C错误） 故选：C． 【强化训练3】如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【答案】 (1)2；(2). 【解析】 （1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，，可得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质求得的长即可；（2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点，然后说明的长度为长支杆的一半即可． （1）过C作与水平地面呈的直线交的延长线于K，分别过K、E作，， ∴四边形是平行四边形， ∴，即在地面上影子的长为2米； 故答案为：2； （2）由题意可知：支杆的竖直长度都一样，且竖直的支点为长支杆的中点，即G为的中点、B为的中点， 当遮阳棚完全闭合后，每根杆的长度都一样，即的长度为长支杆的一半， ∵为长支杆的长度，为短支杆的长度．∴． 故答案为：． 【强化训练4】如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：AE=CF． （2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？ 【答案】 解：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，OA=OC， ∴∠DAC=∠BCA， 在△AOE 和△COF中， ∠DAC=∠BCA，OA=OC，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF（ASA）， ∴AE=CF； （2）设计图形如图： 理由：平行四边形是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点，只要满足两块地面积相等，且都与水井相邻就可以． 因为平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分， 所以找到对角线的交点与水井点P的连线的所在直线即可． 【强化训练5】如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由． 【答案】 解：可以同时到达．理由如下： ∵BA∥DE，AE∥DB， ∴四边形ABDE为平行四边形， ∴AB＝DE，AE＝BD， ∵F是CE的中点， ∴EF＝FC， ∵EC⊥BC，AF∥BC， ∴AF⊥CE， 即AF垂直平分CE， ∴DE＝DC，即AB＝DC， ∴AB+AE+EF＝DC+BD+CF， ∴二人同时到达F站． 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙教版（2024）八年级下册 4.4 平行四边形的判定定理 强化训练 【题型1】利用对角线互相平分的四边形是平行四边形证明 【典例】如图,四边形ABCD的对角线相交于点O,下列条件中,不能判定其为平行四边形的是() A.AB=CD,AD=BC       B.AB∥CD,AB=CD C.OA=OC,OB=OD      D.AB∥CD,AD=BC 【强化训练1】如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.下列条件中，不能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　　) A.AB∥DC，AD∥BC B.AB＝DC，AD＝BC C.AB∥DC，AD＝BC D.OA＝OC，OB＝OD 【强化训练2】如图,四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,则下列选项中,不能判定四边形ABCD是平行四边形的是() A.∠ABD=∠BDC,OA=OC B.∠ABC=∠ADC,∠BAD=∠DCB C.∠ABC=∠ADC,AB=CD D.∠ABD=∠BDC,∠BAD=∠DCB 【强化训练3】如图,在△ABC中,∠ACB＝90°,D为边AB上一点,连结CD,E为CD的中点,连结BE并延长至点F,使得EF＝EB,连结DF,交AC于点G,连结CF.若∠A＝30°,BC＝2,CF＝3,则CD的长为 　. 【强化训练4】如图，四边形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，E是边CD的中点，连接BE并延长与AD的延长线相交于点F，连接CF．四边形BDFC是平行四边形吗？证明你的结论． 【题型2】添加一个条件成为平行四边形 【典例】如图，在四边形ABCD中，E是BC边的中点，连接DE并延长，交AB的延长线于F点，AB＝BF．添加一个条件，使四边形ABCD是平行四边形．你认为下面四个条件中可选择的是（　　） A.AD＝BC B.CD＝BF C.∠A＝∠C D.∠F＝∠CDE 【强化训练1】如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，AC上的点，延长MN至点P，连接PC，∠P+∠BCP＝180°，要使四边形MBCP为平行四边形，甲、乙、丙三位同学给出三种不同的方案： 甲：添加BM＝PC； 乙：添加BM∥PC； 丙：添加MP＝BC． 则正确的方案（　　） A.只有甲、乙才对 B.只有乙、丙才对 C.只有甲、丙才对 D.甲、乙、丙都对 【强化训练2】如图,已知AB=CD,那么添加一个条件　　　　　　　　后,可判定四边形ABCD是平行四边形(写出一种情况即可)。 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，AC，BD相交于点O，点E，F在对角线BD上，有下列条件：①BF＝DE；②AE＝CF；③∠EAB＝∠FCD；④AF∥CE.其中一定能判定四边形AECF是平行四边形的有　　(填序号). 【题型3】数平行四边形的个数 【典例】分别过一个三角形的3个顶点作对边的平行线，这些平行线两两相交，则构成的平行四边形的个数是（　　） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【强化训练1】如图，点A，B，C在同一直线上，点D，E，F，G在同一直线上，且．图中平行四边形有（     ）个 A.4 B.5 C.3 D.6 【强化训练2】如图所示，在□ABCD中，E，F分别为AB，DC的中点，连接DE，EF，FB，则图中共有     个平行四边形． 【强化训练3】如图，将向右平移个单位，得到，连接，，，则图中有      个平行四边形．    【题型4】全等三角形拼平行四边形问题 【典例】将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图所示．用这四张小纸片一定可以拼成（　　） A.梯形 B.长方形 C.正方形 D.平行四边形 【强化训练1】两个（　　）的三角形可以拼成一个平行四边形． A.面积相等 B.形状相同 C.等底等高 D.能完全重合 【强化训练2】如图，小明用三个等腰三角形（图中①②③）拼成了一个平行四边形ABCD，且∠D＞90°＞∠C，则∠C＝　 　． 【强化训练3】用边长分别为3cm，5cm，7cm两个三角形最多可拼成　 　个不同的平行四边形． 【强化训练4】如图，△ABC≌△A'B'C'．用这两个三角形可以拼成几个不同的四边形？其中有几个是平行四边形？拼一拼，试试看． 【强化训练5】如图，将两块相同的三角尺ABC和A′B′C′如图放置，使两条直角边BC与B′C′重合在一起，这样拼成的四边形ACA′B′是平行四边形吗？试用两种不同的方法说明理由． 【题型5】利用平行四边形的判定与性质求角度 【典例】在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC，∠B＝80°，则∠C的度数为（　　） A.10° B.40° C.80° D.100° 【强化训练1】如图，AD∥BC，AB＝BD，以B为圆心，AD长为半径的圆弧交BC于点E，连结DE．若∠A＝50°，则∠BED的度数为（　　） A.65° B.60° C.50° D.40° 【强化训练2】如图，在▱ABCD中，∠ABD＝25°，现将▱ABCD折叠成如图所示的形状，使点B与点D重合，EF为折痕，点C的对应点为C'，则∠C'EF的度数为      　°. 【强化训练3】如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，且BE∥DF，若∠EBF＝45°，则∠EDF的度数是　 　度． 【强化训练4】如图，在平行四边形ABCD中，DE、BF分别平分∠ADC和∠CBA，分别交AB、CD于点E、F． （1）若∠DAB＝60°，求∠DFB的度数； （2）求证：四边形DEBF是平行四边形． 【题型6】利用平行四边形的判定与性质求线段的长度 【典例】如图，在▱ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（　　） A.5 B.4 C.3 D.2 【强化训练1】如图,在▱ABCD中,∠D=5∠CAB,在AC上取点P,使PC=BC,连结BP,过点P作EF⊥CD,分别交AB,CD于点E,F。已知BE=2,AE=x,BP=y,当x,y发生变化时,下列代数式值不变的是() A.x+y B.x-y C.xy D.x2+y2 【强化训练2】如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，且∠BAD、∠ADC的角平分线AE、DF分别交BC于点E、F．若EF＝2，AB＝5，则AD的长为 　 　． 【强化训练3】在▱ABCD中,∠ABC的平分线交直线AD于点E,AB=4,DE=1,则▱ABCD的周长为　　　　。 【强化训练4】如图，四边形ABCD是平行四边形AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF和CE． （1）证明：四边形AECF是平行四边形； （2）已知BD＝6，DF＝2，BC＝5，求CE的长． 【强化训练5】如图，在▱ABCD中，点E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，连结AE，CF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）连结AC，若AC平分∠EAF，∠ABC＝90°，AB＝12，BC＝18，求AF的长． 【题型7】平行四边形的判定与性质的实际应用 【典例】如图，王老师用四根木棒搭成了平行四边形的框架，量得AB＝10cm，AD＝8cm，固定AB．逆时针转动AD，在转动过程中，关于平行四边形ABCD的面积变化情况：甲认为：先变大，后变小；乙认为：在转动过程中，平行四边形ABCD的面积有最大值，最大值是80cm2，则（　　） A.甲说得对 B.乙说得对 C.甲、乙说的都对 D.甲、乙说的都不对 【强化训练1】生活中处处皆数学，如图是“左侧通行”交通标识，其中四边形ABCD为平行四边形．若∠BAD＝140°，则∠BCD的度数为（　　） A.40° B.100° C.120° D.140° 【强化训练2】如图，某广场上有一个形状是平行四边形的花坛，分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列说法中错误的是（　　） A.红花、绿花种植面积一定相等 B.紫花、橙花种植面积一定相等 C.绿花、蓝花种植面积一定相等 D.蓝花、黄花种植面积一定相等 【强化训练3】如图1是某一遮阳蓬支架从闭合到完全展开的一个过程，当遮阳蓬支架完全闭合时，支架的若干支杆可看作共线．图2是遮阳蓬支架完全展开时的一个示意图，支杆固定在垂直于地面的墙壁上，支杆与水平地面平行，且G，F，B三点共线，在支架展开过程中四边形始终是平行四边形． (1)若遮阳蓬完全展开时，长2米，在与水平地面呈的太阳光照射下，在地面的影子有______米（影子完全落在地面） (2)长支杆与短支杆的长度比（即与的长度比）是______． 【强化训练4】如图1，ABCD是平行四边形对角线AC，BD相交于点O，直线EF过点O，分别交AD，BC于点E，F． （1）求证：AE=CF． （2）如图2，若ABCD是老张家的一块平行四边形田地．P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻．请你帮老张家设计一下．画出图形，并说明理由？ 【强化训练5】如图，是某城市部分街道示意图，AF∥BC，EC⊥BC，BA∥DE，BD∥AE，甲、乙两人同时从B站乘车到F站，且点F是CE的中点．甲乘1路车，路线是B⇒A⇒E⇒F；乙乘2路车，路线是B⇒D⇒C⇒F，假设两车速度相同，途中耽误时间相同，那么谁先到达F站，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $